bảng đap án giải chi tiet

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương Tổ hợp Xác suất Nhị thức Newton §1 Hốn vị-chỉnh hợp-tổ hợp Bài toán sử dụng P C A Câu Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A C27 B 27 C 72 D A27 Lời giải Chọn đáp án D Câu Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh? A 234 C 342 B A234 D C234 Lời giải Mỗi cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh tổ hợp chập 34 phần tử nên số cách chọn C234 Chọn đáp án D Câu Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A 28 C A28 B C82 D 82 Lời giải Chọn đáp án C Câu Cho tập hợp M có 10 phần tử Số tập gồm phần tử M A A810 B A210 C C10 D 102 Lời giải Số tập gồm phần tử M C10 Chọn đáp án C §2 Nhị thức Newton Tìm hệ số, số hạng khai triển nhị thức Newton Câu Hệ số x5 khai triển x(2x − 1)6 + (x − 3)8 A −1272 C −1752 B 1272 D 1752 Lời giải Chọn đáp án A Câu Hệ số x5 khai triển nhị thức x(2x − 1)6 + (3x − 1)8 A −13368 C −13848 B 13368 Lời giải D 13848 Chương Tổ hợp Xác suất Nhị thức Newton Ta có x(2x − 1)6 + (3x − 1)8 = x Ck6 (2x)k (−1)6−k + k=0 Cl8 (3x)l (−1)8−l l=0 Ck6 (2x)k (−1)6−k + =x k=0 Suy hệ số x khai triển nhị thức là: Cl8 (3x)l (−1)8−l l=0 4 C6 (−1)6−4 + C58 35 (−1)6−5 = −13368 Chọn đáp án A Câu Hệ số x5 khai triển biểu thức x(x − 2)6 + (3x − 1)8 A 13548 B 13668 C −13668 D −13548 Lời giải Chọn đáp án D Câu Với n sốÇnghuyên ådương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 55, số hạng không chứa x khai n triển biểu thức x3 + x A 322560 B 3360 C 80640 D 13440 Lời giải Điều kiện: n ∈ N ∗ ; n ≥ Theo đề ta có: Cn1 + Cn2 = 55 n! n! n (n − 1)! n (n − 1) (n − 2)! ⇔ + = 55 ⇔ + = 55 1! (n − 1)! 2! (n − 2)! (n − 1)!  (n − 2)! n = 10 (tm) ⇔ 2n + n (n − 1) = 110 ⇔ n2 + n − 110 = ⇔  n = −11 (ktm) Ç å10 10 10 Ä ä10−k k 3k 10−k k 10−k 5k−20 = C10 x x−2 = C10 x Ta có khai triển: x3 + x k=0 k=0 Để có hệ số khơng chứa x thì: 5k − 20 = ⇔ k = Hệ số không chứa x là: C10 26 = 13440 Chọn đáp án D §3 Xác suất biến cố Tính xác suất định nghĩa Câu Từ hộp chứa cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 12 24 A B C 65 21 91 Lời giải 91 Chọn đáp án D D 91 Câu 10 Từ hộp chứa 11 cầu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh bằng: 24 A B C 455 455 165 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = C315 = 455 (phần tử) Gọi A biến cố: “lấy cầu màu xanh” D 33 91 Xác suất biến cố Khi đó, n(A) = C34 = (phần tử) n(A) Xác suất P(A) = = n (Ω) 455 Chọn đáp án A Câu 11 Từ hộp chứa 10 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 12 B C A 91 91 12 Lời giải D 24 91 Chọn đáp án A Câu 12 Một hộp chứa 11 cầu gồm cầu màu xanh cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời cầu từ hộp Xác suất để cầu chọn màu B C D A 22 11 11 11 Lời giải Chọn ngẫu nhiên cầu từ 11 cầu nên ta có: nΩ = C11 = 55 Gọi biến cố A: “Chọn hai cầu màu” ⇒ nA = C52 + C62 = 25 ⇒ P (A) = 25 = 55 11 Chọn đáp án C nA = nΩ Câu 13 Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 1728 1079 23 A B C 4913 4913 68 Lời giải D 1637 4913 Không gian mẫu có số phần tử 173 = 4913 Lấy số tự nhiên từ đến 17 ta có nhóm số sau: *) Số chia hết cho 3: có số thuộc tập {3; 6; 9; 12; 15} *) Số chia cho dư 1: có số thuộc tập {1; 4; 7; 10; 13; 16} *) Số chia cho dư 2: có số thuộc tập {2; 5; 8; 11; 14; 17} Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] thỏa mãn ba số có tổng chia hết cho khả xảy sau: ·TH1: Ba số chia hết cho có 53 = 125 cách ·TH2: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách ·TH3: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách ·TH4: Một số chia hết cho 3, số chia cho dư 1, chia cho dư có 5.6.6.3! = 1080 cách 125 + 216 + 216 + 1080 1637 Vậy xác suất cần tìm = 4913 4913 Chọn đáp án D Câu 14 Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 16] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 683 1457 19 A B C 2048 4096 56 D 77 512 Chương Tổ hợp Xác suất Nhị thức Newton Lời giải Chọn đáp án A Câu 15 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm hoc sinh lớp 122A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh 11 A 630 Lời giải B 126 C 105 D 42 Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C A, B, C Số cách xếp 10 học sinh thành hành ngang 10! (cách) ⇒ |Ω| = 10! Ta xếp học sinh lớp 12C trước TH1: C C C C C (quy ước vị trí vị trí trống), đổi chỗ học sinh cho ta có 5! Cách xếp Xếp học sinh cịn lại vào vị trí trống ta có 5! cách xếp Vậy trường hợp có 5!.5! cách TH2: C C C C C, tương tự trường hợp ta có 5!.5! cách TH3: C C C C C, đổi chỗ học sinh cho ta có 5! Cách xếp Ta có vị trí trống liền nhau, chọn học sinh lớp 12A học sinh lớp 12B để xếp vào vị trí trống đó, học sinh đổi chỗ cho nên có C21 C31 2! = 2.3.2 = 12 cách Xếp học sinh lại vào chỗ trống có 3! Cách Vậy trường hợp có 5!.12.3! cách TH4: C C C TH5: C C TH6: C C C C C C C C C C Ba trường hợp 4, 5, có cách xếp giống trường hợp Vậy có tất 5!.5!.2 + 4.5!.12.3! = 63360 (cách) Gọi T biến cố “Xếp 10 học sinh thành hàng ngang cho khơng có học sinh lớp đứng cạnh nhau” ⇒ |A| = 63360 Vậy xác suất biến cố T P (T ) = 63360 11 = 10! 630 Chọn đáp án A Tính xác suất cơng thức nhân Câu 16 Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 14] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 457 307 207 A B C 1372 1372 1372 Lời giải D 31 91 Ta có khơng gian mẫu 143 Ta tìm trường hợp thuận lợi cho biến cố “ba số viết có tổng chia hết cho” Ta chia số nguyên thuộc đoạn [1; 14] thành ba loại: Số chia hết cho 3, tức thuộc tập {3; 6; 9; 12} Số chia cho dư 1, tức thuộc tập {1; 4; 7; 10, 13} Số chia cho dư 2, tức thuộc tập {2; 5; 8; 11; 14} Trường hợp 1: Ba số nhóm Có số cách 43 + 53 + 53 Trường hợp 2: Ba số nhóm khác Có số cách 4.5.5.3! 43 + 2.53 + 4.52 457 Vậy xác suất cần tìm = 14 1372 Chọn đáp án A Chương Dãy số - Cấp số cộng- Cấp số nhân §1 Dãy số Tìm hạng tử dãy số Câu 17 Cho dãy số (un ) thỏa mãn log u1 + √ + log u1 − log u10 = log u10 un+1 = 2un với n ≥ Giá trị nhỏ n để un > 5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Lời giải √ Đặt t = + log u1 − log u10 ≥ ⇔ log u1 − log u10 = t2 − 2, giả thiết trở thành: ⇒ log u1 − log u10 = − ⇔ log u1 + = log u10 ⇔ log (10u1 ) = log (u10 )2 ⇔ 10u1 = (u10 )2 (1) Mà cấp số nhân với công bội q = ⇒ u10 = 29 u1 (2) Từ (1) , (2) suy 10 10 2n 10 10u1 = (29 u1 ) ⇔ 218 u21 = 10u1 ⇔ u1 = 18 ⇒ un = 2n − 18 = 19 Ç 2 n 100 19 å 10 Do un > 5100 ⇔ 19 > 5100 ⇔ n > log2 = − log2 10 + 100log2 + 19 ≈ 247, 87 10 Vậy giá trị n nhỏ thỏa mãn n = 248 Chọn đáp án B Chương Giới hạn §1 Giới hạn dãy số Dùng phương pháp đặt thừa số Câu 18 lim 2n + A +∞ B Lời giải C D C +∞ D B C +∞ D Chọn đáp án C Câu 19 lim 5n + A B Lời giải = 5n + Chọn đáp án A Ta có lim Câu 20 lim A 2n + 5 Lời giải Chọn đáp án B §2 Giới hạn hàm số Dạng vô chia vô cùng, số chia vô x−2 Câu 21 lim x→+∞ x + A − B C Lời giải − x−2 x =1 lim = lim x→+∞ x + x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B D −3 HÌNH HỌC 11 Chương Véc-tơ không gian Quan hệ vuông góc khơng gian §1 Hai đường thẳng vng góc Xác định góc hai đường thẳng (dùng định nghĩa) Câu 22 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm A BC (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng OM AB A 90◦ O B 30◦ B M C 60◦ C D 45◦ Lời giải Gọi N trung điểm AC ta có M N đường trung bình tam giác ABC nên AB // M N ⇒ (OM ; AB) = (OM ; M N ) Đặt OA = OB√= OC = ta có: √ Tam giác OAB vuông cân O nên AB = ⇒ M N = Tam giác OAC vuông cân O √ √ nên AC = ⇒ ON = √ √ Tam giác OBC vuông cân O nên BC = ⇒ OM = Vậy tam giác OM N nên (OM ; M N ) = OM N = 60◦ Chọn đáp án C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng §2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Xác định quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng, đường thẳng đường thẳn √ Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C, AC = a, BC = a 2, SA vng góc với mặt đáy, SA = a, góc đường thẳng SB mặt đáy A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ Lời giải Chọn đáp án C Xác định góc hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB = a SB = 2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦ Lời giải Chọn đáp án A Câu 25 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có S tất cạnh a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) √ A √2 B C D Lời giải M D A B C Gọi G giao điểm BM SO Từ M kẻ đường thẳng vng góc với BD N Khi ta có M N//SO ⇒ M N ⊥ (ABCD) ⇒ N hình chiếu M (ABCD) ⇒ (BM ; (ABCD)) = (BM ; BD) = M BD Xét tam giác SBD ta có M B BD hai đường trung tuyến cắt G √ 1 a ⇒ G trọng tâm tam giác SBD ⇒ OG = SO Ta có: BO = BD = 2   √ √ √ √ a a a OG a 2 ⇒ SO = SB − OB = a2 − = ⇒ OG = ⇒ tan M BD = = √ = 2 OB a Chọn đáp án D Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = 2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60◦ Lời giải B 90◦ C 30◦ D 45◦ Chương Véc-tơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian S Ta có AB hình chiếu SB (ABCD) Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy góc SB AB Tam giác SAB vng A, cos ABS = AB = SB ⇒ ABS = 60◦ D A B C Chọn đáp án A §3 Hai mặt phẳng vng góc Xác định góc hai mặt phẳng, đường mặt Câu 27 A Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O Gọi I D tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ) Khi cơ-sin B C O góc tạo √ hai mặt phẳng √ (M C D ) và√(M AB) bằng√ 85 85 17 13 13 A B C D 85 85 65 65 D A M I B C Lời giải A Khơng tính tổng qt, ta giả sử cạnh hình lập D Q phương Gọi P, Q trung điểm D C AB Khi ta có √ √ √ √ M P = IM + IP = 10, M Q = 34, P Q = Áp dụng định lí cơ-sin ta M P + M Q2 − P Q2 −14 cos P M Q = =√ 2M P.M Q 340 Góc α góc √ hai mặt phẳng (M C D ) (M AB) ta có 14 85 cos α = √ = 85 340 Chọn đáp án B B C O D A M I P B C Câu 28 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho OM = M I (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D ) (M AB) √ 17 13 A √65 85 C 85 B C A D O √ 85 B 85 √ 13 D 65 M B C I A D Hai mặt phẳng vng góc Lời giải Chọn đáp án D √ Câu 29 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có AB = AA = Gọi M, N, P trung điểm cạnh A B , A C BC (tham khảo hình vẽ bên) Cosin góc tạo hai √ mặt phẳng (AB C )√và (M N P ) √ 13 13 17 13 A B C 65 65 65 Lời giải √ 18 13 D 65 Dễ thấy (AB C ) ; (M N P ) = (AB C ) ; (M N CB) = = 180◦ − (AB C ) ; (A B C )− (M N BC) ; (A B C ) = 180◦ − (A BC) ; (ABC)− (M N BC) ; (ABC) Ta có (A BC) ; (ABC) = (A P ; AP ) = A P A = arctan Và (M N BC) ; (ABC) = (SP ; AP ) = SP A = arctan , với S điểm đối xứng với A qua A , SA = AA = √ Ç å 13 Suy cos (AB C ) ; (M N P ) = cos 1800 − arctan − arctan = 3 65 Chọn đáp án B Câu 30 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O A Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc D đường thẳng OI cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D ) (M AB) bằng: √ 13 A 65 √ 17 13 C 65 √ 85 B 85 √ 85 D 85 B C O D A M I B C Lời giải Cách 1: Không giảm tính tổng qt, ta giả sử cạnh hình lập phương Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cho gốc tọa độ trùng với điểm B Khi đó, C (6; 0; 0), D (6; 6; 0), M (3; 3; 1), A (0; 6; 6), B (0; 0; 6) # » # » M C (3; −3; −1), M D = (3; 3; −1) # » # » Suy vectơ pháp tuyến (M C D ) n#»1 = M C , M D = (6; 0; 18) = (1; 0; 3) # » # » M A (−3; 3; 5), M B = (−3; −3; 5) # » # » Suy vectơ pháp tuyến (M AB) n#» = M A, M B = (30; 0; 18) = (5; 0; 3) Gọi α góc hai mặt phẳng (M C D ) (M AB),√ ta có √ |n#»1 n#»2 | 14 85 cos α = #» #» = √ Vậy sin α = − cos2 α = |n1 | |n2 | 85 340 Cách 2: Khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử cạnh hình lập phương √ √ √ Gọi P , Q trung điểm D C AB Khi đó, M P = IM + IP = 10, M Q = 34, √ P Q = M P + M Q2 − P Q2 −14 cos P M Q = =√ 2M P.M Q 340 10 Chương Véc-tơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian 14 Gọi α góc hai mặt phẳng (M C D ) (M AB), ta có cos α = √ 340 √ √ 85 Vậy sin α = − cos2 α = 85 Chọn đáp án D §4 Khoảng cách Tính độ dài đoạn thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng √ Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ a a a A B C Lời giải √ a D Chọn đáp án B Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng đỉnh B, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 5a 5a 2a 5a A B C D 3 Lời giải S Trong tam giác SAB dựng AH vng góc SB AH ⊥ (SBC) Do khoảng cách cần tìm AH √ 1 2a Ta có = + = suy AH = AH SA2 AB 4a A H C B Chọn đáp án A Câu 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân C, BC = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ 2a a 3a A 2a B C D 2 Lời giải Chọn đáp án B Khoảng cách hai đường thẳng chéo Câu 34 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có 132 Chương Phương pháp tọa độ không gian |3.1 + 4.(−2) + 2.3 + 4| √ =√ 2 +4 +2 29 Chọn đáp án C d(A; (P )) = Vị trí tương đối hai mặt phẳng, mặt cầu mặt phẳng Câu 505 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) mặt phẳng (P ) : 2x + y + 2z + = Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu (S) A (S): (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = B (S): (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 10 C (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = D (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 10 Lời giải |2.2 + + 2.1 + 2| √ = 22 √ + + 22 √ Bán kính mặt cầu R = d2 + 12 = 10 ⇒ (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 Có d = d(I; (P )) = Chọn đáp án D Câu 506 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình dây phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; −1) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z − = 0? A (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = B (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = C (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = D (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = Lời giải Gọi mặt cầu cần tìm (S) Ta có (S) mặt cầu có tâm I(1; 2; −1) bán kính R Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z − = |1 − 2.2 − 2.(−1) − 8| = nên ta có R = d(I; (P )) = » 12 + (−2)2 + (−2)2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Chọn đáp án C Câu 507 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; −1) qua điểm A(2; 1; 2) Mặt phẳng tiếp xúc với (S) A? A x + y − 3z − = B x − y − 3z + = C x + y + 3z − = D x + y − 3z + = Lời giải #» #» IA = (−1; −1; 3) suy mặt phẳng qua A(2; 1; 2) nhận IA = (−1; −1; 3) làm VTPT là: x + y − 3z + = Chọn đáp án D Câu 508 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; 2; 3) mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z − = Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P ) điểm H Tìm tọa độ điểm H A H (−1; 4; 4) B H (−3; 0; −2) C H (3; 0; 2) D H (1; −1; 0) Lời giải H hình chiếu điểm I lên mặt phẳng (P ) Xét (P ) có vtpt #» n = (2; −2; −1) x−1 y−2 z−3 Phương trình đường thẳng qua I vng góc với (P ) d : = = −2 −1 Phương trình mặt phẳng 133   x     =3 −z−4=0 Tọa độ H nghiệm hệ  x − y = ⇒ H (3; 0; 2) y−2 z−3 ⇔   = =    z = 2 −2 −1    2x − 2y Chọn đáp án C Câu 509 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu qua ba điểm M (2; 3; 3), N (2; −1; −1), P (−2; −1; 3) có tâm thuộc mặt phẳng (α) : 2x + 3y − z + = 0? A x2 + y + z − 2x + 2y − 2z − 10 = B x2 + y + z − 4x + 2y − 6z − = C x2 + y + z + 4x − 2y + 6z + = D x2 + y + z − 2x + 2y − 2z − = Lời giải I(2; −1; 3) ∈ (α); IM = IN = IP = Vậy mặt cầu có phương trình x2 +y +z −4x+2y−6z−2 = Chọn đáp án B Câu 510 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A (0; 0; 1), B (m; 0; 0), C (0; n; 0), D (1; 1; 1) với m > 0; n > m + n = Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)√và qua d Tính bán kính R mặt cầu đó?√ 3 C R = D R = A R = B R = 2 Lời giải Gọi I(1; 1; 0) hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (Oxy) x y Ta có: Phương trình mặt phẳng (ABC) là: + +z =1 m n Suy phương trình tổng quát (ABC) nx + my + mnz − mn = |1 − mn| Mặt khác d(I, (ABC)) = √ = (vì m + n = 1) ID = = d(I, (ABC)) m + n2 + m n2 Nên tồn mặt cầu tâm I (là hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng Oxy) tiếp xúc với (ABC) qua D Khi R = Chọn đáp án A Câu 511 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = mặt cầu (S) : x2 + y + z + 2x − 4y − 2z + = Giả sử điểm M ∈ (P ) N ∈ (S) cho vectơ # » M N phương với vectơ #» u (1; 0; 1) khoảng cách M N lớn Tính M N √ √ A M N = B M N = + 2 C M N = D M N = 14 Lời giải Mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 1, có tâm I(−1; 2; 1) bán kính R = Gọi ∆   x = −1 + t     đường thẳng qua I có vectơ phương #» u = (1; 0; 1), ∆ : y =     z =1+t Đường thẳng ∆ cắt (P ) M (1; 2; 3) Ç å Ç å 1 1 √ √ √ √ ; 2; − , N2 −1 + ; 2; + Đường thẳng ∆ cắt (S) hai điểm N1 −1 − 2 2 134 Chương Phương pháp tọa độ không gian √ √ √ Ta có M N1 = 2 + 1, M N2 = 2 − nên ta có M N = 2 + Chọn đáp án B Câu 512 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1), B(3; −1; 1) C(−1; −1; 1) Gọi S1 mặt cầu có tâm A, bán kính 2; S2 S3 hai mặt cầu có tâm B, C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu (S1 ), (S2 ), (S3 )? A B C D Lời giải Gọi (P ) mặt phẳng tiếp xúc (S1 ), (S2 ), (S3 ) cóphương trình dạng ax + by + cz + d = với   |a + 2b + c + d|     =2 a2 + b2 + c2 = điều kiện tiếp xúc |3a − b + c + d| =     | − a − b + c + d| b = a +c + d  |2b + c + d| =2 Nếu a =  | − b + c + d| =  ⇒ |2b+c+d| = 2|−b+c+d| ⇔     |3b| =2 Nếu b = a + c + d  | − 2a| = ⇒        b = 32 , a = b= b= b= − 23 , a = 12 , a = − 12 − 23 , a = − 12 (1) (2) (2), (3) ⇔ a = = (3) c+d=0 ⇒ b = có mặt phẳng (P c + d = 4b ⇒ |3b| = có mặt phẳng ( ⇒ có mặt phẳng (P ) ⇒ có mặt phẳng (p) ⇒ có mặt phẳng (P ) ⇒ có mặt phẳng (P ) Vậy có mặt phẳng thỏa đề Chọn đáp án B §3 Phương trình đường thẳng không gian Xác định VTCP x+2 y−1 Câu 513 Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường thẳng d : = = 1 z+2 ? A P (1; 1; 2) B N (2; −1; 2) C Q(−2; 1; −2) D M (−2; −2; 1) Lời giải Chọn đáp án C Câu 514 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −1; 3), B(1; 0; 1) C(−1; 1; 2) Phương trình phương trình tắc đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC?    x = −2t   A  y = −1 + t    z = + t x y+1 z−3 = = C −2 1 Lời giải B x − 2y + z = D x−1 y z−1 = = −2 1 Phương trình đường thẳng không gian 135 Chọn đáp án C   x    =2−t Câu 515 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : y = + 2t có véc-tơ phương    z = + t A #» u = (2; 1; 3) B #» u = (−1; 2; 1) C #» u = (2; 1; 1) D #» u = (−1; 2; 3) Lời giải Chọn đáp án B Câu 516 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : vectơ phương A u#» = (−1; 2; 1) B u#»2 = (2; 1; 0) y−1 z x−2 = = Đường thẳng d có −1 C u#»3 = (2; 1; 1) D u#»4 = (−1; 2; 0) Lời giải Véc tơ phương d #» u = (−1; 2; 1) Chọn đáp án A Câu 517 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) hai mặt phẳng (P ) : x + y + z + = 0, (Q) : x − y + z − = Phương trình phương trình đường  thẳng qua A, song song với (P ) (Q)?      x = x = −1 + t   A  y =     z = −3 − t Lời giải   B  y = −2     z = − 2t   x       x     = + 2t C  y = −2     z = + 2t =1+t D  y = −2    z = − t (P ) có véc-tơ pháp tuyến n#»1 (1; 1; 1), (Q) có véc-tơ pháp tuyến n#»2 (1; −1; 1) Ta có [n#», n#»] = (2; 0; −2) Đường thẳng cầntìm nhận véc-tơ #» u (1; 0; −1) làm véc-tơ phương Vậy phương trình đường   x = + t   thẳng cần tìm  y = −2     z = − t Chọn đáp án D Câu 518 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; 0) B (0; 1; 2) Véctơ véctơ phương đường thẳng AB? #» #» A b = (−1; 0; 2) B #» c = (1; 2; 2) C d = (−1; 1; 2) D #» a = (−1; 0; −2) Lời giải # » AB = (−1; 0; 2) véctơ phương đường thẳng AB Chọn đáp án A Câu 519 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) Gọi M1 , M2 hình chiếu vng góc M trục Ox, Oy Véctơ véctơ phương đường thẳng M1 M2 ? A u#» = (1; 2; 0) B u#»3 = (1; 0; 0) C u#»4 = (−1; 2; 0) D u#»1 = (0; 2; 0) 136 Chương Phương pháp tọa độ khơng gian Lời giải # » Ta có M1 (1; 0; 0) M2 (0; 2; 0) Do đó, M1 M2 = (−1; 2; 0) véctơ phương đường thẳng M1 M2 Chọn đáp án C   x     =1    z =5−t Câu 520 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 3t (t ∈ R) Vectơ vectơ phương d ? A #» u = (1; 3; −1) B #» u = (0; 3; −1) C #» u = (1; −3; −1) D #» u = (0; 3; 1) Lời giải   x     =1 Đường thẳng d : y = + 3t (t ∈ R) nhận véctơ #» u = (0; 3; −1) làm VTCP    z = − t Chọn đáp án B Câu 521 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 2; 3) đường x−1 y−2 z−1 thẳng d : = = Tìm điểm M (a; b; c) thuộc d cho M A2 + M B = 28, biết 1 c < A M (−1; Ç 0; −3).å C M ; ;− 6 Lời giải B M (2; Ç 3; 3) å D M − ; − ; − 6 Vì M ∈ d nên tọa độ M có dạng M (1 + t; + t; + 2t) Ta có M A2 + M B = 28 ⇔ t2 + (t + 3)2 + (2t − 1)2 + (t + 2)2 + t2 + (2t − 2)2 = 28 ⇔ 12t2 − 2t − 10 = ⇔ t = 1; t = − Với t = ⇒ M (2;Ç 3; 3) loại c < å Với t = − ⇒ M ; ;− thỏa yêu cầu toán 6 Chọn đáp án C Viết phương trình đường thẳng Câu 522 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) đường thẳng d có phương x−1 y z+1 trình : = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc cắt d 1 x−1 y z+2 x−1 y z+2 A ∆: = = B ∆: = = 1 1 −1 x−1 y z−2 x−1 y z−2 C ∆: = = D ∆: = = 2 1 −3 Lời giải Phương trình mặt phẳng qua A vng góc (d): (x − 1) + y + 2(z − 2) = ⇔ x + y + 2z − = (P) Giao d (P) B(2; 1; 1) x−1 y z−2 Phương trình đường thẳng cần tìm AB: = = 1 −1 Chọn đáp án B Phương trình đường thẳng không gian 137 Câu 523 Trong không gian với  hệ tọa độ , Oxyz phương trình phương trình    x = + 2t   tắc đường thẳng d : y = 3t     z ? = −2 + t y z−2 x+1 = = x+1 y z−2 C = = −2 Lời giải x−1 y z+2 = = −2 x−1 y z+2 D = = B A Dựa vào phương trình tham số ta suy d qua A(1; 0; −2) có vtcp #» u (2; 3; 1) nên suy d có y z+2 x−1 = = phương trình tắc Chọn đáp án D Câu 524 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (−1; 1; 3) hai đường thẳng y+3 z−1 x+1 y z x−1 = = ,∆ : = = Phương trình phương trình ∆: 1 −2 đường  thẳng qua M , vng góc với ∆ ∆           x = −1 − t x = −1 − t x = −t x = −1 − t   A  y = + t     z = + 3t     C  y = − t    z = + t B  y = + t    z = + t   D  y = + t    z = + t Lời giải ∆ ∆ có vecto phương u#»1 = (3; 2; 1) u#»2 = (1; 3; −2) Khi [u#»1 , u#»2 ] = (−7; 7; 7) nên đường thẳng vng góc với d ∆ có vecto phương   x = −1 − t     #» u = (−1; 1; 1) Do phương trình đường thẳng y =1+t      z =3+t Chọn đáp án D Câu525 (QG17,101) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng   x = + 3t   x−1 y+2 z d1 :  y = −2 + t , d2 : = = mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − 3z = Phương trình −1    z = phương trình mặt phẳng qua giao điểm d1 (P ), đồng thời vng góc với d2 ? A 2x − y + 2z + 22 = B 2x − y + 2z + 13 = C 2x − y + 2z − 13 = D 2x + y + 2z − 22 = Lời giải Xét phương trình 2(1 + 3t) + 2(−2 + t) − = ⇒ t = ⇒ d1 ∩ (P ) = M (4; −1; 2) Mặt phẳng qua M vng góc với d nhận u#» = (2; −1; 2) làm vtpt ⇒ phương trình mặt phẳng: 2 2(x − 4) − (y + 1) + 2(z − 2) = ⇒ 2x − y + 2z − 13 = Chọn đáp án C 138 Chương Phương pháp tọa độ không gian Câu 526 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −2; −3), B (−1; 4; 1) y−2 z+3 x+2 = = Phương trình phương trình đường đường thẳng d : −1 thẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB song song với d? x y−1 z+1 x y−2 z+2 A = = B = = 1 −1 x y−1 z+1 x−1 y−1 z+1 C = = D = = −1 −1 Lời giải Trung điểm đoạn AB M (0; 1; −1), xét d có véc-tơ phương #» u = (1; −1; 2) ⇒ phương trình đường thẳng qua M song song với d x y−1 z+1 = = −1 Chọn đáp án C   x     = + 3t Câu 527 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : y = −3 + t     z = − 2t y+1 z x−4 = = Phương trình phương trình đường thẳng thuộc mặt d : −2 phẳng chứa d d đồng thời cách hai đường thẳng đó? x−3 y+2 z−2 x+3 y+2 z+2 A = = B = = −2 −2 x+3 y−2 z+2 x−3 y−2 z−2 C = = D = = −2 −2 Lời giải Từ giả thiết, d song song với d , d qua điểm A(2; −3; 4) d qua điểm B(4; −1; 0) Đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng song song với d qua trung điểm M (3; −2; 2) AB Chọn đáp án A x−3 y−1 z+7 = = −2 Đườngthẳng qua A, vuông  góc với d cắt trục Oxcó phương trình      x = −1 + 2t x = + t x = −1 + 2t     x = + t    Câu 528 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d :   A y = 2t    z = 3t Lời giải   B y = + 2t    z = + 2t   C y = −2t    z = t   D y = + 2t    z = + 3t # » Gọi ∆ đường thẳng cần tìm B = ∆ ∩ Ox ⇒ B(b; 0; 0) BA = (1 − b; 2; 3) # » Do ∆ ⊥ d, ∆ qua A nên BA.u#»d = ⇔ 2(1 − b) + − = ⇔ b = −1    x = −1 + 2t   # » Từ ∆ qua B(−1; 0; 0), có véc-tơ phương BA = (2; 2; 3) nên ∆ : y = 2t    z = 3t Chọn đáp án A x y+1 z−1 = = mặt phẳng (P ) : x − 2y − z + = Đường thẳng nằm (P ) đồng thời cắt vng góc với ∆ có phương Câu 529 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Phương trình đường thẳng khơng gian trình là          x=1 A  y = − t    z = + 2t 139      x = −3 B  y = −t    z = 2t x=1+t C  y = − 2t    z = + 3t      x = + 2t D  y = − t    z=2 Lời giải Chọn đáp án A y+5 z−3 x−1 = = −1 Phương trình phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng x + = Câu 530 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 0?    x    = −3   z = −3 + 4t A y   = −5 − t    x    = −3   z = + 4t B y      x    = −3   z =3−t C y   = −5 + t = −5 + 2t    x    = −3   z = + 4t D y   = −6 − t Lời giải Chọn A(1; −5; 3; ) ∈ d, B(3; −6; 7) ∈ d Gọi A , B hình chiếu vng góc A, B lên # » (P ) ⇒ A (−3; −5; 3), B (−3; −6; 7) Vectơ CP hình chiếu A B = (0; −1; 4) Chọn đáp án D y−3 z+2 x−5 x−3 = = ; d2 : = Câu 531 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : −1 −2 −3 y+1 z−2 = mặt phẳng (P ) : x + 2y + 3z − = Đường thẳng vuông góc với (P ), cắt s1 d2 có phương trình x−1 y+1 z x−2 y−3 z−1 A = = B = = 3 y−3 z+2 x−1 y+1 z x−3 = = D = = C 3 Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm ∆ Vì ∆⊥ (P ) ⇒ #» u = #» n = (1; 2; 3) ∆ Khi phương trình đường thẳng ∆ có dạng (P ) A = d1 ∩ ∆ ⇒ A (3 − t; − 2t; x − x0 y − y0 z − z0 = = Gọi B = d2 ∩ ∆ ⇒ B (5 − 3t ; −1 + Ta thử đáp án: Đáp án A: − 2t + −2 + t 2−t − 2t −2 + t 3−t−1 = = ⇔ = = ⇔ 12 − 6t = −4 + 2t ⇔ t = ⇒ A∈∆⇒ 3 − 3t − −1 + 2t + 2+t − 3t t +2 B∈∆⇒ = = ⇔ =t = ⇔ t = ⇒ B (2; 1; 3) 3 x−1 y+1 z Vậy đáp án A có đường thẳng = = vng góc với mp(P ) cắt d1 tạiA (1; −1; 0) , cắt d2 B (2; 1; 3) thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án A      x=1+t Câu 532 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y = + t , gọi ∆ đường thẳng    z=3 qua điểm A (1; 2; 3) vecto phương #» u = (0; −7; −1) Đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có phương trình là: 140 Chương Phương pháp tọa độ không gian      x = + 6t      x = −4 + 5t A  y = + 11t    z = + 8t      x = −4 + 5t      x = + 5t B  y = −10 + 12t    z = −2 + t C  y = −10 + 12t D  y = − 2t      z =2+t  z =3−t Lời giải » = (0; −7; −1) Ta có vtcp d: u#»1 = (1; 1; 0); VTCP đường thẳng ∆ u# ∆ #» # » ») = u1 u∆ < Góc vecto phương là: cos (u#»1 ; u# ∆ »| |u#»1 | |u# ∆ #» Nên ta chọn vtcp d là: u = (−1; −1; 0) ngược hướng với vtcp u#»1 å Ç #» 1 #» −12 #» ;− Chuẩn hóa để tìm vtcp đường phân giác: m = #» u + #» ∆ = √ −1; |u| 5 ∆ #» Chọn w = (5; 12; 1) vtcp đường phân giác tạm gọi d Loại C D x−1 y−2 z−3 Dễ thầy d ∆ d qua điểm A (1; 2; 3) ⇒ d : = = 12   x = −4 + 5t    Thay điểm (−4; −10; 2) phương trình  y = −10 + 12t thấy thoả mãn    z =2+t Chọn đáp án C   x     = + 3t Câu 533 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 4t Gọi ∆ đường thẳng    z = qua điểm A(1; 1; 1) có véc-tơ phương #» u = (1; −2; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo d  ∆ có phương trình      x = −1 + 2t x = + 7t   A y = + t    z = + 5t Lời giải   B y = −10 + 11t    z = −6 − 5t   x       x     = −1 + 2t C y = −10 + 11t    z = − 5t   x     = + 3t D y = + 4t    z = − 5t =1+t Phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = − 2t    z = + 2t # » Chọn điểm B(0; 3; −1) ∈ ∆ ta có AB = (−1; 2; −2) AB = # » Chọn điểm C(4; 5; 1) ∈ d ta có AC = (3; 4; 0) AC = # »# » Ta có AB.AC = > ⇒ BAC < 90◦ Phân giác góc nhọn BAC có véctơ phương #» # » # » #» u = AC.AB + AB.AC = (4; 22; −10) hay u = (2; 11; −5)   x     = −1 + 2t Kiểm tra kết ta chọn phương án y = −10 + 11t    z = − 5t Phương trình đường thẳng không gian 141 Chọn đáp án C      x = + 3t Câu 534 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y = + 4t Gọi ∆ đường thẳng    z=1 qua điểm A (1; 1; 1) có vectơ phương #» u = (−2; 1; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có phương trình     x = + 27t  A  y = + t    z =1+t      x = −18 + 19t C  y = −6 + 7t    z = −11 − 10t      x = −18 + 19t      x=1−t B  y = −6 + 7t    z = 11 − 10t D  y = + 17t    z = + 10t Lời giải Chọn đáp án B Ç å 8 Đường thẳng qua Câu 535 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), B − ; ; 3 tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình x+1 y−3 z+1 x+1 y−8 z−4 = = B = = −2 −2 x + 31 y − 53 z − 11 x + 92 y − 29 z − 59 = = D = = C −2 −2 Lời giải # » # » Ta có OA; OB = k (1; − 2; 2)⇒ Vectơ phương đường thẳng (d) #» u = (1; − 2; 2) #» #» Chú ý: Với I tâm đường trịn nội tiếp ∆ ABC, ta có đẳng thức vectơ sau: BC.IA + CA.IB + # » #» AB.IC =  BC.xA + CA.xB + AB.xC   xI =    BC + CA + AB   BC.yA + CA.yB + AB.yC ⇒ Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ  yI = BC + CA + AB     BC.z A + CA.zB + AB.zC   zI = BC + CA + AB Khi đó, xét tam giác ABO ⇒ Tâm nội tiếp tam giác I (0; 1; 1) x+1 y−3 z+1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm (d) : = = −2 Chọn đáp án A A Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng      x=1−t Câu 536 Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường thẳng d:  y = + t ?    z = + 3t A P (1; 2; 5) B N (1; 5; 2) C Q (−1; 1; 3) D M (1; 1; 3) Lời giải Chọn đáp án B 142 Chương Phương pháp tọa độ khơng gian Góc Câu 537 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình đường  thẳng qua điểm A(2;  3; 0) vng góc với mặt phẳng (P ) : x + 3y −z + = 0?          x = + 3t x = + t x = + t x = + 3t   A  y = 3t    z = − t Lời giải   B  y = 3t    z = − t     C  y = + 3t    z = − t D  y = 3t    z = + t Chọn đáp án B Khoảng cách Câu 538 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z + = x−1 y+2 z−1 đường thẳng ∆ : = = Tính khoảng cách d ∆ (P ) 2 A d = B d = C d = D d = 3 Lời giải Ta có véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z + = n#»p = (2; −2; 1) y+2 z−1 x−1 » = (2; 1; 2) = = u# ∆ Véctơ phương đường thẳng ∆ : 2 |2.1 − 2.(−2) − 1| #» # » Mà np u∆ = nên ∆//(P ) Vậy d((P ); ∆) = d(M0 ; (P )) với M0 (1; −2; 1) ∈ ∆ d = » = 22 + (−2)2 + (−1)2 = Chọn đáp án D Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng Câu 539 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt x−1 y+2 z−3 phẳng qua điểm M (3; −1; 1) vng góc đường thẳng ∆ : = = ? −2 A 3x − 2y + z + 12 = B 3x + 2y + z − = C 3x − 2y + z − 12 = D x − 2y + 3z + = Lời giải » = (3; −2; 1) làm vecto pháp tuyến Mặt phẳng qua điểm M (3; −1; 1) vng góc với ∆ nhận u# ∆ nên phương trình mặt phẳng là: 3(x − 3) − 2(y + 1) + (z − 1) = ⇐⇒ 3x − 2y + z − 12 = Chọn đáp án C Câu 540 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (−2; 3; 1) B (5; −6; −2) Đường AM thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) điểm M Tính tỉ số BM AM AM AM AM A = B = C = D = BM BM BM BM Lời giải √ # » # » M ∈ (Oxz) ⇒ M (x ; ; z) AB = (7 ; ; 1) ⇒ AB = 59 AM =  (x + ; − ; z − 1)    x + = 7k x = −9         # » # » A, B, M thẳng hàng ⇒ AM = k.AB (k ∈ R) ⇔  − = 3k ⇔  − = k ⇒ M (−9 ; ; 0)    z −1=k    z =0 Phương trình đường thẳng không gian 143 √ # » BM = (−14 ; − ; − 2) ⇒ BM = 118 = 2.AB Chọn đáp án A Bài toán liên quan đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu Câu 541 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; −2; 3) Gọi I hình chiếu vng góc M trục Ox Phương trình phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? A (x − 1)2 + y + z = 13 √ C (x − 1)2 + y + z = 13 B (x + 1)2 + y + z = 13 D (x + 1)2 + y + z = 17 Lời giải Hình chiếu vng góc M Ox I(1; 0; 0) Mà IM = √ 13 » (1 − 1)2 + (−2 − 0)2 + (3 − 0)2 = nên phương trình mặt cầu (x − 1)2 + y + z = 13 Chọn đáp án A Oxyz, cho mặt cầu x−2 y z−1 (S) : (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = hai đường thẳng d: = = , −1 x y z−1 ∆: = = Phương trình phương trình mặt phẳng tiếp 1 −1 xúc với (S), song song với d ∆? Câu 542 (QG17,102) Trong A x + z + = không gian B x + y + = với hệ tọa độ C y + z + = D x + z − = Lời giải √ (S) có tâm I(−1; 1; −2) bán kính R = d có véc-tơ phương u#»1 (1; 2; −1), ∆ có véc-tơ phương u#»2 (1; 1; −1) Ta có [u#»1 , u#»2 ] = (−1; 0; −1) Vì mặt phẳng (P ) cần tìm song song với d ∆ nên nhận #» n (1; 0; 1) làm véc-tơ phương Phương trình (P ) có dạng x + z + d = Vì (S) tiếp xúc với (P ) nên  d(I, (P )) = R ⇔ d=5 |d − 3| √ √ = 2⇔  d=1 Vậy ta hai mặt phẳng x + z + = x + z + = Chọn đáp án A Câu 543 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình : x − 10 y−2 z+2 = = 1 Xét mặt phẳng (P ) : 10x + 2y + mz + 11 = 0, m tham số thực Tìm tất giá trị m để mặt phẳng (P ) vuông góc với đường thẳng ∆ A m = −2 Lời giải B m = C m = −52 D m = 52 144 Chương Phương pháp tọa độ không gian Đường thẳng ∆ nhận (5; 1; 1) VTCP (P) nhận (10; 2; m) VTPT (d) ⊥ (P ) ⇔ (10; 2; m) = k.(5; 1; 1) ⇔ k = m = Chọn đáp án B Câu 544 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y z−5 x+1 = = −3 −1 mặt phẳng (P ) : 3x − 3y + 2z + = Mệnh đề ? A d cắt khơng vng góc với (P ) B d vng góc với (P ) C d song song với (P ) D d nằm (P ) Lời giải Chọn đáp án A x+1 y z+2 = = mặt phẳng −1 (P ) : x + y − z + = Đường thẳng nằm (P ) đồng thời cắt vng góc với ∆ có phương Câu 545 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : trình là          x = −1 + t A     y = −4t x=3+t B  y = −2 + 4t    z =2+t z = −3t      x=3+t C  y = −2 − 4t    z = − 3t      x = + 2t D  y = −2 + 6t    z =2+t Lời giải Đường thẳng d nằm (P ) đồng thời cắt vng góc với ∆ ỵ »ó = (1; −4; −3) VTCP d nên có véc-tơ phương u#»d = n# (P») , u# ∆ Tọa độ giao điểm (P ) ∆ M (3; −2; 2), d qua M (3; −2; 2)     x=3+t  Vậy phương trình d  y = −2 − 4t    z = − 3t Chọn đáp án C Câu 546 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = điểm A (2; 3; 4) Xét điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M thuộc mặt phẳng có phương trình là? A 2x + 2y + 2z − 15 = B x + y + z − = C 2x + 2y + 2z + 15 = D x + y + z + = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) bán kính R = √ √ √ Ta có IA = Khi AM = IA2 − R2 = Ç å AM 2 10 # » # » #» Hạ M H⊥AI AH = = √ hay AH = AI ⇔ HA + 2HI = ⇒ H ; ; AI 3 3 #» Khi ta có M thuộc mặt phẳng (P ) qua H nhận véctơ IA = (1; 1; 1) làm véc tơ pháp tuyến nên M ∈ (P ) : x + y + z − = √ √ Hướng Tính AM = IA2 − R2 = M thuộc mặt cầu tâm A bán kính AM M thuộc (S) Phương trình đường thẳng khơng gian 145   (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = hay điểm M thuộc mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Chọn đáp án B Câu 547 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = điểm A(2; 3; −1) Xét điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A 6x + 8y + 11 = B 3x + 4y + = C 3x + 4y − = D 6x + 8y − 11 = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−1; −1; −1) bán kính R = √ * Ta tính AI = 5, AM = AI − R2 = * Phương trình mặt cầu (S ) tâm A(2; 3; −1), bán kính AM = là: (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 * M thuộc mặt phẳng (P ) = (S) ∩ (S ) có phương trình: 3x + 4y − = Chọn đáp án C Câu 548 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) song song x−2 y z x y−1 z−2 cách hai đường thẳng d1 : = = d2 : = = −1 1 −1 −1 A (P ) : 2x − 2z + = B (P ) : 2y − 2z + = C (P ) : 2x − 2y + = D (P ) : 2y − 2z − = Lời giải Chọn đáp án B Câu 549 (QG17,101) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z = 9, điểm M (1; 1; 2) mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Gọi ∆ đường thẳng qua M , thuộc (P ) cắt (S) hai điểm A, B cho AB nhỏ Biết ∆ có vectơ phương #» u (1; a; b) Tính T = a − b A T = −2 B T = C T = −1 D T = Lời giải √ (S) có tâm O bán kính R = 3, (P ) có vecto pháp tuyến #» n = (1; 1; 1) Ta có OM = ≥ » √ d[O, ∆] suy AB = R2 − d2 [O, ∆] ≥ Đẳng thức xảy ∆ ⊥ OM M Khi # » OM , #» n = (−1, 1, 0) môt vecto phương ∆ Theo giả thiết #» u (1; a; b) môt vecto phương ∆ nên a = −1, b = Vậy T = −1 Chọn đáp án C Câu 550 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 6; 2), B(2; −2; 0) mặt phẳng (P ) : x + y + z = Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P ) qua B, gọi H hình chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn √ A R = B R = Lời giải C R = D R = √ 146 Chương Phương pháp tọa độ khơng gian Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3; 2; 1) bán kính R = √ 18 H thuộc mặt phẳng (P ) mặt cầu đường kính AB √ √ Khoảng cách từ I đến (P ) d = Từ suy R = Chọn đáp án A Câu 551 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 6), B(0; 1; 0) mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25 Mặt phẳng (P ) : ax + by + cz − = qua A, B cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T = a + b + c A T = B T = C T = D T = Lời giải Chọn đáp án A Câu 552 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 điểm A (−1; −1; −1) Xét điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A 3x + 4y − = Lời giải Chọn đáp án A B 3x + 4y + = C 6x + 8y + 11 = D 6x + 8y − 11 = ... A 2n + 5 Lời giải Chọn đáp án B §2 Giới hạn hàm số Dạng vô chia vô cùng, số chia vô x−2 Câu 21 lim x→+∞ x + A − B C Lời giải − x−2 x =1 lim = lim x→+∞ x + x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B D −3 HÌNH... đáp án B Chương Giới hạn §1 Giới hạn dãy số Dùng phương pháp đặt thừa số Câu 18 lim 2n + A +∞ B Lời giải C D C +∞ D B C +∞ D Chọn đáp án C Câu 19 lim 5n + A B Lời giải = 5n + Chọn đáp án A... nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] thỏa mãn ba số có tổng chia hết cho khả xảy sau: ·TH1: Ba số chia hết cho có 53 = 125 cách ·TH2: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách ·TH3: Ba số chia cho