2 phuong tich truc dang phuong

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TÍCH - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG A.PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Hình học phẳng chuyên đề tương đối quan trọng chương trình THPT chun Tốn Trong kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Thi Olympic Toán Quốc tế khu vực, tốn hình học phẳng ln ln xuất chí hai Có nhiều cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh xử lý yêu cầu tốn như: Phép biến hình; hàng điểm điều hịa; định lýCeva, Menelauyt; tính chất đường thẳng Simson, Steiner…Tuy nhiên, nhiều năm trở lại , tốn hình học thi VMO thường xoay quanh vấn đề về: Phương tích, trục đẳng phương; hàng điểm điều hịa hay dạng biến đổi góc Bên cạnh ta thấy, kiến thức Phương tích trục đẳng phương vấn đề quen thuộc hình học phẳng, học sinh tiếp cận chương trình sách giáo khoa THPT Chun Tốn 10 Lý thuyết, tính chất phần tương đối đơn giản, dễ hiểu lại có nhiều ứng dụng toán: Chứng minh đồng quy; ba điểm thẳng hàng; điểm cố định tính tốn số đại lượng tam giác đường tròn…Sử dụng phương tích trục đẳng phương thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu; tránh số bước vẽ hình phức tạp Tuy nhiên, làm để học sinh phát vận dụng kiến thức Phương tích - Trục đẳng phương vào dạng toán chứng minh trên? Nếu dùng Trục đẳng phương thay số kiến thức khác thu điều gì? Giải xong tốn, ta dùng kiến thức để làm tốn mở rộng khác khơng? Đó câu hỏi đặt cần tìm hướng giải Sự đơn giản kiến thức đem lại ứng dụng hay hấp dẫn nhiều học sinh giáo viên học, giảng dạy chuyên đề hình phẳng sử dụng tính chất trục đẳng phương, tâm đẳng phương Từ điều thú vị, hấp dẫn số câu hỏi đặt chọn đề tài “ Phương tích- Trục đẳng phương” làm chuyên đề hội thảo năm 2015-2016 2.Mục đích đề tài Việc sử dụng kiến thức phương tích - trục đẳng phương hình học phẳng khai thác nhiều khía cạnh khác nhau, tùy theo yêu cầu toán Tuy nhiên, nhằm khai thác mạnh kiến thức này, đề tài “ Phương tích - Trục đẳng phương” tập trung vào vài ứng dụng mà tần số câu hỏi dạng xuất kì thi học sinh giỏi tương đối cao Đó là: Chứng minh thẳng hàng; đồng quy; điểm cố định; quỹ tích điểm số tốn khác Nội dung đề tài số kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề tham khảo qua số đồng nghiệp trường Chuyên khác Với hi vọng giới thiệu, đem đến cho thầy cô học sinh ứng dụng thú vị phương tích, trục đẳng phương; chúng tơi trình bày phát triển , mở rộng từ đề thi IMO, VMO vô địch nước Bên cạnh đó, chúng tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp học sinh để chuyên đề hoàn thiện B PHẦN NỘI DUNG I.Tóm tắt lý thuyết Phương tích điểm đường trịn 1.1.Bài tốn: Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB d  R Chứng minh: A B O M C Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB  AM hay B hình chiếu C AM Khi ta có         2 MA.MB MA.MB ( MO  OC )( MO  OA) ( MO  OA ) d  R 1.2.Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB d  R toán gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu PM /(O) Và PM / O   MA.MB d  R 1.3.Định lý 1.1 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB PC.PD ' , suy PC.PD PC.PD '  D D' Suy điểm A, B, C, D thuộc đường tròn 1.4.Nhận xét: a Có cách khai triển phương tích sau +)Khai triển theo cát tuyến: Cho hai cát tuyến MAB, MCD đường trịn (O) Khi PM /(O ) MA.MB MC.MD MO  R B A O M C D +)Khai triển theo tam giác: Cho hai dây cung AB, CD đường tròn (O)cắt 2 điểm M Khi PM /(O ) MA.MB MC.CD R  MO B A M O C D +)Khai triển theo tiếp tuyến: M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) PM / O  MT T O M +) Khi M nằm (O) PM / O  0 b Nếu A, B cố định AB AM số khơng đổi, M cố định Khai thác tính chất giúp ta giải toán đường thẳng qua điểm cố định Trục đẳng phương hai đường tròn - Chùm đường tròn 2.1 Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O ; R1 ) (O ; R2 ) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O ) (O2 ) Chứng minh: M O1 H I O2 Giả sử điểm M có phương tích hai đường tròn cho Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có: ( MH  HO12 )  ( MH  HO22 ) R12  R22  ( HO1  HO2 )( HO1  HO2 ) R12  R22  O2O1.2 HI R12  R22  IH  R12  R22 2O1O2 Do H cố định, nên tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng qua H vng góc với O1O2 2.2.Các hệ quả: Cho hai đường trịn (O) (I) Khi 1.Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2.Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng M A O I B 3.Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4.Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn 5.Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 6.Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường trịn O I A M 2.3.Cách xác định trục đẳng phương hai đường tròn Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường trịn Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc T Khi tiếp tuyến chung T trục đẳng phương hai đường tròn Trường hợp 3: Hai đường trịn khơng có điểm chung Dựng đường trịn (O3 ) cắt hai đường tròn ( O1 , O2 , O3 không thẳng hàng) Trục đẳng phương cặp đường tròn (O1 ) (O3 ); (O2 ) (O3 ) cắt K Đường thẳng qua K vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1 ), (O2 ) O3 O1 O2 K 2.4.Chùm đường tròn Tập hợp đường tròn có chung trục đẳng phương gọi chùm đường tròn Định lý bản: Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) tập hợp A {  PM /(O )   PM /(O ) 0} chùm đường tròn Tâm đẳng phương 3.1 Định lý 3.1 Cho đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) cho O1 , O2 , O3 khơng thẳng hàng Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh: Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Oij ) (O ji ) Ta xét hai trường hợp sau a) Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d12 // d23 Ta có d12  O1O2 , d 23  O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13  O1O3 suy d13 // d 23 // d12 b) Giả sử d12 d23 có điểm chung M Khi ta có  PM /  O1  PM /  O2   PM /  O1   PM / O3   M  d13   PM /  O2  PM /  O3  d12 O1 O2 M d23 d13 O3 Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại 3.2.Các hệ 1.Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm 2.Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng 3.Nếu đường trịn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng II Ứng dụng phương tích trục đẳng phương II.1.Ứng dụng phương tích trục đẳng phương chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy, chứng minh đường qua điểm cố định Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy Tuy nhiên số tốn mà giả thiết có xuất nhiều đường trịn việc liên hệ đến trục đẳng phương 1.1.Giả sử cần chứng minh A, B, C thẳng hàng cách sử dụng trục đẳng phương ta cần xây dựng mô hình tốn sau: Hai đường trịn (C1), (C2) có trục đẳng phương đường thẳng d Ta chứng minh PA/(C1 ) PA/(C2 ) ; PB/( C1 ) PB/(C2 ) ; PC/( C1 ) PC/(C2 ) Khi A, B, C thuộc đường thẳng d 1.2.Giả sử cần chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy cách sử dụng tâm đẳng phương ta cần xây dựng đường tròn (C ), (I), (T) cặp nhận a, b, c làm trục đẳng phương a, b cắt K K tâm đẳng phương ba đường trịn Do c qua điểm K 1.3 Giả sử cần chứng minh đường thẳng c qua điểm cố định M ta xây dựng mơ hình tốn theo hướng sau: 1.3.1.Ba đường thẳng a,b, c trục đẳng phương ba cặp đường trịn a, b cố định cắt M, suy c qua M 1.3.2.Nếu A, B cố định AB AM số khơng đổi, M cố định Khai thác tính chất giúp ta giải tốn đường thẳng qua điểm cố định 1.4 Giả sử cần chứng minh đường tròn (C) qua điểm cố định D ta xây dựng mơ hình tốn:Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P , đường trịn (ABC) thay đổi PA.PB PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Một số minh họa Bài (VMO- 2015) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O), BC khơng đường kính Một điểm A thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Cho (I) đường tròn thay đổi qua E, F , I tâm a Giả sử (I) tiếp xúc với B C điểm D Chứng minh DB cot B  DC cot C b Giả sử (I) cắt cạnh BC M, N Gọi H trực tâm tam giác ABC; P,Q giao điểm (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Đường tròn (K) qua P, Q tiếp xúc với (O) T ( T phía A PQ) Chứng minh đường phân giác góc MTN ln qua điểm cố định Lời giải: a.Gọi X, Y giao điểm (I) với BE, CF Xét phương tích với đường trịn (I), ta có BD BX BE; CD CY CF A E O I F Y X B C D  , BXF   Xét BXF ; CYE có XBF YCE nên hai tam giác đồng dạng Suy CYE BX BF cos B BD BX BE cos B sin C cot B       CY CE cos C CD CY CF cos C sin B cot C Hay BD cot B  CD cot C b.Trường hợp tam giác ABC cân A , toán Xét trường hợp tam giác khơng cân A , khơng tính tổng quát, giả sử AB  AC Gọi G giao điểm EF ; BC Xét đường tròn (BHC), (I) đường trịn đường kính BC A T E O F H Q C P B N M G J Ta thấy: +)Trục đẳng phương (BHC), (I) PQ +)Trục đẳng phương (I) đường tròn đường kính BC E F +)Trục đẳng phương (BHC) đường trịn đường kính BC BC Do PQ, E F, BC đồng quy tâm đẳng phương ba đường trịn Ta có GT GP.GQ GM GN nên đường tròn (TMN ) tiếp xúc với đường tròn (O) T    Do đó, ta có GTM (cùng chắn TM đường trịn (K)) GNT    Mặt khác, theo tính chất góc ngồi tam giác NCT GNT NTC  NCT Hơn nữa,     GT tiếp xúc với (O) nên GTB GCT Khi thu BTM CTN    Từ dễ thấy phân giác hai góc MTN trùng hay phân giác góc MTN qua ; BTC  không chứa A J điểm cố định Vậy ta có điều phải chứng minh trung điểm J BC Nhận xét: 1.Trong toán xuất nhiều đường trịn, có đường trịn thay đổi Do với yêu cầu chứng minh đường thẳng qua điểm cố định việc nghĩ đến tâm đẳng phương điều dễ hiểu Tuy nhiên ta giải tốn mà khơng cần có mặt điểm E, F.Xét trục đẳng phương ba đường tròn (BHC), (O), (TPQ) có tiếp tuyến T qua giao điểm BC , PQ ta thu kết toán 2.Vấn đề EF qua G đưa toán khác để khai thác mở rộng Bài (Phát triển VMO 2015).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường trịn ( I ) qua B, C ( J ) đường tròn khác thay đổi cắt BC M, N; cắt ( I ) P, Q Đường tròn qua P, Q tiếp xúc với đường tròn (O) T nằm phía với A so với  BC Chứng minh phân giác MTN qua trung điểm cung BC không chứa A (Nguyễn Văn Linh) Lời giải: Trước hết xét bổ đề hai đường đẳng giác tam giác Bổ đề: Cho tam giác BCT, TM, TN hai đường đẳng giác góc BTC  BM BN BT  CM CN CT (*) Trở lại toán: Gọi ( K ) qua P, Q tiếp xúc với (O) T Kẻ ST tiếp tuyến T đường tròn (O), (K) ST trục đẳng phương (O), (K) PQ trục đẳng phương (I), (K) BC trục đẳng phương (I), (O) Khi ST , PQ, BC đồng quy tâm đẳng phương S ba đường tròn Suy S , P, Q thẳng hàng A H T P' P S B Q K O Q' J N M C I Gọi P ' BP  (J); Q ' CQ  ( J ); H BP  CQ   ' P '  HCB  Ta có HPQ HQ  P ' Q '/ / BC Ta có BST TSC ( g g )  SB ST BT SB BT     ST SC CT SC CT (1) Vì S , P, Q thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt, ta có SB BP HQ  SC HP CQ Mặt khác, P ' Q '/ / BC nên HPQ HCB ( g g )  Suy HQ HB BP '   HP HC CQ ' SB BP.BP ' PB /( J ) BM BN    Theo bổ đề (*) suy TM , TN hai đường đẳng SC CQ.CQ ' PC /( J ) CM CN   giác góc T tam giác BTC  BTM CTM Vậy phân giác góc MTN ln qua trung điểm cung BC không chứa A Bài (Đề thi Olympic Duyên hải Đồng Bắc lớp 12 năm 2015) Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt hai điểm A, B XA, A Y theo thứ tự hai đường kính hai đường trịn I điểm thuộc phân giác XAY cho I khơng thuộc hai đường trịn OI khơng vng góc XY , O trung điểm XY Đường thẳng qua A vng góc AI cắt (O1 ), (O2 ) E , F IX cắt (O1 ) K , IY cắt (O2 ) L a Gọi C giao FE với XI Chứng minh OE tiếp xúc với (CEK ) b Chứng minh EK , FL, OI đồng quy Lời giải: 10 A I E Y d F K H X S B D C M T L Gọi M trung điểm BC, ta có AEH  AFH 900  AEHF nội tiếp đường tròn ( I ; AH ) Lại   có BFC  BEC 900  BCEF nội tiếp đường tròn ( M ; BC )      Suy MEI MEB  IEH 900  CAD  CBE 900  ME  IE  ME  EY  Mặt khác BCY 900  MY đường kính đường trịn ( MCE ) Tương tự ta chứng minh : MX đường kính đường trịn MBF ) Theo IMO 2013 ta có X , Y , H thẳng hàng (1) Hơn ( MBF ) cắt đường tròn (CME ) M, K    MKX MKY 900 , K  XY  AKH  AEH 900  K  ( I ) Suy MK MA ME MB  MK MA MB (2) Gọi L giao điểm AM , (O ) Kẻ TS tiếp tuyến đường tròn (O), T  A  ABTC tứ giác điều hòa Suy    CL   BT CL; MBT   BTA CAM  BT MCL ; BC / /TL  BMT CML(c.g.c)  MT ML Lại có : MB.MC PM /(O ) MA.ML  MA.ML MB (3)  Từ (2) (3) suy MK MT ML Do K , M , L thẳng hàng nên KTL 900 Mặt khác BC / /TL  K đối xứng T qua BC  HK đường thẳng Steiner T với tam giác ABC Do (O), S , d cố định nên A, T xác định Kết hợp (1) ta thấy điểm anti-Steiner XY với tam giác ABC cố định B, C thay đổi Bài 13(VMO-2012).Cho tứ giác ABCD lồi, nội tiếp đường trịn tâm O có cặp cạnh đối không song song Gọi M, N tương ứng giao điểm đường thẳng AB, CD ; AD, BC Gọi P, Q, S,T giao điểm đường phân giác cặp góc         MAN ,MBN ; MBN , NCM ; MCN , MDN ; MDN , MAN Giả sử bốn điểm P, Q, S , T phân biệt a.Chứng minh bốn điểm P, Q, S , T nằm đường tròn tâm I b.Gọi E giao điểm AC, BD Chứng minh O, I, E thẳng hàng Lời giải : 18 b.Trước hết ta chứng minh định lý quen thuộc sau : Định lý Brocard.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AB cắt CD M, AD cắt BC N, AC cắt BD E Khi O trực tâm tam giác MNE N A K O B E D C M Chứng minh định lý : Gọi K giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE , CDE Ta thấy K , E , M thuộc trục đẳng phương hai đường tròn ( ABE ), (CDE )  K , E , M thẳng hàng       Mặt khác ta có BKC BKE  CKE EAB  EDC BOC  OKBC nội tiếp Tương tự tứ giác  OKAD nội tiếp nên K giao điểm thứ hai khác MQ (OBC ), (OAD)  O, K , N nằm trục đẳng phương hai đường tròn Tức O, K , N thẳng hàng           Hơn MKN MKB  NKB EAB  OCB EDC  OCB OKC  EKC MKO Mà   hai góc kề bù, ME  ON MKN , MKO Chứng minh tương tự ta có NE  OM  E trực tâm tam giác OMN  OE  MN  O trực tâm tam giác MNE Vậy định lý chứng minh Trở lại toán : Áp dụng định lý Brocard, với E giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD điểm M, N ta có OE  MN Ta cần chứng minh OI  MN Thật : Theo cách xác định điểm Q, T tâm đường tròn bàng tiếp tam giác BCM , ADM nên chúng phải nằm đường phân giác AMB  M , Q, T thẳng hàng 19 N A S T O B E Q P D C M Mặt khác, tính chất tâm đường tròn bàng tiếp nên 1 1   MQB 900  BCM 900  BAD BAT  ABQT nội tiếp Do MA.MB MQ.MT hay M 2 có phương tích (O), ( I ) Tương tự N thuộc trục đẳng phương (O), ( I )  MN trục đẳng phương (O), ( I ) Suy OI  MN Vậy O, I, E thẳng hàng Nhận xét : 1.Trong câu b, với yếu tố E giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD điểm M, N việc nghĩ đến định lý Brocard điều dễ thấy thu OE  MN 2.Việc chứng minh OE  MN cho ta thấy bước cần chứng minh OI  MN Do O, I tâm đường tron ngoại tiếp tứ giác ABCD, PQTS nên ý tưởng tự nhiên ta chứng minh MN trục đẳng phương hai đường trịn 3.Bài tốn tương tự (Crux Mathematical 2005) Cho tứ giác ABCD lồi, nội tiếp đường tròn tâm O có cặp cạnh đối khơng song song Gọi E t giao điểm hai đường chéo AC, BD Gọi P, Q, S,T giao điểm đường phân giác cặp góc (A,B); (B,C); (C, D); (D,A) ABCD Chứng minh tứ giác PQST nội tiếp đường tròn tâm X O, E, X thẳng hàng, PS  QT II.2.Ứng dụng phương tích trục đẳng phương tốn quỹ tích số tốn chứng minh tính chất hình học khác Giả sử cần tìm quỹ tích điểm M cách dùng kiến thức phương tích trục đẳng phương ta xử lí tình sau: 2.1 Dùng định lý trục đẳng phương: Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1 );(O2 ; R2 ) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) 20