Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
2,55 MB
Nội dung
CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi? Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am B Am Bm C o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: �A �A � �B � �B � C 0 � o Bước 3: Kết luận Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố định Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun: Cho đường cong (C ) có phương trình y f ( x) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải tốn III Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y f ( x) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị C : y Ax Bx Cx D đồ thị C tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI ) Phương pháp giải: 3 Gọi M a; Aa Ba Ca D , N b; Ab Bb Cb D hai điểm C đối xứng qua điểm I a b xI � � Ta có � 3 2 �A(a b ) B a b C a b D y I Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị C : y Ax Bx Cx D Trên đồ thị C tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Phương pháp giải: 3 Gọi M a, Aa Ba Ca D , N b, Ab Bb Cb D hai điểm C đối xứng qua gốc tọa độ Trang 1/25 ab � � Ta có � 3 2 �A(a b ) B a b C a b D Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Bài toán 3: Cho đồ thị C : y Ax Bx Cx D đồ thị C tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y A1 x B1 Phương pháp giải: 3 Gọi M a; Aa Ba Ca D , N b; Ab Bb Cb D hai điểm C đối xứng qua đường thẳng d (1) �I �d r rr Ta có: �uuuu (với I trung điểm MN u d vectơ �MN u d (2) phương đường thẳng d ) Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P x1 ; y1 ; Q x2 ; y2 � PQ x2 x1 y2 y1 Cho điểm M x0 ; y0 đường thẳng d : Ax By C , khoảng cách từ M đến d h M ; d Loại Khoảng cách từ M x0 ; y0 Ax0 By0 C A2 B đến tiệm cận đứng x a h x0 a Loại Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến tiệm cận ngang y b h y0 b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các toán thường gặp: ax b c �0, ad bc �0 có đồ thị C Hãy tìm cx d (C ) hai điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn Phương pháp giải: d C có tiệm cận đứng x tính chất hàm phân thức, đồ thị c nằm hai phía tiệm cận đứng Nên gọi hai số , hai số dương d d d Nếu A thuộc nhánh trái x A � x A ; y A f ( x A ) c c c d d d Nếu B thuộc nhánh phải xB � xB ; yB f ( xB ) c c c Bài toán 1: Cho hàm số y Sau tính AB xB xA yB y A � a a � � � yB y A Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta tìm kết 2 2 Trang 2/25 Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C có phương trình y f ( x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Phương pháp giải: Gọi M x; y tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d x y Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trục tung Sau xét tổng qt, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến Những điểm lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy Phương pháp giải: �f x kx y kx � �� Theo đầu ta có y k x � � y kx � �f x kx (C ) toán 4: Cho đồ thị hàm số có phương trình ax b y f ( x) c �0, ad bc �0 Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ cx d dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận) Phương pháp giải: d a Tiệm cận đứng x ; tiệm cận ngang y c c � d a � Ta tìm tọa độ giao điểm I � ; �của hai tiệm cận �c c � Bài Gọi M xM ; yM điểm cần tìm Khi đó: 2 d� � a� � IM �xM � �yM � g xM c� � c� � Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y f ( x) đường thẳng d : Ax By C Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn Phương pháp giải Gọi I thuộc (C ) � I x0 ; y0 ; y0 f ( x0 ) Khoảng cách từ I đến d g ( x0 ) h I ; d Ax0 By0 C A2 B Khảo sát hàm số y g ( x) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số y (m 1) x m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ Trang 3/25 Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu A M (0;3) B M (1; 2) C M (1; 2) D M (0;1) Đồ thị hàm số y x 2mx m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ �1 � �1 � A M 0;1 B M � ; � C M � ; � D M (1;0) �2 � �2 � Đồ thị hàm số y x x mx m ( m tham số) ln qua điểm M cố định có tọa độ A M 1; B M 1; 4 C M 1; 2 nhiêu điểm cố định ? A B C Biết đồ thị Cm hàm số y x 2mx qua điểm M cố định m thay đổi, tọa độ điểm M A M 1;1 B M 1; C M 0; 2 D M 0;3 (m 1) x m Biết đồ thị Cm hàm số y m �0 qua điểm M xm cố định m thay đổi Tọa độ điểm M 1� � 1; � A M � B M 0;1 C M 1;1 D M 0; 1 2� � Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y x 3mx x 3m qua bao D 2x 1 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y cho khoảng cách x 1 từ điểm M đến tiệm cận đứng A M 0;1 , M 2;3 B M 2;1 � 3� � 5� 1; � 3; � C M � D M � � 2� � 2� Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y (1 m) x 3mx m qua điểm cố định ? A B Câu D M 1; 4 C D 2x 1 Tọa độ điểm thuộc đồ thị C hàm số y mà có tổng khoảng x 1 cách đến hai đường tiệm cận C A 4;3 , 2;1 C 2;5 , 0; 1 , 4;3 , 2;1 Câu 10 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y B 2;5 , 0; 1 D 2;5 , 4;3 x (1 m) x m (m �2) luôn qua x m điểm M xM ; yM cố định m thay đổi, xM yM A 1 B 3 C.1 D 2 ( C ) Câu 11 Cho hàm số y x mx x 4m có đồ thị A điểm cố định có m hồnh độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m 3 B m 6 C m D m 2 Câu 12 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? x2 Trang 4/25 A Câu 13 Trên đồ thị C B C D hàm số y x x x có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ? A B C D 3 Câu 14 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ số 2x 1 nguyên dương ? A B C D Câu 15 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 3x A B C D x4 y x2 x , x Câu 16 Gọi hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số , x1 x2 có giá trị A B C 2 D số điểm có tọa độ nguyên 4x 1 A B C D x 10 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? x 1 A B C 10 D x2 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 2x 1 A B C D 5x Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 3x A B C D x 11 Trên đồ thị (C ) hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? 4x A B C D x2 Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y cho x2 tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ A M (4; 3) B M (3; 5) C M (1; 3) D M (0; 1) Số cặp điểm thuộc đồ thị C hàm số y x 3x đối xứng với Câu 17 Trên đồ thị (C ) hàm số y Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 Câu 23 qua điểm I 2;18 A B C D Câu 24 Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C ) hàm số 3x , số điểm có hồnh độ lớn tung độ x 1 A B C y D Trang 5/25 Câu 25 Cho hàm số y x2 có đồ thị C Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x 1 C Biết tọa độ điểm M xM ; yM có hồnh độ dương thuộc đồ thị C cho MI ngắn Khi giá trị xM yM A B C D 2 ( C ) Câu 26 Cặp điểm thuộc đồ thị hàm số y x x đối xứng qua điểm I (2;18) A (1; 2) (3;34) B (3; 2) (1;34) C (0; 2) (4; 74) D (1; 2) (1; 6) Câu 27 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 x x đối xứng qua gốc tọa độ O A (3; 22) (3; 22) B (2;14) (2; 14) C (1;10) (1; 10) D (0; 4) (4; 40) Câu 28 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 x đối xứng qua đường thẳng d : y x A 1; 2; 10 B 2; 1 2;1 C 1; 2 1; Câu 29 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C đến tiệm cận ngang A M 3; C D 1; 1; 2 x 1 hàm số y mà có khoảng cách x2 B M 5; � 5� � 1� 4; � ,M � 0; � D M � � 2� � 2� Câu 30 Các giá trị thực tham số m để đồ thị (Cm ) hàm số y x3 x m có C M 5; , M 1;0 hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A 1 m B m �0 C m 3 Câu 31 Cho hàm số y D m x3 có đồ thị C Gọi d khoảng cách từ điểm M x 1 C đến giao điểm hai tiệm cận Giá trị nhỏ có d A B C D 2 x 1 Câu 32 Cho hàm số y có đồ thị C I giao điểm hai đường tiệm cận x 1 C Tiếp tuyến điểm M C cắt hai tiệm cận C A B Diện tích tam giác ABI A B C D x7 Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị C hàm số y , biết M có hồng độ a x 1 khoảng cách từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có a Trang 6/25 A a a D a a B a 1 x C a 1 a 2x Câu 34 Cho hàm số y có đồ thị C Gọi M điểm thuộc đồ thị C x2 d tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận C Giá trị nhỏ d đạt A B 10 C D 11 Câu 35 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y x3 x x mà chúng đối 3 xứng qua trục tung 16 � � 16 � � � 16 � � 16 � 3; �và � 3; � 3; �và �3; � A � B � 3� � 3� � � 3� � 3� 11 � � 11 � � 11 � � 11 � � 2; �và �2; � C �2; �và �2; � D � 3� � 3� � � 3� � 3� x x 15 C Câu 36 Có điểm M thuộc đồ thị hàm số y cách x3 hai trục tọa độ ? A B Có vơ số điểm M thỏa u cầu C D Khơng có điểm M thỏa yêu cầu Câu 37 Có điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y có tọa độ x 2x nguyên ? A B C D Câu 38 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y x 3( m 1) x 3mx luôn qua hai điểm cố định P xP ; yP Q xQ ; yQ m thay đổi, giá trị yP yQ A 1 B C D Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y 2x 1 cho khoảng cách x 1 từ điểm I ( 1; 2) đến tiếp tuyến C M lớn nhất.là A M 1 ; , M 1 3; C M 1 D M 1 , M 1 , M 1 3; 3; 2 B M 1 ; , M 1 3; 3;2 3;2 2 Câu 40 Tập hợp tất giá trị thực m để đồ thị (Cm ) hàm số x 4mx 5m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ x2 �1 � ;0 �\ A 0; � B � � � 13 �1 � �4 � C 1; � D �;0 �� ; ��� ; �� �2 � �3 � y Trang 7/25 Câu 41 Cho hàm số y 2x có đồ thị C Biết tiếp tuyến điểm M bất x2 kỳ C cắt hai tiệm cận C A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB A B C D 2 Câu 42 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y x2 cho M cách 2x 1 hai điểm A 2, B 0, � 1 1 � B � � , � � � � � 1 1 � A � � , � � � � 1 1 1 1 ; , , C 2 2 D Không tồn điểm M Câu 43 Khoảng cách ngắn từ điểm M y thuộc đồ thị C hàm số x2 2x đến I 1, x 1 A B 2 C 2 D 2 2x 1 Câu 44 Cho hàm số y có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc x 1 C đến hai tiệm cận C đạt giá trị nhỏ ? D Câu 45 Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị C hàm số A B C x3 , độ dài ngắn đoạn thẳng AB x3 A B C D Câu 46 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y x mx m 2016 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I (1;0) B I (1; 2016) C I (0;1) D I (0; 2017) x2 Câu 47 Cho hàm số y có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc x3 y C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? C D x 3x Câu 48 Cho hàm số y có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M x2 A B thuộc C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C Câu 49 Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y D x4 đối xứng qua x2 đường thẳng d : x y A 4; 1; 1 B 1; 5 1; 1 Trang 8/25 C 0; 2 3;7 D 1; 5 5;3 Câu 50 Cho hàm số y x mx m có đồ thị Cm Tọa độ điểm cố định Cm A 1;0 , 1;0 B 1;0 , 0;1 C 2;1 , 2;3 D 2;1 , 0;1 x 5x có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có 2x hồnh độ tung độ số tự nhiên A B C D Câu 52 Cho hàm số y x 2mx 2m có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có Câu 51 Cho hàm số y hoành độ dương (Cm ) Khi tiếp tuyến A (Cm ) song song với đường thẳng d : y 16 x giá trị m 63 64 Câu 53 Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc đồ thị C hàm số A m B m D m C m x2 4x đến đường thẳng d : y x y x2 A Câu 54 Cho hàm số y C B C 10 D 10 x 1 có đồ thị C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc x 1 đến hai tiệm cận C đạt giá trị nhỏ A B Câu 55 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C C 2 D x2 hàm số y cách hai đường x2 tiệm cận C A M 2;1 B M 0; 1 , M 4;3 � 7� � 1� 5; � , M �3; � C M � � 3� � 5� D M 2; Câu 56 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị C hàm số y độ A M 1; 1 , M 3;3 x3 cách hai trục tọa x 1 B M 1;3 C M 1; 1 D M 3;3 Câu 57 Tọa độ điểm M có hoành độ nguyên thuộc đồ thị C hàm số y có khoảng cách đến đường thẳng : x y A M 2;0 B M 2; C M 2; ; M 2;0 x2 x 1 D M 2; 2 Câu 58 Cho hàm số y m x m x m có đồ thị Cm Khẳng định sau khẳng định đúng? Trang 9/25 A Cm không qua điểm cố định B Cm có hai điểm cố định C Cm có ba điểm cố định D Cm có điểm cố định Câu 59 Điều kiện tham số m để đồ thị Cm hàm số y x 3m 1 x 2mx m có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Oy A m �0 B m C m 2 D m �2 Câu 60 Đồ thị hàm số y x mx 12 x 13 có hai điểm cực trị cách trục tung khi: A m 1 C m 1; m 2 D m 2 x 1 Câu 61 Hỏi đồ thị C hàm số y có điểm cách hai trục x2 tọa độ? A B C D 3x Câu 62 Tọa độ điểm thuộc đồ thị C hàm số y cách hai tiệm x2 B m cận C A M 1;1 ; N 4; 6 B M 1;1 ; N 3; C M 1;3 ; N 3;3 D M 1;3 ; N 3;3 Câu 63 Tọa độ hai điểm đồ thị C hàm số y x3 x cho hai điểm đối xứng qua điểm M –1; A 1;0 ; 1;6 B 1;0 ; 1;6 C 0; ; 2; D 1;0 ; 1;6 3 x Câu 64 Trên đồ thị C hàm số y có điểm có tọa độ nguyên ? x 1 A B C D x 1 Câu 65 Tọa độ tất điểm thuộc đồ thị C hàm số y cho tổng x2 khoảng cách từ điểm đến tiệm cận nhỏ A 1;1 D C 3;1 Câu 66 Đồ thị hàm số y xứng ? A K 1; 3 B 3;1 3;1 3;1 3x nhận điểm điểm sau làm tâm đối x 1 B N 3; 1 D I 3; 1 2x 1 Câu 67 Tọa độ điểm thuộc đồ thị C hàm số y cách tiệm cận x 1 đứng trục hoành A M 2;1 , M 4;3 B M 0; 1 , M 4;3 C M 0; 1 , M 3; C M 1; 3 D M 2;1 , M 3; Trang 10/25 x2 cho khoảng x2 cách từ điểm M đến tiệm cận ngang lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A B C D Câu 68 Có điểm M thuộc đồ thị C hàm số y C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 1 1 1 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B D 2 A B A A A C D C D D A 3 D C B C C B C D D C C 4 B A D B D B A B A D C 5 B A C C B B C B C D D 6 D B A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Câu Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 (m 1) x0 m, m �x0 �x0 � ( x0 1)m x0 y0 0, m � � �� � M (1; 2) x y y � �0 Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Trang 11/25 Ta có y0 x02 2mx0 m Câu � x � x � �0 �1 � � x0 1 m x0 y0 0, m � � �� � M � ; � �2 � �x0 y0 �y � Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 x0 3x0 mx0 m, m �x0 1 �x0 � ( x0 1) m x03 x02 y0 0, m � �3 �� � M (1; 4) �y0 4 �x0 3x0 y0 Câu Câu Câu Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có � x02 �x0 � 2 y0 x0 2mx0 3, m � x0 m y0 x0 0, m � � �� � M (0;3) �y0 �y0 x0 Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm (m 1) x0 m , m �0 � x0 y0 my0 mx0 x0 m, m �0 Ta có y0 x0 m �y0 x0 �x0 � m( y0 x0 1) x0 y0 x0 0, m �0 � � �� � M (0;1) x y x y �0 0 �0 Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có: y0 x03 3mx02 x0 3m, m � x02 �x0 �x0 1 � � 3(1 x )m x x0 y0 0, m � �3 �� � �y0 �y0 �x0 x0 y0 Vậy đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định Chọn A � 2a � a; � C với a �1 Gọi M � � � a 1 � Tiệm cận đứng C x Câu a0 � Ta có a � � Vậy M 0;1 , M 2;3 a2 � Trang 12/25 Câu Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 (1 2m) x0 3mx0 m 1, m � x04 3x02 � � (2 x x 1) m y0 x 0, m � � �y0 x0 Câu 1 � � x0 x0 � � �x0 1 �x0 � � 2 �� � � � �y0 �y0 �y �y �0 �0 4 Vậy đồ thị hàm số cho qua bốn điểm cố định Chọn C � 2a � a; � C với a �1 Gọi M � � � a 1 � Tiệm cận đừng tiệm cận ngang C có phương trình x 1, y Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 a 2a 2 a 1 a 1 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nên ta có: a4 � �a � a 2 h1 h2 � a � a 1 a 1 � � �� � a2 a 1 �a � a0 � Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang h2 Vậy điểm cần tìm là: 2;5 , 0; 1 , 4;3 , 2;1 Câu 10 Chọn C Gọi M xM ; yM điểm cố định cần tìm xM2 (1 m) xM m , m �2 Ta có yM xM m � xM yM myM xM2 xM mxM m , m �2 � ( xM yM 1)m xM yM xM2 xM 0, m �2 �xM yM �yM xM �� � � xM yM xM2 xM xM (1 xM ) xM2 xM � � �x 1 � �M � M (1; 2) �yM Vậy xM yM Câu 11 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 điểm cố định cần tìm Ta có y0 x03 mx02 x0 4m, m � �x0 2 �x0 � ( x02 4) m x03 x0 y0 0, m � � �� � A(2;10) x0 x0 y0 �y0 10 � 3 x 2mx � y� (2) 4m 13 Lại có y � Phương trình tiếp tuyến (Cm ) A(2;10) có dạng y (4m 13)( x 2) 10 hay y (4m 13) x 8m 16 ( ) Trang 13/25 Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình d : y x Vì vng góc với d nên ta có 4m 13 1 � m 3 Câu 12 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��\ 2 , y0 �� �x0 ��\ 2 � �� � x0 � 2; 1;1; 2 � x0 � 4; 3; 1;0 � � �x �0 Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13 Chọn A 3 Gọi A a ; a 5a 6a 3 , B b ; b 5b 6b hai điểm qua gốc tọa độ, ab � � � 10a � a � �3 2 a b 5 a b a b � Câu 14 Chọn D * * Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 �� , y0 �� C đối xứng ta có �x0 ��* � �� � x0 1� 1;3 � x0 � 1; 2 � � * �2 x � � M (1; 1), M (0; 3), M (1;3) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên dương Câu 15 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � �2 � �� � x0 � 4; 2; 1;1; 2; 4 � x0 �� ;0; ;1; ; � �3 3 �3x �� � Do x0 ��� M (0; 2), M (1; 4) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16 Chọn D 2 2 � y� x x, y � x � x1.x2 x1.x2 Vậy Ta có Câu 17 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � � 1 7� �� � x0 1� 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6 � x0 �� ; ; ;0; ; ;1; � �4 4 �4 x �� � Do x0 ��� M (0; 6) M (1; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � �� � x0 1� 9; 3; 1;1;3;9 � x0 � 10; 4; 2;0; 2;8 �y0 x �� � � M (10;0), M (4; 2), M (2; 8), M (0;10), M (2; 4) M (8; 2) Vậy đồ thị (C ) có sáu điểm có tọa độ số nguyên Trang 14/25 Câu 19 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � �� 1� � � x0 1� 5; 1;1;5 � x0 � 2; 0;1;3 1 �� � �y0 � � x0 � � x0 2 � y0 � M ( 2;0) x0 � y0 � M (1;3) x0 � y0 2 � M (0; 2) x0 � y0 � M (3;1) Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ số nguyên Câu 20 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� 10 � � � �� 1� 4; ;0; � 11 � � x0 � 11; 1;1;11 � x0 �� 5 �� 3 � � �y0 � � 3x0 � � x0 4 � y0 � M ( 4; 2) x0 � y0 2 � M (0; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � � 5� �� � x0 � 7; 1;1;7 � x0 �� ; ; ; � �4 4 �y0 x �� � Do x0 �� nên đồ thị (C ) khơng có điểm có tọa độ nguyên Câu 22 Chọn A a2 � a2� 1 a �4 a; � C ; a a �2 , ta có d a Gọi M � � a2 a2 � a2� a0 � Dấu " " xảy a � a � � a4 � Kết luận M (4;3) Câu 23 Chọn B Gọi M x; y điểm đồ thị C , gọi N điểm đối xứng với M qua I, ta có N x;36 y Vì N thuộc C , ta có � 36 y x x � � x x x x 38 � x � �y x 3x Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị C thỏa mãn yêu cầu đề Câu 24 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � �� � x0 1� 8; 4; 2; 1;1; 2; 4;8 � x0 � 7; 3; 1;0; 2;3;5;9 y � � � x0 � � M (7; 2), M (3;1), M (1; 1), M (0; 5), M (2;11), M (3;7), M (5;5) M (9; 4) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề Câu 25 Chọn A Trang 15/25 � a2� a; � C với a 0, a �1 ; tọa độ giao điểm tiệm cận I 1;1 , ta Gọi M � � � a 1 � có �a � MI a 1 � 1� a 1 �6 �a � a 1 2 Dấu " " xảy a 1 � a 1 9� � Vì M có hồnh độ a 1 � 1; 1 nên xM yM dương nên chọn a , suy M Câu 26 Chọn A 3 Gọi A( x A ; x A x A 2), B( xB ; xB 3xB 2) hai điểm (C ) đối xứng qua I (2;18) (1) �x A xB �x A xB xI � �3 Ta có: � �y A yB yI �x A 3x A xB 3xB 36 (2) xA � xB � 3 Thay (1) vào (2) ta xA xA (4 x A ) 3(4 x A ) 36 � � x A � xB � Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2) , B (3;34) Câu 27 Chọn C Gọi A( xA ; xA3 x A2 xA 4), B( xB ; xB3 xB2 xB 4) hai điểm (C ) đối xứng qua gốc tọa độ (1) �x A xB �x A xB xO � �3 Ta có � �y A yB yO �x A x A x A xB xB xB (2) Thay (1) vào (2) ta x 1 � x B � x3A x A2 x A ( x A )3 4( x A ) 9( x A ) � �A x A � x A 1 � Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10) , B (1; 10) Câu 28 Chọn D 3 Gọi A a; a a , B b; b b hai điểm (C ) đối xứng qua đường thẳng d : y x hay d : x y (1) r �I �d Ta có: �uuur r (với I trung điểm AB u d (2; 1) vecto �AB.u d (2) phương d ) a a b3 b ab Từ (1) ta có 2 2 � (a b)(2a 2ab 2b 3) � a b (3) 3� � � �2 (vì 2a 2ab 2b � a ab b � � a b � b 0, a, b ) 2� � � � uuur 2 Với AB b a;(b a )(a ab b 2) , từ (2) ta có 2 2(b a ) (b a)(a ab b 1) � (b a )(a ab b 1) � a ab b (4) (Vì a �b ) Trang 16/25 a � b 1 � 2 Thay (3) vào (4) ta a a a � � a 1 � b � Vậy cặp điểm cần tìm A 1; , B 1; 2 Câu 29 Chọn C Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y a5 � a 1 � a 1 � C , a Ta có 1 � 1� � Gọi M �a; � a 1 a2 a2 � a2� � Vậy M 5; , M 1;0 Câu 30 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 �0 cho y ( x0 ) y ( x0 ) � tồn x0 �0 cho x03 x02 m � ( x0 )3 3( x0 )2 m � � �� tồn x0 �0 cho x0 m � m Câu 31 Chọn D � a 3� � C với a �1 ta có Giao điểm hai tiệm cận I 1;1 , gọi M �a; � � a 1 � �a � MI � 1 � 1� a �a � 2 a 1 16 a 1 MI 2 Câu 32 Chọn A Phương pháp tự luận Tiệm cận x 1, y � I 1,1 Gọi � m 1 � M� m, �(C ) , ta tìm tọa độ � � m 1 � � m3� A� 1, �, B 2m 1,1 � m 1 � 1 m3 2m Diện tích S IA.IB 2 m 1 Phương pháp trắc nghiệm ax b Cho đồ thị hàm số (C ) : y Gọi M điểm tùy ý thuộc C Tiếp tuyến cx d M cắt hai tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI ln số Cách tính nhanh: Chọn M 2,3 thuộc C Viết phương trình tiếp tuyến M d : y =- x + Khi A 1,5 , B 3,1 IA = 4, IB = Tam giác ABI tam giác vuông I Diện tích S ABI = IA.IB = Câu 33 Chọn D Theo giả thiết ta có : �x � vô n �x x � y 3x 3x x � y 3 x � � �� �� �� � y x x x �x x x � � � 3x � �x � Nhắc lại: Điểm M �(C ) : y f x cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng cách từ M tới Oy có hồnh độ nghiệm phương trình �f x kx f x kx � � �f x kx Trang 17/25 Cách khác: a 1 � a7 � a7� � a; 3a � Gọi M � �với a �1 Theo đề ta có: � a 1 a � a 1 � � Câu 34 Chọn C � 2a � a; � C với a �2 , ta có Gọi M � � � a2 � 2a d a2 2 a2 �2 a2 a2 Vậy giá trị nhỏ d Câu 35 Chọn B Phương pháp tự luận 11 � � 11 � � , B �xB ; xB3 xB2 xB �là hai điểm (C ) đối Gọi A �x A ; x A x A xA � 3� � 3� � xứng qua trục tung (1) �xB x A �x A xB � � �1 Ta có � 11 11 x A x A2 3x A xB3 xB2 3xB (2) �y A y B � 3 �3 Thay (1) vào (2) ta được: x 3 � x B � 11 11 x3A xA2 xA ( xA )3 ( xA ) 3( xA ) � �A x A � x A 3 3 3 � � 16 � � 16 � 3; �, B � 3; � Vậy có hai cặp điểm cần tìm A � � 3� � 3� Phương pháp trắc nghiệm �x A xB Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung � kiểm tra điểm có �y A yB thuộc đồ thị không Câu 36 Chọn C Gọi M xM , yM , xM �3 thỏa u cầu tốn Ta có: 15 � � xM � y x �M M � xM � � � �y �x �y 15 �M M �M Câu 37 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � �� � x02 x0 � 2; 1;1; 2 � � �x x �0 x02 x0 2 (vô nghiệm) x02 x0 � x0 1 � y0 � M (1; 2) x0 � y0 � M (0;1) � x0 x0 � � x0 2 � y0 � M (2;1) � Vậy có đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 38 Chọn B Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm x02 x0 1 (vô nghiệm) Ta có y0 x0 3(m 1) x0 3mx0 2, m Trang 18/25 � �x0 x0 � 3( x x0 )m y0 x 3x 0, m � � �y0 x0 3x0 �x0 �x0 1 �� � �y0 �y0 Suy P 1; , Q(0; 2) P 0; , Q(1; 4) nên yP yQ Câu 39 Chọn C � x0 � �(C ) với x0 �1 Tiếp tuyến M có phương trình � x � � Gọi M �x0 ; y x0 ( x x0 ) x0 ( x0 1) hay x ( x0 1) y x02 x0 Khoảng cách từ I ( 1;2) tới tiếp tuyến d 3 2( x0 1) x02 x0 x0 1 x0 ( x0 1) ( x0 1) 2 ( x0 1) ( x0 1) 2 6 , d Khoảng ( x0 1) ( x0 1) x0 1 3 x0 ( x0 1) Theo bất đẳng thức Côsi: cách d lớn Vậy : M 1 ; , M 1 ; Câu 40 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 �2 x0 �0 cho y ( x0 ) y ( x0 ) x02 4mx0 5m ( x0 ) 4m( x0 ) 5m � tồn x0 �2 x0 �0 cho x0 ( x0 ) � tồn x0 �2 x0 �0 cho (1 2m) x02 5m �� m0 �� 5m(1 2m) � �� � m �� (1 m).4 5m �0 � �� � � (1 m).0 5m �0 � � m� � Câu 41 Chọn D 1 � � y ' m m; � C m � Lấy điểm M � với Ta có � m 2 m2� � 1 x m Tiếp tuyến M có phương trình d : y m2 m 2 � � 2; Giao điểm d với tiệm cận đứng A � � m2� � Giao điểm d với tiệm cận ngang B 2m 2; Trang 19/25 � � 2 �8 , suy AB �2 Dấu “=” xảy m 2 Ta có AB � 2� m � � � � m , nghĩa m m 1 Câu 42 Chọn C Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm phương trình : � 1 x � x2 2 x � x x 1 � � 2x 1 � 1 x � � 1 Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán 1 , ; , 2 Câu 43 Chọn C Gọi M x; y thuộc C , ta có 2 uuur 1 � 2 � � � IM x 1; y � IM x 1 �x � x 1 �x � x � 4 44�2 4 x44 13� � g ( x) Mà g ( x) x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 � IM 2 Đạt x 1 x 1 x 1 �2 2 � x 1 � � x 1 � � � x 1 � � 4 Câu 44 Chọn B Phương pháp tự luận � � Gọi M �xM , �thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận xM � � đứng tiệm cận ngang Khi MH xM MK Do xM 1 MH MK xM �2 Cauchy xM xM 2 � yM � Suy MH MK bé xM 1 � � xM � yM � Phương pháp trắc nghiệm ax b Cho đồ thị hàm số C : y Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, cx d ad - bc tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận có độ dài nhỏ c2 Câu 45 Chọn A Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa x A � 6 1 1 1 với số , đặt x A , suy y A xA 3 Trang 20/25 Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB � với số , đặt 6 1 1 2 xB , suy yB xB 3 3 Vậy AB xB xA y B y A 2 � � � �� 6� � 1 � � 1 � 3 3 � � � � � � � �� � � � 2 �6 � 2 �1 � g ( ; ) � � � � � � � � � 36 � 2 � 1 2 � � � Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có � 36 � 144 g ( ; ) � 2 2 � 2 � 4 �2 4.144 48 � � Vậy AB � 48 Dấu đẳng thức xảy vả � � � � �� � � 144 � � 36 � � Vậy độ dài AB ngắn Câu 46 Chọn D Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm 2 Ta có y0 x0 mx0 m 2016, m � ( x0 1)m x0 y0 2016 0, m � �x0 �x0 1 �x0 � �4 �� � �x0 y0 2016 �y0 2017 �y0 2017 �M (1; 2017) �M ( 1; 2017) �� � �N ( 1; 2017) �N (1; 2017) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN I (0; 2017) Câu 47 Chọn B Điểm M nằm trục Ox : M (2;0) � d M 2 Điểm M nằm trục tung : d M 2 2 3 2 � dM x y 3 2 Xét điểm M có hồnh độ thỏa mãn x ; y � y (*) 3 2 Trường hợp : �x � Do (*) : d M x y 3 2 5 ; d 'M 1 Trường hợp : x 0; y � d M x 3 x3 x 3 Xét điểm M có hoành độ x � x 3 d 'M � � Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến x 3 � �2 � với x �� ;0 � Vậy d M d M (0) �3 � Câu 48 Chọn D Trang 21/25 � 3� 0, �nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục d = Điểm M � � 2� 3 Xét điểm M có hồnh độ lớn � d x y 2 Xét điểm M có hồnh độ nhỏ : 3 Với x � y � d x y 2 1 0 Với x 0; y � d x x x x ; d ' x 2 Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy d y Câu 49 Chọn B Gọi đường thẳng vng góc với đường thẳng d : y x suy : y 2 x m Giả sử cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B Khi hồnh độ A, B nghiệm phương trình �x �2 x4 � 2 x m � � x ( m 3) x 2m 4 44 4 43 x2 � h( x) � Điều kiện cần: Để cắt (C ) hai điểm phân biệt phương trình h( x) có hai nghiệm � 0 m 54 � m 10m 23 � �� �� phân biệt khác , tức � (*) h(2) �0 6 �0 m 54 � � � Điều kiện đủ: Gọi I trung điểm AB , ta có: � m3 x � x A xB � �xI �I �m 3m � �� �I� ; � � m � � � � y x m y m �I I �I A , B Để hai điểm đối xứng qua d : x y I �d m3 3m � � m 3 (thỏa điều kiện (*)) x 1 � y 1 � Với m 3 phương trình h( x) � x � � x � y 5 � Vậy tọa hai điểm cần tìm 1; 5 1; 1 Câu 50 Chọn A Gọi x, y điểm cố định họ đồ thị Cm : y x mx m , ta có y x mx m 1, m � x 1 m x y 0, m �x �x 1 �x � �4 �� ;� �y �y �x y Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định 1;0 , 1;0 Câu 51 Chọn B Trang 22/25 Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ��, y0 �� �x0 �� � �� 1� � � x0 � 8; 4; 2; 1;1; 2; 4;8 � x0 � 9; 5; 3; 2;0;1;3;7 �� �y0 �x0 x � � � � Do x0 ��nên x0 � y0 � M (0;1) x0 � y0 (loại) x0 � y0 (loại) x0 � y0 � M (7;1) Câu 52 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 điểm cố định cần tìm Ta có: y0 x0 2mx0 2m 1, m �x02 �x0 ( x0 0) � �� � A(1;0) � 2m( x 1) x y0 0, m � � x0 y0 �y0 � 4 x 4mx � y� (1) 4m Lại có y � Phương trình tiếp tuyến (Cm ) điểm A(1;0) có dạng y (4m 4)( x 1) hay y (4m 4) x 4m () 4m 16 � �m �� � m Vì song song với d nên � 4m �0 m �1 � � Câu 53 Chọn D � � �(C ) Gọi M �x, x � x2� � Khoảng cách từ M đến d h M;d cho h( M ; d ) 3x y 10 1 1 3x x x 2 x2 x2 10 10 Khi x : 1 �4 dấu xảy 4( x 2) � x 2 � x Ta có 4( x 2) x2 x2 4 Vậy h M;d đạt giá trị nhỏ 10 Khi x �4 Ta có 4 x x 2 1 � x 2 � x Dấu xảy � 4 x x2 4 Vậy h M;d đạt giá trị nhỏ 10 Câu 54 Chọn C a 1 � a 1 � 1 a 1 �2 a; � C với a �1 ta có d a Gọi M � � a 1 a 1 � a 1 � Câu 55 Chọn B a0 � a2 � a2� a � a � a; � C a � Gọi M � với ta có Vậy � � a4 a2 a2 � a2� � M 0; 1 , M 4;3 Trang 23/25 Câu 56 Chọn A � a 2a a 1 � a3 � a 3� � C với a �1 ta có a � �2 �� Gọi M �a; Vậy � a3 a 1 � a 1 � a 3 � � M 1; 1 , M 3;3 Câu 57 Chọn C � a2� a; � C với a �1 ta có Gọi M � � � a 1 � a � a 1 a2 � 1 a a3 � a 2a a 1 a 1 � � �2 �� � a 2 a 4 a � � � a 2 � Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu M 2; ; M 2;0 Câu 58 Chọn C Gọi M x0 ; y0 điểm cố định họ đồ thị Cm , ta có y0 m x03 m x0 m 7, m � x03 x0 1 m x03 x0 y0 0, m �x03 x0 � �� x0 x0 y0 � Vì hệ có nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có điểm cố định Câu 59 Chọn B Gọi M x, y , N x, y hai điểm thuộc đồ thị Cm đối xứng qua trục tung Ta có x 3m 1 x 2mx m x 3m 1 x 2mx m x0 � � x 4mx � �2 x 2m � Vậy m Câu 60 Chọn B ' � m 72 � � � m Vậy m Ta có y ' x 2mx 12 Điều kiện � � m �S � Câu 61 Chọn C � a2 a a 1 � a 1 � M a , � C a � Gọi với a �2 , ta có �2 � � a2 a 3a � a2� � Phương trình có nghiệm nên đồ thị có điểm cách hai trục tọa độ Câu 62 Chọn B a 1 � 3a � 3a � a, � C với a �2 ta có a � a 2 � � Gọi M � Vậy � a3 a2 � a2 � � M 1;1 ; N 3; Câu 63 Chọn C 3 Gọi A a, a 3a , B b, b 3b hai điểm C đối xứng qua a b 2 � M –1; 3 , ta có: � a 3a b3 3b � Trang 24/25 a b 2 � a b 2 a0 � a 2 � � � �� �� �� �� b 2 � b0 a b 3ab a b a b �ab � � Câu 64 Chọn D x 1 x3 � � � � x 2 � x 1 x x 1 2 1 �� � Ta có y � x 1 x2 x 1 x 1 x 1 � � � x 1 � x0 � Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán Câu 65 Chọn D a 1 � a 1 � 1 a �2 a; � C với a �2 Ta có d a Gọi M � � a2 a2 � a2� Dấu " " xảy 2 3;1 3;1 a 2 � a 2 3� � Vậy hai điểm a 2 � Câu 66 Chọn D Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M 1; 3 Câu 67 Chọn B � 2a � a; � C với a �1 Gọi M � � � a 1 � � a a 2a a0 � 2a � �2 � a 4a � � Ta có a a4 a 1 a a 2a � � Vậy điểm cần tìm là: M 0; 1 , M 4;3 Câu 68 Chọn A � a2� a; � C với a �2 Gọi M � � � a2� a2 1 � a � a 4a Ta có a a2 a2 � 5a 20a 16 � a Vậy có hai điểm cần tìm 10 �2 5 Trang 25/25