Phuong tich truc dang phuong

Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG - I Phương tích điểm đường trịn (Power of a point) Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB MO  R d  R Chứng minh: A Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có B CB  AM hay B hình chiếu C AM M O C Khi ta có         MA.MB MA.MB MC.MA  MO  OC MO  OA      MO  OA MO  OA  2 MO  OA       OM  OA2 d  R 2 Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB d  R định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu PM/(O) Ta có: PM /  O  MA.MB d  R Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA.PB PC.PD điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA.PB PC.PD , suy PC.PD PC.PD  D D Suy điểm A, B, C D thuộc đường tròn Chú ý: 1) Khi M nằm (O) PM / O  0 2) Khi M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) PM / O  MT Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương A B M O T 3) Nếu A, B cố định AB AM const  M cố định Ý tưởng giúp ta giải toán đường qua điểm cố định II Trục đẳng phương hai đường tròn (Radical axis) – Tâm đẳng phương(Radical center) Trục đẳng phương a) Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh: a) Phần thuận Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường trịn Gọi H hình chiếu M O 1O2, I M trung điểm O1O2 Ta có: PM /  O1   PM /  O2   MO12  R12 MO22  R22  MO12  MO22 R12  R22   MH  HO12    MH  HO2  R12  R22 O1 H  HO12  HO2 R12  R22 O2   HO1  HO2   HO  HO  R 2  R22  O2O1.2 HI R12  R22  IH  R12  R22 O1O2  1 Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1O2 b) Phần đảo Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Các phép biến đổi phần thuận phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng có điều cần chứng minh Vậy tập hợp điểm M có phương tích hai đường tròn đường thẳng qua điểm H (xác định (1)) vng góc với O1O2 b) Các hệ Cho hai đường tròn (O) (I) Từ định lý 2.1 ta suy tính chất sau: 1) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2) Nếu hai đường trịn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 6) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương (Radical Center) a) Định lý 2.2 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Ci) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau a) Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng quát ta giả sử d12 // d23 Ta có d12  O1O2 , d 23  O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13  O1O3 suy d13 // d 23 // d12 b) Giả sử d12 d23 có điểm M chung Khi ta có O3  PM /  O1   PM /  O2   PM /  O1   PM /  O3   M  d13   PM /  O2   PM /  O3  M O1 O2 Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường trịn cịn lại Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương lại b) Các hệ Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng Nếu đường trịn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng Cách dựng trục đẳng phương hai đường trịn khơng cắt nhau: Cho hai đường trịn (O1) (O2) khơng cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn sau: - Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D - Đường thẳng AB CD cắt M - Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1) (O2) (Hình vẽ) M A C O1 O2 O3 D B III Các ví dụ Các tốn phương tích A M C B I O Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có: N Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương P A /  I   AC AB  AM AN  P A /  O  (khơng đổi A, (O) cố định) Suy AC  PA / O AB Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Hướng dẫn Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Vì CD trục đẳng phương (O) (K) nên K ta có: MH MI MC.MD MA.MB H A O B I   MB  BH   MB  BI  MB  MB  BA  MB  BH   MB  BH  MB  MB.BA  MB  BH MB  MB.BA  BM   2 2 BH BA Vì A, B, H cố định suy M cố định Ví dụ (Chọn đội tuyển PTNK 2008): Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hính chiếu A lên d AB AC âm khơng đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Dễ thấy AM AB  AA  AN AC A Suy tứ giác BMNC nội tiếp  AMN  ACB Mà ADB  ACB Nên AMN ADB N Suy MPDB nội tiếp I P Do ta có AP AD  AM AB  AA M B A' Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ C Ta có AP AH  AI AK IN  AA2 D H K Mà A, P, A’ cố định suy H cố định Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ Ví dụ (IMO 95/1) Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Hướng dẫn: Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với P XY Ta cần chứng minh Q Q Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy PM PC PQ.PZ X Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy PQ.PZ PN PB N M Q Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD nên PN PB PX PY PM PC A B Z C D Suy PQ.PZ PQ.PZ  Q Q Vậy XY, AM DN đồng quy Y Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Các tốn trục đẳng phương – Tâm đẳng phương Ví dụ Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường trịn C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy b) Đường trịn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Hướng dẫn a) Ta có CA.CD CH CB.CE , suy ADEB nội tiếp Xét đường tròn (ADEB), (O) đường tròn đường kính CH, DE, AB CF trục đẳng phương cặp đường tròn nên chúng đồng quy b) Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên C P D E Q A O H B M OC  PQ Ta dễ thấy OD  DE Hơn H tâm đẳng phương ba đường trịn (O), ( C) đường trịn đường kính CH Suy PQ qua H Vậy DE, PQ qua H vng góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hàng Ví dụ (MOP 95) Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt tai H M trung điểm BC, N giao điểm DE BC Chứng minh NH vng góc với AM Hướng dẫn Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương A D O E H j N I B Ta có F M C     DEH DAH DBC FEH      FED 2.FEH 2.DBC DMC Suy tứ giác EDMF nội tiếp Từ ta có NE.ND NF NM , suy N nằm trục đẳng phương đường trịn đường kính MH đường trịn đường kính AH Mặt khác H giao điểm (O) (I), suy NH trục đẳng phương (O) (I) Suy NH  OI , rõ rang OI // AM, NH  AM Ví dụ (India, 1995) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi P điểm bên tam giác ADE, F G giao DE với BP CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai Q Chứng minh AQ  OI Hướng dẫn A P N M E D B F G C Gọi M giao điểm thứ hai AB (PDG), N giao thứ hai AC (PFG)     Ta có AMP PGD PGD (đồng vị), suy AMP PCB , suy BMPC nội tiếp PCB Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp Suy BMNC nội tiếp, suy AM AB  AN AC Mà AD AE  (Định lý Thalet) AB AC Suy AM AD  AN AE Do A thuộc trục đẳng phương PQ (PDG) (PEF) suy AQ  OI Ví dụ (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn khơng phải tam giác cân nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho vng góc với OA ln cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm d AB, AC Giả sử BN CN cắt K, AK cắt BC a) Gọi P giao AK BC Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP ln qua điểm cố định b) Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH qua trực tâm tam giác ABC, từ suy ra: l  4R2  a2 Hướng dẫn A L Z X H Q N Y J I O M K Q B P D C a) Gọi Q giao điểm MN BC, E trung điểm BC Xét tứ giác BMPC ta biết Q, P, B, C hang điểm điều hòa Suy (QPBC) = - Khi ta có: 2 EP.EQ EB , suy QE.QP QE  QE.PE QE  EB OQ  OB QB.QC Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương   Mà tứ giác BMNC nội tiếp có NCB xAB  AMN (Ax tia tiếp tuyến (O)) Suy QM QN QB.QC Từ suy QM QN QP.QE , suy tứ giác MNIP nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm E cố định b) Giả sử đường cao AD, BF CJ tam giác ABC cắt I; ba đường cao MX, AY, NZ tam giác AMN cắt H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng Xét đường trịn tâm (O1) đường kính BN tâm (O2) đường kính CM Ta thấy: KC.KM KB.KN IC.IJ IB.IF HM HX HN HZ Suy K, I, H thuộc trục đẳng phương (O1) (O2) nên thẳng hang Từ suy AL  AI Mà AI 2.OE 2 R  BC  4R2  a2 Nên AL l  R  a IV Bài tập Cho đường tròn (O) A, B hai điểm cố định đối xứng qua O M điểm chuyển động (O) MA, MB giao với (O) P Q Chứng minh rằng: a) b) a) b) AM BM  nhận giá AP BQ trị không đổi (Thi vào trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2003 – 2004) Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN ln qua điểm cố định khác O Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm đường tròn I điểm di động (d) Đường tròn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua hai điểm A B CM CM’ hai tiếp tuyến (O) Chứng minh rằng: M M’ thuộc đường tròn cố định Trung điểm H MM’ thuộc đường cố định 10 Các chuyên đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1) (O2) cố định tiếp xúc M bán kính (O2) lớn bán kính (O2) Một điểm A di chuyển (O2) cho điểm O1, O2 A không thẳng hàng Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O1) (B, C hai tiếp điểm) Đường thẳng MB MC cắt đường tròn (O 2) E F Gọi giao điểm EF với tiếp tuyến A (O 2) D Chứng minh D di chuyển đường cố định A thay đổi (O2) mà O1, O2 A không thẳng hàng Cho đường trịn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vng góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định Cho tam giác ABC đường cao AH thỏa AD = BC Gọi H trưc tâm tam giác, M N trung điểm BC AD Chứng minh HN = HM Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm AB CD Chứng minh MN  HK (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB D, E, F X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BD D, tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh EF, YZ BC đồng quy (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác dựng tam giác cân DBC, EAC, FAB có đỉnh D, E, F Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vng góc với EF, FD DE đồng quy 10 F điểm cạnh đáy AB hình thang ABCD cho DF = CF E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi (O1), (O2) đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF BCF Chứng minh EF  O1O2 11 (IMO 1994 Shortlist) Một đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng song song d1 d2 Đường tròn thứ hai (C1) tiếp xúc với d1 A tiếp xúc với (C) C Đường tròn thứ (C2) tiếp xúc với d2 B tiếp xúc với (C) D tiếp xúc với (C) E Gọi Q giao điểm AD BC Chứng minh QC = QD = QE 12 Cho tam giác ABC Dựng hình vng DEFG nội có đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phương hai đường tròn (ABD) (ACE) Các đường thẳng dA, dB xác định tương tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy 11 Các chun đề hình học phẳng Phương tích – Trục đẳng phương 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC, M’ giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M cắt đường thẳng qua M vng góc với AO X Y, Z xác định tương tự Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Lời kết Kiến thức phương tích trục đẳng phương đơn giản dễ hiểu, nhiên có ứng dụng nhiều thường cho lời giải hay tốn chứng minh vng góc, thẳng hàng hay toán đồng quy… 12