HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Dạng 1: Hệ phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: a1 x b1 y c1 a x b2 y c2 Là hệ phương trình có dạng: (1) (2) Trong x , y hai ẩn, chữ lại hệ số Phương pháp: + Phương pháp rút + Phương pháp cộng đại số + Phương pháp sử dụng định thức (thường dùng toán chứa tham số) Câu Giải hệ phương trình sau: (1) x y 10 x y 2 (2) Cách 1: Phương pháp Từ (1) ta có y 10 x thay vào (2) ta được: x 10 x 2 3x 18 x 6 y 10 4 6; Vậy hệ phương trình có nghiệm Cách 2: Phương pháp cộng đại số Lấy (1) + (2) vế theo vế ta có: y 12 y 4 Thay y 4 vào (1) ta 10 x x 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm Cách 3: Sử dụng định thức 1 D 3 Ta có: Dx 10 18; Dy 6; 10 12 2 1 Vậy hệ có nghiệm nhất: Dx Dy 18 12 ; ; 6; D D 3 Câu Giải hệ phương trình sau: (1) x y 12 (2) x y 4 Hướng dẫn giải: Lấy 3.(2) (1) ta 0 (luôn x, y ) Trang -1- Câu Giải hệ phương trình sau: (1) x y 9 x y 16 (2) Hướng dẫn giải: Cách 1: Phương pháp Từ (2) ta có y 5 x 16 thay vào (1) ta được: 73 x x 16 9 22 x 64 9 x 22 73 13 y 5 16 22 22 73 13 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm 22 22 Cách 2: Phương pháp cộng đại số (3) x y 9 x y 9 (4) x y 16 20 x y 64 Lấy (3) (4) vế theo vế ta có: 22 x 73 73 73 y 9 x 22 thay vào (3) ta được: 22 y 13 22 73 13 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm 22 22 Câu Giải hệ phương trình sau: x y 13 (1) (2) x 10 y Hướng dẫn giải: Vậy hệ cho có vơ số nghiệm Nghiệm tổng qt 2x x; hệ Lấy 2.(1) (2) ta 13 lý) Vậy hệ cho vô nghiệm Câu Giải hệ phương trình sau: ( x 3) y 5) xy ( x 2)( y 5) xy Hướng dẫn giải: xy x y 15 xy xy x y 10 xy Hệ pt (1) x y 15 (2) 5 x y 10 Lấy (1) (2) vế theo vế ta có: y 25 Câu Giải hệ phương trình sau: 6 x y 3 10 1 x y Hướng dẫn giải: x 0 ĐKXĐ: y 0 1 u v y Hệ cho trở thành x, Đặt Thay vào (1) ta x 12 Vậy hệ phương trình có nghiệm 12; 25 6u 5v 3 9u 10v 1 11 (vô u v u x 3 Với v y 5 Với (thỏa mãn) Câu Giải hệ phương trình sau: ìï ïï + =3 ïï x - y x + y í ïï + =- ïï ïỵ x - y x + y Hướng dẫn giải: ìï x - y ¹ ỡù x ùớ ùớ ùợù x + y ùợù y KX: ìï ïï u = ïï x - 2y í ïï ïï v = x + 2y Đặt ïỵ ìï ïï u = ï ïìï 6u + 2v = Û íï ï í ïïỵ 3u + 4v =- ïïïỵ v =- Hệ trở thành Ta hệ phương trình: Trang -2- 3;5 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu Giải hệ phương trình sau: ìï 3( x + y) ïï =- ïï x - y í ïï x - y = ïï ïỵ y - x Hướng dẫn giải: x ¹ y ĐKXĐ: ìï 3( x + y ) =- ( x - y ) Û ïí ïï ( x - y) = ( y - x) ïỵ Hệ ìï 10 x - y = Û ïí Û 5x - y = ïïỵ 20 x - y = Vậy hệ cho có vơ s nghim Nghim tng quỏt ổ5 ỗ x; xữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ca h cú dạng (đk x ¹ ) ìï ìï ìï ïï = ïï x = ïï x - y = ïï x - y 70 Û ï Û íï í í ïï ï ï ïï x + y =- ïï y =- 87 ïï - = ïỵï 140 ïỵ x + y ïỵï (thỏa mãn) 87 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm 70 140 Dạng 1: Hệ phương trình bậc ba ẩn Câu Giải hệ phương trình sau: ïìï x + y - 3z = ïï í x - 3y + z = ïï ïïỵ x - y = (1) (2) (3) Hướng dẫn giải: (3) Þ x = y + , thay vào (1) (2) ta được: Từ ìïï y - 3z = ìïï y = Û í Þ x =6 í ïỵï y + z = ïỵï z = Vậy hệ phương trình có nghiệm 6;1; Câu 11 Giải hệ phương trình sau: ïìï x + y - z = ïï í 2x - y + 2z = ïï ïïỵ x - y - z = (1) (2) (3) Hướng dẫn giải: (2) (1) (4) Lấy ta x + z = Lấy 2.(1) (3) ta x - z = (5) Từ (4) (5) ta y =- ìïï x = í ïïỵ z = , thay vào (3) ta được: 1; 1;1 Vậy hệ cho có nghiệm Câu 13 Giải hệ phương trình sau: ìï x + y + z = (1) ïï y +7z = (2) í ïï z = 10 (3) ïïỵ Hướng dẫn giải: 10 z= y= (3) (2) thay vào 27 Từ ta có ta Trang -3- Câu 10 Giải hệ phương trình sau: ïìï x + y - z = (1) ïï (2) í x - y + 2z = ïï ïïỵ - x + y + z = (3) Hướng dẫn giải: Lấy (1) - 3.(2) ta y - z =- (4) (5) Lấy (2) + (3) ta y + z = ïìï y = í ïïỵ z = Từ (4) (5) ta , thay vào (3) ta được: x =1 ( 1;1;1) Vậy hệ pt có nghiệm Câu 12 Giải hệ phương trình sau: (1) ïìï x + y + z = ïï (2) í 2x + y + z = ïï ïïỵ y + z = (3) Hướng dẫn giải: (2) (3) Lấy ta x 0 x 0 Thay x = vào (1) ta y + z = (4) ìïï y + z = ìïï y =- Û í í ïỵï y + z = ïỵï z = 10 (3) (4) Từ ta có hệ: ( 0; - 4;10) Vậy hệ cho có nghiệm Câu 14 Giải hệ phương trình sau: ìï x - y + z = (1) ïï í x + y - 13 z =- 18 (2) ïï (3) ïïỵ x - y + z = 10 Hướng dẫn giải: 2.(1) (3) Lấy ta = (luôn đúng) 17 x 17 x z z Lấy (2) + (3) ta 10 z= x= (1) 27 vo Thay ta c ổ2 10 ỗ ; ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 27 Vậy hệ cho có nghiệm y= Lấy 13.(1) 4.(2) ta 88 x - 15 y =- 88 x 15 Vậy hệ có vơ số nghiệm nghiệm tổng qt hệ có 88 x 17 x ; x; 15 dạng y Dạng 3: Hệ phương trình chứa tham số Câu 15 Tìm m để hệ có nghiệm ìï x + my =- 21 ï í ïï mx +( - m) y = ỵ Hướng dẫn giải: Xét định thức 2m D= =- 2m - m + m 1- m Để hệ cho có nghiệm D 0 m m Câu 17 Cho hệ phương trình: ïìï mx - y = m í ïïỵ x - my = m + Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Hướng dẫn giải: Ta xét định thức: m - D= = - m = ( - m) ( + m) -m Dx 2m 1 m6 m 2m m m 2m m 2m = m - m = m ( m - 2) m +6 ìï m ¹ D ¹ Û ïí ïïỵ m ¹ - * Nếu : Hệ có nghiệm ỉD Dy ỉ2 m + m ÷ ữ =ỗ ;ữ ( x; y) = ỗỗỗ x ; ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗD D ứ ữ è +m m +1ø è Dy = Trang -4- Câu 16 Tìm m để hệ có vơ số nghiệm ìï ( m + 1)x + y = m ïí ïïỵ mx + ( m + 3) y = 3m - D Ta có Dx Dy 4m m 1 m Hướng dẫn giải: m 4m m 3 3m m m 4m m 3m 4m2 12m m 2m Để hệ có vơ số nghiệm D Dx Dy 0 m 4m 0 4m 12m 0 m 1 m 2m 0 Câu 18 Tìm m để hệ vơ nghiệm ïìï m2 x + ( m - 1) y = í ïï m ( x + y) - y = ïỵ Hướng dẫn giải: ìï m2 x + ( m - 1) y = ï Û í ïï mx +( m - 2) y = ïỵ Hệ Xét định thức: 2m 3( m 1) D 2m3 m 3m m m m 2m 1 m 3 Dx = 3( m - 1) =- 3m m- 2m2 Dy = m = 4m2 - 3m = m ( 4m - 3) * Nếu D=0 Û m = ±2 : D = Dx = D y = + Khi m = ta có nên hệ phương trình có nghiệm nghiệm phương trình x - y = Û y = x - Do hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = ( tt; 2t - 4R) , Ỵ D = 0, D ¹ x + Khi m =- ta có nên hệ phương trình vơ nghiệm Tóm lại: m ¹ ±2 hệ phương trình có nghiệm ỉ2m + m ÷ ;÷ ( x; y) = ççç 2m + 1÷ è +m ø m = hệ phương trình có vơ số nghiệm, nghiệm ( x; y) = ( tt; 2t - 4R) , Ỵ tổng qt có dạng m =- hệ phương trình vô nghiệm Trang -5- Hệ cho vô nghiệm xảy hai trường hợp sau ìï 2m - m2 + 3m = ìï D = ùớ ù ùợù Dx ùù - 3m ợ TH1: ùỡù ộ ùù m =0 ïï ê ém = ê ïï êm = ê Û íê Û ê ïï ê êm = 1 m = ê ïï ê ë ùù ùù m ợ ỡù m - m2 + 3m = ìï D = ïí Û íï ï D ¹ ùù m - 3m ợ TH2: ïỵ y ïìï ém = ïï ê ïï ê êm = ïï ê ïï êm = ïï ê ém = ë ê ïï Û í m¹ Û ê ïï êm = ê ïï ë ïï m ¹ ïï ïï ïï ïïỵ Tóm lại trường hợp hệ vơ nghiệm m = m=