Nv 73 gv tự luận công thức lg

BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC Bài CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Dạng tốn Dạng tốn áp dụng cơng thức cộng •cos  a  b  cos a.cos b  sin a.sin b •cos  a  b  cos a.cos b  sin a.sin b •sin  a  b  sin a.cos b  cos a.sin b •sin  a  b  sin a.cos b  cos a.sin b tan a  tan b • tan  a  b    tan a tan b tan a  tan b • tan  a  b    tan a tan b Bài Tính giá trị biểu thức 0 0 a/ A cos 32 cos 28 – sin 32 sin 28 0 0 b/ B cos 74 cos 29  sin 74 sin 29 0 0 c/ C sin 23 cos  sin cos 23 0 0 d/ D sin 59 cos14  sin14 cos 59 5 7 5 7 G cos cos  sin sin 18 18 g/ 0 0 e/ E cos 220 cos170  sin 220 sin170 Lời giải A cos 320 cos 280 – sin 32 sin 280 cos  32  280  cos 600  a/ b/ B cos 740 cos 290  sin 740 sin 29 cos  74  290  cos 450  C sin 230 cos  sin cos 230 sin  230   sin 30  c/ d/ e/ D sin 590 cos140  cos 590 sin140 sin  590  140  sin 450  E cos 2200 cos1700  sin 2200 sin1700 cos  2200  1700  cos 3900 cos  360  300  cos 300  G cos 5 7 5 7   5 7  cos  sin sin cos    cos  18 18  18  g/ Lưu ý Xét mối quan hệ tổng, hiệu góc lượng giác cho biểu thức xem tổng ( hiệu ) có = giá trị đặc biệt không Bài a) Cho cos      m  cos      n b) Cho tan      m Tính B tan  tan  tan      n Tính tan 2 Lời giải a) Áp dụng cơng thức cộng, ta có Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC cos  cos   sin  sin  m  tan  tan  m n m     tan  tan   cos  cos   sin  sin  n  tan  tan  n mn b) tan       tan      mn tan 2 tan                 tan      tan       mn Dạng toán Dạng toán áp dụng công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Cơng thức nhân đơi •cos 2 cos   sin  2 cos   1  2sin  •sin 2 2sin  cos  tan  • tan 2   tan  Công thức hạ bậc  cos 2 •cos    cos 2 •sin   Bài 1.Tính giá trị lượng giác cung 2 trường hợp sau  cos   ,    a) Biết  sin   ,     b) Biết Lời giải Lời giải Ta có: Ta có: 2 4   3  3   1 sin    cos            cos    sin             5  5   2  4 Khi Khi 24 3 sin 2 2sin  cos  2  sin 2 2sin  cos  2  5 25 2 2 7 1 cos 2 2 cos  2      4  4 cos 2 2 cos  2     25  5 sin 2 4 tan 2     cos 2 sin 2 tan 2    cos 2 4 7 cos 2 7 cot 2    sin 2 12 cos 2 cot 2    sin 2 3 2 Dạng toán Dạng toán áp dụng công thức nhân ba sin 3 3sin   4sin  cos 3 4 cos   3cos  Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC Bài Rút gọn biểu thức sau: sin   sin 3 a) cos   cos 3 cos   cos 3 b) sin   sin 3 Lời giải a) sin    sin   sin  cos  sin   sin 3 sin   3sin   4sin  3sin   3sin      cot  cos3   cos 3 cos3   cos3   3cos   3cos3   3cos  cos    cos   cos  sin  b) cos   cos 3 cos    cos   3cos   cos   cos  4cos    cos   cos  sin      tan  sin   sin 3 sin    3sin   4sin   4sin   4sin  4sin    sin   sin  cos  Dạng tốn Dạng tốn áp dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng Cơng thức biến đổi tích thành tổng • cos a cos b   cos  a  b   cos  a - b   •sin a cos b   sin  a  b   sin  a - b   •sin a sin b -  cos  a  b  - cos  a - b   Bài Biến đổi thành tổng a) cos x.cos x Cơng thức biến đổi tổng thành tích u v u v cos 2 u v u v •cos u  cos v  sin sin 2 u v u v •sin u  sin v 2sin cos 2 u v u v •sin u  sin v 2 cos sin 2 •cos u  cos v 2 cos b) cos 3x.sin x d) sin x.sin x Lời giải c) sin x.cos x 1 cos x.cos x   cos  x  x   cos  x  x     cos x  cos x  2 a) b) c) cos x.sin x sin x.cos x  sin x.cos x  1  sin(2 x  x)  sin(2 x  x)    sin x  sin x  2 1  sin(4 x  x)  sin(4 x  x)    sin x  sin 3x  2 1 1  cos(3x  x)  cos(3 x  x)    cos8 x  cos x  2 d) Bài 2.Biến đổi biểu thức sau thành tích nhân tử sin x.sin x  a) A cos x  cos x c) C sin x  sin x Vũ Thị Như: b) B cos x  cos 3x d) D sin x  sin x Lời giải SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC a) b) c) A cos x  cos 3x 2 cos x  3x x  3x cos 2 cos x.cos x 2 B cos x  cos 3x  sin C sin x  sin x 2 sin x  3x x  3x 7x x sin  sin sin 2 2 2x  x 2x  x 3x x cos 2sin cos 2 2 x  3x x  3x sin 2 cos x.sin x 2 d)     sin      sin     3  3  Bài 3.Rút gọn Lời giải D sin x  sin 3x 2 cos   sin      3                             3  sin   3  2cos  sin  sin  sin     2cos  2 3  Dạng toán 5: Chứng minh đẳng thức, đơn giản biểu thức lượng giác chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt công thức lượng giác Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Bài Chứng minh với góc lượng giác  làm cho biểu thức xác định sin   cos    cos 4 8 b) cos 4 sin   cos4    4 a)  sin 2  cot (   ) c)  sin 2 Lời giải a) Ta có b) Ta có sin   cos   sin   cos    2sin  cos  1   cos 4 cos 4 sin 2 1    4 sin   cos   sin     cos    3sin  cos   sin   cos    3sin  cos   sin   cos    sin   cos    3sin  cos  1  3  2sin  cos   1  sin 2 1    cos 4  4   cos 4 8 c) Ta có  sin 2 sin   cos   2sin  cos   sin   cos      sin 2 sin   cos   2sin  cos   sin   cos   Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC       cos      cos       4       cot      4       2sin      sin           Bài Chứng minh 2 a) sin(   ).sin(   )  sin   sin  b) sin   sin  cos      tan      cos   sin  sin      Lời giải a) Ta có sin(   ).sin(   )    cos 2  cos   1  2sin      2sin    sin   sin    sin    sin       sin      sin   sin      VT   cos   cos    2   1 cos       cos    2   cos       2 b) Ta có  2sin      cos     tan      VP  2cos      cos     Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x ĐPCM  2   2  A cos   cos      cos        a)    3      B cos     cos      cos     cos     3  4 6     b) Lời giải  2   2  A cos   cos      cos        a) Ta có: 1  4   4     cos 2  cos   2   cos   2   2     1 4     cos 2  cos cos 2   2   b) Vì nên ỉ 3p ỉ p÷    cosỗ a+ ữ a+ ữ ữ= - sinỗ cos      sin     ç ç ÷ ç ç è 4ø è 4÷ ø  3 6       3      B cos     cos      cos     cos     3  4 6                cos            cos     cos    3    4 3 4  cos     2 cos  sin sin    4 2 2 Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC Bài Đơn giản biểu thức sau: a) A     cos  a    cos  a   3 3  B  a cot a  cot b) cos a  cos 2a  cos 3a sin a  sin 2a  sin 3a Lời giải A a)  cos a  cos 3a   cos 2a  2cos 2a cos a  2cos 2a  2cos 2a  cos a 1 cot 2a  sin a  sin 3a   2sin 2a 2sin 2a cos a  2sin 2a 2sin 2a  cos a 1      cos  a    cos  a   2 cos a cos cos a 3 3   b) Ta có a  a a a a sin cos a  cos sin a sin   a   sin a cos a  2 2  cot a  cot     a a a a sin a sin sin a sin a sin sin a sin sin a sin 2 2 cos cos a sin 2a  sin a cos a   sin a Suy Bài Chứng minh B     sin 3 3sin   4sin  4sin  sin     sin     3  3  a) b) sin    1    3sin   3n  sin n   3n sin n  sin   3 4  Lời giải a) Ta có sin 3 sin  2    sin 2 cos   cos 2 sin  2sin  cos   cos 2 sin  2sin    sin      2sin   sin  3sin   4sin  (1) 1 2      4sin  sin     sin      4sin   cos  cos   2   2 3  3   Mặt khác   1   2sin     cos 2  2sin     2sin     2  3sin   4sin  (2) Từ (1) (2) suy ĐPCM b) Theo câu a) ta có Do sin   Vũ Thị Như: 3sin sin 3 3sin   4sin   sin   3sin   sin 3       sin  3sin  sin 3sin n  sin n   3 , ,sin   3 , sin  n 4 SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC 3sin Suy VT        sin  3sin  sin 3sin n  sin n  3   3n  3 3 4 sin    3n   3n   3n sin   sin   VP    4 3n  ĐPCM 3sin Dạng tốn 6: Tìm GTLN, GTNN biểu thức lượng giác Phương pháp: - Sử dụng đánh giá -1 ≤ sin x ≤ 1; -1 ≤ cos x ≤ với giá trị x - Đưa biểu thức dạng at + bt + c ( t = sin x t = cosx) đánh giá giá trị lớn nhỏ Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức sau: a) P = sinx – b) Q = cos( x - π )+3 Lời giải a) Ta có -1 ≤ sin x ≤ , ∀ x ∈ R nên -3 ≤ sin x ≤3 ⇒ -5 ≤ 3sin x – ≤ ⇒ -5 ≤ P ≤ P = - sinx = -1; P = sinx = Vậy giá trị nhỏ P -5 ; giá trị lớn P π π b) Ta có : -1 ≤ cos( x - )≤ ⇒ 1≤ cos( x - ) + ≤ ⇒ ≤ Q ≤ 3 π π Q = cos( x - ) = -1; Q = cos( x - ) = 3 Vậy giá trị nhỏ Q 1, giá trị lớn Bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức sau: 4 b) B sin x  cos x a) A sin x  cos x Lời giải a) Ta có A2  sin x  cos x  sin x  cos x  2sin x cos x 1  sin x Vì sin x 1 nên A 1  sin x 1 1 2 suy   A  Khi x  3 x  A  , A  Do max A  A  2 2   cos x    cos x   cos x  cos x  cos x  cos x B        2 4     b) Ta có  cos 2 x   cos x     cos x 4 4 1   cos x 1 B 1 Vì  cos x 1 nên 4 suy cos x  Vậy max B 1 cos x 1 Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y 2 cos x  sin x B  Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC Lời giải Ta có y 2 cos x  sin x 2   2sin x   sin x 2  3sin x 2 Ta lại có sin x 1   3sin x   2  3sin x  Vậy ymax 2  sin x 0  x k  ymin   sin x 1  cos x 0  x   k Dạng toán 7: Chứng minh đẳng thức lượng giác tam giác , nhận diện tam giác Phương pháp: - Áp dụng công thức lượng giác vào trình biến đổi biểu thức - Trong tam giác ta ln có số đo góc > o < 180o tổng góc = 180 o ta thường vận dụng linh hoạt cơng thức góc bù nhau, góc phụ Bài Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A  sin B  sin C 4 cos A B C cos cos 2 2 2 b) sin A  sin B  sin C 2(1  cos A cos B cos C ) c) sin A  sin B  sin 2C 4sin A sin B sin C Lời giải a) VT 2sin A B A B C C cos  2sin cos 2 2 Mặt khác tam giác ABC ta có Suy sin A  B  C   A B  C   2 A B C C AB cos , sin cos 2 2 VT 2 cos Vậy 4 cos C A B A B C C A B AB  cos  cos cos 2 cos  cos  cos  2 2 2 2  C A B cos cos VP  2 ĐPCM  cos A  cos B cos A  cos B VT     cos C 2   cos C 2 b) 2  cos  A  B  cos  A  B   cos C Vì A  B  C   cos  A  B   cos C nên VT 2  cos C cos  A  B   cos C cos  A  B  2  cos C  cos  A  B   cos  A  B   2  cos C.2 cos A cos B 2(1  cos A cos B cos C ) VP  ĐPCM c) Vì VT 2sin  A  B  cos  A  B   2sin C cos C A  B  C   cos C  cos  A  B  , sin  A  B  sin C nên VT 2sin C cos  A  B   2sin C cos  A  B  2sin C  cos  A  B   cos  A  B   Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC 2sin C   2sin A sin   B   4sin A sin B sin C VP  ĐPCM ABC Bài Chứng minh tam giác khơng vng ta có: a) tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C b) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A 1 Lời giải a) Đẳng thức tương đương với tan A  tan B tan A.tan B.tan C  tan C  tan A  tan B tan C  tan A tan B  1  * Do tam giác ABC không vuông nên  tan A tan B   Suy  *  A B   cos  A  B  sin A sin B sin A sin B  cos A cos B  1  0 cos A cos B cos A cos B cos A cos B tan A  tan B tan A  tan B tan C   tan C  tan  A  B   tan C tan A tan B  1  tan A tan B Đẳng thức cuối A  B  C   ĐPCM A  B  C   cot  A  B   cot C b) Vì Theo cơng thức cộng ta có: 1 1  tan A tan B cot A cot B  cot  A  B     cot A cot B  1 tan  A  B  tan A  tan B cot A  cot B  cot A cot B cot A cot B   cot C  cot A cot B   cot C  cot A  cot B  Suy cot A  cot B Hay cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A 1 ĐPCM Bài 3: Chứng minh tam giác thỏa mãn hệ thức sau tam giác vng cân sin B tan B sin B 2cos A  a) sin C b) tan C sin C Lời giải: sin B 2cos A ⟺ a) ta có sin C sinB = cosA.sinC ⟺ sinB = sin(A+C) – sin(A – C) ⟺ sinB = sin ( π−B ¿ – sin ( A – C) ( A + B + C = π ) ⟺ sin B = sin B – sin ( A – C) ⟺ sin (A – C ) = ⟺ A–C=0 ⟺A=C Vậy tam giác ABC cân By tam giác ABC cân Bi B b) đk: cosB ≠ 0, cos C≠ tan B sin B  ⟺ sin B cos C = sin B tan C sin C sin C cos B sin C ⟺ sinB.cosC.sin2C= sin2B.sinC.cosB ⟺ sinB.sinC ( sinC.cosC – sin B.cosB ) = ⟺ sin 2C – sin2B = ⟺ cos( B + C) sin ( B –C ) = o ⟺ cos ( B+C )=0 ⟺ B+C=90 sin ( B−C )=0 B−C=0 [ [ ⟺ tam giác ABC vuông A tam giác ABC cân A [ Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73 BÀI GIẢNG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NG TỰ LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC N CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC C LƯỢNG GIÁC NG GIÁC Vũ Thị Như: SP PB lần : NV 73 n : NV 73