Nv 37 gv

Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương trình chứa Dạng 1: Phương pháp nâng lên lũy thừa Mợt sớ dạng phương trình bản *  f  x  0 or g  x  0 f  x  g  x    f  x  g  x  *  g  x  0 f  x  g  x     f  x  g  x  * f  x  g  x  h x  f  x  0  Điều kiện:  g  x  0  h  x  0 Với điều kiện trên, bình phương hai vế PT cho ta f  x   f  x  g  x   g  x  h  x  Đến ta đưa phương trình dạng Ví dụ : Giải các phương trình sau : Câu 1: x  2x    x Lời giải tham khảo x  2x    x   x 0   x  x  2  x   x 0   x   x  x  0 Câu :  x  x  2 x  x  0 Lời giải tham khảo x 2 x  x  0  x  x  0    x  x 0   x  3x  0   3x    x 3  2 x  3x  0      x  3x 0   x 2   x  3x  0   x   2 Câu 3: x  x  2 x  Lời giải tham khảo Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN x  x  2 x  2 x  0  2  x  x  4 x  x  1  x   2 3x  x  0  x 1 Câu 4: 15  x   x 6 Lời giải tham khảo 15  x   x 6  x 3  18  x  (15  x)(3  x) 36  x 3   (15  x)(3  x) 9  x  x 3  (15  x)(3  x)   x   x 3  36 x  36 0  x  Câu 5: x    x   2x Lời giải tham khảo  x  0  Điều kiện: 1  x 0   x  1  x 0  Với điều kiện trên, PT cho tương đương với x    x   2x  x  1  x   x  x   x   3x  x 2 x  1  2 x  0  x    x 0 2    x  x  x    2 x  x 0  Kết hợp với điều kiện ban đầu, phương trình cho có nghiệm x 0 Tốn tự ḷn BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Bài tập tự luyện  x  3 x  x  x  x  1 x  x2  x2 x   x  3x  x2   x  x  1 Dạng 2: Phương pháp dùng đẳng thức A 0  A 0  A 0 A2  B 0    B 0  A B A2 B    A  B Ví dụ: Giải các phương trình sau: Câu 1: x  1  x  x Lời giải tham khảo  x   x  1  x    x 0 x  4 x x   x  x   x   x      x 0   x 0    x   x 0  x   x 0 x    x 1 4 x  x  0   2 Câu : x  x  4 x x   2 x  Lời giải tham khảo x  x  4 x x   2 x    2x  x 3    1 2x   0  x 1 Câu : 12 x  x  3 x  Lời giải tham khảo Điều kiện x 1 Với điều kiện thì phương trình cho tương đương với Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN    x  1  x    x   2 x     x   3  x   x 5  x   2 x      9 x  154 x  289 0  x   x 2(*)   x 1( KHĐK )  77  3328 x   (TMĐK )   x 1 Bài tập tự luyện x  9 x  x  4 x   x  x  HD:   x    x  0  x 1 Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ I Đặt một ẩn phụ Đặt một ẩn phụ hoàn toàn Ví dụ : Giải các phương trình sau: Câu 1: x  15 x  x  x  2 Lời giải tham khảo Đặt t  x  x   t 0  Phương trình trở thành:  t 1  t / m  3t  2t  0    t   l   Với t=1 ta Câu 2: x  x   2 x  x    x 0  x  x  x  1   Lời giải tham khảo Đặt t  x  x  Phương trình trở thành: t  2t  0   t    t  2t   0  t  Ta Câu 3: 2x 1 3  2 x 1 2x  x   x  x  x    x  x  0   Lời giải tham khảo Đặt t  2x Phương trình cho trở thành: x 1 Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN t  2  t 1 t Ta Câu 4: 2x 1  x 1 x 1 x   x   x2  9x  Lời giải tham khảo Điều kiện: x 9 Bình phương hai vế phương trình cho ta được: x  x  x   x  x  x   x  x  x  x Đặt t  x  x  t 0  PT trở thành:  t 0 2t t    t 2 Với t 0   x 0 x  x 0   (TM)  x 9 Với t 2    65 x x  x 2   (TM)   65  x  2 Vậy phương trình có tập nghiệm   65  S 0;9;    Câu 5:  x  1  x     x  1 x 3 x 8 Lời giải tham khảo  x  Điều kiện:   x 1 Đặt t  x  1 x 3 x  t  x  1  x   PT cho trở thành: Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  t 2 t  2t  0    t  Với t 2 ta x3  x  1 x1 2  x   2(TM )   x  1  x       x   2( L) Với t  ta ta x3  x  1 x1   x   5( L)   x  1  x   16    x   5(TM ) Vậy phương trình có các nghiệm x   2 ; x   Câu 6: x  x  12 x  36 Lời giải tham khảo Đặt t  x   t 0   x t  Phương trình cho trở thành:  t  2  t  2t  3t  18  0  t 2  t 0  Với t 2 ta   Câu 7: x  x  3 x  x  2  x 3 Lời giải tham khảo Điều kiện: x  PT cho tương đương với:  x  x     x   3  x  2  x  2x  4 Do x  không nghiệm PT chia hai vế cho x  ta được:  x  2x  4 x2 x  2x   x  2x  x2 Đặt t  x2  t 0  ta có:  0 Tốn tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  t 2  t / m  2t  3t  0    t   l   2 Với t 2 ta x2  2x  4 x2 x  2x  x2 2   x 3  13  x  x  0   (TM )  x 3  13 Câu 8: Lời giải tham khảo 2x   x  3 x  2 x  x   16 Điều kiện: x  Đặt t  x   x   t 0   t 3 x   2 x  x  Phương trình cho trở thành:  t 5  t / m  t  t  20 0    t   l  Với t 5 ta có: 2x   x  5  x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x 3 Bài tập tự luyện a  x  5  x  3 b  (4  x)(2  x)  x  x  12 c  x  3  3x  22  d g x  3x   x  x  3 x 12  x  1   x  1 x 1 x  x  x  14  x   5 x  h 1 e f x  3x x  3x  x  x2  x   x Đặt ẩn phụ không hoàn toàn * Phương trình dạng: ax  bx  c  mx  n  px  q Đặt t  px  q Đưa phương trình cho PT bậc hai theo biến t x Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN * Phương trình dạng: ax  bx  c  mx  n  px  qx  k Đặt t  px  qx  k Đưa phương trình cho PT bậc hai theo biến t x Ví dụ Giải các phương trình sau : Câu 1: x  x  3 x x  Lời giải tham khảo Đặt t  x   t 0  Phương trình cho trở thành: t  3xt  x 0   t  x   t  x  0  t x    t 2 x Câu 2:    13 x   x 1 Lời giải tham khảo x  10 x   x  1 x  x   x  x    x  2 x Đặt t  x  x   t 0  Phương trình cho trở thành:  t 1 t   x  1 t  x 0    t 4 x  x  x  1   59   x 10  x  x  4 x Bài tập tự luyện x  x  x x  2 x  x   x  3 x2  x  Đặt ẩn phụ, chuyển giải hệ phương trình Ví dụ: Giải các phương trình sau: Câu 1: x   x  Lời giải tham khảo Đặt t   x  x t    t  x    t 0  Ta có hệ phương trình:  t  x  t x   Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  x 1  t  1( L) Với t  x ta   x   t 2(TM ) Với t x  ta  1 x  t    1   x   t  51 (TM ) 51 ( L) Vậy phương trình có nghiệm x=-2; x= 1 x Câu : x 35  x x  35  x 30 Lời giải tham khảo Đặt t  35  x Ta có hệ phương trình:  xt  x  t  30   3 x  t  35   x  t 5   x.t 6   x 2  t 3    x 3   t 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2; x=3 Bài tập tự luyện x  x 2 x  x  2 x  II Đặt hai ẩn phụ Đặt hai ẩn phụ, chuyển giải hệ phương trình Ví dụ: Giải các phương trình sau: Câu 1: x   10  x 5 2 Lời giải tham khảo Đặt u  x  ; v  10  x phương trình:  u , v 0  Ta có hệ Tốn tự ḷn BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  u   u  v 5 u  v 5  v 3     u 3 u  v 13 u.v 6   v 2  2 u 2  x 1 Với  v 3 u 3  x  Với  v   Câu 2: 3 x    x  0 Hướng dẫn Đặt u  3 x  ; v   x phương trình:  v 0  Ta có hệ 2u  3v 8  5u  3v 8 Bài tập tự luyện x  3x   x  3x  3 24  x  12  x 6 Đặt hai ẩn phụ, chuyển giải phương trình hai ẩn Ví dụ: Giải các phương trình sau: Câu 1: Lời giải tham khảo 2 x   x x    x  1 x  x  0 Đặt a  x  ; b  x  x  b  a 1  x  a, b   2 Phương trình cho trở thành: b  a  b  a  a  b    a  b  x  Câu 2: 10 4x   x  1  x  x  1  2 Lời giải tham khảo 0 Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Đặt x  a; x  b  a, b 0  Ta có  x  x  1 (4 x  1)  (2 x  1) 2 Phương trình trở thành a  b  Thay vào ta x 1; x  b  a   a b Bài tập tự luyện x  x  x  x  HD Đặt a  x  ; b  x   a, b 0   a  b x  x Phương trình cho rở thành: a  b  a b  a b 21x  25  x  19 x  x   HD: Đặt a  x  ; b  x  x 1  a, b 0  Ta có: 21x  25 6  x  1  15  x    6a  15b  Khi phương trình cho trở thành:  2a  3b  1  3a  15b  1 0 Dạng 4: Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ: Giải các phương trình sau: Câu 1: 4x   3x   Lời giải tham khảo x 3 Điều kiện: x  4x     3x   4x    x 3     Ta có  x 3 3x   x   3x  x   3x   x 3  x         x   3x   11 Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN    x  3      x   3x   0    x   3x  5 ( vì x   )  x 2 Câu 2: 3x   Lời giải tham khảo  x  x  14 x  0 Điều kiện:   x 6 Nhận thấy x 5 nghiệm nên ta viết PT cho dạng     3x      x  15 3x     x  x  14 x  0 x 1  x   x    x  1 0     x   0  3x     x    x  5   x 5 Phương trình có nghiệm x 5 Câu 3: Lời giải tham khảo 2x 1  2x   x   x  Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với 2x    x 3  x  1 x 2x   x 3  2x   x2 x   2x  1     0 x   2x    2x   x    x  2   x 2 Bài tập tự luyện 12 x x2  2 2(1   x ) 21  x  21  x 21  x 21  x  21  x Toán tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 3x    x  x  x  19 Dạng 5: Phương pháp đưa phương trình tích Ví dụ: Giải các phương trình sau: Câu 1: Lời giải tham khảo x  10 x  21 3 x   x   Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với  x7    x   0  x 2   x 1 Câu 2: x   x   x 3 x Lời giải tham khảo Điều kiện: x  x  TH1: Với x  Phương trình cho tương đương với x 3 x x  x   x    x   x  3  x   x   x   x  11 0  x 11  t / m  TH2: Với x  Phương trình cho tương đương với  x  3  x  x   x 3 x   x    x   x    x    x   x  1 0  x   l Bài tập tự luyện  x  3 10  x x  x  12 Dạng 6: Phương pháp đánh giá Cho phương trình f  x  g  x  có tập xác định D 13 Tốn tự luận BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  f  x  a , x  D - Nếu  thì phương trình có nghiệm  g  x  a , x  D  f  x  a   g  x  a - Các công cụ dùng để đánh giá thường là: + x 0 , x 0 + Bất đẳng thức Cô si: a , b 0 ta c ó: a  b 2 ab Đẳng thức xảy a b + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:   a ; b  ,  x ; y  ta có: Đẳng thức xảy + Bất đẳng thức:  a  b   x  y  a b  x y a  b2  c  d  Đẳng thức xảy  ax  by   a  c b d a b  0 c d Ví dụ Lời giải tham khảo Câu 1: x  x   x  10 x  14 4  x  x Phương trình cho tương đương với 2  x  1    x  1  5   x  1  x  Câu 2: x  x   x  x  2  x  x  5 Hướng dẫn Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x  x  x2  4x  Câu 3: Hướng dẫn x    x x  10 x  27 Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có: x    x   12  12   x    x  2 Bài tập tự luyện 14 x  x  11  x  x  13  x  x  3  2 x2 x  3x  3x    3x  2