ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TỈNH NAM ĐINH NĂM 2023-2024 MƠN TỐN CHUN Bài y z =1 + + = Chứng minh x y z a) Cho x , y , z ba số thực khác thỏa mãn: x + + rằng: x 2+ y2 z2 + =1 b) Cho f ( n )=¿ với n số nguyên dương Tính giá trị biểu thức: √2 n+1+ √ n−1 S=f ( ) +f ( ) + f (3 )+ …+ f (40) Bài a) Giải phương trình ( √ x −1+ )=x + √ x +2 x + y 2=xy + x− y +2 b) Giải hệ phương trình 3 x + y = y ( x + y + 4) + x { Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm đoạn AH, đường thẳng EF cắt đường tròn (O) P, Q cắt đường thẳng BC S cho P nằm S F Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMN hình bình hành b) A P2= A Q2= AE ∙ AC Tứ giác DMEF nội tiếp FP QE = PS ES Bài a) Cho hai số nguyên dương a , b thỏa mãn a ⋮ b ; b3 ⋮ a Chứng minh ( a +b ) ⋮ ab Tìm tất cặp số nguyên ( x ; y) thỏa mãn x ( x 2− y ) + ( y−3 ) ( x +1 )=0 Bài a) Cho số thực x ; y ; z thỏa mãn ≤ x , y , z ≤ Chứng minh rằng: x y + y x+ z x+16 ≥ x y + y z 2+ z x Ban đầu bảng viết 2023 số thực Mỗi lần biến đổi số bảng việc thực sau: Chọn hai số a , b bảng, xóa hai số viết thêm bảng số a+b Giả sử ban đầu bảng ghi 2023 số ta thực liên tiếp biến đổi bảng lại số, chứng minh số lớn Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 1 211 Trang ĐÁP ÁN NAM ĐỊNH TOÁN CHUYÊN 2023 Bài y z c) Cho x , y , z ba số thực khác thỏa mãn: x + + =1 + + = Chứng minh x y z y2 z2 + =1 d) Cho f ( n )=¿ với n số nguyên dương Tính giá trị biểu thức: √2 n+1+ √ n−1 S=f ( ) +f ( ) + f (3 )+ …+ f (40) rằng: x 2+ Hướng dẫn y z =1 + + = Chứng minh rằng: x y z a) Cho x , y , z ba số thực khác thỏa mãn: x + + x+ y2 z2 =1 + Bằng cách quy đồng mẫu số ta được: + + ⇒ yz +2 zx +3 xy=0(1) x y z Lại có: ( y z y z2 xy yz zx x + + =x + + +2 + + ) ( ) y z xy + yz +2 xz + + =1(2) y2 z2 Kết hợp (1) (2) ta được: x 2+ + =1 b) Cho f ( n )=¿ với n số nguyên dương Tính giá trị biểu thức: √ n+1+ √ n−1 S=f ( ) +f ( ) + f (3 )+ …+ f (40) ¿x + Biến đổi: √2 n+1+ √ n−1 2( √ 2n+1−√ 2n−1) ¿ ¿ ( n+1 )−(2 n−1) f ( n )= ¿ √ n+ 1−√ n−1 Như vậy: S=f ( ) +f ( ) + f (3 )+ …+ f (40) ¿ ( √ 3− √1 ) + ( √ 5−√3 ) + ( √ 7− √ ) + …+ ( √ 81−√ 79 ) ¿ √ 81−√ 1=9−1=8 Vậy giá trị S=8 Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang Bài c) Giải phương trình ( √ x −1+ )=x + √ x +2 d) Giải hệ phương trình { x + y 2=xy + x− y +2 x3 + y = y ( x + y + ) + x Hướng dẫn a) Giải phương trình ( √ x −1+ )=x + √ x +2 Điều kiện tồn phương trình: x ≥ Biến đổi: ( √ x −1+ )=x + √ x +2 ⇔ ( √ x+ 1−√ x+2 )−( x−2 ) =0 x−6 −( x−2 )=0 √ x−1+ √ x +2 ⇔ ( x−2 ) −1 =0 √ x −1+ √ x +2 x=2 ⇔ √ x−1+ √ x+ 2=3(¿) ⇔ [ ] [ Từ (*) suy ( √ x −1+ √ x +2 )2=9 ⇔5 x−2+4 √ x + x−2=9 ⇔ √ x 2+ x−2=11 ⇒16 ( x + x−2 )= (11−5 x )2 ¿ Giải (**) cho hai nghiệm x=7−4 √ x=7+ √ Thay nghiệm vào (*) x=7+ √ khơng thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x=2 ; x=7−4 √2 x + y 2=xy + x− y +2 b) Giải hệ phương trình 3 x + y = y ( x + y + 4) + x Hệ phương trình ⇔ ¿ Thế (1) (2) ta được: ( x + y ) ( x− y+ )=xy + y +4 y+ x ⇔ x 2−xy −2 y + x−2 y=0 ⇔ ( x−2 y )( x + y +1 )=0 ⇔ x=2 y x=− y −1 Với x=2 y , thay vào (1) ta có: y=1 y 2−2 y 2+ y 2= y +2 ⇔ y 2− y−2=0 ⇔ −2 y= Khi ( x ; y )=( ;1 ) ( x ; y )=¿ Với x=− y −1, vào (1) ta được: y=0 ( y +1 )2 + ( y +1 ) y+ y2 =− y−1− y+ 2⇔ y 2+5 y=0 ⇔ −5 y= Khi ( x ; y )=(−1 ; 0) x ; y ¿= ; 3 −4 2 ;− , (−1 ; ) , ; Vậy hệ cho có nghiệm ( x ; y )=∈ ( ;1 ) , 3 3 { [ [ [ ( ) { ( ) ( )} Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang CF đồng quy H Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm đoạn AH, đường thẳng EF cắt đường tròn (O) P, Q cắt đường thẳng BC S cho P nằm S F Chứng minh rằng: c) Tứ giác AOMN hình bình hành d) A P2= A Q2= AE ∙ AC e) Tứ giác DMEF nội tiếp FP QE = PS ES Hướng dẫn Hình vẽ A Q E N F O H P C B S D M K a) Tứ giác AOMN hình bình hành Kẻ đường kính AK (K nằm đường trịn (O)) Khi AC ⊥CK ; BK ⊥ AB Dễ dàng suy BK /¿CH CK /¿ BH (cùng vng góc với đường thẳng) Từ suy BHCK hình bình hành Vì M trung điểm BC nên M ∈ HK MH =MK Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang Tam giác AHK có M N trung điểm HK AH nên MN đường trung bình △ AHK Suy MN /¿ AO MN = AK =AO Vậy AOMN hình bình hành b ¿ A P2= A Q 2= AE ∙ AC Tam giác AFH vuông F suy FN=NH Tương tự, △ AEH vuông E nên NE=NH Như NF =NE (1) Lại có △ BFC △ BEC vng F E, có đường trung tuyến MF ME Do MF=ME= BC (2) Từ (1) (2) suy MN trung trực EF Suy EF ⊥ MN (3) Lại có MN /¿ AO, kết hợp với (3) suy AO ⊥ EF hay AO ⊥ PQ Suy A điểm cung PAQ, suy AP= AQ hay cung AQ cung AP Mặt khác, ^ AQP= ^ APQ= ^ ACQ (các góc nội tiếp chắn cung nhau) Nên △ AQC ∽ △ AEQ Suy AE AQ = ⇒ AE ∙ AC =A Q AQ AC Vậy A P2= A Q2= AE ∙ AC FP QE = PS ES Tứ giác BFEC nội tiếp suy ^ AEF= ^ ABC Tam giác EMC cân M nên ^ MEC= ^ ACB c) Tứ giác DMEF nội tiếp Suy ^ FEM =1800− ^ AEF− ^ MEC=180 0− ^ ABC− ^ AC B= ^ BAC Tứ giác DFAC nội tiếp nên ^ FDM + ^ BAC=1800 Suy ^ FEM =^ FDM =1800 Vậy tứ giác DMEF tứ giác nội tiếp Hai tam giác SDF SEM có: ^ SDF= ^ SEM ; chung ^ DSF nên chúng đồng dạng Suy SD SE = hay SD∙ SM =SE ∙ SF SF SM Từ tứ giác BFEC nội tiếp, ta suy SE∙ SF=SB ∙ SC , tứ giác BCQP nội tiếp ta có SB∙ SQ=SP∙ SQ SF SQ = SP SE SF SQ SF−SP SQ−SE PF EQ −1= −1 hay = ⇒ = Vậy SP SE SP SE PS SE Suy SP∙ SQ=SE∙ SF ⇒ Bài Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang b) Cho hai số nguyên dương a , b thỏa mãn a ⋮ b ; b3 ⋮ a Chứng minh ( a +b ) ⋮ ab c) Tìm tất cặp số nguyên ( x ; y) thỏa mãn x ( x 2− y ) + ( y−3 ) ( x +1 )=0 Hướng dẫn a) Cho hai số nguyên dương a , b thỏa mãn a ⋮ b ; b3 ⋮ a Chứng minh ( a +b ) ⋮ ab Vì a ⋮ b nên a a ⋮ b a hây a ⋮ab Tương tự, b ⋮ a nên b b ⋮ a b hay b ⋮ ab Từ suy (a +b )⋮ ab b) Tìm tất cặp số nguyên ( x ; y) thỏa mãn x ( x 2− y ) + ( y−3 ) ( x +1 )=0 Từ đề x ( x 2− y ) +( y −3)( x2 +1)=0 ta rút y= −x +3 x2 +3 x +1 =− x+2+ 2 x −x +1 x −x+ (Vì x 2−x +1>0 với x ¿ Khi x nguyên, để y nguyên thì(3 x+ 1) ⋮(x 2−x+ 1) đó; ( x+ )2=( x 2+ x +1 ) =9 ( x 2−x +1 ) +(15 x−8)⋮ ( x2 −x+1 ) hay (15 x−8)⋮(x2 −x+1) Suy 3=[ ( x+1 ) −(15 x−8) ] ⋮(x 2−x+ 1) Như vậy: x 2−x +1=13 ⇒ x 2−x−12=0⇒ x=−3 x=4 Với x=−3 y= 57 (khơng ngun); với x=4 y=−1 (nguyên) 13 x 2−x +1=1 ⇒ x 2−x=0 ⇒ x=0 Với x=0 y=3 (nguyên); với x=1 y=5 (nguyên) Thử lại thấy nghiệm thỏa mãn Vậy có cặp ( x ; y) thỏa mãn yêu cầu toán (0; 3), (1;5) (4; -1) Bài b) Cho số thực x ; y ; z thỏa mãn ≤ x , y , z ≤ Chứng minh rằng: x y + y x+ z x+16 ≥ x y + y z 2+ z x c) Ban đầu bảng viết 2023 số thực Mỗi lần biến đổi số bảng việc thực sau: Chọn hai số a , b bảng, xóa hai số viết thêm bảng số a+b Giả sử ban đầu bảng ghi 2023 số ta thực liên tiếp biến đổi bảng lại số, chứng minh số lớn 211 Hướng dẫn a) Cho số thực x ; y ; z thỏa mãn ≤ x , y , z ≤ Chứng minh rằng: x y + y x+ z x+16 ≥ x y + y z 2+ z x Ta có: x y + y z+ z x+16 ≥ x y + y z 2+ z x ⇔ x y+ y z + z x +16− x y 2− y z 2−z x ≥ Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang ⇔ ¿ x− y ¿ ( x−z)( y −z)+16 ≥ Ta có bất đẳng thức: ab ≥− ( a−b ) , ∀ a , b ∈ R ab ≤ ( a+b )2 ,∀a,b∈R 4 Trường hợp 1: Nếu x ≥ y ta có ( x−z ) ( y−z ) ≥− ( x− y ) 4 3 nên ( x− y ) ( x−z ) ( y −z )+ 16 ≥− ( x− y ) +16 ≥− +16 ≥ Trường hợp 2: Nếu y > x ta xét Trường hợp 2.1: Nếu y ≥ z , ta có ( x− y ) ( x−z ) ≥− ( y−z ) 4 3 nên ( x− y ) ( x−z ) ( y −z )+ 16 ≥− ( y−z ) +16 ≥− +16 ∓ Trường hợp 2.2: Nếu y < z , ta có: ( x− y ) ( x−z ) ( y −z )+ 16=( y −z )( x−z ) ( x− y )=16 Kết hợp với ( y−x ) ( z− y ) ≤− ( z−x ) x< y< z Ta được: ( y−x ) ( x−z ) ( z − y )+ 16 ≥ ( z−x ) ( x −z )+16= −1 ( z−x )3 +16 ≥ Vậy với trường hợp ( x− y ) ( x−z ) ( y −z )+ 16 ≥0 hay x y + y z+ z x+16 ≥ x y + y z 2+ z x b) Ban đầu bảng viết 2023 số thực Mỗi lần biến đổi số bảng việc thực sau: Chọn hai số a , b bảng, xóa hai số viết thêm bảng số a+b Giả sử ban đầu bảng ghi 2023 số ta thực liên tiếp biến đổi bảng cịn lại số, chứng minh số lớn 211 Trước hết ta thấy bảng số dương Thật vậy, ta sử dụng quy nạp Ban đầu có 2023 số số dương Giả sử sau lần biến đổi thứ i, bảng số dương Đến bước biến đổi thứ i + 1: Ta chọn hai số a , b bảng (theo giả thiết quy nạp a , b> 0, ta xóa hai số viết thêm số a+b số dương Vậy, số viết bảng số dương Gọi T i tổng nghịch đảo số thực lại bảng sau bước biến đổi thứ i (T tổng nghịch đảo số thực bảng chưa thực bược biến đổi nào) thì: Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang Ở bước thứ i ta có tổng T i Đến bước thứ i + ta xóa hai số a , b viết lên bảng số a+b ta có tổng T i+1 và: T i+1=T i− ( 1a + 1b )+ a+1 b −( a−b )2 ≤ (Vì a , b lớn 0) Suy T i+1−T i= ab( a+b) Như vậy: T 2022 ≤ T 2021 ≤… ≤ T Ban đầu, ta có bảng 2023 số nên T 0=2023 Sau 2022 bước ta bảng số x x Khi T 2022= ≤T 0=2023 Vì ban đầu số bảng 1, bước xóa bỏ thay thể sử dụng phép toán cộng chia, nên sau bước thay số bảng lại tất số số dương Như x >0 1 Từ ta có x ≥ 2023 ≥ 2048 ≥ 11 Bộ đề luyện tuyển 10 năm 2023 Trang