Ds c1 diem dac biet

CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y  f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?  Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B 0 Am  Bm  C 0 o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình:  A 0  A 0   B 0   B 0 C 0  o Bước 3: Kết luận  Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố định  Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài tốn tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ ngun đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên  Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải tốn III Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI )  Phương pháp giải: 3  Gọi M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua điểm I  a  b 2 xI  Ta có  3 2  A( a  b )  B  a  b   C  a  b   D 2 y I Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D Trên đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ  Phương pháp giải: 3  Gọi M  a, Aa  Ba  Ca  D  , N  b, Ab  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua gốc tọa độ a  b 0  Ta có  3 2  A( a  b )  B  a  b   C  a  b   D 0 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 1/25  Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Bài toán 3: Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y  A1 x  B1  Phương pháp giải: 3  Gọi M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab  Bb  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua đường thẳng d (1)  I  d   Ta có:    (với I trung điểm MN u d vectơ  MN u d 0 (2) phương đường thẳng d )  Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P  x1 ; y1  ; Q  x2 ; y2   PQ   x2  x1  2   y2  y1  Cho điểm M  x0 ; y0  đường thẳng d : Ax  By  C 0 , khoảng cách từ M đến d h  M ; d   Loại Khoảng cách từ M  x0 ; y0  Ax0  By0  C A2  B đến tiệm cận đứng x a h  x0  a Loại Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận ngang y b h  y0  b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các toán thường gặp: ax  b  c 0, ad  bc 0  có đồ thị  C  Hãy tìm cx  d (C ) hai điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn  Phương pháp giải: d   C  có tiệm cận đứng x  tính chất hàm phân thức, đồ thị c nằm hai phía tiệm cận đứng Nên gọi hai số  ,  hai số dương d d d  Nếu A thuộc nhánh trái x A    xA      ; y A  f ( x A ) c c c d d d  Nếu B thuộc nhánh phải xB    xB      ; yB  f ( xB ) c c c Bài toán 1: Cho hàm số y  2 2  Sau tính AB  xB  x A    yB  y A    a      a       y B  y A   Áp dụng bất đẳng thức Cơsi (Cauchy), ta tìm kết Bài tốn 2: Cho đồ thị hàm số  C  có phương trình y  f ( x ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  Phương pháp giải: http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 2/25  Gọi M  x; y  tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d x  y  Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung  Sau xét tổng qt, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến  Những điểm cịn lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài tốn 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y  f ( x ) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy  Phương pháp giải:  y kx   Theo đầu ta có y k x    y  kx Bài  f  x  kx   f  x   kx (C ) số có tốn 4: Cho đồ thị hàm phương trình ax  b y  f ( x)   c 0, ad  bc 0  Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ cx  d dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận)  Phương pháp giải: d a  Tiệm cận đứng x  ; tiệm cận ngang y  c c d a ;  hai tiệm cận  Ta tìm tọa độ giao điểm I   c c  Gọi M  xM ; yM  điểm cần tìm Khi đó: 2 d  a  IM  xM     yM   g  xM  c  c   Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f ( x ) đường thẳng d : Ax  By  C 0 Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn  Phương pháp giải  Gọi I thuộc (C )  I  x0 ; y0  ; y0  f ( x0 )  Khoảng cách từ I đến d g ( x0 ) h  I ; d   Ax0  By0  C A2  B  Khảo sát hàm số y  g ( x) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số y (m  1) x   m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M (0;3) B M (1; 2) C M ( 1;  2) D M (0;1) Câu Đồ thị hàm số y  x  2mx  m  ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 3/25  3  5 B M  ;  C M  ;  D M ( 1;0)  2  4 Đồ thị hàm số y  x  x  mx  m ( m tham số) qua điểm A M  0;1 Câu M cố định có tọa độ A M   1;  B M   1;   Câu Câu Câu Câu D 2x  Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  cho khoảng cách x từ điểm M đến tiệm cận đứng A M  0;1 , M  2;3 B M  2;1 C 3   5 C M   1;  D M  3;  2   2 Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y (1  2m) x  3mx  m  qua điểm cố định ? A B Câu D M  1;   Biết đồ thị  Cm  hàm số y x  2mx  qua điểm M cố định m thay đổi, tọa độ điểm M A M   1;1 B M  1;  C M  0;   D M  0;3 (m  1) x  m Biết đồ thị  Cm  hàm số y   m 0  qua điểm M xm cố định m thay đổi Tọa độ điểm M 1  A M   1;   B M  0;1 C M   1;1 D M  0;  1 2  Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y x  3mx  x  3m qua điểm cố định ? A B Câu C M  1;   C D x 1 Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y  mà có tổng khoảng x cách đến hai đường tiệm cận  C  A  4;3 ,   2;1 C  2;5  ,  0;  1 ,  4;3 ,   2;1 Câu 10 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y  B  2;5  ,  0;  1 D  2;5  ,  4;3 x  (1  m) x   m (m  2) luôn qua  xm điểm M  xM ; yM  cố định m thay đổi, xM  yM A  B  C D  ( C ) Câu 11 Cho hàm số y  x  mx  x  4m có đồ thị A điểm cố định có m hoành độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m  B m  C m 2 D m  2 Câu 12 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? x2 A B C D Câu 13 Trên đồ thị  C  hàm số y x  x  x  có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ? http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 4/25 A B C D 3 Câu 14 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ số 2x  nguyên dương ? A B C D Câu 15 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? 3x  A B C D x4 y   x2  x , x Câu 16 Gọi hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số , x1 x2 có giá trị A B C 2 D số điểm có tọa độ nguyên 4x  A B C D x  10 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? x 1 A B C 10 D x2 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? 2x  A B C D 5x  Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? 3x 1 A B C D x  11 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? 4x  A B C D x2 Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị hàm số y  cho x tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ A M (4;3) B M (3; 5) C M (1;  3) D M (0;  1) Số cặp điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y x  x  đối xứng với Câu 17 Trên đồ thị (C ) hàm số y  Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 Câu 23 qua điểm I  2;18  A B C D Câu 24 Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C ) hàm số 3x  , số điểm có hồnh độ lớn tung độ x A B C D x2 Câu 25 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x y  C  Biết tọa độ điểm M  xM ; yM  có hồnh độ dương thuộc đồ thị  C  cho MI ngắn Khi giá trị xM  yM A C B D  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 5/25 Câu 26 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x  x  đối xứng qua điểm I (2;18) A (1; 2) (3;34) B (3; 2) (1;34) C (0;  2) (4;74) D (1; 2) ( 1;  6) Câu 27 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x  x  x  đối xứng qua gốc tọa độ O A (3; 22) (  3;  22) B (2;14) (  2;  14) C (1;10) ( 1;  10) D (0; 4) (4; 40) Câu 28 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3  x đối xứng qua đường x A  1;    2;  10  thẳng d : y  B  2;  1   2;1 C  1;     1;  Câu 29 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C  đến tiệm cận ngang A M  3;  C D  1;    1;   x 1 hàm số y  mà có khoảng cách x B M  5;  1  5  D M  4;  , M  0;   2  2  Câu 30 Các giá trị thực tham số m để đồ thị (Cm ) hàm số y x  x  m có C M  5;  , M   1;0  hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A   m  B m 0 C m   Câu 31 Cho hàm số y  D m  x có đồ thị  C  Gọi d khoảng cách từ điểm M x 1  C  đến giao điểm hai tiệm cận Giá trị nhỏ có d A B C D 2 x 1 Câu 32 Cho hàm số y  có đồ thị  C  I giao điểm hai đường tiệm cận x  C  Tiếp tuyến điểm M  C  cắt hai tiệm cận  C  A B Diện tích tam giác ABI A B C D x Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  , biết M có hồng độ a x 1 khoảng cách từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có a 7 A a 1 a  B a  x  3 7 C a  a  D a 1 a  3 2x  Câu 34 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi M điểm thuộc đồ thị  C  x d tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận  C  Giá trị nhỏ d đạt http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 6/25 A B 10 C D 11 Câu 35 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y  x  x  3x  mà chúng đối 3 xứng qua trục tung 16  16  16     16   A  3;  B  3;    3;     3;   3 3 3    3  11  11  11   11     C  2;    2;  D  2;     2;   3 3 3  3    Câu 36 Có điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  x  x  15 cách x 3 hai trục tọa độ ? A C B Có vơ số điểm M thỏa u cầu D Khơng có điểm M thỏa u cầu Câu 37 Có điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y  có tọa độ x  2x  nguyên ? A B C D ( C ) Câu 38 Biết đồ thị hàm số y  x  3(m  1) x  3mx  luôn qua hai m điểm cố định P  xP ; yP  Q  xQ ; yQ  m thay đổi, giá trị yP  yQ A  B C D 2x  Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y  cho khoảng cách x 1 từ điểm I ( 1; 2) đến tiếp tuyến  C  M lớn nhất.là     A M   ;  , M   3;2   C M    D M     3;2  3 3;    B M   ;  3;2  3;2    3 , M   1  , M   1 , M2  1 3;  2 Câu 40 Tập hợp tất giá trị thực m để đồ thị (Cm ) hàm số x  4mx  5m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ x   A  0;   B   ;0  \    13  4   C  1;   D   ;0    ;    ;    3   2x  Câu 41 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Biết tiếp tuyến điểm M x y    C  cắt hai tiệm cận  C  A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB A B C D 2 x2 Câu 42 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  cho M cách 2x  hai điểm A  2,  B  0,  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 7/25  1 1  , A     C  1 1  , B      1 1   1 1    ;  , ,  2   2   D Không tồn điểm M Câu 43 Khoảng cách ngắn từ điểm M thuộc đồ thị C hàm số x2  2x  đến I  1,  y x A B 2 C  2 D 2  x 1 Câu 44 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc x 1 C đến hai tiệm cận  C  đạt giá trị nhỏ ? D Câu 45 Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị  C  hàm số A B C x 3 , độ dài ngắn đoạn thẳng AB x A B C D Câu 46 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y x  mx  m  2016 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I ( 1;0) B I (1; 2016) C I (0;1) D I (0; 2017) x2 Câu 47 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc x y C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? C D x  3x  Câu 48 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tổng khoảng cách từ điểm M x2 A B thuộc  C  đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C Câu 49 Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y  D x4 đối xứng qua x đường thẳng d : x  y  0 A  4;    1;  1 B  1;     1;  1 C  0;    3;7  D  1;    5;3 Câu 50 Cho hàm số y  x  mx  m  có đồ thị  Cm  Tọa độ điểm cố định  Cm  A   1;0  ,  1;0  B  1;0  ,  0;1 C   2;1 ,   2;3 D  2;1 ,  0;1 x  5x  có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có 2x  hoành độ tung độ số tự nhiên A B C D Câu 51 Cho hàm số y  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 8/25 Câu 52 Cho hàm số y  x  2mx  2m 1 có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có hồnh độ dương (Cm ) Khi tiếp tuyến A (Cm ) song song với đường thẳng d : y 16 x giá trị m 63 64 Câu 53 Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc đồ thị  C  hàm số A m 5 y B m 4 x2  4x  đến đường thẳng d : y  x  0 x2 A B Câu 54 Cho hàm số y  C D m  C m 1 C 10 D 10 x 1 có đồ thị  C  Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc x đến hai tiệm cận  C  đạt giá trị nhỏ A B C 2 Câu 55 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C  D x2 hàm số y  cách hai đường x tiệm cận  C  A M  2;1 B M  0;  1 , M  4;3 1  7  C M  5;  , M   3;  5  3  D M   2;  Câu 56 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  độ A M   1;  1 , M  3;3 B M   1;3 C M   1;  1 D M  3;3 x 3 cách hai trục tọa x Câu 57 Tọa độ điểm M có hồnh độ ngun thuộc đồ thị  C  hàm số y  có khoảng cách đến đường thẳng  : x  y  0 A M   2;0  x2 x 1 B M  2;  C M  2;  ; M   2;0  D M  2;   Câu 58 Cho hàm số y  m   x   m   x  m  có đồ thị  Cm  Khẳng định sau khẳng định đúng? A  Cm  không qua điểm cố định B  Cm  có hai điểm cố định C  Cm  có ba điểm cố định D  Cm  có điểm cố định Câu 59 Điều kiện tham số m để đồ thị  Cm  hàm số y x   3m  1 x  2mx  m  có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Oy A m 0 B m  C m  D m  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 9/25 Câu 60 Đồ thị hàm số y 2 x  mx  12 x  13 có hai điểm cực trị cách trục tung khi: A m  C m  1; m  D m  x 1 Câu 61 Hỏi đồ thị  C  hàm số y  có điểm cách hai trục x2 tọa độ? A B C D 3x  Câu 62 Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y  cách hai tiệm x B m 0 cận  C  A M   1;1 ; N   4;   B M  1;1 ; N  3;  C M   1;3 ; N   3;3 D M   1;3 ; N   3;3 Câu 63 Tọa độ hai điểm đồ thị  C  hàm số y  x3  x  cho hai điểm đối xứng qua điểm M  –1; 3 A   1;0  ;  1;6  B  1;0  ;  1;6  C  0;  ;   2;  D  1;0  ;   1;6  3 x có điểm có tọa độ nguyên ? x A B C D x 1 Câu 65 Tọa độ tất điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y  cho tổng x khoảng cách từ điểm đến tiệm cận nhỏ Câu 64 Trên đồ thị  C  hàm số y   D    C   B  3;1  A  1;1 3;1   Câu 66 Đồ thị hàm số y  xứng ? A K   1;  3   3;1   3;1    3x 1 nhận điểm điểm sau làm tâm đối x 1 B N  3;  1 D I   3;  1 x 1 Câu 67 Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y  cách tiệm cận x đứng trục hoành A M  2;1 , M  4;3 B M  0;  1 , M  4;3 C M  0;  1 , M  3;  C M   1; 3 D M  2;1 , M  3;  x2 cho khoảng x cách từ điểm M đến tiệm cận ngang lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A B C D Câu 68 Có điểm M thuộc đồ thị  C  hàm số y  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 10/25 C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 1 1 1 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B D 2 A B A A A C D C D D A 3 D C B C C B C D D C C 4 B A D B D B A B A D C 5 B A C C B B C B C D D 6 D B A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Câu Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 (m  1) x0   m, m  x0  0  x0 1  ( x0  1)m  x0  y0  0, m     M (1; 2)  x  y   y    Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 x02  2mx0  m  2 x0  0   x0  1 m  x02   y0 0, m     x0   y0 0 Câu   x0   5  M ;    4  y 5  Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 x03  x02  mx0  m, m http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 11/25  x0  0  ( x0  1)m  x03  x02  y0 0, m     x0  3x0  y0 0 Câu Câu Câu  x0   M ( 1;  4)   y0  Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có 2 x02 0  x0 0 2 y0  x0  2mx0  3, m  x0 m  y0   x0 0, m     M (0;3)  y0 3  y0   x0 0 Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm (m  1) x0  m , m 0  x0 y0  my0 mx0  x0  m, m 0 Ta có y0  x0  m  y0  x0  0  x0 0  m( y0  x0  1)  x0 y0  x0 0, m 0     M (0;1) x y  x  y   0  Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có: y0 x03  3mx02  x0  3m, m 1  x02 0  x0 1  x0   3(1  x )m  x  x0  y0 0, m      y0 0  y0 0  x0  x0  y0 0 Vậy đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định Chọn A  2a   Gọi M  a;    C  với a 1  a  Tiệm cận đứng  C  x 1 Câu Câu  a 0 Ta có a  1   Vậy M  0;1 , M  2;3  a 2 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 (1  2m) x04  3mx02  m  1, m 2 x0  x0  0  (2 x  x  1)m  y0  x  0, m    y0  x0  0 4 1   x0  x0     x0   x0 1   2       y0 0  y0 0  y   y    4 Vậy đồ thị hàm số cho qua bốn điểm cố định http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 12/25 Câu Chọn C  2a   Gọi M  a;    C  với a 1  a  Tiệm cận đừng tiệm cận ngang  C  có phương trình x 1, y 2 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1  a  2a  2 a a Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nên ta có:  a 4  a   a  3 h1  h2 4  a   4  a   a   0      a 2 a a      a 0 Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2  Vậy điểm cần tìm là:  2;5 ,  0;  1 ,  4;3 ,   2;1 Câu 10 Chọn C Gọi M  xM ; yM  điểm cố định cần tìm Ta có yM  xM2  (1  m) xM   m , m   xM  m   xM yM  myM 2 xM2  xM  mxM   m , m   ( xM  yM  1)m  xM yM  xM2  xM  0, m   xM  yM  0  y M 1  xM   2  xM yM  xM  xM  0  xM (1  xM )  xM  xM  0  x   M  M ( 1; 2)  yM 2 Vậy xM  yM 1 Câu 11 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0  điểm cố định cần tìm Ta có y0  x03  mx02  x0  4m, m  x0   x0  0  ( x02  4) m  x03  x0  y0 0, m      A( 2;10)  x0  x0  y0 0  y0 10 Lại có y  x  2mx   y( 2)  4m  13 Phương trình tiếp tuyến (Cm ) A( 2;10) có dạng y ( 4m  13)( x  2)  10 hay y ( 4m  13) x  8m  16 ( ) Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình d : y x Vì  vng góc với d nên ta có  4m  13   m  Câu 12 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0   \   2 , y0    x0   \   2     x0     2;  1;1; 2  x0    4;  3;  1;0  x    Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13 Chọn A http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 13/25 3 Gọi A  a ; a  5a  6a   , B  b ; b  5b  6b   hai điểm qua gốc tọa độ,  a  b 0   10a  0  a   3 2  a  b   a  b    a  b   0 Câu 14 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  * , y0  * C đối xứng ta có  x0   *     x0    1;3  x0   1; 2  2x   *   M ( 1;  1), M (0;  3), M (1;3) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên dương Câu 15 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0         x0     4;  2;  1;1; 2; 4  x0   ;0; ;1; ;   3   3x     Do x0    M (0;  2), M (1; 4) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16 Chọn D 2 2 y  x3  x, y 3 x   x1.x2  x1.x2  Vậy Ta có Câu 17 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0     1 7    x0  1   6;  3;  2;  1;1; 2;3;6  x0   ;  ;  ;0; ; ;1;     4 4  4x   Do x0    M (0;  6) M (1; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0       x0     9;  3;  1;1;3;9  x0    10;  4;  2;0; 2;8  y0 1  x      M ( 10;0), M ( 4;  2), M ( 2;  8), M (0;10), M (2; 4) M (8; 2) Vậy đồ thị (C ) có sáu điểm có tọa độ số nguyên Câu 19 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0       x0  1   5;  1;1;5  x0    2;0;1;3 1   y0    x         x0   y0 0  M (  2;0)  x0 1  y0 3  M (1;3)  x0 0  y0   M (0;  2)  x0 3  y0 1  M (3;1) Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ số nguyên http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 14/25 Câu 20 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0   10       x0  1   11;  1;1;11  x0   4;  ;0;  1 11  3   y0 3   3x         x0   y0 2  M ( 4; 2)  x0 0  y0   M (0;  2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0     5    x0     7;  1;1;7  x0   ;  ;  ;   4 4  y0 2  x     Do x0   nên đồ thị (C ) khơng có điểm có tọa độ nguyên Câu 22 Chọn A a2  a2 Gọi M  a;    C  ; a  a 2 , ta có d  a   a    a   a  4  a 2  a 0 Dấu " " xảy a  4  a  2    a 4 Kết luận M (4;3) Câu 23 Chọn B Gọi M  x; y  điểm đồ thị  C  , gọi N điểm đối xứng với M qua I, ta có N   x;36  y  Vì N thuộc  C  , ta có 36  y   x     x    x  3x     x     x   38  x 2   y  x  x  Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị  C  thỏa mãn yêu cầu đề Câu 24 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0       x0     8;  4;  2;  1;1; 2; 4;8  x0    7;  3;  1;0; 2;3;5;9 y      x0    M ( 7; 2), M ( 3;1), M ( 1;  1), M (0;  5), M (2;11), M (3;7), M (5;5) M (9; 4) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề Câu 25 Chọn A  a2 Gọi M  a;    C  với a  0, a 1 ; tọa độ giao điểm tiệm cận I  1;1 , ta  a 1 có  a2  MI  a  1    1  a  1  6  a   a  1 2 Dấu " " xảy  a  1 9   Vì M có hồnh độ  a    1;  1 nên xM  yM 0  a  1 dương nên chọn a   , suy M  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 15/25 Câu 26 Chọn A Gọi A( x A ; x 3A  3x A  2), B( xB ; xB3  3xB  2) hai điểm (C ) đối xứng qua I (2;18) (1)  x A  xB 4  x A  xB 2 xI  Ta có:   y A  yB 2 yI  x A  x A   xB  xB  36 (2)  x A 1  xB 3 3 Thay (1) vào (2) ta x A  xA   (4  xA )  3(4  xA )  36    x A 3  xB 1 Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2) , B (3;34) Câu 27 Chọn C Gọi A( x A ; x 3A  x A2  x A  4), B ( xB ; xB3  xB2  xB  4) hai điểm (C ) đối xứng qua gốc tọa độ (1)  x A  xB 0  x A  xB 2 xO  Ta có   y A  yB 2 yO  x A  x A  x A   xB  xB  xB  0 (2) Thay (1) vào (2) ta  x   xB 1 x 3A  x A2  x A   ( x A )3  4( xA )  9( x A )  0   A  x A 1  x A  Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10) , B ( 1;  10) Câu 28 Chọn D 3 Gọi A  a; a  a  , B  b; b  b  hai điểm (C ) đối xứng qua đường x hay d : x  y 0 (1)   I  d Ta có:    (với I trung điểm AB u d (2;  1) vecto  AB.u d 0 (2) phương d ) a  a  b3  b a b Từ (1) ta có  2 2  (a  b)(2a  2ab  2b  3) 0  a  b (3) thẳng d : y  3    (vì 2a  2ab  2b  2  a  ab  b   2  a  b   b   0, a, b ) 2     2 Với AB  b  a;(b  a )(a  ab  b  2)  , từ (2) ta có 2(b  a)  (b  a)(a  ab  b  1) 0  (b  a )(a  ab  b  1) 0  a  ab  b  0 (4) (Vì a b )  a 1  b  2 Thay (3) vào (4) ta a  a  a  0    a   b 1 Vậy cặp điểm cần tìm A  1;  , B   1;   Câu 29 Chọn C Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y 1 a 1  a 1   1  1  Gọi M  a;    C  , a 2 Ta có a a  a 2  a 5  a   Vậy M  5;  , M   1;0  Câu 30 Chọn D http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 16/25 Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 0 cho y ( x0 )  y (  x0 )  tồn x0 0 cho x03  3x02  m   ( x0 )3  3( x0 )2  m   tồn x0 0 cho 3x02 m  m  Câu 31 Chọn D  a  3 Giao điểm hai tiệm cận I   1;1 , gọi M  a;    C  với a  ta có  a 1  16  a  MI  a  1    1  a  1  8  MI 2  a 1   a  1 2 Câu 32 Chọn A Phương pháp tự luận Tiệm cận x 1, y 1  I  1,1 Gọi  m 1  M  m,   (C ) , ta tìm tọa độ  m  1  m 3 A  1,  , B  2m  1,1  m 1 1 m 3  2m   4 Diện tích S  IA.IB  2 m Phương pháp trắc nghiệm ax  b Cho đồ thị hàm số (C ) : y  Gọi M điểm tùy ý thuộc  C  Tiếp tuyến cx  d M cắt hai tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI ln số Cách tính nhanh: Chọn M  2,3 thuộc  C  Viết phương trình tiếp tuyến M d : y =- x + Khi A  1,5  , B  3,1 IA = 4, IB = Tam giác ABI tam giác vuông I Diện tích S ABI = IA.IB = Câu 33 Chọn D Theo giả thiết ta có :  x  vô n  x  3 x  3x  x  0  y 3 x y 3 x       x 1  x  y  x x  x  x       x   x  Nhắc lại: Điểm M  (C ) : y  f  x  cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng cách từ M tới Oy có hồnh độ nghiệm phương trình  f  x  kx f  x   kx    f  x   kx Cách khác:  a 1 a  a 7 3 a   Gọi M  a;  với a  Theo đề ta có:  a  a 1  a 1   Câu 34 Chọn C  2a   Gọi M  a;    C  với a 2 , ta có  a  2a  d a   a  2 a a http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 17/25 Vậy giá trị nhỏ d Câu 35 Chọn B Phương pháp tự luận 11   11   2 Gọi A  x A ;  xA  x A  x A   , B  xB ;  xB  xB  3xB   hai điểm (C ) đối 3  3  xứng qua trục tung (1)  xB  x A  x A  xB 0   Ta có  11 11 2  y A  yB  x A  xA  3x A   xB  xB  3xB  (2) Thay (1) vào (2) ta được:  x   xB 3 11 11  x 3A  xA2  xA   ( x A )3  ( x A )  3( xA )    A 3 3  x A 3  x A  16   16   Vậy có hai cặp điểm cần tìm A  3;  , B   3;  3  3  Phương pháp trắc nghiệm  x A  xB 0 Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung  kiểm tra điểm có  y A  yB thuộc đồ thị không Câu 36 Chọn C Gọi M  xM , yM  ,  xM  3 thỏa u cầu tốn Ta có:   yM  xM   xM     y x  M M 15   xM    y  15  M Câu 37 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0  , y0    x0       x02  x0     2;  1;1; 2    x2  x    x02  x0   (vô nghiệm)  x02  x0  1  x0   y0 2  M ( 1; 2)  x0 0  y0 1  M (0;1)  x0  x0  2    x0   y0 1  M ( 2;1) Vậy có đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 38 Chọn B Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm  x02  x0   (vơ nghiệm) Ta có y0 x03  3( m  1) x02  3mx0  2, m  x02  x0 0   3( x  x0 )m  y0  x  3x  0, m   y0  x0  x0  0  x0   x0 0    y0 4  y0 2 Suy P   1;  , Q(0; 2) P  0;  , Q( 1; 4) nên yP  yQ 6 Câu 39 Chọn C  Gọi M  x0 ;  2 x0     (C ) với x0  Tiếp tuyến M có phương trình x0   http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 18/25 y x0   ( x  x0 ) x0  ( x0  1) hay x  ( x0  1) y  x02  x0  0 Khoảng cách từ I ( 1;2) tới tiếp tuyến d   2( x0  1)2  x02  x0    x0  1 Theo bất đẳng thức Côsi: d lớn  6 x0   ( x0  1)4   ( x0  1)2 ( x0  1)  ( x0  1) 2 6 , d  Khoảng cách ( x0  1) ( x0  1)   x0  1 3  x0   ( x0  1) Vậy : M   3;     , M  1  3;2  Câu 40 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 2 x0 0 cho y ( x0 )  y (  x0 )  tồn x0 2 x0 0 cho x02  4mx0  5m ( x0 )  4m(  x0 )  5m  x0  ( x0 )   tồn x0 2 x0 0 cho (1  2m) x02  5m 0 5m(1  2m)    (1  2m).4  5m 0  (1  2m).0  5m 0   m    m    m   Câu 41 Chọn D 1   Lấy điểm M  m;     C  với m 2 Ta có y '  m   m  2 m 2    1 x  m   Tiếp tuyến M có phương trình d : y   m  m  2   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2;   m 2  Giao điểm d với tiệm cận ngang B  2m  2;    2 8 , suy AB 2 Dấu “=” xảy Ta có AB 4   m    2  m      m   1 , nghĩa m 3 m  Câu 42 Chọn C Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm phương trình :  1 x  x2  x  x2  x  0   2x   1 x   http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 19/25  1 1   1 1    ;  , ,  2   2   Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán Câu 43 Chọn C Gọi M  x; y  thuộc  C  , ta có  2 1     IM  x  1; y    IM  x  1   x      x  1   x    x           x   1  2 g ( x) Mà 2 g ( x)  x  1   x  1   x  1 2  2  x  1   IM   2 Đạt  x  1   x  1  x  1  2  2  x 1     x  1      x 1  Câu 44 Chọn B Phương pháp tự luận   Gọi M  xM ,   thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận xM    đứng tiệm cận ngang Khi MH  xM  MK  Do xM  MH  MK  xM   2  Cauchy  xM   xM   yM 3 Suy MH  MK bé  xM  1 1    xM 0  yM 1 Phương pháp trắc nghiệm ax  b Cho đồ thị hàm số  C  : y  Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, cx  d ad - bc c2 tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận có độ dài nhỏ Câu 45 Chọn A Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa x A   6 1  1   1 với số   , đặt x A 3   , suy y A 1  xA  3    Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB   với số   , đặt 6 1  1   2 xB 3   , suy yB 1  xB  3    2 Vậy AB  xB  x A    yB  y A   6                       1      2 6 6 2 2  g ( ;  )                                36       2    2      Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 20/25