Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHAI GIẢNG KHÓA “THẦN TỐC LUYỆN ĐỀ 2019” LIVE STREAM -Luyện 30 đề THPT Quốc Gia 2019, Cam kết tiến vƣợt bậc 8+ -Dạy Phƣơng pháp kết hợp tƣ giải nhanh support CASIO -Tổng ơn lại tồn kiến thức từ A-Z full hd -Có đáp án lời giải chi tiết để luyện tập check -Dạy từ gốc đến nâng cao có VD-VDC8+ Đang khuyến sale 50% giảm từ 900k 450k/Khóa/30 đề học đến lúc thi xong Tặng kèm FREE 100% khóa “CƠNG PHÁ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2019” trị giá 600k #INBOX TRỰC TIẾP FB Thầy để đăng ký :https://www.facebook.com/Thaygiaothuan.9 A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Bài tốn tìm điểm cố định họ đƣờng cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi? Phƣơng pháp giải: o Bƣớc 1: Đưa phương trình y f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am B Am2 Bm C o Bƣớc 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A A B B C o Bƣớc 3: Kết luận Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố định Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun: Cho đường cong (C ) có phương trình y f ( x) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên Phƣơng pháp giải: o Bƣớc 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bƣớc 2: Lí luận để giải tốn III Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y f ( x) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị C : y Ax3 Bx Cx D đồ thị C tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI ) Phƣơng pháp giải: Gọi M a; Aa3 Ba Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D hai điểm C đối xứng qua điểm I Trang 1/25 a b xI Ta có 3 2 A ( a b ) B a b C a b D y I Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị C : y Ax3 Bx Cx D Trên đồ thị C tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Phƣơng pháp giải: Gọi M a, Aa3 Ba Ca D , N b, Ab3 Bb2 Cb D hai điểm C đối xứng qua gốc tọa độ a b Ta có 3 2 A ( a b ) B a b C a b D Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Bài toán 3: Cho đồ thị C : y Ax3 Bx Cx D đồ thị C tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y A1 x B1 Phƣơng pháp giải: Gọi M a; Aa3 Ba Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D hai điểm C đối xứng qua đường thẳng d (1) I d Ta có: (với I trung điểm MN u d vectơ phương MN u (2) d đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P x1; y1 ; Q x2 ; y2 PQ x2 x1 y2 y1 2 Cho điểm M x0 ; y0 đường thẳng d : Ax By C , khoảng cách từ M đến d h M ; d Ax0 By0 C A2 B Loại Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến tiệm cận đứng x a h x0 a Loại Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến tiệm cận ngang y b h y0 b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các toán thƣờng gặp: ax b c 0, ad bc có đồ thị C Hãy tìm (C ) hai cx d điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn Phƣơng pháp giải: d C có tiệm cận đứng x tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía c tiệm cận đứng Nên gọi hai số , hai số dương Bài toán 1: Cho hàm số y Nếu A thuộc nhánh trái xA d d d xA ; y A f ( xA ) c c c Trang 2/25 Nếu B thuộc nhánh phải xB d d d xB ; yB f ( xB ) c c c Sau tính AB2 xB xA yB y A a a yB y A Áp dụng bất đẳng thức Cơsi (Cauchy), ta tìm kết 2 2 Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C có phương trình y f ( x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Phƣơng pháp giải: Gọi M x; y tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d x y Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung Sau xét tổng quát, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hồnh độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến Những điểm cịn lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy Phƣơng pháp giải: f x kx y kx Theo đầu ta có y k x y kx f x kx ax b c 0, ad bc cx d Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận) Phƣơng pháp giải: d a Tiệm cận đứng x ; tiệm cận ngang y c c d a ; hai tiệm cận Ta tìm tọa độ giao điểm I c c Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y f ( x) Gọi M xM ; yM điểm cần tìm Khi đó: 2 d a IM xM yM g xM c c Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y f ( x) đường thẳng d : Ax By C Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn Phƣơng pháp giải Gọi I thuộc (C ) I x0 ; y0 ; y0 f ( x0 ) Khoảng cách từ I đến d g ( x0 ) h I ; d Ax0 By0 C A2 B Khảo sát hàm số y g ( x) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số y (m 1) x m ( m tham số) ln qua điểm M cố định có tọa độ A M (0;3) B M (1; 2) C M (1; 2) D M (0;1) Câu Đồ thị hàm số y x 2mx m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ Trang 3/25 B M ; C M ; D M (1;0) 2 2 2 4 Đồ thị hàm số y x3 3x2 mx m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M 0;1 Câu A M 1; Câu B M 1; 4 C M 1; 2 D M 1; 4 Biết đồ thị Cm hàm số y x 2mx qua điểm M cố định m thay đổi, tọa độ điểm M A M 1;1 Câu Câu B M 1; (m 1) x m m 0 qua điểm M cố định m xm thay đổi Tọa độ điểm M 1 A M 1; B M 0;1 C M 1;1 D M 0; 1 2 Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y x3 3mx2 x 3m qua điểm cố B C D 2x 1 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y cho khoảng cách từ điểm M đến x 1 tiệm cận đứng B M 2;1 A M 0;1 , M 2;3 Câu 3 5 C M 1; D M 3; 2 2 Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y (1 2m) x4 3mx2 m qua điểm cố định ? A Câu D M 0;3 Biết đồ thị Cm hàm số y định ? A Câu C M 0; 2 B C Tọa độ điểm thuộc đồ thị C hàm số y đường tiệm cận C 2x 1 mà có tổng khoảng cách đến hai x 1 B 2;5 , 0; 1 A 4;3 , 2;1 C 2;5 , 0; 1 , 4;3 , 2;1 Câu 10 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y D D 2;5 , 4;3 x (1 m) x m (m 2) luôn qua điểm x m M xM ; yM cố định m thay đổi, xM yM A 1 B 3 C D 2 Câu 11 Cho hàm số y x mx x 4m có đồ thị (Cm ) A điểm cố định có hồnh độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m 3 B m 6 C m D m 2 có điểm có tọa độ nguyên ? x2 B C D hàm số y x 5x x có cặp điểm đối xứng qua Câu 12 Trên đồ thị (C ) hàm số y A Câu 13 Trên đồ thị C gốc tọa độ ? Trang 4/25 A B C D 3 Câu 14 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ số nguyên dương ? 2x 1 A B C D Câu 15 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 3x A B C D Câu 16 Gọi x1 , x2 hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số y x x , x1 x2 có giá trị A B C D 2 số điểm có tọa độ nguyên 4x 1 A B C D x 10 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? x 1 A B C 10 D x2 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 2x 1 A B C D 5x Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 3x A B C D x 11 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 4x A B C D x2 Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị hàm số y cho tổng khoảng cách x2 từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ A M (4;3) B M (3;5) C M (1; 3) D M (0; 1) Số cặp điểm thuộc đồ thị C hàm số y x 3x đối xứng với qua điểm Câu 17 Trên đồ thị (C ) hàm số y Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 Câu 23 I 2;18 A B C D Câu 24 Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C ) hàm số y 3x , số điểm có x 1 hoành độ lớn tung độ A B C D x2 Câu 25 Cho hàm số y có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận C Biết tọa x 1 độ điểm M xM ; yM có hồnh độ dương thuộc đồ thị C cho MI ngắn Khi giá trị xM yM A B C D 2 Câu 26 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 3x đối xứng qua điểm I (2;18) A (1; 2) (3;34) B (3; 2) (1;34) C (0; 2) (4;74) D (1; 2) (1; 6) Trang 5/25 Câu 27 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 x2 x đối xứng qua gốc tọa độ O A (3; 22) (3; 22) C (1;10) (1; 10) B (2;14) (2; 14) D (0; 4) (4; 40) Câu 28 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 x đối xứng qua đường thẳng d : y x A 1; 2; 10 B 2; 1 2;1 C 1; 2 1; D 1; 1; 2 Câu 29 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y ngang C A M 3; x 1 mà có khoảng cách đến tiệm cận x2 B M 5; 1 5 D M 4; , M 0; 2 2 Câu 30 Các giá trị thực tham số m để đồ thị (Cm ) hàm số y x3 3x m có hai điểm phân C M 5;2 , M 1;0 biệt đối xứng qua gốc tọa độ A 1 m B m C m 3 D m x 3 có đồ thị C Gọi d khoảng cách từ điểm M C đến giao x 1 điểm hai tiệm cận Giá trị nhỏ có d Câu 31 Cho hàm số y A B Câu 32 Cho hàm số y C D 2 x 1 có đồ thị C I giao điểm hai đường tiệm cận C Tiếp x 1 tuyến điểm M C cắt hai tiệm cận C A B Diện tích tam giác ABI A C D x7 Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị C hàm số y , biết M có hồng độ a khoảng cách x 1 từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có a A a a B D a a B a 1 x C a 1 a 2x Câu 34 Cho hàm số y có đồ thị C Gọi M điểm thuộc đồ thị C d tổng x2 khoảng cách từ M đến hai tiệm cận C Giá trị nhỏ d đạt A B 10 C D 11 Câu 35 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 x 3x mà chúng đối xứng qua 3 trục tung 16 16 16 16 A 3; 3; B 3; 3; 3 3 3 3 Trang 6/25 11 11 C 2; 2; 3 3 11 11 D 2; 2; 3 3 x x 15 Câu 36 Có điểm M thuộc đồ thị C hàm số y cách hai trục tọa độ x3 ? A B Có vơ số điểm M thỏa yêu cầu C D Không có điểm M thỏa yêu cầu Câu 37 Có điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y có tọa độ nguyên ? x 2x A B C D Câu 38 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y x 3(m 1) x 3mx luôn qua hai điểm cố định P xP ; yP Q xQ ; yQ m thay đổi, giá trị yP yQ A 1 C D 2x 1 Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) x 1 đến tiếp tuyến C M lớn nhất.là B M 1 C M 1 D M 1 B , M 1 , M 1 , M 1 3;2 3;2 3; 2 A M1 1 3;2 , M 1 3;2 3;2 3;2 3;2 2 x 4mx 5m Câu 40 Tập hợp tất giá trị thực m để đồ thị (Cm ) hàm số y có hai x2 điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A 0; B ;0 \ 13 1 4 4 C 1; D ;0 ; ; 2 3 3 2x Câu 41 Cho hàm số y có đồ thị C Biết tiếp tuyến điểm M C x2 cắt hai tiệm cận C A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB A B C Câu 42 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y A 2,0 B 0, 1 1 A , 2 x2 cho M cách hai điểm 2x 1 1 1 B , 2 1 1 1 1 ; , , C 2 2 D 2 D Không tồn điểm M Câu 43 Khoảng cách ngắn từ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y A B 2 C 22 x2 x đến I 1,4 x 1 D 2 2 Trang 7/25 2x 1 có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc C đến hai x 1 tiệm cận C đạt giá trị nhỏ ? Câu 44 Cho hàm số y A B C D Câu 45 Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị C hàm số y x3 , độ dài x 3 ngắn đoạn thẳng AB A B C D Câu 46 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y x mx m 2016 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I (1;0) B I (1; 2016) C I (0;1) D I (0; 2017) x2 Câu 47 Cho hàm số y có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc C đến hai x 3 hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D x 3x Câu 48 Cho hàm số y có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc C đến x2 hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D 2 x4 Câu 49 Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y đối xứng qua đường thẳng x2 d : x 2y A 4; 1; 1 B 1; 5 1; 1 C 0; 2 3;7 D 1; 5 5;3 Câu 50 Cho hàm số y x4 mx m có đồ thị Cm Tọa độ điểm cố định Cm A 1;0 , 1;0 B 1;0 , 0;1 C 2;1 , 2;3 D 2;1 , 0;1 x 5x có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có hoành độ 2x tung độ số tự nhiên A B C D Câu 52 Cho hàm số y x 2mx 2m có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có hồnh độ Câu 51 Cho hàm số y dương (Cm ) Khi tiếp tuyến A (Cm ) song song với đường thẳng d : y 16 x giá trị m A m B m C m Câu 53 Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc đồ thị C 63 64 x2 x hàm số y đến đường x2 D m thẳng d : y 3x A B C 10 D 10 Trang 8/25 x 1 có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc C đến hai x 1 tiệm cận C đạt giá trị nhỏ Câu 54 Cho hàm số y A B C 2 D x2 Câu 55 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y cách hai đường tiệm cận C x2 A M 2;1 B M 0; 1 , M 4;3 C M 5; , M 3; 5 3 D M 2; Câu 56 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y x3 cách hai trục tọa độ x 1 A M 1; 1 , M 3;3 B M 1;3 C M 1; 1 D M 3;3 Câu 57 Tọa độ điểm M có hồnh độ ngun thuộc đồ thị C hàm số y đến đường thẳng : x y 1 x2 có khoảng cách x 1 A M 2;0 B M 2; C M 2;4 ; M 2;0 D M 2; 2 Câu 58 Cho hàm số y m 2 x3 m x m có đồ thị Cm Khẳng định sau khẳng định đúng? A Cm không qua điểm cố định B Cm có hai điểm cố định C Cm có ba điểm cố định D Cm có điểm cố định Câu 59 Điều kiện tham số m để đồ thị Cm hàm số y x3 3m 1 x 2mx m có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Oy A m B m C m 2 D m 2 Câu 60 Đồ thị hàm số y x mx 12 x 13 có hai điểm cực trị cách trục tung khi: A m 1 B m C m 1; m 2 D m 2 x 1 Câu 61 Hỏi đồ thị C hàm số y có điểm cách hai trục tọa độ? x2 A B C D 3x Câu 62 Tọa độ điểm thuộc đồ thị C hàm số y cách hai tiệm cận C x2 A M 1;1 ; N 4; 6 B M 1;1 ; N 3;4 C M 1;3 ; N 3;3 D M 1;3 ; N 3;3 Câu 63 Tọa độ hai điểm đồ thị C hàm số y x3 3x cho hai điểm đối xứng qua điểm M –1; A 1;0 ; 1;6 B 1; 0 ; 1; 6 C 0; ; 2; D 1;0 ; 1;6 Trang 9/25 3 x có điểm có tọa độ nguyên ? x 1 A B C D x 1 Câu 65 Tọa độ tất điểm thuộc đồ thị C hàm số y cho tổng khoảng cách từ x2 điểm đến tiệm cận nhỏ Câu 64 Trên đồ thị C hàm số y A 1;1 D B 3;1 C 3;1 Câu 66 Đồ thị hàm số y A K 1; 3 3;1 3;1 3x nhận điểm điểm sau làm tâm đối xứng ? x 1 B N 3; 1 C M 1; 3 D I 3; 1 2x 1 Câu 67 Tọa độ điểm thuộc đồ thị C hàm số y cách tiệm cận đứng trục hoành x 1 A M 2;1 , M 4;3 B M 0; 1 , M 4;3 C M 0; 1 , M 3;2 D M 2;1 , M 3;2 x2 cho khoảng cách từ điểm x2 M đến tiệm cận ngang lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A B C D Câu 68 Có điểm M thuộc đồ thị C hàm số y C ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B A A A C D C D D A D C B C C B C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D C C B A D B D B A B A D C B A C C B B Trang 10/25 61 62 63 64 65 66 67 68 C B C D D D B A II –HƢỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 (m 1) x0 m, m Câu x0 x0 M (1; 2) ( x0 1)m x0 y0 0, m x0 y0 y0 Phƣơng pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 x02 2mx0 m Câu x 2 x0 1 5 x0 1 m x02 y0 0, m M ; 2 4 x0 y0 y Phƣơng pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 x03 3x02 mx0 m, m x0 x0 1 ( x0 1)m x03 3x02 y0 0, m M (1; 4) x0 3x0 y0 y0 4 Câu Câu Phƣơng pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có x0 2 x0 2 y0 x0 2mx0 3, m x0 m y0 x0 0, m M (0;3) P y0 x0 y0 hƣơng pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm (m 1) x0 m , m x0 y0 my0 mx0 x0 m, m Ta có y0 x0 m y0 x0 x0 m( y0 x0 1) x0 y0 x0 0, m M (0;1) y0 x0 y0 x0 Phƣơng pháp trắc nghiệm Trang 11/25 Câu Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có: y0 x03 3mx02 x0 3m, m 1 x02 x0 1 x0 3(1 x )m x x0 y0 0, m y0 x0 x0 y0 y0 Vậy đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định Chọn A Câu 2a Gọi M a; C với a a 1 Tiệm cận đứng C x Câu a Ta có a Vậy M 0;1 , M 2;3 a Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 (1 2m) x04 3mx02 m 1, m 2 x04 3x02 (2 x 3x 1)m y0 x 0, m y0 x0 1 x0 x0 x0 1 x0 y0 y0 y y 4 Vậy đồ thị hàm số cho qua bốn điểm cố định Chọn C 2a Gọi M a; C với a a 1 Tiệm cận đừng tiệm cận ngang C có phương trình x 1, y Câu Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 a 2a 2 a 1 a 1 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nên ta có: Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 a a a 2 h1 h2 a a 1 a 1 a a 1 a a Vậy điểm cần tìm là: 2;5 , 0; 1 , 4;3 , 2;1 Câu 10 Chọn C Gọi M xM ; yM điểm cố định cần tìm xM2 (1 m) xM m , m 2 Ta có yM xM m xM yM myM xM2 xM mxM m , m 2 ( xM yM 1)m xM yM xM2 xM 0, m 2 Trang 12/25 xM yM yM xM 2 xM yM xM xM xM (1 xM ) xM xM xM 1 M (1; 2) yM Vậy xM yM Câu 11 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 điểm cố định cần tìm Ta có y0 x03 mx02 x0 4m, m x0 2 x0 ( x 4)m x x0 y0 0, m A(2;10) y 10 x x y 0 0 Lại có y 3x2 2mx y(2) 4m 13 Phương trình tiếp tuyến (Cm ) A(2;10) có dạng y (4m 13)( x 2) 10 hay y (4m 13) x 8m 16 () Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình d : y x Vì vng góc với d nên ta có 4m 13 1 m 3 Câu 12 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 \ 2 , y0 x0 \ 2 x0 2; 1;1; 2 x0 4; 3; 1;0 x 2 Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13 Chọn A Gọi A a ; a3 5a 6a 3 , B b ; b3 5b2 6b 3 hai điểm C đối xứng qua gốc a b tọa độ, ta có 3 10a a 2 a b a b a b Câu 14 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 * , y0 * x0 * x0 1 1;3 x0 1; 2 2x 1 * M1 (1; 1), M (0; 3), M (1;3) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên dương Câu 15 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 3x0 4; 2; 1;1; 2; 4 x0 ;0; ;1; ; 3 3x Do x0 M1 (0; 2), M (1;4) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16 Chọn D 2 2 Ta có y x3 x, y 3x x1.x2 Vậy x1.x2 3 Câu 17 Chọn D Trang 13/25 Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 1 7 x0 1 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6 x0 ; ; ;0; ; ;1; 4 4 4x 1 Do x0 M1 (0; 6) M (1; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 x0 1 9; 3; 1;1;3;9 x0 10; 4; 2;0; 2;8 y0 x M1 (10;0), M (4; 2), M (2; 8), M (0;10), M (2;4) M (8; 2) Vậy đồ thị (C ) có sáu điểm có tọa độ số nguyên Câu 19 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 x0 1 5; 1;1;5 x0 2;0;1;3 1 y0 1 x x0 2 y0 M (2;0) x0 y0 M (1;3) x0 y0 2 M (0; 2) x0 y0 M (3;1) Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ số nguyên Câu 20 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 10 3x0 1 11; 1;1;11 x0 4; ;0; 1 11 3 y0 3x x0 4 y0 M (4;2) x0 y0 2 M (0; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 5 x0 7; 1;1;7 x0 ; ; ; 4 4 y0 x Do x0 nên đồ thị (C ) khơng có điểm có tọa độ ngun Câu 22 Chọn A a2 a2 Gọi M a; C ; a a , ta có d a a a a a2 a Dấu " " xảy a a a Kết luận M (4;3) Câu 23 Chọn B Trang 14/25 Gọi M x; y điểm đồ thị C , gọi N điểm đối xứng với M qua I, ta có N x;36 y Vì N thuộc C , ta có 36 y x x x3 3x x x 38 x y x 3x Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị C thỏa mãn yêu cầu đề Câu 24 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 x0 1 8; 4; 2; 1;1; 2; 4;8 x0 7; 3; 1;0; 2;3;5;9 y0 x M1 (7;2), M (3;1), M (1; 1), M (0; 5), M (2;11), M (3;7), M (5;5) M (9; 4) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề Câu 25 Chọn A a2 Gọi M a; C với a 0, a ; tọa độ giao điểm tiệm cận I 1;1 , ta có a 1 a2 MI a 1 1 a 1 6 a 1 a 1 2 a Dấu " " xảy a 1 Vì M có hồnh độ dương nên a chọn a , suy M 1; 1 nên xM yM Câu 26 Chọn A Gọi A( xA ; xA3 3xA 2), B( xB ; xB3 3xB 2) hai điểm (C ) đối xứng qua I (2;18) (1) xA xB xA xB xI Ta có: y A yB yI xA 3xA xB 3xB 36 (2) xA xB Thay (1) vào (2) ta x3A 3xA (4 xA )3 3(4 xA ) 36 xA xB Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2) , B(3;34) Câu 27 Chọn C Gọi A( xA ; x3A xA2 xA 4), B( xB ; xB3 xB2 xB 4) hai điểm (C ) đối xứng qua gốc tọa độ (1) xA xB xA xB xO Ta có y A yB yO xA xA xA xB xB xB (2) Thay (1) vào (2) ta xA 1 xB x3A xA2 xA ( xA )3 4( xA ) 9( xA ) xA xA 1 Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10) , B(1; 10) Câu 28 Chọn D Gọi A a; a3 a , B b; b3 b hai điểm (C ) đối xứng qua đường thẳng d : y x hay d : x y (1) I d Ta có: (với I trung điểm AB u d (2; 1) vecto phương d ) AB.u d (2) Trang 15/25 Từ (1) ta có a a b3 b ab 2 2 (a b)(2a 2ab 2b2 3) a b (3) 3 (vì 2a 2ab 2b2 a ab b a b b 0, a, b ) 2 2 Với AB b a;(b a)(a ab b 2) , từ (2) ta có 2(b a) (b a)(a ab b2 1) (b a)(a ab b2 1) a2 ab b2 (4) (Vì a b ) a b 1 Thay (3) vào (4) ta a a a a 1 b Vậy cặp điểm cần tìm A 1; , B 1; 2 Câu 29 Chọn C Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y a a 1 a 1 Gọi M a; C , a Ta có a a a 1 a2 Vậy M 5;2 , M 1;0 Câu 30 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 y( x0 ) y( x0 ) cho tồn x0 cho x 3x m ( x0 ) 3( x0 ) m tồn x0 cho 3x m m Câu 31 Chọn D a 3 Giao điểm hai tiệm cận I 1;1 , gọi M a; C với a 1 ta có a 1 3 2 16 a 3 MI a 1 1 a 1 MI 2 a 1 a 1 2 Câu 32 Chọn A Phƣơng pháp tự luận m 1 m3 Tiệm cận x 1, y I 1,1 Gọi M m, , (C ) , ta tìm tọa độ A 1, m 1 m 1 B 2m 1,1 1 m3 IA.IB 2m 2 m 1 Phƣơng pháp trắc nghiệm ax b Cho đồ thị hàm số (C ) : y Gọi M điểm tùy ý thuộc C Tiếp tuyến M cắt hai cx d tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI ln số Cách tính nhanh: Chọn M 2,3 thuộc C Viết phương trình tiếp tuyến M d : y x Khi Diện tích S A 1,5 , B 3,1 IA 4, IB 2 Tam giác ABI tam giác vng I Diện tích S ABI IA.IB Câu 33 Chọn D Trang 16/25 Theo giả thiết ta có : x7 vơ n 3x y x x x x 1 y 3 x x 1 x y x x x x 3x x Nhắc lại: Điểm M (C ) : y f x cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng f x kx cách từ M tới Oy có hồnh độ nghiệm phương trình f x kx f x kx Cách khác: a a7 a7 Gọi M a; 3 a với a 1 Theo đề ta có: a a 1 a 1 Câu 34 Chọn C 2a Gọi M a; C với a , ta có a2 2a d a2 2 a2 2 a2 a2 Vậy giá trị nhỏ d Câu 35 Chọn B Phƣơng pháp tự luận 11 11 Gọi A xA ; x3A xA2 3xA , B xB ; xB3 xB2 3xB hai điểm (C ) đối xứng 3 3 qua trục tung (1) xB xA xA xB Ta có 11 11 xA xA2 3xA xB3 xB2 3xB (2) y A yB 3 Thay (1) vào (2) ta được: xA 3 xB 11 11 x3A xA2 3xA ( xA )3 ( xA )2 3( xA ) 3 3 xA xA 3 16 16 Vậy có hai cặp điểm cần tìm A 3; , B 3; 3 3 Phƣơng pháp trắc nghiệm x A xB Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung kiểm tra điểm có thuộc đồ thị y A yB không Câu 36 Chọn C Gọi M xM , yM , xM 3 thỏa u cầu tốn Ta có: 15 xM y x M M xM y x y 15 M M M Câu 37 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 Trang 17/25 x0 x02 x0 2; 1;1; 2 x2 x x02 x0 2 (vô nghiệm) x02 x0 x0 1 y0 M (1;2) x0 y0 M (0;1) x02 x0 x0 2 y0 M (2;1) Vậy có đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 38 Chọn B Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm x02 x0 1 (vơ nghiệm) Ta có y0 x03 3(m 1) x02 3mx0 2, m x0 x0 3( x x0 )m y0 x 3x 0, m y0 x0 3x0 x0 1 x0 y0 y0 Suy P 1;4 , Q(0;2) P 0;2 , Q(1;4) nên yP yQ Câu 39 Chọn C Gọi M x0 ; 2 x0 (C ) với x0 1 Tiếp tuyến M có phương trình x0 2x 1 y ( x x0 ) x0 ( x0 1)2 hay 3x ( x0 1)2 y x02 x0 Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến d 3 2( x0 1) x02 x0 x0 1 Theo bất đẳng thức Côsi: x0 ( x0 1) ( x0 1) 2 ( x0 1) ( x0 1) , d Khoảng cách d lớn ( x0 1)2 ( x0 1)2 x0 1 x0 1 ( x0 1) Vậy : M 1 3; , M 1 3; Câu 40 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 x0 cho y( x0 ) y( x0 ) x02 4mx0 5m ( x0 )2 4m( x0 ) 5m tồn x0 x0 cho x0 ( x0 ) tồn x0 x0 cho (1 2m) x02 5m m 5m(1 2m) m (1 2m).4 5m (1 2m).0 5m m Câu 41 Chọn D Trang 18/25 1 Lấy điểm M m; C với m Ta có y ' m m2 m 2 Tiếp tuyến M có phương trình d : y m 2 x m m2 Giao điểm d với tiệm cận đứng A 2; m2 Giao điểm d với tiệm cận ngang B 2m 2;2 2 Ta có AB m , suy AB 2 Dấu “=” xảy m , 2 m nghĩa m m 1 Câu 42 Chọn C Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm phương trình : 1 x x2 x x2 x 2x 1 1 x 1 1 1 1 ; , , 2 Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán Câu 43 Chọn C Gọi M x; y thuộc C , ta có 2 1 2 IM x 1; y IM x 1 x x 1 x x 1 x 1 g ( x) Mà g ( x) x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 IM 2 Đạt x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 x 4 Câu 44 Chọn B Phƣơng pháp tự luận Gọi M xM , thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng xM tiệm cận ngang Khi MH xM MK Do xM MH MK xM Cauchy xM xM 2 yM Suy MH MK bé xM 1 xM yM Phƣơng pháp trắc nghiệm Trang 19/25 Cho đồ thị hàm số C : y ax b Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, tổng khoảng cx d cách từ M đến tiệm cận có độ dài nhỏ ad - bc c2 Câu 45 Chọn A Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa xA với số , đặt 6 xA , suy y A 1 1 1 xA 3 Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB với số , đặt xB , 6 suy yB 1 1 2 xB 3 3 Vậy AB xB xA yB y A 2 g ( ; ) 1 1 2 2 6 6 2 2 36 2 1 2 Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có 36 144 g ( ; ) 2 2 1 2 4 4.144 48 Vậy AB 48 Dấu đẳng thức xảy vả 144 36 Vậy độ dài AB ngắn Câu 46 Chọn D Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 x04 mx02 m 2016, m ( x02 1)m x04 y0 2016 0, m x0 1 x0 x0 y0 2017 y0 2017 x0 y0 2016 M (1; 2017) M (1; 2017) N (1; 2017) N (1; 2017) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN I (0; 2017) Câu 47 Chọn B Điểm M nằm trục Ox : M (2;0) d M 2 0 Điểm M nằm trục tung : d M 2 2 3 2 dM x y 3 2 Xét điểm M có hoành độ thỏa mãn x ; y y (*) 3 2 Trường hợp : x Do (*) : d M x y 3 Xét điểm M có hồnh độ x Trang 20/25 2 5 Trường hợp : x 0; y d M x ; d 'M 1 3 x 3 x 3 x Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với d 'M x x ;0 Vậy d M d M (0) Câu 48 Chọn D 3 Điểm M 0, nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục d = 2 3 Xét điểm M có hồnh độ lớn d x y 2 Xét điểm M có hồnh độ nhỏ : 3 Với x y d x y 2 1 Với x 0; y d x x 1 ;d ' 0 2 x2 x2 x 2 Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy d y Câu 49 Chọn B x suy : y 2 x m Giả sử cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B Khi hồnh độ A, B nghiệm phương trình x x4 2 x m 2 x (m 3) x 2m x2 h( x) Điều kiện cần: Để cắt (C ) hai điểm phân biệt phương trình h( x) có hai nghiệm phân biệt khác Gọi đường thẳng vng góc với đường thẳng d : y m m2 10m 23 (*) , tức h(2) m 6 Điều kiện đủ: Gọi I trung điểm AB , ta có: m3 x A xB xI xI m 3m I ; m3 yI m y I xI m Để hai điểm đối xứng qua A, B d : x 2y m3 3m I d m 3 (thỏa điều kiện (*)) x 1 y 1 Với m 3 phương trình h( x) x x y 5 Vậy tọa hai điểm cần tìm 1; 5 1; 1 Câu 50 Chọn A Gọi x, y điểm cố định họ đồ thị Cm : y x mx m , ta có Trang 21/25 y x mx m 1, m x 1 m x y 0, m x x x 1 ; y y x y Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định 1;0 , 1;0 Câu 51 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 , y0 x0 1 y0 x0 x Do x0 nên x0 1 8; 4; 2; 1;1; 2; 4;8 x0 9; 5; 3; 2;0;1;3;7 x0 y0 M (0;1) x0 y0 x0 y0 (loại) (loại) x0 y0 M (7;1) Câu 52 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 điểm cố định cần tìm Ta có: y0 x04 2mx02 2m 1, m x0 ( x0 0) x0 2m( x 1) x y0 0, m A(1;0) 1 x0 y0 y0 Lại có y 4 x3 4mx y(1) 4m Phương trình tiếp tuyến (Cm ) điểm A(1;0) có dạng y (4m 4)( x 1) y (4m 4) x 4m () 4m 16 m m Vì song song với d nên 4m m Câu 53 Chọn D Gọi M x, x (C ) x2 Khoảng cách từ M đến d h M;d cho h( M ; d ) 3x y 10 hay 1 1 3x x x 2 x2 x2 10 10 Khi x : 1 dấu xảy 4( x 2) x 2 x Ta có 4( x 2) x2 x2 4 Vậy h M;d đạt giá trị nhỏ 10 Khi x 4 Ta có 4 x x 2 1 x 2 x Dấu xảy 4 x x2 4 Vậy h M;d đạt giá trị nhỏ 10 Câu 54 Chọn C Trang 22/25 a 1 a 1 Gọi M a; C với a ta có d a a a a 2 a 1 Câu 55 Chọn B a a2 a2 Gọi M a; C với a ta có a a a a a Vậy a2 M 0; 1 , M 4;3 Câu 56 Chọn A a 3 Gọi M a; C a 1 với a ta có a M 1; 1 , M 3;3 Câu 57 Chọn C a2 Gọi M a; C với a ta có a 1 a a 2a a 1 a3 Vậy a 1 a a a a2 1 a a 3 a 2a a 1 a 1 1 a 1 2 a a a 2 Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu M 2;4 ; M 2;0 Câu 58 Chọn C Gọi M x0 ; y0 điểm cố định họ đồ thị Cm , ta có y0 m x03 m x0 m 7, m x03 3x0 1 m x03 x0 y0 0, m x0 3x0 2 x0 x0 y0 Vì hệ có nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có điểm cố định Câu 59 Chọn B Gọi M x, y , N x, y hai điểm thuộc đồ thị Cm đối xứng qua trục tung Ta có x3 3m 1 x 2mx m x3 3m 1 x 2mx m x x3 4mx x 2m Vậy m Câu 60 Chọn B ' m2 72 m Vậy m Ta có y ' x 2mx 12 Điều kiện S m Câu 61 Chọn C a2 a a 1 a 1 a Gọi M a, , ta có a C với a2 a2 a 3a Phương trình có nghiệm nên đồ thị có điểm cách hai trục tọa độ Câu 62 Chọn B Trang 23/25 a 3a 3a Gọi M a, C với a ta có a a a a a2 Vậy M 1;1 ; N 3;4 Câu 63 Chọn C Gọi A a, a3 3a , B b, b3 3b hai điểm C đối xứng qua M –1; 3 , a b 2 ta có: 3 a 3a b 3b a b 2 a b 2 a a 2 ab b a b ab a b a b b Câu 64 Chọn D x 1 x x 2 x 1 x x 1 2 Ta có y 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Vậy có điểm thỏa u cầu tốn Câu 65 Chọn D a 1 a 1 Gọi M a; C với a Ta có d a a a a a2 Dấu " " xảy 2 3;1 3;1 a 2 a Vậy hai điểm 3 a Câu 66 Chọn D Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M 1; 3 Câu 67 Chọn B 2a Gọi M a; C với a a 1 a 2a a a 2a Ta có a a 4a a 1 a a 2a 2a Vậy điểm cần tìm là: M 0; 1 , M 4;3 Câu 68 Chọn A a2 Gọi M a; C với a a2 a2 1 a a 4a Ta có a a2 a2 5a 20a 16 a 10 5 Vậy có hai điểm cần tìm Trang 24/25