(Luận án) DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ

Giải tích (GT) luôn được xem là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của trí tuệ loài người. Nó không chỉ chứa đựng những ý tưởng lớn làm thay đổi toán học mà còn đem đến một sức mạnh thực tiễn to lớn thể hiện qua các ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực. Điều này giải thích cho sự công nhận rộng rãi của các nhà nghiên cứu giáo dục về vai trò quan trọng của dạy học (DH) GT trong nhà trường ở cả bậc phổ thông lẫn đại học. Mỗi khái niệm toán học nói chung và GT nói riêng đều có hai mặt là đối tượng và công cụ, vì thế hai mục tiêu cơ bản thường được bàn đến trong DH là làm cho học sinh (HS) hiểu khái niệm và sử dụng được nó như một công cụ. Tuy nhiên, do sự trừu tượng của các khái niệm GT mà mục tiêu “hiểu” chúng có lúc bị việc DH bỏ qua. Có lẽ vì thế mà Hội nghị cải cách giáo dục tổ chức ở đại học Tulane năm 1986 đã xác định “hiểu khái niệm” là một mục tiêu trọng tâm của DH GT (Douglas, 1986). Kể từ đó, mục tiêu này luôn nhận được sự quan tâm của cộng đồng giáo dục toán. Đối với mục tiêu còn lại, trong vài thập kỉ gần đây nhiều nhà nghiên cứu giáo dục kêu gọi DH Toán dành sự quan tâm lớn hơn cho ứng dụng của GT

Lídochọnđềtài

Mộtsốvấnđềđặtrachodạyhọc giảitích

Giải tích (GT) luôn được xem là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của trí tuệloài người Nó không chỉ chứa đựng những ý tưởng lớn làm thay đổi toán học mà cònđemđếnmộtsứcmạnh thựctiễntolớnthểhiệnquacácứngdụnghiệuquảtrongnhiềulĩnhvực.Điềunàygiảithíchchosựcôn gnhậnrộngrãicủacácnhànghiêncứugiáodụcvềvaitròquantrọngcủadạyhọc(DH)GTtrongnhàtr ườngởcảbậcphổthônglẫnđạihọc.

Mỗi khái niệm toán học nói chung và GT nói riêng đều có hai mặt là đối tượng vàcông cụ, vì thế hai mục tiêu cơ bản thường được bàn đến trong DH là làm cho học sinh(HS)hiểukháiniệmvàsửdụngđượcnónhưmộtcôngcụ.Tuynhiên,dosựtrừutượngcủa các khái niệm GT mà mục tiêu “hiểu” chúng có lúc bị việc DH bỏ qua Có lẽ vì thếmà Hội nghị cải cách giáo dục tổ chức ở đại học Tulane năm 1986 đã xác định “hiểukhái niệm” là một mục tiêu trọng tâm của DH GT (Douglas, 1986) Kể từ đó, mục tiêunàyluônnhậnđượcsựquantâmcủacộngđồnggiáodụctoán.Đốivớimụctiêucònlại,trongvàithậ pkỉgầnđâynhiềunhànghiêncứugiáodụckêugọiDHToándànhsựquantâm lớn hơn cho ứng dụng của GT vào các ngữ cảnh ngoài toán học Theo các nhànghiêncứu,điềuđótrướchếtmanglạiđộngcơthựctiễnchoviệchọcGTvàgiúpngườihọcsửdụngđ ượcGTtrongcáclĩnhvựckhác.Rồichínhviệclàmchủđượcnhữngứngdụng đó lại giúp người học hiểu một cách sâu sắc và đầy đủ hơn các khái niệm GT vốnrấttrừutượng.

Tuynhiên,trongthựctế,nếunhìntừhaimụctiêunóitrênthìviệcDHGTởtrườngTrung học phổ thông (THPT) hiện nay phải đối mặt với nhiều vấn đề Dưới đây là nhữngvấnđềcơbảnđãđượccộngđồngcácnhànghiêncứuchỉra.

1.1.1 Người học thành thạo tính toán nhưng không hiểu được các khái niệm và kĩthuậtcủagiảitích Ở chương trình DH Toán phổ thông, hai trong số những bước chuyển quan trọngmàHSphảitrảiqua,đólàtừSốhọcvàoĐạisốvàtừĐạisốvàoGT.ỞmỗibướcchuyểnHS đều phải đối diện với những khó khăn Nhưng khó khăn ở hai bước chuyển nàykhônggiốngnhau.BướcchuyểnthứnhấtlàmnảysinhởHSnhiềusailầmliênquanđếnsựkháiquát hóa(cáctínhchất,quytắctínhtoántrêncácsốchocácbiểuthứcđạisố).

Tuy nhiên, bản chất hữu hạn và rời rạc của đối tượng vẫn không thay đổi và vì thếphương pháp nghiên cứu không có quá nhiều sự khác biệt Điều này không còn đúng ởbướcchuyểntừĐạisốvàoGT.GTnghiêncứucácđạilượng,cácquátrìnhvôhạn,biếnthiên liên tục, và phải sử dụng những phương pháp và kĩ thuật khác hẳn với Đại số nhưchianhỏ,lậptổngvôhạn,xấpxỉ,đóngkhung(chặntrên,chặndưới).Nhiềunghiêncứucho thấy những khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân và các kĩ thuật củaGTkhóhiểukhôngchỉvớiHSphổthôngmàthậmchícòncảvớisinhviên(SV)đạihọc(Orton,1983a; 1983b;Tall, 1993).

Mặc dù vậy các phép toán lấy giới hạn hay tính toán đạo hàm và tích phân lại cóthể được thực hiện theo những quy trình đại số mà không bắt buộc phải hiểu khái niệmmột cách đầy đủ Ở điểm này, Doorman và Van Maanen (2008) nhận định rằng “GT làmột trong những chủ đề toán học mà những thao tác thuật toán trên các kí hiệu thì dễdànghơnviệchiểuthấubảnchấtkháiniệm”(tr.4).

Những ghi nhận nói trên đã dẫn đến một xu hướng khá phổ biến trong DH GT ởbậc THPT – xu hướng đại số hoá GT Theo xu hướng này, người ta không chú trọngvào yêu cầu hiểu khái niệm mà chỉ tập trung vào các tính toán đại số (theo quy tắc,chẳnghạn như đạo hàm của hàm hợp hay tích phân từng phần), nhằm mục đích tránh choHSphải đương đầu với những khó khăn của phương pháp GT Dù có thể giúp người họcthành thạo trong tính toán hay giải quyết những dạng toán theo quy trình có sẵn, xuhướng DH này vẫn vấp phải sự phê phán từ nhiều nhà giáo dục toán học Họ cho rằngđó không phải là DH GT, bởi lẽ người học có thể không thật sự hiểu được ý nghĩa vàcấu trúc của các khái niệm cũng như những kĩ thuật mà mình đang sử dụng Zandieh(2000) đưa ra thuật ngữ “giả khái niệm” để nói về điều này Tall (1993) cũng cho rằngviệc hạ thấp cách hiểu khái niệm xuống thành các kĩ thuật tính toán đại số là một sựđánhtráovấnđềtrongDHGT.ĐólàcònchưanóikiểuDHnàycóthểdẫnHSđếnviệcthaotáctrêncá cđốitượngvôhạnnhưvớicácđốitượnghữuhạncủaĐạisố,từđóphạmphải nhiều sai lầm Nhiều công trình nghiên cứu ở các nền giáo dục khác nhau trên thếgiớiđãxácnhậnmộtsựhiểubiếtkhôngđầyđủcủacảHSphổthông lẫnSVđạihọcvềcác khái niệm của GT, dù các em thể hiện sự thành thạo đáng kể trong các nhiệm vụtính toán (Orton,1983a; 1983b; Bezuidenhout, 1998; Bezuidenhout và Olivier,2000;Jones,2015a;2015b;Wagner,2017).

GTcómộtsứcmạnhthựctiễntolớn.Điềunàythểhiệnởnhữngứngdụngđadạngvà hiệu quả của nó trong thực tế và nhiều lĩnh vực khoa học, đặc biệt là Vật lí, vốn cómối liên hệ mật thiết nhất với GT trong suốt lịch sử Thậm chí theo Kleiner (2001) thìGT là “công cụ định lượng chủ yếu cho việc nghiên cứu các vấn đề khoa học trong bathế kỉ gần đây (…) mà nếu không có nó thì Vật lí và kĩ thuật hiện đại sẽ không thể tồntại”(tr.138).Vìthế,việcDHGTkhôngthểchỉtậptrungvàonhiệmvụgiảicácbàitoántoán học thuần tuý mà bỏ qua cơ hội giúp người học thấy được vai trò công cụ quantrọngcủa GTtrongVậtlí.

Từ điểm này, nhiều nghiên cứu lại cho thấy người học gặp khó khăn khi vận dụngkiến thức GT mà mình được học ở lớp học toán để giải quyết các nhiệm vụ của Vật lí.Chẳng hạn, theo điều tra của Redish et al (1996) thì nhiều SV mặc dù có thể sử dụngkiến thức GT để giải quyết thành công các vấn đề toán học nhưng lại không thể làmđượcđiềutươngtựtrongngữcảnhvậtlí.NghiêncứucủaJones(2010,2015a)xácnhậnrằngdườn gnhưkiếnthứctoáncủangườihọcđãkhôngđượckíchhoạtthànhcôngtrongcác lớp học khoa học Vấn đề không hẳn là ở sự thiếu hụt kiến thức Chẳng hạn, nhưBajracharya và Thompson (2014), hay Ngô Minh Đức (2019), đã chỉ ra, kể cả khi cóđầyđủkiếnthứctoánvàvậtlícầnthiết,người họcvẫngặpkhókhăntrongviệcnốikếtnhững hiểu biết này để giải quyết các vấn đề của Vật lí bằng công cụ GT Thậm chí,nhiềuHSkhôngbiếtnhữngkiếnthứcGTcácemđượchọccóứngdụnggìtrong

Vậtlí,khinàovàtạisaonólạiđượcsửdụngtrongnhữngvấnđềđó(López-Gay&Torregrosa,2015) Giải thích hiện tượng này, Jones (2010) nhận định nguyên nhân nằm ở chỗ “cáckhóa học GT thành công trong việc cung cấp cho SV một dạng của kiến thức, dạng cầnthiết để giải quyết các nhiệm vụ trong lớp học toán, nhưng lại không chuẩn bị cho việcsửdụngkiếnthứcnàymộtcáchthànhcôngtrongcáclớphọckhoahọc”(tr.2).

DạyhọcliênmônToánvàVật lí, một xu hướngđểkhắcphục

Hai vấn đề chính cần giữ lại từ các phân tích ở trên Thứ nhất, cần tìm một cáchDHcóthểgiúpHShiểuđầyđủhơnvềbảnchấtkháiniệmvàgiúpcácemlàmquenvớicác kĩ thuật của GT Thứ hai, cần làm cho HS vận dụng được kiến thức GT vào Vật lí,hayítralàhiểuđượcnhữngứngdụngđadạngcủaGTxuấthiệntrongchươngtrìnhvậtlíTHPT.Giả iphápnàogiúpđạtđược haimụctiêunày?

NhiềunhànghiêncứugiáodụcđãtiếnhànhxemxétsựhìnhthànhvàtiếntriểncủaGTtronglịchs ửđểtìmkiếmnhữngcáchtiếpcậnphùhợphơntrongDH(Kaput,1994;Lê Thị Hoài Châu, 2004; Doorman & Van Maanen, 2008; Bressoud, 2011) Việc phântích lịch sử cho thấy một mối liên hệ chặt chẽ giữa GT với những động lực đến từ thựctiễn và các ngành khoa học Nói riêng, đã có một gắn kết vô cùng mật thiết giữa GT vàVật lí trong suốt lịch sử Nhiều vấn đề mà Vật lí đặt ra đã là động cơ thúc đẩy sự nảysinh và tiến triển các khái niệm của GT. Ở chiều ngược lại, công cụ mà GT mang đếngiúpVậtlígiảiquyếtnhiềuvấnđềcủamình.Mốiquanhệhỗtrợlẫnnhaugiữahaikhoahọcnàyđãtạ oranhữngbướcpháttriểnvượtbậctronglịchsửvănminhloàingười.Cácnhà nghiên cứu cho rằng nó nên được tận dụng trong việc DH các kiến thức GT ở nhàtrườnghiệnnay.

Ta tìm thấy ở đây một giải pháp để vượt qua hai khó khăn kể trên trong việc hiểuvà ứng dụng các khái niệm của GT: đó là tận dụng sự gắn kết giữa Toán học và Vật líhọcvàoquátrìnhDHđểhaimônhọccóthểhỗtrợlẫnnhau.Hướngnghiêncứunàyđưađến một xu hướng DH thường được gọi là “tích hợp (TH) – liên môn (LM) toán và cácmôn khoa học 1 ” Đây là hướng nghiên cứu mà theo Berlin và White (1999) đã được đềcậptừ đầuthếkỉ20và cònđượcquantâmnhiềuhơntrongvàithậpkỉtrởlạiđây.

Nằm trong xu hướng nói trên, nhiều mô hình bàn về sự gắn kết giữa toán và cácmôn khoa học đã được các nhà nghiên cứu xây dựng Trong đó, người ta thường nhấnmạnhđếnhaitươngtácLMchủyếusauđây:

1/Toán học – ngữ cảnh khoa học (Math – Science context): khoa học cung cấpnhững ngữ cảnh, nguyên lí, nội dung đem lại ý nghĩa và lí do ra đời cho khái niệmtoánhọc.

2/Khoahọc–ứngdụngToánhọc(Science– applyMath):nhấnmạnhToánhọcnhưlàcôngcụgiúpgiảiquyếtcácvấnđềcủacáckhoahọc. Bịthuhútbởixuhướngnghiêncứutrên,chúngtôiđặtracâuhỏi xuấtphátsauđây: LàmthếnàotậndụngnhữnggắnkếtgiữaToánvàVậtlívàoDHGTởtrườngTHP

T,nhằm mang lại nhiều lợi ích hơn cho cả hai môn học? Cụ thể hơn là nhằm giúp HSvừa vượt qua được những khó khăn trong việc hiểu các khái niệm trừu tượng củaGT,vừa ứngdụng đượcGTvàocácvấn đềcủa Vật lí Câu hỏi xuất phát nàychính là

1 Cácmônkhoahọcởđâychỉnhữngmônhọcđượcdạytrongchươngtrìnhgiáodụcphổthôngnhư:Vậtlí,Hóa, Sinh, … độnglựcđưachúngtôiđếnvớihướngnghiêncứuDHmộtsốkháiniệmcủaGTởtrườngTHPTtheocáchti ếpcậnLM Toánvà Vậtlí.

Lựachọn đốitượngtrithức

Những bài học mở đầu về GT phải đi từ một số khái niệm cơ bản là giới hạn, liêntục, đạo hàm và tích phân Trong những khái niệm này, chúng tôi lựa chọn hai kháiniệm đạo hàm và tích phân cho định hướng tiếp cận LM Toán và Vật lí Lý do lựachọnđóđượchình thành từ nămluậnđiểmdưới đây.

- Đạo hàm và tích phân, hai khái niệm nền tảng của GT: đạo hàm và tích phânlà hai trong số những khái niệm nền tảng nhất, thể hiện hai mặt đảo ngược vi phân vàtíchphântrongbứctranhtổngthểcủaGTtoánhọc.Nhữngphảnánhtừlịchsửchothấyrằng việc hiểu được các ý tưởng ẩn dưới hai khái niệm này và phát hiện ra mối quan hệmậtthiếtgiữachúnglàmộtchặngđườngquantrọngđánhdấusựphátminhraGT.Liệucó thể nói đến GT mà bỏ qua đạo hàm và tích phân hay không? Câu trả lời là gì có lẽmọingườibiếtvềGTđềuđãrõ.Đâycũnglàlýdođểhaikháiniệmnàychiếmđượcsựquan tâm của DH

GT ở mọi nền giáo dục toán Ở Việt Nam, những nội dung liên quanđếnchúngchiếmmộtthờilượnghọctậplớntrongsuốthainămcuối cấpTHPT.

- Vai trò đạo hàm và tích phân trong các lĩnh vực ngoài toán học: Sự quantrọngcủađạohàm,tíchphânkhôngchỉgiớihạntrongphạmviGT,thậmchítrongToánhọc Tầm quan trọng của đạo hàm, tích phân còn nằm ở những ứng dụng rộng rãi củachúngtrongnhiềulĩnhvựcnhưVậtlí,Kinhtế,

…Chínhvaitròđókhiếnchúngtiếptụctác động vào các bậc giáo dục cao hơn ở đại học, trong đào tạo Toán học – hiển nhiên,và trong cả các lĩnh vực đào tạo nghề khác Việc giúp HS cuối cấp THPT hiểu và sửdụngđượchaikháiniệmnàylàcầnthiếtchocácemvềsau.

- Sự gắn kết giữa đạo hàm, tích phân với Vật lí nhìn từ lịch sử: Xét riêng tácđộngcủađạohàm,tíchphânvàoVậtlí.Mộtphầnđộnglựcquantrọngchosựrađời vàtiếntriểncủahaikháiniệmđạohàmvàtíchphânđếntừnhữngvấnđềđặtratrongngànhkhoa học này Sau khi ra đời, hai khái niệm đang nói tới còn mang lại những công cụtoánhọcmạnhmẽgiúpVậtlípháttriểnvàgiảiquyếtthêmnhiềuvấnđềkháccủamình.Sự gắn kết này rõ ràng là nên được phản ánh trong việc DH hai khái niệm đạo hàm vàtíchphânởtrường THPT nếunhìntừ lợiíchcủacảhaimônhọc.

- Đạo hàm và tích phân, công cụ toán học cho nhiều vấn đề của Vật lí THPT:Tiếp tục luận điểm trên, chúng tôi đã xem xét chương trình vật lí THPT ở Việt Nam và tìmthấynhiềuvấnđềmàviệcgiảiquyếtchúngcầnđếncôngcụđạohàm,tíchphân.Có thểkểrađâynhữngbài toáncầnsửdụngđạohàmnhư:tìmvậntốctứcthời,giatốctứcthời, cường độ dòng điện, suất điện động cảm ứng, … Các bài toán sử dụng tích phân:tìm độ dời khi vận tốc biến đổi, tìm độ thay đổi vận tốc khi biết gia tốc, tìm công củalựcbiếnđổi,… VànếunhưvậythìviệcDHhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânởmônToáncầnphảitínhđếnnhiệmv ụgiúpđỡchoHSvậndụnghayítralàhiểuđượcnhữngứngdụngđadạngcủahaikháiniệmnàytrong cácbàitoánvậtlí vừakểtrên.

- Đạo hàm, tích phân và mối quan hệ mật thiết: Lí do cuối cùng giải thích choviệcchọnđồngthờicảhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânnằmởmốiliênhệđảongượcmật thiết giữa chúng, thể hiện qua định lý cơ bản của GT Chính nhờ mối quan hệ đảongược này mà ứng với một vấn đề của Vật lí có thể được giải quyết với công cụ đạohàm, người ta luôn tìm được một vấn đề

“ngược lại” mà ở đó tích phân là phương tiệntìm lời giải Chúng tôi gọi đây là hai bài toán thuận – nghịch Vì thế, việc nghiên cứusong hành hai đối tượng đạo hàm và tích phân trong sự gắn kết, theo cách tiếp cận LMgiữaGTvới Vậtlícóthểsẽgiúphaikháiniệmnàysoisánglẫnnhau.

Tổngquanvềvấn đềnghiêncứu

Cáchhiểucủangườihọcvềhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân

Orton(1983a)làmộttrongnhữngngườiđầutiêntiếnhànhnghiêncứuvềcáchhiểucủa người học về khái niệm đạo hàm Ông nhận thấy đa số HS và SV tham gia thựcnghiệm(TN)thànhthạovớicácnhiệmvụ yêucầutínhtoánhoặcápdụngcác quytrìnhquen thuộc để giải quyết Tuy nhiên người học lại cho thấy một sự thiếu hụt trong kiếnthứcvềkháiniệm,đặcbiệtlàquanniệmđạohàmtheotốcđộbiếnthiêntứcthờivàđộ dốc 2 của tiếp tuyến Orton cho rằng nguyên nhân là ở cách hiểu nghèo nàn của ngườihọcvềgiớihạncũngnhưvềtỉsốvàtỉlệcủasự thayđổi.

Việc người học không nhận ra được sự liên hệ giữa đạo hàm với ý nghĩa tốc độbiếnthiêncònđượcxácnhậnbởinhiềutácgiảkhác(Bezuidenhout,1998;Bingolbalietal., 2007; Hankiửniemi, 2006; Sahin et al., 2015) Chẳng hạn, Sahin et al (2015) chỉ rarằngmặcdùHSbiếtđếnđịnhnghĩahìnhthứccủađạohàmlàgiớihạncủatỉsaiphân

  tốc độ biến thiờn tức thời Hankiửniemi (2006) cũng nhận thấy khú khăn mà người họcgặp phải với khái niệm giới hạn để hiểu được cách mà tốc độ biến thiên trung bình tiếnđếntốcđộ biếnthiên tứcthờihaycách màđộdốccáttuyếndầnđếnđộdốctiếptuyến.

Thompson (1995), sau đó là White và Mitchelmore (1996) đã tìm ra một trongnhữngnguyênnhânquantrọnggiảithíchchokhókhănmàngườihọcgặpphảivớikháiniệm đạo hàm là ở cách hiểu về khái niệm hàm số của mình Họ thường chỉ xem hàmsốnhưmộtđốitượngtĩnhvàcácbiếnlànhữngkíhiệuđểthaotáchaytínhtoán.Trongkhiđó,the ocáctácgiảnàythìđặctrưngbiếnthiênđồngthời củahàmsố(sựbiếnthiêncủa biến số kéo theo sự biến thiên của hàm số) mới là điều then chốt để phát triển cáchhiểuvề đạohàmnhư làtốcđộthayđổi.

Một số nghiên cứu trong nước còn chỉ ra sự thiếu hụt trong quan niệm của HSTHPT với cách hiểu đạo hàm theo nghĩa tốc độ biến thiên và sự xấp xỉ hàm số bởi tiếptuyến(NgôMinhĐức,2013;2016)haykhókhăncủaHStrongviệckếtnốinhữngcáchhiểu khác nhau của đạo hàm vào cùng một khái niệm (Lê Thị Hoài Châu, 2014). Bêncạnhđó,mộtnghiêncứugầnđâycủaLêThịBạchLiênvàTrầnKiêmMinh(2020)cònchothấym ộthiểubiếtchưađầyđủcủanhiềuSVngànhsưphạmtoánvềkháiniệmđạohàm Sự thiếu hụt kiến thức này khiến cho đa số SV trong thực nghiệm của các tác giảkhôngvậndụngđượcđạohàmđểgiảiquyếtthànhcôngmộtbàitoáncóngữcảnhvậtlímà đòi hỏi phải phối hợp được ý nghĩa vật lí và ý nghĩa hình học của tri thức đang đềcập.

2 TrongnhiềutàiliệuvềDHGTtrênthếgiới,thuậtngữ“độdốc”(slope)củađườngthẳngđượcsửdụngvớinộihà mgiốngnhưthuậtngữ“hệsốgóc”trongSGKtoánở ViệtNam.

Bezuidenhout và Olivier (2000), Jones (2015a, 2015b) kết luận rằng đa số ngườihọc chỉ sở hữu một cách hiểu hạn chế về tích phân Kiến thức điển hình người học biếtthường gói gọn trong những quy trình tính toán theo hiệu giá trị nguyên hàm hoặc ýnghĩahìnhhọccủatíchphânnhưlàdiệntíchhìnhdướiđườngcong.Trongkhiđócáchhiểutíchphâ ntheogiớihạntổngRiemannmớiđượcxemlàcógiátrịnhấtchoviệchiểubản chất và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu cho thấy ngườihọc gặp một khó khăn lớn trong việc hiểu tích phân như giới hạn của một tổng Chẳnghạn, Rasslan và Tall (2002) tiến hành kiểm tra cách hiểu của một số HS THPT về kháiniệmtíchphân.MặcdùcácHSnàyđãđượctiếpcậntíchphântừphươngpháptínhxấpxỉ diện tích bằng các tổng trong lớp học toán, thế nhưng không có lời giải thích nào vềtích phân liên quan đến giới hạn hay tổng

Riemann xuất hiện trong kết quả TN.

Thayvàođó,cácHSchỉgiảithíchtíchphânnhưdiệntích,hiệuhainguyênhàmhoặcquamộtví dụ tính toán cụ thể Dường như quan niệm tích phân theo giới hạn tổng Riemann rấtkhóđượcxâydựnghoặcgợiratrongnhậnthứccủangườihọc.

SựthiếuhụtcáchhiểutíchphântheocấutrúctổngRiemannthậmchícònphổbiếnvới đối tượng là SV các trường đại học như đã được kiểm chứng bởi những nghiên cứucủa:Orton,1983b;Jones,2015b;Sealey,2014;Wagner,2017.Cáctácgiảnàychorằngnguyên nhân là do cấu trúc phức tạp của định nghĩa tích phân theo tổng Riemann cũngnhư chướng ngại đến từ một khái niệm khác – khái niệm giới hạn Một nguyên nhânkhác được Jones et al (2017) chỉ ra nằm ở ngữ cảnh hình học mà các sách giáo khoa(SGK) hay giáo trình GT truyền thống sử dụng để giới thiệu khái niệm tích phân. Ôngchorằngtrongngữcảnhcủabàitoándiệntíchdướiđườngcong,ngườihọccóxuhướngxem việc lập tổng Riemann chỉ như một quy trình tính toán diện tích thay vì nhận rađược bản chất của khái niệm ẩn đằng sau phương pháp tính toán đó Hơn nữa, sau khimối quan hệ giữa tích phân và nguyên hàm được thiết lập, việc tính toán diện tích lạiđược quy về một quy trình đơn giản là đảo ngược phép lấy đạo hàm Từ đó, quan niệmtíchphântheogiớihạntổngRiemanncóthểdầntrởnênmờnhạtvàkhóđượckíchhoạthaycủngcố trongnhậnthứcngườihọcvìhọkhôngcònbấtcứlídogìđểthiếtlậpnhữngtổngnhư vậy.

MốiquanhệđảongượcgiữađạohàmvàtíchphânthểhiệntrongđịnhlícơbảncủaGT(từnaysẽviế tgọnlàđịnhlícơbản)làmộttrongnhữngpháthiệnquantrọngvàhữu íchnhấtcủaGT.ĐịnhlínàyhoạtđộngkhitíchphânđượcđịnhnghĩatheogiớihạntổngRiemann.Tuynhi ênởtrườngTHPTngườitathườngđịnhnghĩatíchphânbằngnguyênhàm và theo Bressoud (2011) thì điều này làm cho định lí cơ bản không còn bất kì ýnghĩagì.KouropatovvàDreyfus(2014)cũngkếtluậnrằnghầuhếtHSphổthôngkhôngbiếtđượcvìsa onguyênhàmlạicóthểtínhđượcdiệntích,màlídolạinằmởđịnhlícơbản.

Với đối tượng SV được tiếp cận tích phân theo tổng Riemann, các nghiên cứu củaOrton (1983b), Artigue (1991), Thompson (1994b) và Mahir (2009) chỉ ra rằng SVthườngchỉxemđịnhlícơbảnnhưmộtphươngtiệnđểtínhtoántích phânmàkhôngcómột cách hiểu rõ ràng về bản chất của các khái niệm có liên quan Các em không giảithíchđượcmốiquanhệđảongượcgiữađạohàmvàtíchphâncũngnhưviệctạisaomộtđạilượngxá cđịnhbởi giớihạntổngRiemann lạicóthểtínhtheo nguyênhàm.

KhókhăntrongviệchiểuđịnhlícơbảntheoThompson(1994b)bắtnguồntừ“quanniệm nghèo nàn về khái niệm tốc độ biến thiên và từ sự thiếu hụt quan niệm về hàm sốnhưlàsựbiếnthiênđồngthờicủahaiđạilượng”(tr.2).Haynóirộngralàbắtnguồntừsự thiếu hụt trong cách hiểu các khái niệm có liên quan như: đạo hàm, tích phân, hàmsố,giớihạn.

Khókhănvớiđịnhlícơbảncònthểhiệntrongviệctrìnhbàymộtchứngminhchặtchẽchonóđặc biệtlàvớiđốitượngHSTHPT.Đểcómộtchứngminhchặtchẽnhưvậytronglịchsử,cácnhàtoánhọc đãphảiđối mặtvớinhững“chướngngạikhoahọcluận”như đã được chỉ ra trong luận án tiến sĩ của Klisinska (2009).Kết quả luận án này chothấy, mặc dù đã có nhiều phiên bản chứng minh khác nhau xuất hiện trong các thể chếDH phổ thông hay đại học, các chướng ngại nói trên vẫn luôn gây ra khó khăn lớn chongười học trong việc hiểu được ý nghĩa của định lí cơ bản cũng như cách chứng minhnó.

Nghiêncứutheohướngdạyhọcđạohàm vàtíchphânđểhỗ trợchoviệcứngdụngtrong Vậtlí

Nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng người học gặp trở ngại khi sử dụng đạo hàm trongcác bài toán vật lí (Beichner,1994; Bingolbali et al., 2007; Jones, 2017) Nguyên nhânchủ yếu theo Jones (2017) là vì chương trình DH GT nhấn mạnh hơn vào ý nghĩa hìnhhọc của đạo hàm (hệ số góc tiếp tuyến), trong khi đó ngữ cảnh ứng dụng của Vật lí lạichủyếusửdụng cáchhiểu tốc độ biến thiên.Sự ghépđôikhôngtương xứng nàytạo ra khoảng cách giữa việc học đạo hàm với việc hiểu được những ứng dụng hiệu quả củanótrongVậtlí.NhậnđịnhnàycònđượccủngcốbởinghiêncứucủanhómtácgiảDrayet al (2008) khi họ chỉ ra rằng để bắc cầu nối qua lỗ hổng giữa Toán và Vật lí thì ýtưởngtrungtâmcủakháiniệmđạohàmnênlàtốcđộbiếnthiênthayvìlàhệsốgóctiếptuyến.

Có nhiều công trình về DH đạo hàm gắn với các ứng dụng trong Vật lí nhưng đasố đều tập trung vào ngữ cảnh động học liên quan đến ba đại lượng quãng đường, vậntốcvàgiatốc.Tuynhiên,theokếtluậncủaThompson(1994a;1994b)vàBezuidenhout(1998) thì có vẻ như ngữ cảnh động học không giúp SV hiểu được đầy đủ ý nghĩa tốcđộ biến thiên SV chỉ hiểu đơn giản là đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc hay giatốc mà không mở rộng được cách hiểu tốc độ biến thiên đối với những đại lượng ngoàingữcảnhđộnghọchaythậmchílàcácđạilượngbiếnthiênkhôngtheothờigian.Jones(2017) kết luận rằng việc tập trung quá mức vào các ứng dụng của đạo hàm trong ngữcảnh động học có thể không đem đến một cách hiểu đầy đủ cho đạo hàm để có thể sửdụngđược nótrongnhiềungữ cảnhkháccủaVậtlí.

Một nghiên cứu của chúng tôi (Ngô Minh Đức, 2016) chỉ ra rằng quan niệm củaHS về đạo hàm là không đủ để thấu hiểu những ứng dụng đa dạng của nó trong nhiềuvấn đề thuộc chương trình vật lí THPT Để có thể hiểu được ứng dụng của đạo hàmtrong các vấn đề vật lí này HS cần nắm bắt được cách hiểu đạo hàm theo tốc độ biếnthiên tức thời và ý tưởng xấp xỉ một hàm số có đạo hàm bởi tiếp tuyến của đường congứngvới nó.

NghiêncứucủaThompsonvàSilverman(2008),Jones(2015a)chothấyrằngcáchhiểutíchph ântheonguyênhàmhaytheodiệntíchdướiđườngconglàkhôngđủđểgiảithíchđượccácứngdụngcủ atíchphântrongngữcảnhngoàitoánhọcnóichungvà

Vậtlínóiriêng.Chẳnghạnkhixemxétcácgiáotrìnhvậtlívàkĩthuật,Jones(2015b) nhậnthấycáchhiểutíchphântheonguyênhàmthìíthoạtđộngtrongviệcđịnhnghĩavàtínhtoán các đại lượng vật lí Theo lời của tác giả thì việc giải thích tích phân theo nguyênhàm“khôngcungcấpđượcýnghĩamongđợitrongVậtlívàkĩthuật”(tr.10).Bêncạnhđó, cách hiểu tích phân theo diện tích cũng là không đủ để hỗ trợ hiệu quả cho các ứngdụngcủatíchphânvàoVậtlívìngườihọcgặpkhókhănđểnhậnradiệntíchdướiđườngcongsẽbiểudiễ n chođạilượng vậtlínào(Nguyễn Đông Hải&Rebello,2011).

Thompson và Silverman (2008) đề nghị một cách giúp người học hiểu được diệntíchdướiđườngcongkhinóđạidiệnchomộtđạilượngkhácngoàidiệntíchnhưquãngđường hay công của lực Đó là phải hiểu được quá trình lấy tích phân như một sự tíchlũy (lấy tổng) các lượng nhỏ gia tăng tạo thành từ các tích – mà cách hiểu này lại dựatrêncấutrúccủatổngRiemann.Tươngtựnhưvậy,theoJones(2015a)thìcáchhiểutíchphân theo nguyín hăm đê cắt bớt đi ý nghĩa của tích phđn trong ngữ cảnh ứng dụng, vẵng cũng cho rằng câch hiểu tích phđn theo giới hạn tổng Riemann nên được kích hoạttrong người học nếu như muốn ứng dụng được tích phân trong nhiều vấn đề của Vật lí.LiênquanđếnviệcdạytíchphânđểkếtnốiđượcvớinhữngứngdụngtrongVậtlí,Drayet al (2008) cũng đề nghị rằng ý tưởng trung tâm của tích phân nên dựa trên cấu trúctổng Riemann (chia nhỏ, nhân, cộng, và chuyển qua giới hạn) thay vì là diện tích dướiđường cong Hầu hết các nghiên cứu theo hướng này đều xác nhận rằng cách hiểu tíchphân theo tổng Riemann mới là có giá trị nhất cho việc hiểu những ứng dụng của tíchphân trong các ngữ cảnh, đặc biệt là Vật lí (Jones, 2015a, 2015b; Sealey 2006; 2014;Thompson &Silverman,2008).

Một khó khăn khác mà người học gặp phải khi áp dụng tích phân vào Vật lí vốnkhôngđếntừsựthiếuhụtkiếnthứctoánhayvậtlímàtừdạngkiếnthức“côlập”màhọsở hữu Nói cách khác thì việc DH Toán và Vật lí nếu diễn ra một cách tách biệt có thểlàm hạn chế khả năng vận dụng kiến thức toán vào các ngữ cảnh của môn học còn lại.Nói riêng với khái niệm tích phân, cách tiếp cận từ bài toán tính diện tích giúp ngườihọc nhận ra việc chia nhỏ, lập tích và lập tổng giúp tính gần đúng diện tích dưới đườngcong Tuy nhiên họ có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp tính diện tíchtheo tổng Riemann vào một ngữ cảnh không quen thuộc khác như bài toán xác địnhquãng đường hay công của lực Nhận định này được xác nhận bởi các nghiên cứu củaRebello (2007) và Bajracharya (2014) hay trong một nghiên cứu của chúng tôi (NgôMinh Đức, 2019) khi những SV trong TN cho thấy dù có đủ kiến thức cần thiết về tíchphânnhưngvẫn gặpkhókhăntrongviệcápdụngnóvàocácbàitoánvậtlí.

NghiêncứuvềviệcsửdụngVậtlíđểhỗtrợviệcdạyhọccáckháiniệmcủaGiảitích 11 2.4 Cácchươngtrìnhdạyhọctheohướngliên mônGiải tíchvớiVậtlí

Các khái niệm cơ bản của GT như đạo hàm và tích phân có mối quan hệ chặt chẽvềýnghĩavớinhiềuđạilượngvậtlínhưcông,quãngđường,vậntốc,giatốc,…Vìvậynhững kinh nghiệm và hiểu biết có trước về các đại lượng này ở ngoài đời sống haytrongviệchọctậpmônVậtlícóthểhỗtrợngườihọchiểurõhơnnhữngkháiniệmtrừu tượng của GT Các nghiên cứu của Marrongelle (2001, 2004, 2010) đã kêu gọi việc sửdụng hiểu biết và ngữ cảnh từ Vật lí để xây dựng những quan niệm có nghĩa cho cáckháiniệm GTnhư đạohàmhaytíchphân.

FirouzianvàSpeer(2015)đưara mộtlượcđồphânloạinhữngcáchsửdụng Vậtlíđể hỗ trợ cho việc học tập các khái niệm của GT bao gồm: ngữ cảnh hóa (sử dụng ngữcảnh vật lí như là một phương tiện để giải các bài toán), minh họa (gợi ra những ví dụtừVậtlíđểgiúphiểuđượccáckháiniệmvàbàitoánGT),ngônngữ- trộnlẫn(sửdụngkếthợpcảngônngữ củaToánvà Vật lí),vàcuốicùnglà khôngsử dụng.

MộtsốtácgiảkháckhinghiêncứuvềviệcDHgắnkếtGTvớiVậtlíđãđưaramộtsố lý thuyết như “sự hòa trộn nhận thức” (Fauconnier & Turner, 2002) hay “các tàinguyên nhận thức” (Hammer, 2000) Những lăng kính lý thuyết này cho phép tìm hiểucáchmàngườihọcsửdụngToánđểgiảiquyếtcácvấnđềvậtlíhaysửdụngnhữnghiểubiếttừVậtlíđ ểpháttriểnnhậnthứcvềmộtkháiniệmtoánhọc.

VậtlínhằmthúcđẩyviệcdạyhọcGTđãđượcxâydựngvàtriểnkhaiởnhiềutrườngđạihọctrênthếgi ới.ChẳnghạnnhưkhóahọcLMgiữaGTvàVậtlíởđạihọcHampshire(Marrongelle,2001),tíchhợ pGTvớikhoahọcởđạihọckĩ thuật Louisiana (Carpenter et al., 2007), chương trình tích hợp Toán – Vật lí của đạihọc Tecnologico de Monterrey (Domínguez et al., 2015) Những chương trình LM nàyđược xây dựng để giảng dạy cho SV các ngành khoa học hay kinh tế, những người sẽcầnkiến thức vềGTcholĩnhvựcchuyênmôn củamình.

Trong các khóa học nói trên, những khái niệm như đạo hàm và tích phân sẽ đượcdạyxenkẽvàphốihợpvớigiờhọcvậtlíhaymộtsốbuổithựchànhởphòngthínghiệm.Các ngữ cảnh, mô hình và kinh nghiệm có được từ lớp học vật lí sẽ hỗ trợ cho ngườihọchiểucáckháiniệmcủaGT.Đồngthời,nhữngkháiniệmnàysauđósẽtrởthànhcáccôngcụ hiệu quảđểgiải quyết trởlạicácbàitoánđặtratrong Vậtlí.

Việc nghiên cứu về DH GT nói chung và theo quan điểm LM nói riêng ở trườngphổ thông lại không nhận được nhiều sự quan tâm từ cộng đồng nghiên cứu giáo dụctoán trên thế giới Trong một nghiên cứu tổng quan về vấn đề DH GT ở trường phổthụngChõuÂu,Tửrneretal.

(2014)nhậnthấycáccôngtrìnhnghiêncứuvềchủđềnàylàrấtítỏivàhạnchếsovớinhữngnghiê ncứutươngtựởcấpđộDHđạihọc.Cáctác giả giải thích cho điều này có lẽ là vì cách DH truyền thống ở trường phổ thông còncách quá xa mục tiêu giúp HS hiểu được các khái niệm phức tạp của GT cũng như ứngdụngđượcchúngmột cáchhiệuquảtrongcácngữcảnhngoàitoán. Ở các trường phổ thông, môn Toán thường được dạy một cách độc lập và ít xuấthiệnnhữngchươngtrìnhDHLMnóvớicácmônhọckhác.Mặcdùvậy, khithamkhảomộtnghiêncứutổngquanvềDHGTcủaBressoudetal.

(2016),chúngtôinhậnrarằngxu hướng LM đã có ảnh hưởng nhất định trong việc thiết kế chương trình DH GT choHS THPT ở nhiều nước trên thế giới những năm gần đây Điều này thể hiện ở sự nhấnmạnhnhiềuhơnvàocácứngdụngđadạngcủaGTtrongcácmônhọckhácmàđặcbiệtlàVậtlí. Thậmchíởmộtsốquốcgia(chẳnghạnnhưHànquốchaySingapore),cácnhàxây dựng chương trình còn xác định rằng GT phải được bắt đầu sớm để chuẩn bị côngcụ nghiên cứu cho Vật lí và một số lĩnh vực khác. Một số tác giả (Thompson, 1994a;Turner et al., 2000) còn đề xuất giới thiệu những ý tưởng quan trọng của GT như kháiniệmtốcđộbiếnthiênngaytừcấpđộtrunghọccơsởđểchuẩnbịtiềnđềchoviệchiểuvà ứng dụng khái niệm đạo hàm sau này Họ lập luận rằng, nhiều ý tưởng quan trọngcủaGThoàntoàncóthểđượcgiớithiệusớmchoHSthôngquacáckinhnghiệmtừcuộcsốnghoặcVật líđểchuẩnbịchomộtsựthấuhiểucáckháiniệmtoánhọcởcáccấphọccaohơn.

Nghiêncứuvềdạyhọcgiảitíchtheoquanđiểmliên mônởViệtNam

Mặc dù xu hướng DH theo quan điểm tích hợp – LM đã được quan tâm và nghiêncứuởViệtNamtrongvàithậpniêngầnđây,tuynhiênchúngtôinhậnthấynhữngcôngtrình nghiên cứu về chủ đề LM Toán và Khoa học lại khá ít ỏi và chủ yếu tập trung vàochiềuứngdụngtoán.NóiriêngthìhướngnghiêncứuvềDHứngdụngtoánvàocácvấnđề thực tiễn và khoa học đã được quan tâm từ lâu tuy nhiên xem xét nó dưới góc nhìncủa quan điểm tích hợp – LM thì chỉ mới được thực hiện gần đây trong một số côngtrình Một trong số đó là nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thế Sơn (2017) về đề tài xâydựngcácchủđềtíchhợptoán.Trongluậnántiếnsĩcủamình,tácgiảđãđềxuấtnhữngquy trình và biện pháp nhằm hỗ trợ giáo viên (GV) thiết kế và DH các chủ đề tích hợptoánvớinộidungcácmônhọckhácởtrườngTHPT.NhiềuhoạtđộnghọctậpLMcũngđược xây dựng trong công trình này và thường chú trọng vào mặt ứng dụng các kiếnthứctoántrongcácvấnđềcủacáckhoahọckhácnhưVậtlí,Hóahọc,Sinhhọc, Cáchtiếp cận LM theo chiều này giúp làm nổi bật vai trò của công cụ toán trong việc giảiquyếtcácvấnđềthựctiễnvàkhoahọc.Ngoàiracònmộtsốnghiêncứukháccũngđi theo hướng tương tự khi kết nối kiến thức toán với những vấn đề LM, chẳng hạn nhưDH hình học gắn với các bài toán thực tiễn và Vật lí (Đào Tam và Phạm Văn Hiệu,2018)hayvậndụngkiếnthứcxácsuấtvàthốngkêtrongbàitoánditruyền(NguyễnThịHà, 2016). Tuy nhiên nhìn chung thì các công trình vừa đề cập vẫn chưa quan tâm đếnchiều tác động ngược lại cho thấy sự hỗ trợ của các môn khoa học trong việc giúp hiểurõhơntrithứctoánhọccũngnhưsựgắnkếttươnghỗgiữacácmônhọcđểDHmộtnộidungkiếnt hứcthíchhợptheođịnhhướngLM.

Cũng nhìn từ quan điểm LM, nhưng là xem xét khả năng giải quyết những vấn đềLM của người học Nghiên cứu của tác giả Trần Văn Học (2018) với đối tượng HSTHPT và của Lê Thị Hoài Châu và Ngô Minh Đức (2018) với đối tượng SV trường Sưphạmcũngchỉrarằngngườihọcgặpkhókhănvớiviệcgiảiquyếtnhữngvấnđềđòihỏivận dụng kiến thức từ cả hai môn học toán và vật lí, nói riêng với khái niệm tích phân.Một nghiên cứu khác tìm hiểu quan niệm của GV về sự liên môn giữa Toán và Vật líliênquanđếnchủđềvectơđượcthựchiệnbởitácgiả NguyễnThịNga(2018).Kếtquảcho thấy các

GV toán ít quan tâm đến những ứng dụng của vectơ trong Vật lí cũng nhưkhôngliênhệnhữngứngdụngnàyđểgiúpHShiểurõhơnkháiniệmtoánhọc. Đối với các nghiên cứu về DH GT ở trong nước, chúng tôi tìm thấy một số côngtrình của các tác giả: Trịnh Thị Bạch Tuyết (2016), Phạm Sĩ Nam (2013), Nguyễn

PhúLộc(2006),TrầnAnhDũng(2013).NhữngcôngtrìnhnàynghiêncứuviệcDHcáckháiniệmcủaGTởTHPTtheohướngtíchcựchóahoạtđộnghọctậpvàpháttriểnnănglựcngườihọc,nhưngchưac ócôngtrìnhnàonhìntừquanđiểmLMtoánvớicácmônkhoahọcnóichung,Vậtlí nóiriêng.

Kếtluậnvàđịnhhướngnghiêncứu

Kết quả nghiên cứu tổng quan các tài liệu cho thấy một khó khăn kép của ngườihọccảtrongviệchiểuđượchaikháiniệmđạohàmvàtíchphâncũngnhưtrongviệcsửdụngch úngđểgiảiquyếtcácbàitoánvớingữcảnhvậtlí.Trongnhiềutrườnghợp,chínhsựthiếuhụttrongcáchhiể uvềkháiniệmlạilànguyênnhânquantrọnggâyrakhókhăncho việc ứng dụng chúng Nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng người học gặp khó khăn vớicáchhiểuđạohàmtheotốcđộbiếnthiênvàtíchphântheogiớihạntổngRiemanncũngnhưmốiqu anhệđảongượcgiữahaikháiniệmnày.Ấyvậymànhữnghiểubiếtnàylạilà hữu ích nhất cho việc ứng dụng đạo hàm và tích phân trong các vấn đề đa dạng củaVật lí và thực tiễn Vì lẽ đó, nhiều tác giả đề nghị một sự nhấn mạnh hơn vào hai cáchhiểunóitrênđểtạorasựnốikhớpgiữaviệcDHGTvàviệcứngdụngnótrongVậtlí.

Những nghiên cứu khác xem xét các cách thức và lược đồ cho phép sử dụng Vật lí đểhỗtrợchoviệchiểucáckháiniệmGT.Mộtsốtácgiảcũngkêugọiviệcxemxétlịchsửphát triển của GT để thấy rõ được những gắn kết LM giữa nó với Vật lí và tận dụngchúngtrong việcDH ởnhàtrường.

Nghiên cứu tổng quan cũng cho thấy, các công trình nghiên cứu trên thế giới vềDHGTnóichung,DHGTtheohướngtiếpcậnLMnóiriêngchủyếutậptrungchođốitượnglàSV cáctrườngđạihọcvàcaođẳng.CácnghiêncứuvềDHđạohàm,tíchphânchođốitượngHSphổthôn gtheođịnhhướngLMToán–Vậtlívẫnchưanhậnđượcsựquan tâm thích đáng Hơn nữa, vẫn chưa có nhiều nghiên cứu theo hướng LM trong đócótínhđếnsựnốikhớpvềnộidungchươngtrìnhvànhữngtácđộngtươnghỗgiữaviệcDHhaimôn Toánvà VậtlíởtrườngTHPT. ỞViệtNam,xuhướngDHtíchhợp–LMtronggiáodụchiệnnayđangnhậnđượcrất nhiều sự quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên cách tiếp cận LM trong DH Toán lại cónhững đặc thù riêng và vẫn cần nhiều hơn các nghiên cứu để bắt kịp với xu thế thế giớivà vận dụng hợp lí với tình hình trong nước Một số công trình trong nước đã bàn vềDHGTchođốitượngHSTHPTnhưngchưaphảitừđiểmnhìncủaDHLM.Nhiềucôngtrìnhkhácnghi êncứunhữngvấnđềlíluậnchungvề DHToántheoquanđiểmtíchhợphoặc tiến hành xây dựng một số chủ đề

DH tích hợp toán với các khoa học Tuy nhiên,nhìntổngthểlạithìvẫnchưacómộtnghiêncứunàovềviệcDHhaikháiniệmđạohàmvà tích phân theo hướng tận dụng những gắn kết LM Toán và Vật lí đặt trong sự nốikhớp giữa các thể chế DH ở trường THPT nhằm đem lại nhiều lợi ích hơn cho cả haimônhọc.Đặttrongbốicảnhnày,chúngtôichọnđềtàinghiêncứucholuậnáncủamìnhlà: “ Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: trường hợpliênmônToán–Vậtlí ”.

Dựatrêncáckếtquảcóđượctừnghiêncứutổngquanvànhìnlạicâuhỏixuấtphát“làm thế nào để tận dụng những gắn kết LM giữa Toán và Vật lí trong việc DH GT ởtrường THPT nhằm giúp HS vừa vượt qua được những khó khăn trong việc hiểu cáckháiniệmtrừutượngcủaGT,vừaứngdụngđượcGTvàocácvấnđềcủaVậtlí?”,chúngtôiđềrađịnhh ướngnghiêncứunhưsau:ĐầutiênphảilàmrõmốiquanhệgắnkếtgiữaGTvàVậtlíđãthểhiệntronglị chsửhìnhthànhvàpháttriểnhaikháiniệmđạohàmvàtích phân Sau đó sẽ kiểm tra xem mối quan hệ LM này đã thể hiện như thế nào trongnội dung chương trình toán và vật lí ở bậc THPT? Những cách hiểu nào về khái niệmcần phải hình thànhnơingười học,sự nối khớp nàophảiđảmbảođể việcDHLMdiễn rahiệuquảvàthíchhợphơn?Kếtquảtừphântíchnàylàcơsởđểchúngtôiđềxuấtcácbiện pháp sư phạm nhằm tận dụng được những gắn kết LM Toán – Vật lí giúp ngườihọchiểuđầyđủhơnhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânđồngthờivậndụngđượcchúngtrongnhiều vấnđềcủaVật lí.

Cơsởlíluận

Theođịnh hướngnghiêncứu nóitrên,cáccơsởlýthuyếtchúng tôicầnđếnđólà:

- Các mô hình và chiến lược cho phép xây dựng hoạt động học tập theo cách tiếp cậnLMToán–Vật lí.

- Lý thuyết nhân học của didactic: Tìm hiểu sự gắn kết giữa Toán và Vật lí trong quátrìnhnảysinhvàtiếntriểncủahaikháiniệmđạohàm,tíchphânthôngquamộtphântích tri thức luận. Xem xét sự thể hiện của mối quan hệ gắn kết này trong chươngtrìnhTHPT Việt Namtừ việcnghiêncứu mốiquanhệthểchế.

- Lý thuyết tình huống để xây dựng các tình huống học tập thích hợp theo cách tiếpcậnLMToán –Vậtlí.

- Lý thuyết đồ án DH cung cấp cho chúng tôi phương pháp luận nghiên cứu để thiếtkếchuỗihoạtđộng họctập,xâydựngTNvàkiểmtragiảthuyếtnghiêncứu.

Mụctiêuvà câuhỏinghiêncứu

Mục tiêu của luận án là làm rõ mối quan hệ LM giữa Toán và Vật lí từ cả góc độtri thức luận (sự gắn kết và thúc đẩy lẫn nhau trong lịch sử) và sư phạm (gắn kết LMtrong thể chế DH Toán và Vật lí) đối với hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Luận áncũng hướng đến mục tiêu đề xuất và thử nghiệm các giải pháp sư phạm nhằm tận dụngmối quan hệ LM nói trên để giúp người học hiểu đầy đủ hơn về đạo hàm, tích phân vàứngdụnghiệuquảchúngtrongcácvấnđềcủaVậtlí.

CâuhỏiQ1:Mốiquanhệgắnkết,hỗtrợlẫnnhaugiữaToánhọc vàVậtlíhọc 3 đãdiễn ra như thế nào trong lịch sử hình thành và tiến triển hai khái niệm đạo hàm, tíchphân?

3 ChúngtôidùngcáctừToánhọcvàVậtlíhọcvớitưcáchlàcácngànhkhoahọcđểphânbiệtnóvớicácmôn học Toánvà Vậtlí được dạytrongnhàtrường.

CâuhỏiQ2:Liênquanđếnđạohàm,tíchphân,mốiquan hệLMToán–Vậtlíđãthể hiện như thế nào trong chương trình hiện hành và SGK các môn Toán, Vật lí dùngởbậcTHPT?

Câu hỏi Q3:Giải pháp sư phạm nào cho phép tận dụng hiệu quả những gắn kếtLM giữa Toán và Vật lí để mang lại hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm vàtíchphânchoHS,đồngthờigiúpcácemứngdụngđượckiếnthứctoánhọcnàyvàocácvấnđềcủaV ậtlí?

Giảthuyếtkhoahọc

TrongviệctổchứccáchoạtđộngDHhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânởtrườngTHPT,nếutận dụngđượcnhữnggắnkếtLMvàtácđộngtươnghỗđếntừkiếnthứchaimônhọctoánvàvậtlí mộtcáchthíchhợpthìcóthểđemlại mộtquanniệmđầyđủhơncho HS về các khái niệm đồng thời giúp các em vận dụng được hiệu quả những kiếnthứcnàyvàocácvấnđềcủaVật lí.

Phươngphápnghiêncứu

- Nghiên cứu lí luận về quan điểm LM, các mô hình và chiến lược LM Toán và Khoahọc.

- Nghiêncứucáckhunglýthuyếtvềviệchiểuvàứngdụngmộtkháiniệmtoánhọcnóichungvàđạohà m,tíchphân nóiriêng. b) Nghiêncứutrithức luậnvàsư phạm

- Nghiên cứu tri thức luận nhằm tìm hiểu sự gắn kết hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán và Vậtlí trong lịch sử hình thành tiến triển của hai khái niệm đạo hàm và tích phân Nghiêncứu này không chỉ đem đến một tham chiếu nhìn từ giai đoạn hình thành tri thức màcòn cung cấp những gợi ý sư phạm cho việc xây dựng các hoạt động DH LM thíchhợp.

- Nghiên cứu mối quan hệ gắn kết LM giữa thể chế DH Toán và Vật lí liên quan đếnhai khái niệm đạo hàm và tích phân đồng thời chỉ ra đâu là những ràng buộc và sựnốikhớpcầnthỏamãn. c) Phươngphápluậnnghiêncứu củalýthuyếtđồándạyhọc

Thiết kế tình huống DH và xây dựng đồ án DH đạo hàm, tích phân theo cách tiếpcận LM Toán – Vật lí Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm, kiểm chứng tính khả thivàhiệuquảcủacácgiảiphápsư phạmđãđềxuất. d) Phươngphápthựcnghiệm sưphạm

Kiểm tra khả năng của người học trong việc ứng dụng GT vào các vấn đề củaVậtlí,từ đókiểmchứngmộtsốgiảiphápsư phạm.

Nhữngluậnđiểmcầnbảovệ

- Lợi ích kép về việc hiểu và ứng dụng mà cách tiếp cận LM Toán – Vật lí mang lạitrongDHhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân.

- Những đặc trưng tri thức luận liên quan đến mối quan hệ gắn kết hỗ trợ lẫn nhaugiữa GT và Vật lí trong quá trình hình thành và tiến triển của khái niệm đạo hàm,tíchphân.

- Mối quan hệ LM giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí, sự chuyển hóa sư phạm vànhữngđiểmchưanốikhớp.

- Một số giải pháp sư phạm nhằm tận dụng hiệu quả những gắn kết LM giữa GT vàVậtlí.CácđồánDH và TNkiểmchứng.

Cácđónggópmớicủaluậnán

- Làm rõ thêm một số vấn đề liên quan đến DH LM: các quan niệm, mô hình, cáchtiếp cận và chiến lược cho phép tận dụng sự gắn kết hỗ trợ lẫn nhau giữa hai mônhọcToánvàVậtlí.

- Phân tích và làm sáng tỏ các khung lý thuyết chung về việc hiểu và ứng dụng mộtkhái niệm toán học, vận dụng chúng để xây dựng các khung lý thuyết cho đạo hàmvàtíchphânđặttrong ngữ cảnhvậtlí.

- Tận dụng được mối liên hệ biện chứng giữa nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứuthểchếđểlàmcơsở choviệcđềxuấtcácgiải phápsư phạmvàxâydựnghoạtđộnghọctậpđạohàm, tíchphân theocáchtiếpcậnLM.

- ĐềxuấtđượccácgiảiphápsưphạmnhằmtậndụnghiệuquảhơnnhữnggắnkếtLMToán–Vật lítrong việcDHhiểu và ứngdụng haikháiniệmđạo hàm, tíchphân.

- Xây dựng các đồ án DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân theo cách tiếp cận LMgiúpmanglạicáchhiểuđầyđủhơnvềkháiniệmchoHSđồngthờigiúpcácemvậndụngđượct rithứctoánvừa học vàocácvấnđềcủa Vậtlí.

- Góp phần đổi mới phương pháp DH môn Toán theo hướng tận dụng những lợi íchmàcáchtiếpcậnLMToánvàKhoahọcmanglại.ĐặcbiệtlàtrongviệcDHcáckháiniệmcủaGT,vốnlàmộtlĩnhvựccósựgắnkếtmậtthiếtvớiVậtlí.

Cấutrúcluận án

Liên môn.Cácmôhình,chiếnlượcliên môn ToánvàKhoahọc

Với khuynh hướng này, người ta lấy tích hợp làm khái niệm cơ sở và có tính phổquát nhằm nghiên cứu sự kết hợp các đối tượng khác nhau để hợp thành một tổng thể.SựkếthợpnàykhivậndụngtrongDH,theocácnhànghiêncứulàcónhiềumứcđộhayhìnhthứckh ácnhauvàLMđượcxemlà mộttrongnhữnghìnhthứcđó.

Mộtcáchcụthể,tíchhợptrongDHđượcđịnhnghĩalà“hànhđộngliênkếtcácđốitượng nghiên cứu, giảng dạy, học tập của cùng một hoặc vài lĩnh vực khác nhau trongcùng một kế hoạch dạy học” (Từ điển giáo dục, tr 383) Như đã đề cập, sự liên kết nàycó thể có các hình thức khác nhau và nhiều tài liệu nghiên cứu trên thế giới và ở ViệtNam thường nhắc đến bốn hình thức tích hợp chủ yếu sau đây: tích hợp nội môn (hayđơnmôn),tíchhợpđamôn,tíchhợpliên mônvàtíchhợpxuyênmôn(DrakevàBurns,2004; Đỗ Hương Trà, 2015; Nguyễn Thế Sơn, 2017; Xavier Roegiers,

2001) Đối vớihình thức tích hợp LM, mặc dù có những lời giải thích khác nhau của nhiều nhà nghiêncứu,nhưngtựutrunglạiđềungụýchỉđếnhìnhthứcDHcósựphốihợpgiữanhiềumônhọc.

Sự kết hợp này xoay quanh một bài học hay vấn đề chung mà việc giải quyết haynghiêncứuvềchúngđòihỏikiếnthứccủanhiều mônhọckhácnhau.

Sựphânloạigiữađơnmôn,đamôn,LMvàxuyênmônđôikhiđượccácnhànghiêncứuthựchiệndự atrênmứcđộcủasựtíchhợpdiễnratrongDH.ChẳnghạntheoXavierRoegiers (2001) và Drake (2007) thì sự phân biệt giữa đa môn và LM nằm ở mức độgắn kết giữa các môn học Với đa môn, các môn học được dạy riêng biệt dù vẫn hướngđến một chủ đề hay vấn đề chung nào đó Trái lại ở mức độ LM, có sự phối hợp giữacác môn học với nhau về phương pháp, khái niệm, ý tưởng trong việc tổ chức DH hoặcgiảiquyếtmộtvấnđềchungnàođó.

 Khuynh hướng đặt liên môn làm khái niệm cơ sở để nghiên cứu sự gắn kết giữacácmônhọctronggiáodục

Khuynhhướngnàybắtnguồntừviệcghinhậnsựgắnkếtgiữacácngànhkhoahọckhác nhau Sự gắn kết ấy là đương nhiên, bởi lẽ theo nguyên lí triết học duy vật biệnchứng về các mối quan hệ phổ biến thì mọi sự vật, hiện tượng đều tồn tại và phát triểnvừa với tư cách là một thực thể độc lập, vừa đặt trong mối liên hệ đa dạng giữa các bộphận cấu thành cũng như liên hệ giữa sự vật đó với các sự vật khác Mỗi khoa học, vớiphương pháp riêng của mình, sẽ nghiên cứu chúng từ những góc độ khác nhau Để cómộtsựhiểubiếtđầyđủvềsựvật,hiệntượng,conngườiphảibiếtkếthợpkếtquảnghiêncứu của nhiều khoa học lại Phân tích trên cho thấy LM có nguồn gốc từ lịch sử pháttriển của các khoa học, vì thế người ta muốn đặt nó làm cơ sở để nghiên cứu sự gắn kếtgiữa các môn học trong DH tri thức ở nhà trường Để làm điều này chúng ta cần mộtđịnhnghĩakháiquátnhấtchokháiniệmLMvừachothấyphươngdiệntrithứcluậnvừacho thấy phương diện tổ chức DH một tri thức toán học trong nhà trường Một địnhnghĩa khái quát như vậy được đưa ra ở hội thảo quốc tế về LM trong DH phổ thông doUnescotổ chức năm1985:

LM được xem như một dạng hợp tác giữa những môn học khác nhau Các môn học nàyđóng góp vào một nhiệm vụ chung và qua sự kết hợp giữa chúng mà tạo điều kiện cho trithứcmới hình thành, tiến triển”(tríchtheoD’Hainaut, 1986, tr 7).

Với định nghĩa này, D’Hainaut (1986) làm rõ hai cách hiểu thuật ngữ LM: cáchhiểu thứ nhất gắn với quan điểm tri thức luận, liên quan chủ yếu đến vấn đề khám phávà tổ chức tri thức; cách hiểu còn lại thiên về cách thức, phương pháp để tổ chức DH.Tuynhiên,doviệcDHvốngắnbómậtthiếtvớiquátrìnhkhámphávàtổchứctrithức,nênD’Ha inautchorằngcáchhiểuthứhaichỉlà mộtphươngdiệncủaquanđiểmđầu.

Cùng theo xu hướng đặt LM làm khái niệm cơ sở và tách biệt với khái niệm tíchhợp,Jacobs(1989)đưaramộtđịnhnghĩakhácchokháiniệmLMnhư sau:

LM là một cách xem xét tri thức và tiếp cận DH, trong đó áp dụng một cách có chủ ý cácphương pháp và ngôn ngữ từ nhiều hơn một môn học để nghiên cứu các bài toán, chủ đề,đềtài trungtâm nào đó (tr 8). Tương tự như định nghĩa của Unesco (1985), định nghĩa về LM của Jacobs cũngnhấn mạnh việc xem xét sự gắn kết giữa các môn học ở cả hai mặt, tri thức luận và tiếpcậnDH.Hơnnữa,sựgắnkếtnàycóthểthựchiệnbằngcáchsửdụngchungcácphươngpháp, ngôn ngữ, khái niệm của nhiều môn học để giải quyết một nhiệm vụ chung nàođóhoặcđểlàmnảysinhvàtiếntriểntrithứctrongquátrìnhDH.

 Khuynh hướng phân biệt liên môn với tích hợp ở sự bảo tồn ranh giới các mônhọctrongsựgắnkếtgiữachúng

Hai khuynh hướng nói trên cho thấy, LM thường được tiếp cận như là một hìnhthức của tích hợp, ngoài ra cũng có thể đặt LM vào vị trí xuất phát điểm để xem xét sựgắn kết của nhiều môn học ở cả phương diện tri thức luận và tổ chức DH Tuy nhiênngaycảkhiđặtkháiniệmLMởvịthếtáchrờikhỏitíchhợp,việcphânbiệtrạchròihaikháiniệ mnàyvẫnlàmộtviệckhókhănvìchúngđềulànhữngxuhướngDHnhắmđếnsự kết hợp các yếu tố từ nhiều môn học trong một mục đích DH nhất định Có lẽ vì vậymà nhiều tài liệu trong nước thường dùng lẫn lộn hai khái niệm này và đôi khi sử dụngsonghànhtổhợptừ“tíchhợp– liênmôn”hay“tíchhợpliênmôn”đểđặthaiquanđiểmDHnàytrongsự gắnkếtvớinhau.

Nằm trong nỗ lực phân biệt hai khái niệm tích hợp và LM, có một khuynh hướngcủanhiềunhànghiêncứugiáodụctrênthếgiớimuốnlàmrõhaikháiniệmnàydựatrênviệc biên giới của mỗi môn học có bị làm mờ đi trong quá trình kết hợp hay không.Loepp (1999) dùng hình ảnh ẩn dụ về một cái bánh thập cẩm và một cái bánh có nhiềulớpđểphânbiệtmứcđộkếtnối,hợpnhấttrongcáchhiểutươngứngvềtíchhợpvàLM.Trongđó,L Mđượcminhhọabởiloạibánhthứhai,mỗilớpbánhđạidiệnchomộtmônhọcvàhìnhảnhtổngthểcủa cáibánhámchỉrằngbiêngiớigiữacác mônhọcvẫnđượcduytrìkhichúngkếthợpvớinhau.Trongkhiđótíchhợpgắnvớihìnhảnhcủacáibán hthập cẩm và nó cho thấy sự xoá nhoà biên giới của các môn học khi sự gắn kết đượcthựchiện.Sựphânbiệtnàyđượcgiải thíchrõràng bởi MathisonvàFreeman(1998):

Việc DH LM có thể thực hiện theo nhiều cách tiếp cận như: phối hợp nội dung giữa cácmôn học, dạy hai môn học cùng với nhau, hoặc khám phá một chủ đề chung qua nhữnghoạt động dựa trên các môn học khác nhau Tuy nhiên, các nội dung, phương pháp, quytrìnhhoặckĩnăngđượcdạytrongcáchtiếpcậnLMvẫnnằmtrongbiêngiớicủamỗimônhọcban đầu màchúngđượcphối hợp (tr 9)

Các tác giả nhấn mạnh rằng mặc dù cách tiếp cận LM luôn kết nối có chủ ý haihoặcnhiềuhơncácmônhọctuynhiênvẫngiữchochúngriêngbiệtvàrõnét.Điềunàycó nghĩa là khi phối hợp và liên kết các môn học trong học tập, người học vẫn nhận rakiến thức hay phương pháp được sử dụng thuộc về môn học nào mà không có sự hoàtrộn hay tạo ra môn học mới Sự toàn vẹn của biên giới mỗi môn học cũng đượcFrykholmvàGlasson(2005)xemxétkhibànvềcáchtiếpcậntíchhợpvàLMgiữatoánvàcácm ônkhoahọctrongDH.TheohaitácgiảthìLMđượcxemlàvẫngiữgìntính toàn vẹn này trong quá trình khám phá những ngữ cảnh chung nhằm thúc đẩy việc họcởcảhaimônhọc.Trái lại,nhiềuđịnhnghĩavềtíchhợplạingụýrằng

“sựtrộnlẫngiữatoánvàkhoahọcđạtđếnmứcliềnmảnhhơn,đếnnỗikhóđểnóinơinàotoánhọcngừnglại vànơinàokhoahọcbắtđầu”(Frykholm&Glasson,2005,tr.130).NguyễnThịNga(2018) cho rằng, trong sự tương tác LM giữa các môn học “tác động tổng thể của cácyếutốđịnhtínhvàđịnhlượngkhôngđủđểtạonênmộtmônhọcmới.Đâylàsựkếthợpgiữa các môn học khác nhau đối với các vấn đề mà tính phức tạp của chúng chỉ có thểđược giải quyết bởi sự hội tụ và kết nối chặt chẽ của nhiều quan điểm khác nhau” (tr.40-41).

Tổng kết lại, chúng tôi tìm thấy ba hướng tiếp cận khái niệm LM khi xem xét sựgắn kết giữa các môn học trong DH Một hướng lấy tích hợp làm cơ sở và LM như làmộtdạngcủatíchhợpmàtrongđódiễnrasựtươngtácchặtchẽgiữacácmônhọc.Cáchthứ hai lấy bản thân khái niệm LM làm cơ sở để nghiên cứu sự hợp tác giữa các mônhọccảvềphươngdiện trithứcluậnvàtổchứcDH.Khuynhhướngthứbathừanhậnsựtươngđồnggiữanộihàmcủahaithuật ngữ“tíchhợp”và“liênmôn”,tuynhiênsựphânbiệtnằmởchỗquátrìnhDHLMvẫnbảotồnbiêngiới củamỗimônhọctrongquátrìnhkếthợp.

Tuynhiên,chúngtôinhậnthấyrằngdùchoLMđượchiểutheokhuynhhướngnàothìđặctrưng cốtlõicủanóvẫnlàtậndụngsựgắnkết,phốihợpgiữacácmônhọctrongDH nhằm mục đích khám phá tri thức mới hoặc giải quyết một vấn đề chung nào đó.Dựa trên đặc trưng cốt lõi này và tổng hợp những luận điểm từ ba khuynh hướng đãtrình bày, chúng tôi đưa ra cách hiểu của mình và làm rõ khái niệm LM khi tiếp cận nótrongDHnhư sau:

- LM là sự hợp tác giữa nhiều môn học từ cả phương diện khám phá và tổ chức trithứccũng như phươngpháp tổchứcDH.

- Mục đích của sự hợp tác nói trên là nhằm mang lại lợi ích cho mỗi môn học trongviệc nảy sinh và tiến triển tri thức, hoặc để giải quyết một bài toán, vấn đề, đề tàichungnàođó.

Vềviệchiểuvàứngdụngmộtkháiniệmtoánhọc

TừnhữngmôhìnhvàchiếnlượcDHLMToán–Khoahọcnóitrên,chúngtôinhậnthấy rằng việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân theo cách tiếp cận LM Toán –VậtlíởtrườngTHPTlàhoàntoànthíchhợpđểđạtđượcmụcđíchđặtrabanđầucủa mình Cụ thể hơn, chúng tôi muốn xây dựng tiến trình DH theo hướng LM Toán – Vậtlí để đem đến một cách hiểu đầy đủ hơn cho hai khái niệm đạo hàm và tích phân đồngthờigiúpHSvận dụngđượcnhữngtrithứcnàytrongngữcảnhvậtlí. Để đạt được điều này, trước hết cần làm rõ thế nào là “hiểu” và “ứng dụng” đượcmộtkháiniệmtoánhọc.

Những điều ta dạy cho HS về một khái niệm toán học thông qua định nghĩa so vớinhữnggìmàcácemhiểuvàquanniệmvềkháiniệmđócóthểlàkhônghoàntoànđồngnhất Để đưa ra một mô hình cho sự khác biệt này, Tall và Vinner (1981) xây dựngkhung lý thuyết về “ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm” Họ định nghĩa thuật ngữ“ảnh khái niệm” (concept image) là tổng nhận thức của một cá nhân về khái niệm baogồm “tất cả các bức tranh tinh thần, các quá trình và thuộc tính gắn với khái niệm đó”(tr 152) Bức tranh tinh thần liên quan đến một khái niệm có thể là những hình ảnh, kíhiệuhaymộtcáigìđó khác,nócùngvớicáchoạtđộngvàthuộctính gắnvớikháiniệmlàmnênảnhkháiniệmmàmộtHSsởhữu.Chẳnghạnkhiđềcậpđếnkháiniệmhàms ố,mộtHScóthểgợirakíhiệu𝑓(𝑥)haynghĩvềnóchỉnhưlàmộtcôngthứcđểtínhtoán.MộtHSkháccó thểgợirahìnhảnhmộtđồthịhoặchiểuvềnónhưmộtmốiliênhệgiữahaiđạilượng.CácHSnàycóthểho àntoànkhônghềnhớđếnđịnhnghĩachínhthứccủahàm số như là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị𝑥thuộc tập𝑋với một và chỉ mộtgiá trị𝑦thuộc tập𝑌… HS có thể học thuộc lòng định nghĩa một khái niệm hoặc tự xâydựng một định nghĩa riêng cho mình tuy nhiên những định nghĩa này chỉ là một phầncủaảnh khái niệm Hơn nữa, trong mỗi tình huống có thể chỉ có một số mảnh nào đócủaảnhkháiniệmđượcgợirahoặcđượckíchhoạttrongtâmtríHSvànhữngmảnhnàysẽảnhhưởn g đếncáchhiểuvàsửdụngkháiniệmcủacác em.

Phân tích sâu hơn về các thuộc tính đặc trưng của một khái niệm toán học,Sfard(1991)phânchiachúngthànhhailoại:kháiniệmcóthuộctínhcấutrúcvàkháiniệmcóthuộctín hhoạtđộng(structuralandoperationalconceptions).Theosựphânchianàythìmột cá nhân được xem là có quan niệm cấu trúc về một khái niệm toán học khi anh tahiểuvềkháiniệmđónhưmộtđốitượngtrừutượng.Ởmộtmặtkhác,cánhânđượcxemlàcóquanniệ mhoạtđộngvềkháiniệmkhianhtatậptrungsuynghĩvàocácquátrình,thuậttoánvàcáchoạtđộn ggắnliềnvớikháiniệm.Chẳnghạn,vớitrườnghợpkhái niệm đạo hàm, HS có quan niệm hoạt động có thể thực hiện được thành thạo việc tínhtoán đạo hàm theo định nghĩa (giới hạn của tỉ số sai phân) hay áp dụng các quy tắc tínhtoán có sẵn Sfard sau đó đã xây dựng “khung quá trình – đối tượng”(process – objectframework) để chỉ ra bản chất kép này của các khái niệm toán học Rõ ràng là hai loạithuộc tính này phải gắn bó tương hỗ với nhau và tác giả cho rằng người học trước hếtphảithôngquahoạtđộngđểnắmđượcquátrìnhmàkháiniệmlàkếtquả.Quátrìnhnàysauđómới cóthểđượctrừutượnghoávàkếttinhlạitrongbảnthânkháiniệmvàmanglại ý nghĩa cho nó Người học không thể hiểu được đầy đủ về khái niệm nếu chỉ đượccungcấpmộtđịnhnghĩahìnhthức.Họcầnbiếtđâulàlídomàtrithứcđóxuấthiện,nócó thể dùng để giải quyết những vấn đề gì? Từ điểm nhìn này, việc hiểu một khái niệmtoán học có thể đến từ chính những bài toán hay tình huống mà khái niệm này đóng vaitròlàcôngcụđểgiảiquyết.

Một nhân tố quan trọng giúp người học hiểu và sử dụng được các khái niệm toánhọc chính là những biểu diễn của nó Pape và Tchoshanov (2001) phân chia các biểudiễn thành hai loại: một loại là kết quả của “sự trừu tượng bên trong” các ý tưởng vàthiếtlậpnhữnglượcđồnhậnthứctrongquátrìnhhọctập.Loạithứhailànhữngbiểulộbên ngoài của các khái niệm toán học như các biểu diễn số, phương trình đại số, đồ thị,bảng, biểu đồ, lời, … Loại này đóng vai trò kích thích nhận thức, giúp người học hiểuvà sử dụng được khái niệm Hội GV toán của Mỹ (NCTM, 2000) cũng nhấn mạnh tầmquantrọngcủacácbiểudiễnđadạngđốivới việchiểumộtkháiniệmtoánhọc.Họchorằng các biểu diễn khác nhau sẽ làm sáng tỏ những mặt khác nhau của cùng một kháiniệm.Vìthế,đểcómộtcáchhiểuđầyđủngườihọccầnphảibiếtcácbiểudiễnnàycũngnhưcókhảnă ngkếtnốivàchuyểnđổigiữachúng.

1.2.1.4 Kiếnthức vềkháiniệm Đểmôtảnhữnggìmàngườihọccóthểhiểuvềmộtkháiniệm,HiebertvàLefevre(1986) chia kiến thức về đối tượng toán học này thành hai loại: kiến thức khái niệm(conceptual knowledge) và kiến thức quy trình (procedural knowledge) Theo các tácgiảthìkiếnthứckháiniệmlà:

Kiến thức được làm giàu trong những mối liên hệ Nó có thể được hiểu như là một mạnglưới kết nối các kiến thức, một mạng lưới mà trong đó những mối quan hệ liên kết cũngcần phải đượcquan tâmnhiều nhưnhữngmẩu thôngtin riênglẻ.

Cùng với đó, Hiebert và Lefevre định nghĩa kiến thức quy trình theo hai dạng. Dạngđầutiênlànhữnghiểu biếtvềkíhiệubiểudiễnchokháiniệmtoánhọcvàcúpháptheoquy ước để thao tác trên các kí hiệu đó Dạng thứ hai bao gồm các “công thức, thuậttoán hay quy trình để giải quyết những vấn đề toán học Nhiều quy trình mà HS sở hữucó thể chỉ là một chuỗi mệnh lệnh thao tác trên các kí hiệu” (Hiebert & Lefevre, 1986,tr.7-8).

Trong nhiều trường hợp, những hoạt động trên các quá trình liên quan đến kháiniệm không đem đến một cách hiểu về bản thân khái niệm, mà có thể chỉ hình thành ởngườihọcmộtdạngkiếnthứcquytrìnhvềkháiniệmđó.ChẳnghạnmộtHScóthểbiếtvề sự tồn tại của một khái niệm có tên là tích phân, biết kí hiệu và vận dụng được cáccông thức hay quy trình để tính toán và giải các dạng toán, tuy nhiên lại không thật sựhiểuđượckháiniệm.Vớimụcđíchnghiêncứucủamình,chúngtôimuốnxâydựngmộthiểubiếtvềk háiniệmđầyđủhơnchoHSvềđạohàmvàtíchphân.Mộtkiếnthứckháiniệm đầy đủ như vậy theo định nghĩa của Hiebert và Lefevre cần phải được làm giàutrong những kết nối Hơn nữa, Hiebert và Carpenter

(1992) còn cho rằng, mức độ củaviệchiểukháiniệmphụthuộcvàosốkếtnốivàđộmạnhcủanhữngkếtnốigiữacác sựkiện,cácbiểudiễn,quátrìnhvàcácýtưởng.

Andersonetal.(2001)địnhnghĩaviệcứngdụngmộtkiếnthứclàthựchiệnnhữngquy trình để giải quyết một vấn đề trong một tình huống nào đó Tuy nhiên việc ứngdụngkháiniệmtoánhọclạicóthểđòihỏinhữngmứcđộhiểukiếnthứckhácnhaunhưLauritzen

(2012) đã chỉ ra: “Trong những bài toán áp dụng, có khi chỉ cần ghi nhớ làmtheocácquytrình,cókhiđòihỏinhiềuhơnnhậnthứcvềbảnchấtkháiniệm,đòihỏisựquan tâm đến những mối liên hệ” (tr 23) Anderson et al (2001) làm rõ rằng, trongnhững nhiệm vụ quen thuộc HS thường sẽ biết kiến thức quy trình nào sẽ sử dụng Tuynhiên khi nhiệm vụ là một vấn đề không quen thuộc (chẳng hạn trong ngữ cảnh vật lí),HS sẽ cần phải có một mức độ hiểu nhất định về bài toán cũng như về khái niệm toánhọcsẽsửdụngđểtìmraquytrìnhcóthểgiảiquyết.Lúcnàythì“hiểuvềkiếnthứckháiniệm sẽ là điều kiện tiên quyết để có thể áp dụng được kiến thức quy trình” (Andersonet al., 2001, tr 77) Vai trò của kiến thức khái niệm còn được nhấn mạnh bởi kết luậncủaMahir(2009):

Sự ghi nhớ những kiến thức theo quy trình nhưng không được hỗ trợ bởi việc hiểu kháiniệmchỉtạorađượcnhữngthànhcônghạnchế.Sựlinhhoạtcầnthiếtđểgiảiquyết nhiềukiểubàitậpkhácnhauchỉcóthểđạtđượcbởimộthiểubiếtđầyđủvềkháiniệm.(tr.202) Để giải quyết một bài toán vật lí Jones (2010) cho rằng cần phải xây dựng đượcmột mô hình toán học cho nó, từ đó chuyển đổi được vấn đề đặt ra thành các phươngtrìnhtoánhọctrướckhicóthểxâydựngvàthựchiệnđượccácquytrìnhgiải.Tuynhiên,những bài toán vật lí thường đặt trong ngữ cảnh thế giới thực, sử dụng các biểu diễnkhác nhau như các từ ngữ, bảng số, đồ thị, hình ảnh để diễn đạt vấn đề Vì thế, để tìmđược các công cụ toán học phù hợp thì người học cần phải có hiểu biết cũng như sửdụngđượccácbiểudiễnkhácnhaucủakhái niệmtoánhọctươngứng.

Bêncạnhviệcnhấnmạnhvaitròcủahiểukiếnthứctoánhọc,nhiềunhànghiêncứucòn quan tâm đến sự biến chuyển của cách hiểu và kiến thức này khi người học ứngdụngchúngvàovậtlí.Chẳnghạn,HSđãbiếtvềtíchphânnhưngcáchhiểuvềtíchphânsẽnhưthến àokhihàmsốlấytíchphâncómộtýnghĩavậtlícụthể.Vậndụnglýthuyếtvề “sự hòa trộn nhận thức” (cognitive blending) của Fauconnier and Turner (2002),Jones (2010) chỉ ra rằng có một sự trộn lẫn trong nhận thức của người học giữa cáchhiểu về một khái niệm toán học với những đại lượng có liên quan trong Vật lí hay cácngữ cảnh ứng dụng khác Theo Jones thì sự hòa trộn này có thể giúp kết nối các kiếnthứctoánhọcvớicáchiểubiếtmàngườihọctiếpnhậntừlĩnhvựcvậtlí.Chúngtôicũngcho rằng “sự hòa trộn nhận thức” này sẽ đóng vai trò là chất keo kết dính giúp gắn kếtvàthúcđẩymộttiếntrìnhDHLMgiữa Toánvà Vật lí.

Từ những khung lý thuyết đã được giới thiệu ở trên, chúng tôi quan niệm cách hiểuđầyđủvề kháiniệmthểhiệnởmộtkiếnthứcđượclàmgiàu bởicáckếtnốisauđây:

- Kếtnốigiữacáchoạtđộng,thaotáctrênkháiniệmvớibảnthânkhái niệm:nghĩalàngườihọckhôngnhữngcóthểthựchiệncácthaotáctheoquytrìnhđểgiảiquyếtbàito án màcòncóthểhiểuđượclídotạisaothựchiệnnhữngquytrìnhđó.

- Kết nối giữa một khái niệm với những khái niệm khác có liên quan: chẳng hạn HSphảibiếtsựliênhệgiữa tíchphânvớiđạohàmvàlídotạisaocó mốiliênhệđó.

- Kết nối giữa khái niệm với các ứng dụng của nó ở cả ngữ cảnh trong và ngoài toánhọc.

Một số nhà nghiên cứu đã xây dựng các khung lý thuyết nhằm mô tả một cách hiểuđầy đủ về hai khái niệm đạo hàm, tích phân Những khung này sẽ được chúng tôi thảoluận ở chương 4 với sự soi sáng của các kết quả nghiên cứu tri thức luận về hai kháiniệmđangnóitới.

ThuyếtnhânhọctrongDidacticToán

Để sử dụng được ba chiến lược LM mà Nikitina và Mansilla đã đề xuất, chúng tôicần đến những khung lý thuyết là công cụ phù hợp cho các nhiệm vụ sau: Tìm hiểu cácnghĩatổngquátcủakháiniệm(chiếnlượcthiếtlậpkháiniệmcốtlõi),phântíchsựhìnhthành và tiến triển của tri thức trong lịch sử (chiến lược đặt bối cảnh cho khái niệm) vàcuối cùng là xây dựng các tình huống DH thông qua những bài toán – tâm thích hợp đểtổ chức hoạt động học tập LM (chiến lược bài toán – tâm) Ngoài ra, chúng tôi cũngmuốn tìm hiểu những gắn kết giữa GT và Vật lí trong lịch sử, sự thể hiện của nó trongDH Toán và Vật lí ở trường THPT nhìn từ quan điểm LM Những đòi hỏi này là lí dođể chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình thuyết nhân học trong Didactic Toán,gọitắtlà“thuyếtnhânhọc”.

Nhân học vốn là một lĩnh vực nghiên cứu các vấn đề về sự tồn tại của con ngườitrongmôitrườngtựnhiên,xãhộicũngnhưnghệthuật.Tuynhiênvàonhữngnăm80vàđầu những năm 90, Chevallard đã mở rộng nhận thức luận theo nghĩa truyền thống nàyđể xây dựng lên thuyết nhân học về didactic toán Tri thức toán học lúc này có thể xemnhư một sinh vật sống, vì thế “cũng sẽ trải qua những giai đoạn: nảy sinh, tồn tại, tiếntriển,mấtđivàluôncónhữngmốiliênhệràngbuộcvớicácđốitượngkhác”(TrầnAnhDũng, 2013, tr.

29) Đối tượng nghiên cứu lúc này không chỉ dừng ở việc tạo dựng trithức khoa học của con người mà còn được mở rộng ra với những hiện tượng liên quanđến việc áp dụng tri thức, việc DH hay những quá trình chuyển đổi tri thức đó Thuyếtnhân học didactic (gọi tắt là thuyết nhân học) tập trung vào việc nghiên cứu quá trìnhsoạnthảotrithứcđểtruyềnbánótrongcáccộngđồngxãhộicũngnhưnhữngđiềukiệnvàràngb uộcảnhhưởngđếnquátrìnhđó.Lýthuyếtnàycũngcungcấpcáccôngcụchophép mô hình hóa những điều kiện và ràng buộc nói trên và mô tả được cuộc sống vàhoạtđộngcủamộttrithứctrongthểchếmànótồntại.Theođó,banộidungcơbảncủathuyết nhân học đó là: lý thuyết chuyển hóa sư phạm; quan hệ thể chế và quan hệ cánhânvớimộtđối tượngtrithức;vềtổchứctrithứcvàtổchứcDH.

Chuyểnhóalàsựbiếnđổitừdạngnàysangdạngkhác.Ởđâyđãcósựchuyểnhóatrithứckhoah ọcđượcphátminhtronglịchsửbởicộngđồngcácnhànghiêncứuthànhtri thức cần dạy (do một nhóm các chuyên gia có vai trò chọn lựa, phản biện và điềuchỉnh), trước khi bị biến đổi thêm một lần nữa để trở thành tri thức được dạy xuất hiệntrong thực tế DH của GV và HS Thuyết nhân học mô tả sự chuyển hóa này thông quacụm từ “chuyển hóa sư phạm” và giải thích một phần cho sự chuyển hóa đó bằng haikháiniệmcơbản:“trithức”và“thểchế”.

Thể chế I là một bộ phận xã hội, cho phép – thậm chí áp đặt, các chủ thể của nó (nghĩa lànhững người chiếm các vị trí khác nhau do I đưa ra) vận dụng một cách làm, cách nghĩriêng,ứngxử theo những quytắcriêng.

(LêThịHoàiChâu,2018, tr.12) Trithứcvốnrađờitừhoạtđộngkhoahọccủaconngườitrongquátrìnhnhậnthứcthếgiớitựnhi ên.Trongthuyếtnhânhọc,Chevallard(1992)chorằngtrithứckhôngthểtồn tại lơ lửng mà phải đặt trong một hoặc nhiều cộng đồng xã hội nào đó Điều này cónghĩa là mỗi tri thức đều phải là tri thức của một hoặc nhiều thể chế và vì thế phải tuântheo những ràng buộc và thậm chí có thể bị biến đổi để phù hợp và đứng vững đượctrongcácthểchếđó.Chevallard(1985)đưarabốnkiểuthểchếcóliênquanđếnmộttrithức bao gồm: 1/Thể chế tạo ra tri thức; 2/Thể chế sử dụng tri thức; 3/Thể chế DH trithức; 4/Thể chế chuyển hóa tri thức (còn được gọi là Noosphère) Khi tri thức đượcchuyển hóa qua các thể chế, nếu đích đến là một thể chế DH thì ta sẽ gọi quá trình nàylàchuyểnhóasư phạm.

Côngviệclàmchomộtđốitượngtrithứcthànhmộtđ ố i t ư ợ n g D H đ ư ợ c g ọ i l à chuyển hóasưphạm.(Chevallard, 1985, tr 46)

Theo Chevallard (1989) quá trình chuyển hóa sư phạm một tri thức gồm ba mắtxích.TácgiảLêThịHoàiChâu(2018,tr.19)đãmôtảquátrìnhđótheosơđồ1.1trìnhbàyởbên.T ừsơđồnày,cóbabướcchuyển hóacầnđượclàmrõ.

Bướcchuyểnhóathứnhấtxảyraởthểchế tạo ra tri thức Hoạt động nghiên cứugiảiquyết mộtvấnđềnàođódẫnnhàkhoa họcđếnviệcphátm i n h ranhữngtrithức mới.T u y n h i ê n n g a y k h i m u ố n c ô n g b ố rộngrãitrithứcnàytrongcộngđồngkhoa học,nhànghiêncứuđãphảithựchiệnnhững biến đổi nhất định với nó Từ việcxóabỏđinhữngdấuvếtcánhân, ngữcảnh

Sơ đồ 1.1 Ba mắt xích củaquátrìnhchuyểnhóa sưphạm hayđộngcơđãdẫnđếnsựphátminhratrithức,đếnviệcsắpxếpvàtổchứclạinótheomột hệ thống thích hợp với bối cảnh khoa học đương thời Bước chuyển hóa đầu tiênnày của tri thức nhằm mục đích biến nó thành tri thức chung thuận tiện cho việc kiểmchứngvàsửdụngcủacộngđồngcácnhàkhoahọcnhưnglạicóthểlàmmấtđiphầnnàoý nghĩa và ngữ cảnh ra đời của tri thức Điều này có thể không ảnh hưởng đến nhữngnhà nghiên cứu cùng thời và cùng chuyên ngành nhưng có thể làm che dấu đi lí do rađời của tri thức, làm mất nghĩa và thậm chí bị hiểu sai bởi các thành viên trong nhữngthểchế DHvềsau.

Tri thức ở bước thứ nhất còn được gọi là tri thức bác học và bước chuyển hóa thứhai xảy ra khi tri thức này trở thành một đối tượng DH Một nhóm các chuyên gia, nhữngngười lập chương trình sẽ chọn lựa và cấu trúc lại để tri thức trở nên có thể dạy được.Lúcnàytùythuộcvàođốitượngcôngchúngcầnhọctập,trithứcsẽđượchạnchế,biếnđổi và trình bày lại theo một cấu trúc mới Sự chuyển hóa này giúp tri thức trở nên phùhợp hơn với các đối tượng đó theo quan điểm sư phạm hay theo các mục đích riêngkhác, tuy nhiên lại có thể gây ra những chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với trithứcxuấthiệntrongchươngtrìnhvàSGK.Việcchỉramộtcáchrõràngthểchếchuyểnhóatrithức nàylà mộtđónggóp quantrọngcủathuyếtnhânhọc.

Bước chuyển hóa thứ ba diễn ra khi tri thức được đưa vào giảng dạy bởi GV tronglớphọc: Ở giai đoạn này, mỗi GV sẽ biến đổi tri thức đã được chỉ ra là cần dạy thành những đốitượng kiến thức thực sự được dạy Hiển nhiên, việc chuyển hóa tri thức ở giai đoạn nàyluôn gắn với kiến thức mà GV gán cho tri thức đang nói đến, quan niệm của GV về việcDHcó hiệu quả, hiểu biết củaGVvềlớp học,…

(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.25)Lý thuyết về chuyển hóa sưphạmchỉra nhữngchênh lệch có thể xuấthiệngiữa trithứcđượcdạy vớicáctrithứcbáchọclàthamchiếucủanó,vàsựchênhlệchnày đếntừnhữngràngbuộctácđộnglêntrithứcởmỗimộtthểchếmànóhiệndiện.Đểtìmhiểunhữngchênhl ệchnàytrướctiêncầnphảitiếnhànhmộtnghiêncứutrithứcởthểchếđãtạoranótronglịchsử.Một phântíchtrithứcluậnlịchsửvềtrithứccầndạysẽthực hiệnđượccôngviệcđó.

(1997) nghĩa là “nghiên cứu những điều kiện và ràng buộc đối vớisự nảy sinh các tri thức khoa học, cũng như quá trình hình thành và phát triển các trithức đó” (trích theo Trần Anh Dũng, 2013, tr 27) Tìm hiểu quá trình nảy sinh, hìnhthành và phát triển từ lịch sử rõ ràng không chỉ đơn thuần là một tập hợp các sự kiện,thờiđiểmhaytêntuổicác nhà toánhọc.

Phân tích tri thức luận lịch sử một tri thức là một phân tích quá khứ để khám phá nhữngmò mẫm, những lệch lạc, những chướng ngại khác nhau, những điều kiện cho phép xuấthiện tri thức, lí do tồn tại của nó Trong phân tích tri thức luận lịch sử, điều kiện cho sựnảysinhmộtphátminhcũngquantrọngkhôngkémbảnthânphátminhđó.Phântíchnàygiúp ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của tri thức, từ đó hiểu rõ hơn các hiện tượng DH trithứcđangbàn đến.

(LêThịHoàiChâu,2018,tr 44-45) Mộtcáchcụthể,phântíchtrithứcluậnlànghiêncứulịchsửhìnhthànhvàtiếntriển mộttrithứcđểlàmrõnhữngđiểmsau:

- Nghĩa củatri thức,nhữngbài toán,nhữngvấnđề mà trithứcđóchophépgiảiquyết;

- Nhữngđiềukiệnsảnsinhratrithức,nhữngbướcnhảycầnthiếttrongquanniệmđểthúcđẩ yquátrình hình thành vàphát triển tri thức.

Nhữngkếtluậncóđượctừnghiêncứutrithứcluậncóthểgiúphiểurõmốiliênhệgiữaquátrình xâydựngtrithứctrongcộngđồngkhoahọcvớiviệcdạyvàhọcnótrongcáccộng đồng xã hội.

Lýthuyếtnhânhọccủa didactictrêncươngvịlàmộtnhánh mởrộngcủakhoahọcloài người (nhân chủng học) có những quan điểm riêng về đối tượng này Con người(vào một thời điểm trong lịch sử của nó) có thể xem là một cá nhân cùng với một tậphợpcác mốiquanhệcủacánhânđóvớinhữngđốitượng mànóbiết.Quátrìnhhọctậpmột tri thức toán học buộc cá nhân phải tạo ra hoặc điều chỉnh mối quan hệ của họ vớitrithứcđó. Ở một góc nhìn khác một đối tượng tri thức đang đề cập lại luôn phải tồn tại trongmột thể chế nhất định và chịu những quy tắc, ràng buộc của thể chế này Mối quan hệcủa thể chế đối với tri thức liệu sẽ ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ của cá nhân vớitri thức? Thuyết nhân học tìm cách trả lời cho vấn đề này đồng thời tìm cách mô hìnhhóa sự hình thành những mối quan hệ đó Theo đó, ba thuật ngữ cơ bản của thuyết nàylầnlượtlà: đốitượng(O),cánhân(X)vàthểchế(I)

Lúc này, đối tượng tri thức O được xem là tồn tại nếu như có một cá nhân X haymột thể chế I nhận biết về nó Hay nói khác đi là có tồn tại mối quan hệ cá nhân của XvớiOhaymốiquanhệthểchếcủaIvớiO.MốiquanhệgiữaXvàOđượcthểhiệnquatập hợp tất cả các tác động qua lại mà X có với O (hiểu về O, sử dụng O, nói về O,…).Và tương tự như thế, mối quan hệ thể chế giữa I với O sẽ cho biết O xuất hiện ở đâutrongI,xuấthiệnnhưthếnào,giữvaitròvàcómốiliênhệgìvớicácđốitượngtrithứckháctrongth ểchếđó,…CóthểhìnhdungthểchếIhaylàcánhânXnhưnhữngkhônggiansống màđốitượngtrithứcOcóthểnảysinh,tồntại,tiếntriển, thayđổi, mấtđivàluôncónhữngliênhệràngbuộcvớicácđốitượngkhác.

Theoquanđiểmtrên,việchọctậpcóthểxemlàsựđiềuchỉnhmốiquanhệcủamộtcánhânXvớiOt heohướngthiếtlập(nếunóchưatồntại),hoặcbiếnđổi(nếunóđãtồntại) cho phù hợp hơn với những mục tiêu nhất định nào đó Tuy nhiên để hình thànhhoặcbiếnđổimốiquanhệvớitrithứcO,cánhânXphảihòamìnhvàomộtthểchế

DHInàođó,vànhưthếnóbịảnhhưởngbởinhữngràngbuộccủamốiquanhệthểchếgiữaIvớiO.Một mặtthìmốiquanhệcánhânkhônghoàntoànphùhợpvớiquanhệthểchếbởilẽnóđượchìnhthànhtừs ựtổnghợpcủanhiềuquanhệthểchếkhácnhauliênquanđếnđốitượngtrithứcmàcánhânđóđãbiết.Mặ tkhác,mốiquanhệcánhâncũngkhông thể quá khác biệt vì dù sao nó cũng phản ánh các quan hệ thể chế đã đào tạo ra nó.Nhữngluậnđiểmnêutrênchothấytầmquantrọngcủaviệcnghiêncứumốiquanhệthểchế với đối tượng tri thức nếu muốn nhìn nhận rõ những ràng buộc và ảnh hưởng củanólênquátrìnhhọctậpcủaHS.

PhântíchthểchếlàđitìmhiểumốiquanhệgiữađốitượngtrithứcOvớimộthoặcnhiềuthểchếliê nquanđếnnó.Phântíchthểchếnóinômnalàđitìmhiểu“cuộcsống”của đối tượng tri thức trong thể chế ấy: tri thức đó xuất hiện ở đâu, xuất hiện như thếnào, có vai trò gì, có quan hệ gì với những đối tượng khác trong thể chế, những điềukiệnhayràngbuộcnàocủathểchếtácđộnglênnó.

Lýthuyếttìnhhuống

Lý thuyết tình huống được xây dựng bởi Brousseau từ những năm 1970 và quanđiểmcủanólàkhuyếnkhíchHStựxâydựngtrithứcthôngquaviệc hoạtđộngtrêncáctình huốngđược xây dựng một cách có chủ ý Có một tình huống giả tạo thường thấytronglớphọcđólàGVđặtranhữngcâuhỏimàanhtađãbiếttrướccâutrảlờitrongkhiở ngoài lớp học thì người ta chỉ đặt câu hỏi về những điều mà họ không biết Quá trìnhDH điển hình theo truyền thống thường xảy ra theo một cách áp đặt như vậy: GV hỏinhững vấn đề mà họ đã biết cách giải quyết và HS phải tìm cách trả lời những câu hỏimà các em không tự mình đặt ra và nếu không trả lời được thì GV sẽ nhận trách nhiệmđó.Brousseau(2006)chorằng“nếuGVtựđặtranhữngcâuhỏitoánhọcvàcáccâutrảlời, họ đã tước đoạt đi của người học trách nhiệm của việc hoạt động” (tr 46) Để vượtquanghịchlýnóitrên,BrousseaumuốnxâydựngmộthệthốnggồmGV,HSvàmôi trườngmàởđóviệchọctậptrithứcđượcdiễnratheocáchtựnhiênvàmanglạiýnghĩađúngchotrithức.

Lý thuyết tình huống cho rằng mỗi tri thức đều có một họ tình huống sư phạm chophépđemđếnchonó mộtnghĩađúngvàphùhợpsovớilịchsửhìnhthànhvàtiếntriểncủa tri thức hoặc phù hợp với bối cảnh xã hội và cộng đồng khoa học hiện thời. Cácnghĩanàysẽhiệndiệntronghoạtđộnghọctậpnhưlàkếtquảhaylàphươngtiệnđểgiảiquyết các tình huống đã đặt ra Việc xem xét đến chiều văn hóa và xã hội trong hoạtđộng học tập tri thức cũng là một điểm đặc trưng của lý thuyết tình huống mà thuyếtphát triển nhận thức của Piaget trước đó chưa xem xét một cách đầy đủ Để xây dựngmột tình huống học tập mong ước, cần phải tạo những điều kiện thuận lợi để đảm bảocho một sự tự chủ tối đa của người học trong quá trình học tập Những điều kiện đóđượcđưa ra sauđâybởiBrousseau(2008,tr.249):

- Trithứctoán họcđanghướngđếncầnphải cungcấpđượcmộtphươngpháp tốiưu choviệc giải quyết vấn đềđặt ra.

- Chấp nhận được rằng người học có thể bắt đầu công việc giải quyết bài toán với nhữngchiến lượckhôngthích hợp.

- Giữanhữnglờigiảiđượcchấpnhậndựavàokinhnghiệm,chỉcómộtcáilàthỏamãnđượctất cảnhữngđiều kiện củabài toán.

- LờigiảicóthểđượctìmthấyvàkiểmtrabởimộtsốHSkháctrongmộtlượngthờigianhợp lí, vàngaylập tứcđượcchia sẻvàkiểm trabởi nhữngngười khác.

Cơ sở cho việc xây dựng tình huống DH của lý thuyết tình huống vẫn dựa trên haicơchếđồnghóavàđiềuứngtronglýthuyếtvềquátrìnhhọctậpvàpháttriểntrítuệcủaPiaget và Cook

(1952) Theo đó đồng hóa là quá trình chủ thể tái hiện lại một số đặcđiểm của đối tượng và đưa nó vào những sơ đồ, nhận thức đã có sẵn Còn điều ứng làquá trình thích nghi với những phản hồi của môi trường bằng cách điều chỉnh, biến đổicấu trúc đã có, tạo ra những cấu trúc mới nhằm đưa đến trạng thái cân bằng Khi ngườihọc tiếp cận với một khái niệm mới, lúc đầu họ sẽ cố gắng đồng hóa, liên hệ nó vớinhữngtrithức,quanniệm,cấutrúcsẵncó.Chỉkhicónhữngphảnhồi,tươngtáclạicủamôitrường khiếnhọbắtbuộcphảiđiềuchỉnh, biếnđổi lạicácquanniệmvàtrithứccũ để hình thành những quan niệm mới (điều ứng) thì việc học tập mới thật sự được xemlàdiễnra.Vềcơchếhọctậpnày,Brousseau(2006)cũngchỉrarằng:“HShọctậpbằngcách tự thích nghi với môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và nhữngsự mất cân bằng” (tr 30).Môi trườngtrong đó việc học tập diễn ra được xem là mộttrong những khái niệm cơ sở của lý thuyết tình huống Vai trò của nó là cung cấp cácthông tin và tín hiệu phản hồi để đem đến những tác động xác nhận, ủng hộ hay ngượclại là từ chối, bài xích những chiến lược giải mà người học đề ra và sử dụng Các tácđộng phản hồi này sẽ điều chỉnh hành động của HS theo hướng thích nghi với nhữngmâu thuẫn, khó khăn, mất cân bằng đã xuất hiện từ đó nảy sinh nhận thức mới về trithức.

Một tình huống trong đó GV chỉ cần ủy thác một vấn đề và HS tự mình khám phátri thức thông qua hoạt động trên tình huống đã cho mà không cần đến sự tác động củaGV được lý thuyết tình huống gọi làtình huống lí tưởng Nhờ sự tồn tại của loại tìnhhuống này mà chúng ta có thể hướng đến một hệ thống DH tự nhiên và tích cực Ở đó,kiếnthứccủaHScócơhộiđượchìnhthành,tiếnhóavàpháttriểntừviệcthíchnghivớicáctácđộngp hảnhồicủamôitrườngmàkhôngcầnnhiềucanthiệpcủaGV.NhữngtácđộngphảnhồinàygiúpHStựđ ánhgiásảnphẩmcủamìnhđểđiđếnchấpnhậnhayloạibỏ nó mà không cần đến những đánh giá của người thầy Chẳng hạn, HS có thể nhậnthấy chiến lược ban đầu của mình gặp trở ngại, đi đến kết quả không đúng hay trở nênquá đắt giá (tốn thời gian và công sức) Những điều chỉnh, thay đổi và sáng tạo nhằmthíchnghivớicácphảnhồicủamôitrườngsẽgiúpHSkhámpháđượctrithứcmới.Quátrình này diễn ra có vẻ là tự nhiên nhưng lại được cài đặt trong những tình huống thíchhợp được xây dựng theo một logic nội tại của việc tiến triển tri thức HS không ý thứcđượclàcácemđangdầnđitheomộtkịchbảnsưphạmđãđượctínhtoántrước,vàýđồDHtrithứ csẽẩndấuđằngsaumôitrường mà GVcốýxâydựngtrongtìnhhuống.Tấtnhiên là sau khi tìm được lời giải cho vấn đề đặt ra HS có thể vẫn chưa biết là mình đãtìm ra một tri thức có thể dùng được cho những trường hợp khác GV sẽ là người xácnhận và giúp HS chuyển hóa tri thức vừa kiến tạo thành tri thức của chương trình, củaxãhội.

ViệcdạylàsựủythácchoHSmộttìnhhuốnglítưởngthíchhợp;cònviệchọclàsựthíchnghicủaHS với tính huốngnày.

Lý thuyết tình huống chỉ ra các điều kiện sau đây cho một tình huống lí tưởng:1/Tồntạimộtchiếnlượccơsở,nghĩalàvớinhữnghiểubiếtđãcóHScóthểsớmđưara mộtphươngántrảlờibanđầuchovấnđề.

4/Tri thức nhắm đến cho phép HS chuyển từ chiến lược cơ sở qua chiến lược tối ưu.5/ Tồn tại môi trường có khả năng phản hồi thông tin giúp HS đánh giá được kết quảhoạtđộngcủamìnhđểtừđóđiềuchỉnhquanniệm,kiếnthứccủamìnhnhằmtìmđếnchiế nlược tốiưuchovấnđềđặtra.

Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng có thể tìm được ngay một chiến lược giảikhác khi chiến lược cơ sở gặp thất bại, hơn nữa việc chuyển từ chiến lược cơ sở sangchiến lược tối ưu có thể cần những bước nhảy nhận thức mà người học khó có thể tựmình làm được Đây là lúc cần sự giúp đỡ của GV với mức độ và liều lượng vừa phảitùy vào tính chất khó khăn mà HS phải đối mặt Một tình huống DH mà GV góp mặttrong vai trò người tổ chức, điều khiển và hướng dẫn HS giải quyết vấn đề được gọi làtìnhhuốngdidactic.

LýthuyếttìnhhuốngđưarakháiniệmbiếnDH(didacticalvariable)chỉnhữngyếutốcủatìnhhuố ngmàviệcthayđổigiátrịcủanósẽlàmthayđổiđặctrưngcủacácchiếnlược giải (mức độ khó khăn, sự phức tạp, tính hợp thức,…) Biến DH là một khái niệmquan trọng của lý thuyết tình huống vì nó giúp thấy được cách thức vận hành đặc trưngcủa một tình huống lí tưởng: GV gián tiếp điều khiển quá trình học tập bằng cách chọncácgiátrịcủabiếnDH mộtcáchcódụngý.HShọctậpthôngquasựthayđổicácchiếnlược giải quyết vấn đề cài trong tình huống và sự tiến triển kiến thức sẽ gắn liền với sựthayđổicủacácchiếnlượcđó.Dướigócnhìnnày,mộttìnhhuốnglítưởngđượcchúngtôimôtảlạibở isơđồ1.2 dướiđây.

Theo sơ đồ này thì quá trìnhhọc tập được diễn ra một cách lítưởng như sau:GV ủy thác cho HSmột tình huống (hoặc một họ cáctình huống) trong đó đã cài đặt sẵnmộtdãycácgiátrịcủabiếnDHmàsựt hayđổicủanóđãđượcthiếtkếtrước Khi giá trị của biến DH bịthay đổi, nó làm cho đặc trưng củacácchiếnlượcgiảitươngứngcũngbiế nđổitheohướnggặpnhiềutrở

Sơđồ1.2.Tình huốnglítưởng ngạihơn:tốnthờigian,côngsức,khôngđemđếnkếtquảhợplí,haythậmchílàkhôngthực hiện được. Những tác động phản hồi từ môi trường làm cho người học thấy rằngchiến lược họ sử dụng trở nên “đắt giá” và không “hoạt động” Để thích nghi được vớitình huống khi mà biến DH nhận một giá trị mới, HS phải cố gắng thay đổi chiến lượcgiải của họ Điều quan trọng là quá trình thiết kế và lựa chọn biến DH phải tuân theomột logic nhận thức nội tại phù hợp với sự tiến triển của tri thức sao cho có thể dẫn dắtngười học dần tìm thấy một chiến lược tối ưu Kiến thức mới sẽ ẩn phía sau chiến lượctốiưunàynhưlàkếtquảhoặcphươngtiệnđểgiảiquyếtvấnđềđặtratrongtìnhhuống.Chutrìnhhọc tậpnàycòngiúpmanglạinghĩachotrithứcvìnóchothấyđượclídotồntạicũngnhưvaitròcôngcụcủ atrithứcđangnóitới.

Lý thuyết tình huống thực hiện việc phân tích các biến của thực hành DH và khám phámốiquan hệcủanó với quátrình sản sinh ratri thứctoán học.

Đồándạy học

TheoArtigue(1992)thìýtưởngvềđồánDHđãxuấthiệnvàpháttriểntrongcộngđồng nghiên cứu didactic toán của Pháp từ đầu những năm 1980 và đóng vai trò nhưmộtphươngphápluậnnghiêncứutronggiáodụctoánhọc.Artigue(2014,tr.159)địnhnghĩađồá nDHlà:

Một phương pháp luận nghiên cứu dựa trên quá trình thiết kế và TN có điều chỉnh củachuỗi các tình huống DH và tuân theo một kiểu hợp thức nội tại từ việc đối chứng giữaphântích tiên nghiệm vàhậu nghiệm củaquátrình đó.

Trongvaitròlàmộtphươngphápluậnnghiêncứu,địnhnghĩanàychỉrarằngviệcxâydựngmột đồánDHtrảiquanhiềucôngđoạn.BắtđầutừviệcthiếtkếchuỗicáctìnhhuốngDHvàphântíchtrướcnh ữnggìsẽdiễnra(phântíchtiênnghiệm),đếnquátrìnhthực hiện TN, quan sát và ghi nhận kết quả để xem xét những gì đã diễn ra (phân tíchhậu nghiệm) Cuối cùng, quá trình kiểm chứng TN sẽ dựa trên sự hợp thức nội tại củađồán,nghĩalàsosánhgiữaphântíchtiênnghiệmvàhậunghiệmsauđótấtcảcáccôngđoạn này có thể được điều chỉnh để trở nên thích hợp hơn Theo Brousseau (2008) thìđồánDHlàmộtcáchthuậnlợiđểxâydựngvàkiểmtranhữngtìnhhuốngDHmớicũngnhư sự hiệu quả mà nó đem lại theo cách có thể điều chỉnh được Artigue (2000) cũngcho rằng, đồ án DH đem đến một công cụ cho phép kiểm tra tính hợp thức của các giảthuyếtkhoahọcmàlýthuyếttìnhhuốngđặtra.

Theo González-Martín et al (2014) thì những bước sau đây cần thực hiện để xâydựng một đồ án DH: 1/Phân tích tri thức luận (gắn với những đặc trưng của tri thức);2/Tìm hiểu nhận thức cá nhân của người học về tri thức (gắn với những đặc trưng củaHS); 3/Phân tích thể chế (gắn với các đặc trưng của hệ thống giáo dục và DH); 4/Phântích các biến DH của tình huống được sử dụng trong đồ án; 5/Phân tích tiên nghiệm đểxácđịnhcáchmàsựlựachọnbiếnDHảnhhưởngđếnchiếnlượccủaHS(tậptrungchủyếu vàocácyếutốlí tưởngcủatìnhhuống).

Artigue(2014)đưarabốnphasauđâytrongviệcxâydựngmộtđồánDH(tr.160):cácphântíchch uẩnbị; thiếtkếvàphântíchtiênnghiệm;tiếnhànhTNvàquansát;thuthậpdữ liệu,phântíchhậunghiệmvàhợpthức hóa.

 Cácphântíchchuẩnbị:thường baogồmbachiềuchủyếulà:Phântíchtrithứcluận;phântíchnhữngđ iềukiệnvàchướngngạimàđồánphảiđốimặt;vàphântíchvềnhữngcáimànghiêncứugiáodục phảicungcấpđểhỗtrợchoviệc thiếtkế.

 Phân tích tiên nghiệm: Pha này gồm bước thiết kế và phân tích trước khi tiến hànhTN,cácgiảthuyếtnghiêncứucũngđượcxâydựngtrongquátrìnhnày.ĐểthiếtkếmộtđồánD H,nhànghiên cứucầnphảithựchiệnnhữngcôngviệcsau:

- Tìm kiếm những tình huống cơ sở, nghĩa là những tình huống toán học mà tóm lượcđượcbản chất khoa họcluận củakhái niệm.

- Phân tích những đặc trưng của môi trường mà HS sẽ tương tác để tối ưu các hỗ trợ chohoạt độnghọctập độclập củangười họcvànhữngtácđộngphản hồithíchhợp.

- Tổ chức lại quá trình ủy thác và thể chế hóa bởi GV, một mặt, phải làm cho HS nhậnlấynhiệmvụ toánhọcmàhọphải giải quyết,mặtkháclại phảikếtnốinhữngkiếnthứcmà họ tạo ravới kiến thứcmà nhàtrườngđangnhắm đến.

(Artigue,2014,tr.160) Vai trò của phân tích tiên nghiệm là làm rõ mối liên hệ giữa quá trình thiết kế, sựlựachọnbiếnDHvớigiảthuyếtđãđặtra.Phântíchnàynhằmdựkiếnđượcnhữnghiệntượng có thể xảy ra dựa trên những động lực tiềm năng của tình huống, tương tác củaHSvớimôitrường,cácchiếnlượcgiảicóthểcủaHSvàsựtiếntriểncủacácchiếnlượcđó Cụ thể hơn, theo Trần Anh Dũng (2013, tr 38) thì phân tích tiên nghiệm phải làmrõđượccácyếutố sauđây:

- Các biến DH có thể tác động trong tình huống DH tri thức, những chiến lược hay câutrảlờicóthểxuấthiện(đặcbiệtlàchiếnlượctốiưu)vàảnhhưởngcủabiếntrênchiếnlược(câu trảlời).

- Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức mầmmốngcho sựnảysinh cácchiến lược.

- Những kiến thức khác có thể nảy sinh và các lựa chọn (giá trị của biến) tạo ra điềukiệncho sự nảysinh đó.

 Tiến hành thực nghiệm: Trong pha này, các dữ liệu từ TN sẽ được ghi nhận lại đểchuẩnbịchophaphân tíchhậunghiệmtiếptheo.Tùytheo mụcđích củađồánDH,giảthuyết nghiên cứu cần kiểm chứng và các dự kiến trước đó trong phân tích tiên nghiệmmànhữngdự liệu nàysẽđược lựachọnvàtổchứcmộtcáchthích hợp.

 Phân tích hậu nghiệm: Là xem xét tình huống thực tế đã diễn ra và phân tích đốichứnggiữanhữngcáidựkiếntrướctrongphântíchtiênnghiệmvớicácdữliệuthuđượctừ quá trình TN. Những dữ liệu nào phù hợp với phân tích tiên nghiệm, ý nghĩa củanhững điểm hội tụ và phân kì giữa hai phân tích và làm thế nào để giải thích chúng sẽlànhữngcâuhỏiphảitrảlờitrongphanày.Sựđốichứnggiữaphântíchtiênnghiệmvàhậu nghiệm là cơ sở cho việc kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra và bản chấtcủa tính hợp thức là ở nội tại của tình huống, chứ không phải là sự so sánh bên ngoàigiữamộtnhómHSđượcTNvàmộtnhómđốichứng.

NhữngtrìnhbàyởtrênchothấymộtmốiquanhệmậtthiếtgiữalýthuyếtđồánDHvớicáclýthuyết kháccủaDidacticToánmàđặcbiệtlàlýthuyếttìnhhuống.ĐồánDH dựavàolýthuyếttìnhhuốngđểxâydựngvàthựchiệnnhữngtìnhhuốngnhắmđếnmụcđích hình thành tri thức toán học mới cho HS Tri thức toán học mới này sẽ xuất hiệnnhưlàmộtcôngcụtoánhọctốiưuđểgiảiquyếtbàitoánđặtravàsựlựachọncácbiếnDH sẽ giúp dẫn dắt người học đến với chiến lược tối ưu đó Theo chiều ngược lại,phương pháp luận nghiên cứu của lý thuyết đồ án DH cung cấp những bước thích hợpđể xây dựng và phân tích trước các tình huống

DH cũng như để kiểm chứng được tínhhợp thức của các giả thuyết nghiên cứu dựa vào sự so sánh giữa phân tích tiên nghiệmvàhậunghiệm.

Kếtluậnchương 1:những nghiêncứu cầntriển khai

MụcđíchnghiêncứucủachúngtôilàmuốnđemlạimộtcáchhiểuđầyđủhơnchoHS về hai khái niệm đạo hàm, tích phân và giúp các em ứng dụng được hiệu quả cáckiến thức này trong Vật lí Theo đó, các cơ sở lí luận được trình bày ở chương này đãgiúplàmrõthếnàolàcáchhiểuđầyđủvềmột kháiniệmtoánhọcvànhữngyếu tốcầntính đến để ứng dụng nó trong Vật lí Các mô hình và chiến lược LM được giới thiệugiúp chỉ ra những cách thức đạt được mục đích nói trên từ hướng tiếp cận LM Toán –Vậtlí. Đisâuvàocácmụctiêunghiêncứucụthể.Haimụctiêunghiêncứuđầutiênchúngtôiđặtralà:làm rõmốiquanhệLMgiữaToánvàVậtlítừcảgócđộtrithứcluận(mốiquan hệ gắn kết hỗ trợ lẫn nhau diễn ra trong lịch sử) và sư phạm (sự thể hiện của tínhLM này trong thể chế DH Toán và Vật lí) đối với hai khái niệm đạo hàm và tích phân.Để đạt được các mục tiêu này, một nghiên cứu tri thức luận, một nghiên cứu thể chế vàcảmộtnghiêncứusựchuyểnhóasưphạmliênquanđếnhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân sẽ cần phải thực hiện Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống và đồ án DH sẽ đượcchúng tôi vận dụng trong việc thiết kế và triển khai TN các công đoạn DH khái niệmđạo hàm, tích phân theo hướng tiếp cận

LM Sự hợp thức hóa nội tại theo lý thuyết củađồ án DH còn là cơ sở để chúng tôi kiểm chứng tính khả thi của các giải pháp sư phạmvàgiảthuyếtnghiêncứuđãđặtra.

Các kết luận nói trên chỉ ra những nghiên cứu sau đây cần được triển khai trongluậnán:

Nếu nhìn từ định hướng LM thì phân tích tri thức luận không thể chỉ tập trung vàobảnthânđốitượngtrithứcđangbànđếnmàcònphảilàmrõhaichiềutácđộnghỗtrợ lẫnnhaugiữaGTvàVậtlíđãdiễnratronglịchsử.Theođó,nghiêncứutrithứcluậncầnphảig iúptrảlờicáccâuhỏisau:

- Những bàitoánnàocủaVậtlílàđộnglựcchosựrađời vàtiếntriểncủacáckháiniệmGT,đạohàm vàtíchphân nóiriêng?

Một nghiêncứu trithứcluận theođịnhhướnglàmrõsựgắnkếtgiữaGTvàVậtlísẽđượcchúngtôithựchiệntrongchương2củ aluậnán.

 Nghiêncứu thểchếtheođịnhhướngliênmôn Để thấy được sự hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học Toán và Vật lí trong việc DHđạo hàm và tích phân ở nhà trường, chúng tôi cho rằng nghiên cứu thể chế phải chỉ rõđượcnhữngđiềusauđây:

- Đạo hàm và tích phân xuất hiện ở đâu trong SGK toán và vật lí Ở đó nó mang ýnghĩagìvàgiúpgiảiquyếtnhữngvấnđềnào?

- Ngữ cảnh và các vấn đề của Vật lí hỗ trợ ra sao trong việc giúp hình thành kháiniệmđạohàm vàtíchphân ởthểchếDHToán?

- Công cụ toán học mà đạo hàm và tích phân mang lại giúp giải quyết được nhữngvấnđềgìtrong chươngtrình vậtlíTHPT?

- Những điều kiện và ràng buộc nào cần phải thỏa mãn để đảm bảo cho một sự nốikhớp LM hợp lí giữa Toán và Vật lí liên quan đến hai khái niệm đạo hàm và tíchphân?

- Từ quan điểm DH LM, những kiểu nhiệm vụ nào gắn với việc sử dụng đạo hàmvà tích phân, kĩ thuật giải quyết là gì và đâu là cơ sở lý thuyết cho việc giải thíchnhữngứngdụngcủahaikháiniệmnàytrongcácvấnđềcủaVậtlí?

Chúng tôi sử dụng linh hoạt lý thuyết chuyển hóa sư phạm khi xem xét đối tượngchuyển hóa không chỉ là bản thân tri thức toán học mà còn là những gắn kết và hỗ trợlẫn nhau giữa các ngành khoa học trong quá trình hình thành và phát triển tri thức đó.Mộtcáchcụthể,chúngtôisẽtrảlờicáccâuhỏisauđây:

- Trong thể chế DH Toán và Vật lí ở trường THPT, sự gắn kết nói trên thể hiện rasao?NhữnggắnkếtLMgiữaGTvàVậtlícóđượctậndụnghợplívàhiệuquảtrongviệcDH haikhái niệmđạohàmvàtíchphân haykhông?

- Sự nối khớp theo hướng tiếp cận LM giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí có đượcđảmbảohaykhông?

- Cần phải điều chỉnh hay bổ sung những gì để đem đến nhiều lợi ích hơn cho ngườihọcởcảhaikhíacạnh hiểuvàứngdụngkháiniệm?

Nghiên cứu này được thực hiện ở chương 4 Cụ thể, bằng cách vận dụng các môhình, chiến lược LM cùng với các kết quả thu được từ nghiên cứu tri thức luận và thểchếnóitrên,chúngtôiđềracácgiảiphápsưphạmnhằmtậndụngmốiquanhệliênmônToán–

 Nghiêncứuxâydựng đồánDHhaikháiniệm đạohàm vàtíchphândựatrêncáctìnhhuốngcósựgắnkếtliênmônToán–Vậtlí

Dưới sự soi sáng của lý thuyết tình huống, một nhiệm vụ quan trọng mà chúng tôiphải thực hiện là tìm kiếm các tình huống lí tưởng từ nguồn gốc tri thức luận sao chovừa tận dụng được các gắn kết

LM Toán – Vật lí và vừa tạo điều kiện tối ưu cho hoạtđộngtựkiếntạotrithứcởngườihọc.NhữngtìnhhuốngLMnhưvậycóthểtìmthấytừsựrađờiv àtiếntriểncủađạohàmvàtíchphântronglịchsử.Đósẽlàhạtnhânđểchúngtôi thiết kế hoạt động học tập và lựa chọn các biến DH một cách hợp lí nhằm đem đếnchongườihọccáchhiểuđầyđủhơnvềkháiniệmđồngthờităngcườngvaitròcôngcụcủachúng trong cácvấn đề vậtlí.

Bên cạnh đó, phương pháp luận nghiên cứu có được từ lý thuyết đồ án DH cũnggiúpchúngtôithấyrõnhữngbướccầnphảithựchiệnđểthiếtkếcáctìnhhuốngDHphùhợpvớim ụcđíchđặtra.Theolýthuyếtnày,chúngtôitìmthấycơsởđểkiểmchứnggiả thuyếtkhoahọccủamìnhbằngcáchđốichiếugiữaphântíchtiênnghiệmvàhậunghiệmcủa đồ án đã thiết kế Sự hợp thức hóa nội tại của đồ án mà chúng tôi xây dựng sẽ dựatrêncác cơsởsauđây:

CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA GIẢI

Mụctiêucủa chươngvàđịnhhướngthựchiện

Mục tiêu của chương 2 là tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1:Mối quan hệgắn kết, hỗ trợ lẫn nhau giữa Toán học và Vật lí học đã diễn ra như thế nào trong lịchsử hình thành và tiến triển hai khái niệm đạo hàm, tích phân?Kết quả này sẽ là cơ sởđểxemxétviệcDHchúngtrongnhàtrường(chương3),đềxuấtcácgiảiphápDHtheohướngLM (chương4),cũngnhưchuẩnbịchoquátrìnhxâydựngvàthiếtkếđồánDH(chương 5) Lưu ý rằng tuy nói là nghiên cứu sự gắn kết giữa Toán học với Vật lý học,chúngtôisẽchỉtậptrungchủyếuvàoGT– lĩnhvựcmàtrongđóđạohàmvàtíchphânđượcđềcậpđến.Toánhọctổngquátchỉđượcnhắcđếnkh iGTchưarađời.

Nghiên cứu mối quan hệ gắn kết này có bản chất là một phân tích tri thức luận vớihai khái niệm đạo hàm và tích phân và nó giúp làm rõ hai chiều tác động tương hỗ lẫnnhau trong lịch sử giữa Vật lí học với Toán học Để vận dụng những gợi ý về ba chiếnlược LM của Nikitina và Mansilla (mục 1.1.3), nghiên cứu tri thức luận ở chương nàycòn giúp làm rõ những bối cảnh lịch sử có thể được tận dụng để DH các khái niệm đạohàm,tíchphântheoquanđiểmLM.Chúngtôisẽxemxétcácnghĩacủatrithứcđãhìnhthành trong lịch sử, tìm xemnghĩa tổng quátnào cho phép ứng dụng đạo hàm và tíchphân trong nhiều vấn đề của Vật lí Nghiên cứu tri thức luận cũng cần cho thấy sự tiếntriểntựnhiêntronglịchsửhìnhthànhkháiniệmđểtìmkiếmđượchọcáctìnhhuốngcơsởchophé pxâydựngđượccácnghĩađúngchonó. Đã có nhiều nghiên cứu bàn về lịch sử phát triển của GT (Boyer, 1959; Edwards,2012; Eves, 1976; Grabiner, 1983; Kleiner, 2001; Perkins, 2012; Stillwell,

2002) cũngnhư việc khai thác lịch sử vào DH ở nhà trường (Bressoud, 2011; Doorman & VanMaanen, 2008; Lê Thị Hoài Châu, 2014; Katz, 2000) Những công trình nói trên cùngvới một số tác phẩm khác về lịch sử vật lí (Oliveira, 2014) là nguồn tài liệu mà chúngtôisửdụngđểtổnghợpvàphântíchmốiliên hệgắnkếthỗtrợlẫnnhaugiữahaingànhkhoa học đang bàn đến đối với sự ra đời và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm,tíchphân.Cũng phảinói thêmrằng, mộtsốkếtquảtừ những nghiêncứutrithứcluận trước

QuanhệgắnkếtgiữaToánhọcvớiVậtlíhọctronglịchsửhìnhthànhvàtiếntriểncủ ađạo hàm,tíchphân

Hìnhhọcchắcchắnlàmộtđộnglựcquantrọngchosựrađờivàpháttriểncủađạohàm,tíchphân trongnỗlựcđitìmlờigiảichohaibàitoán“xácđịnhtiếptuyến”và“tínhdiện tích các hình cong” Tuy nhiên, ngay từ khi bắt đầu, Vật lí học nói chung và đặcbiệt là Cơ học nói riêng cũng đóng góp một vai trò không kém phần quan trọng cho sựpháttriểncủaGT- chứkhôngchỉđạohàm,tíchphân.Lýgiảichođiềunàychínhlàđặctrưng của các đối tượng mà GT nghiên cứu:

GT xem xét các quá trình biến thiên liêntục, màchuyểnđộngcơhọclạilàmột môhìnhthựctếchonhữngquátrìnhnhưvậy. ĐểhiểuđượcnguồngốccủaGT,chúngta phảitrởvềthờikìHyLạpcổđạivàbắtđầu với những nghịch lý của Zeno (khoảng 450 trước công nguyên) khi xem xét quátrìnhchuyểnđộngcơhọcliêntụccủamộtvậtthể.Mộtchấtđiểmmuốnvượtquaquãngđườngtừđiể mAđếnđiểmBcóchiềudài1𝑚rõrànglàphảilầnlượtvượtquacácđoạn đườngdài1 1

VàvìquátrìnhnàyđượctiếpdiễnđếnvôhạnnênnghịchlýZeno nóirằngmọichuyểnđộnglàkhôngthểthựchiệnđược,nghĩalàchấtđiểmchuyểnđộngkhông bao giờ đến đích Nghịch lý này chỉ ra một khó khăn trong việc mô tả các hiệntượng biến thiên (ở đây là chuyển động) theo ngôn ngữ của toán học Liệu rằng mỗiđoạnđườngdùnhỏthếnàođềucóthểchialàmhai? Nếuquảthậtlàluônchiađượcnhưvậythìsốcácđoạnđườngphảivượtquasẽlàvôhạnvàlúcnàyn ghịchlýZenocóthể phátbiểu theo cáchkhác: tổng vôhạn1  11 l i ệ u c ó bằng1không?

248 Thực tại vật lí cho thấy mũi tên sẽ đến đích và vì vậy tổng vô hạn nói trên thật sựphải bằng1– là một lượng hữu hạn Điều này có thể đã đem đến cho các nhà bác họccổ đại ý tưởng về việc tính toán một đại lượng từ một quá trình lấy tổng vô hạn các đạilượng khác Phương pháp “vét kiệt” mà Edoxus và Archimedes sử dụng để tính diệntích các hình có yếu tố cong là một minh họa cho việc sử dụng ý tưởng nói trên Nhưvậy là ý tưởng về tổng vô hạn ra đời rõ ràng là có một phần đóng góp từ việc xem xétcác chuyển động cơ học liên tục và là tiền đề ra đời cho phép tính tích phân sau này.Chúngtôisẽlàmrõsựxuấthiệnngầmẩncủaphéptínhtíchphânbằngcáchtríchdẫnở đâyphươngpháplậptổngvôhạnmàArchimedesđãápdụngđểxácđịnhdiệntíchtamgiácParabol 4 :

Xét“tamgiácparabol”đượctạo từ một parabol bị chắn bởi dâycung AB (hình

2.1) Archimedes xácđịnhđiểmCmàtạiđótiếptuyếncủapar abol song song với AB (điều nàylàm cho chiều cao của tam giác ABCkí hiệu là∆, và “chiều cao tam giácParabol”làbằngnhau).GọiDvà

Hình2.1 TínhdiệntíchtamgiácParabol vớicácdâycungtương ứng,ôngchứngminh đượctổngdiệntíchhaitamgiácADCvà tamgiácCEBbằng 1

4 diệntíchtamgiácABC.Tiếptụcquátrìnhtrênvàlậptổngtất cảcáctamgiáctạothànhôngvét cạntamgiácparabolbằng mộttổngvôhạn:

Archimedestấtnhiênlàchưadùngđếntổngvôhạncủacấpsốnhânhayphéptoángiới hạn mà thay vào đó ông chứng minh tính đúng đắn của kết quả này bằng phươngphápphảnchứng(hailầnđưađếnvôlý).

Không chỉ là một nhà toán học vĩ đại, Archimedes còn là một nhà vật lí kiệt xuất.ChínhôngđãđónggópmộtphátminhquantrọngchoCơhọctrongthờicổđạivớiviệcgiới thiệu cơ sở của tĩnh học:sự cân bằng của đòn bẩy đòi hỏi sự cân bằng của câcmomentvềhaiphía.Điềurấtđângchúýlẵngđêsửdụngnguyínlý cđnbằngnăycủađòn bẩy để khám phá ra công thức tính thể tính của các hình khối khác nhau 5 Để minhhoạ, có thể xem xét cách mà Archimedes dùng để xác định thể tích hình cầu mà chúngtôigiớithiệuởphầnPhụlục1(trangPL1).Trongphươngpháp“cơhọc”củamình,ôngđã sử dụng tư tưởng chia nhỏ, cân bằng moment ở hai đầu đòn bẩy rồi lập tổng “các látcắtnhỏ”đểxácđịnhthểtíchmộthìnhtừthểtíchcủacáchìnhđãbiết.Ởđây,Archimedes

5 Thậtrađiềunàychỉđượcbiếtđếnvào năm1906khingườitatìmrabảnsao luậnvăn “Phươngpháp”củaArchimedesđã bị thấtlạc từ lâu. đưa ra tư tưởng về một độ lớn có thể được xem là hợp của rất nhiều những bộ phận rấtnhỏ,vàbằngviệctínhtoántrêncácbộphậnrấtnhỏnàysaukhilấytổngsẽthuđượckếtquảchínhxác chođạilượngbanđầu.

Tiểu kết 1: Việc xem xét chuyển động cơ học liên tục của một vật thể dẫn đến chỗphảiđốimặtvớicácquátrìnhvôhạn.Cácnhàbáchọccổđạiđứngtrướchaiquanđiểm.Quan điểm thứ nhất dẫn đến giả định rằngmột đại lượng có thể chia nhỏ được vô hạn,trongkhitheoquanđiểmthứhaithìđạilượng đóđượchợpthànhtừmộtsốrấtlớncácnguyêntửrấtnhỏkhôngthểphânchia.Giảđịnhđầulàcơsởch ophươngphápvétkiệt,còn giả định sau đem đến những lợi ích khác trong việc tìm kiếm các kết quả tính diệntích và thể tích bằng cách thao tác trên các phần rất nhỏ xem như nguyên tử trước khihợpchúnglại.CácnhàtoánhọccổđạimànổibậtnhấtlàArchimedesđãsửdụngphươngpháp vét kiệt để thu được những kết quả đẹp đẽ cho phép đo các hình có yếu tố cong.Archimedes thậm chí đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ một hình thành các hình nguyên tốcùng với những nguyên lí của cơ học để chứng minh được nhiều công thức tính toándiệntíchhaythểtíchcủa chúng.

Hiện thực vật lí, cụ thể là các chuyển động cơ học liên tục đã góp phần quan trọngvào việc xuất hiện những tư tưởng về tổng vô hạn và các đại lượng vô cùng bé mà sauđó là tiền đề cho sự phát sinh

GT Nói riêng, tư tưởng của phép tính tích phân đã xuấthiện ngay từ thời kì này, khi các đại lượng đã được tính bằng quy trình gồm các bước:chianhỏchúngthànhhữuhạnhoặcvôhạncácđạilượngrấtnhỏ(nguyêntố,nguyêntửhay vô cùng bé); lập tổng các đại lượng nguyên tố này rồi chuyển qua giới hạn (mộtcáchngầmẩn)đểcóđượcđạilượngbanđầu 6 Bêncạnhđó,tronggiaiđoạnnàycácđạilượng hình học và vật lí thường được liên hệ và là mô hình thay thế cho nhau, chẳnghạn như thể tích với khối lượng Việc áp dụng các định luật vật lí cũng góp phần đemđến giải pháp cho quá trình tìm kiếm công thức tính toán trên các đại lượng hình học(nhưđãthểhiệntrongphươngpháp“cơhọc”củaArchimedes).

NhữngcôngtrìnhcủaArchimedesđếnđượcTâyÂuvàothờikìtrungcổ,vàtạiđâycácphươngp hápcủaôngđãvượtrakhỏiHìnhhọc(tínhdiệntích,thểtích,chiềudài

6 Tư tưởng chuyển qua giới hạn vẫn chưa xuất hiện tường minh ở thời kì này, thay vào đó các nhà toán họcchỉdự đoánkếtquảcủa tổngvô hạnvàchứngminhtínhđúngđắnbằngphươngpháp phảnchứng. đường cong) để áp dụng vào các bài toán khác của Vật lí học trong một số công trìnhcủa Steven, Kepler, Galileo, … Lấy cảm hứng từ tư tưởng ẩn trong phương pháp vétkiệt của Archimedes, các nhà khoa học nói trên đã phát triển phương pháp chia nhỏ vàlập tổng vô hạn để giải quyết nhiều vấn đề theo một cách thực dụng Họ loại bỏ đi tínhchặt chẽ toán học trong các chứng minh của Archimedes (dựa trên phép phản chứng)mà chỉ tập trung vào việc tìm kiếm được kết quả hợp lí cho đại lượng ban đầu khi xemxétnónhưmộttổngcủacácthànhphầnnguyêntố.

Một trong những nhà khoa học đầu tiên ở Tây Âu sử dụng phương pháp củaArchimedeslạilàmộtkĩsưvậtlí:SimonStevin(1548–1620)đãsửdụngphươngphápchia nhỏ thành các hình nguyên tố trong một số công trình của ông về thủy tĩnh học vàxácđ ị n h t r ọ n g t â m v ậ t r ắ n Đ ể m i n h h ọ a c h o phươngphápcủaStevin,cóthểxemcáchlậpluậncủa ông để tìm ra trọng tâm của một hình tamgiác.Stevinphủtamgiác𝐴𝐵𝐺bởitậphợpcácdảihình bình hành được chia ngày càng mỏng.

Bằngcáchtìmtrọngtâmcủahìnhghépbởicácdảihìnhbìnhh ànhnày, Stevin x á c địnhđược trọng tâm củatamgiácđangxét(lậpluậnchitiếtđượctrìnhbày đầy đủ ởPhụ lục 1, trang PL2) Stevin cũngdùngphươngpháptươngtựtrongcáccôngtrìn h

Hình 2.2 Stevin xác địnhtrọngtâmtamgiác khác về thủy tĩnh học Chẳng hạn ông xác định được áp lực của chất lỏng tác động lênmộtđậphìnhchữnhậtthẳngđứngbằngcáchchiađậpđórathànhnhữngdảimỏngnằmngang.

Một vấn đề vật lí khác cũng góp phần quan trọng trong sự phát triển của GT đó làbài toán liên quan đến vật rơi tự do, và rộng hơn là những chuyển động có vận tốc biếnđổi Vấn đề khó khăn là làm thế nào để biểu diễn các đại lượng biến đổi liên tục,chẳnghạnnhưtrườnghợpchuyểnđộngnhanhdầnđềuvàlàmsaođểtìmquãngđườngđiđượctrong một chuyển động như vậy Liên quan đến vấn đề này, Nichole Oresme đã có mộtđónggópquantrọng.Cụthểthìkhinghiêncứuvềmốiquanhệgiữacácđạilượngbiếnthiên,ôngđã phátminhramột yếutốtoánhọcmớiđểmôtảchúng: biểudiễnđồthị(làđiềmbáotrước củakháiniệmhàmsốvàhình học GT saunày).

Oresme mô tả sự biến thiên liên tục bằngcáchxemnhiệtđộmỗithờiđiểmnhưmộtđoạnthẳnghoặccá cdảihìnhchữnhậtvuônggócvớitrụcngang(xemthêmPhụ lục1,trangPL2).Biểudiễnđồthịnóitrêncònchophé pOresmetìmramộtcáchthứcmới đểxácđịnhtổnglượng thayđổitrongmộtbiếnđổi liên tục:đó làdiệntíchcủahìnhgiới hạnbởi đồthị Hình2.3 Oresmemôtảsự biếnthiênbằng đồthịrờirạc

Oresme còn áp dụng kĩ thuật đồ thị này đểbiểu diễn cho một chuyển động có vận tốc biếnđổi theo thời gian Trên hình 2.4, đoạn AB biểuthị trục thời gian, các đoạn vuông góc với

ABbiểu diễn cho vận tốc tức thời tại mỗi thời điểmvàdiệntíchcủahìnhbiểu diễnchotổngq uãng đườngđiđược.CáchhiểunàychophépOresmexác đ ị n h q u ã n g đ ư ờ n g t r o n g c h u y ể n đ ộ n g b i ế n

Hình2.4.Quãngđườngtrong chuyểnđộngnhanhdầnđều đổiđềubằngconđườnghìnhhọc.Theođóquãngđườngbằngdiệntíchhìnhthangdướiđồthịvậntốc vàbằngtíchcủavậntốctrungbìnhvớikhoảngthờigianchuyểnđộng: s v 0 v t  t  v.t

Oresme không giải thích rõ tại sao diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm vận tốc biểu thị choquãngđườngđiđược.Cóthểôngchorằngdiệntíchlàtậphợpvôsốđườngthẳngmàmỗiđườngđại diệncho vận tốc trongthờigian rất ngắn.

Cho đến tận đến thế kỉ 16, người ta thường vẫn chấp nhận rằng thời gian để mộtvật rơi xuống đất thì tỉ lệ nghịch với khối lượng của nó Điều này là di sản truyền lại từlý thuyết của Aristotle và vì vậy mối quan hệ chính xác giữa quãng đường và thời gianrơicủavậtvẫnchưađượcpháthiệnratrongsuốt mộtkhoảngthờigiandài.

Năm 1618, Isaac Beeckman đã sử dụng tư tưởng chia nhỏ của Archimedes vàphương pháp đồ thị hóa chuyển động của Oresme để thiết lập mối quan hệ giữa quãngđường rơi tự do và thời gian Ông hình dung có một lực kéo vật xuống trong quá trìnhrơi tự do và xấp xỉ lực này bằng các lực gián đoạn – ông gọi chúng là những cái “giậtngắn” Sau mỗi khoảng thời gian𝑡,một cái giật như vậy làm tăng vận tốc lên bởi mộtlượng không đổi𝑔 Mỗi quãng đường nhỏ tăng thêm bằng với diện tích của các hìnhchữnhậttươngứng.BằngcáchtínhtổngcácquãngđườngnhỏnàyBeeckmanthuđượccông thức tính quãng đường:𝑠(𝑡)= 𝑐 𝑡 2 (lập luận ầy ủ của Beeckman ượcđầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được chúngtôigiớithiệutrongPhụlục1,trangPL3).

Đặctrưngtrithức luậncủađạohàmvàtíchphân

Phần này dành riêng cho đạo hàm, tích phân - các tri thức được xác định là đốitượngnghiêncứucủachúngtôi.Chúngtôisẽtrìnhbàytómlượcởđâymộtsốđặctrưngtrithứcluận rútratừnghiêncứulịchsửnêutrênvàtừmộtsốcôngtrìnhkhácdochúngtôi thực hiện đối với hai khái niệm đạo hàm, tích phân (Ngô Minh Đức, 2013;

2.3.1 Cácbàitoánlà độnglựcnảy sinhvàtiếntriểncủađạo hàm,tíchphân

Trong lịch sử, có hai bài toán chủ yếu là nguồn gốc làm nảy sinh và tiến triển kháiniệm đạo hàm, một đến từ Hình học là bài toán xác định tiếp tuyến đường cong và cáicònlạiđếntừ Vật lílàbàitoánxác địnhvận tốctứcthờicủachuyểnđộng.

Bài toán thứ nhất đóng vai trò chủyếu trong việc làm nảy sinh khái niệmđạo hàm Cụ thể, trong phương pháp màcácnhàtoánhọcthếkỷ17(Fermat,Descar tes,JohnWallis,IsaacBarrow)đềxuất để giải quyết bài toán xác định tiếptuyến đường cong đã ngầm ẩn xuất hiệnkháini ệm đạohà m H ọx em tiếpt u y ế n nhưlàvịtrí“tớihạn”củacáttuyếnvàđộH ì n h 2.7 Bàitoánxácđịnhtiếptuyến dốccủacáttuyến f(xh)f(x)h sẽtrở thành độ dốc của tiếp tuyến khihdần đến không Phương pháp này sau đó đã dẫn Leibnizđi đến định nghĩa đạo hàm theo tỉ số các vi phân và cách hiểu đạo hàm như là độ dốctiếptuyến.

TrongkhiđóbàitoántìmvậntốctứcthờivànhữngvấnđềcủaVậtlíhọcnóichungđóng một vai trò quan trọng hơn trong giai đoạn tiến triển sau này của đạo hàm. Nóiriêng,nóđưaNewtonđếnvớiýtưởngxâydựngGTtrêncơsởcủachuyểnđộng.Từcáinhìn vật lí, Newton đem đến cho đạo hàm một cách hiểu tổng quát hơn, đặc trưng chotốcđộbiếnthiêncủamộtđạilượngtheomộtđạilượngkhác.

KháiniệmđạohàmsaukhiđượcđịnhnghĩatườngminhđãđượcdùngđểgiảiquyếtnhiềuvấnđềcủaT oánhọcvàVậtlíhọcvàmộttrongsốchúnglàvấnđềxấpxỉhàmsố.Vềchủđềnày,năm1715Taylor đãcómộtđónggópquantrọngkhiđưaracôngthức khaitriểnsau: f(xh)f (x) f' ( x) h  f''(x) h 2   f ( n) (x) h n 

Công thức này cho phép xấp xỉ hàm số𝑓(𝑥)bởi một hàm đa thức Trong trườnghợp đơn giản nhất, một hàm số có đạo hàm luôn xấp xỉ được bằng một hàm tuyến tính.Cách hiểu hình học tương ứng là phần đường cong𝑓(𝑥)sẽ xấp xỉ với tiếp tuyến của nóquanhmộtlâncận“khánhỏ”củatiếpđiểm.

Bàitoántínhdiệntíchcáchìnhcóyếutốconglànguồn độnglựcđầutiênlàmnảy sinh các ý tưởng nền tảng của tích phân từ thời điểm cách đây khoảng 2500 năm. Đểtínhdiệntíchcáchình, ngườitaxấpxỉnóbằngtậphợpcáchìnhnguyêntốnàođó.Lậptổng các diện tích nguyên tố này chúng ta sẽ có một giá trị gần đúng cho diện tích hìnhbanđầu.EdoxusvàArchimedesđãpháttriểnýtưởngnàythànhphươngpháp“vétkiệt”cho phép chuyển qua giới hạn các tổng trên để xác định được chính xác diện tích cầntìm Tư tưởng về tích phân sau đó được phát triển bởi các nhà toán học thế kỉ 17 nhưPascal,Fermat,… cùngvớisựrađờicủahìnhhọcGTgiúptínhtoánchínhxácdiệntích,thểtíchvàđộdàicácđườngcongtạ obởinhữnghàmsố bấtkì.

Các bài toán vật lí (tính quãng đường chuyển động, trọng tâm vật rắn, hay các đạilượng vật lí liên quan đến một đại lượng biến đổi khác) đóng vai trò quan trọng hơntrongsựtiếntriểnsaunàycủakháiniệmtíchphân.Cácnhàkhoahọcnhậnrasứcmạnhcủa tư tưởng tích phân có thể giúp họ giải quyết nhiều vấn đề khác nhau, đặc biệt trongkhoa học Vật lí Sự phát triển sau đó của tích phân đưa nó trở thành một công cụ toánhọchiệuquảvàmạnh mẽtrongviệcnghiêncứutự nhiên.

Tronglịchsử,việcpháthiệnramốiquanhệđảongượcgiữahaikháiniệmđạohàmvà tích phân gắn bó mật thiết với quá trình tìm lời giải cho hai cặp bài toán đảo ngượcnhau–mộttừ Hìnhhọcvàmộttừ Vậtlí.

Cặp bài toán đảo ngược thứ nhất đến từ hình học: tìm độ dốc tiếp tuyến tại mộtđiểm của đường cong, và tìm diện tích của hình giới hạn bởi đường cong Cặp bài toánvật lí: mô tả, tính toán vận tốc khi biết quỹ đạo chuyển động (hàm số quãng đường),vàngượclại.Haicặpbàitoánnàyđemđếnhaiphiênbảnchođịnhlícơbản,mộtphiênbảnvật lí về mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường, và một phiên bản hình học giữa độdốc và diện tích Kế thừa việc phát hiện ra mối quan hệ đảo ngược trong phương phápgiải quyết hai cặp bài toán này của các nhà toán học đi trước (Torricelli,Barrow),NewtonvàLeibniztìmthấyđiểmchungtrongcácphươngpháp,từđóxâydựngnênhaikhái niệm cơ bản của GT là đạo hàm và tích phân trong mối quan hệ đảo ngược giữachúng.

Nghĩahìnhhọc:Đạohàmtạimộtđiểmbằnghệsốgóccủatiếptuyếntạiđiểmấy.Nghĩa này cho phép giải quyết được bài toán xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạimộtđiểm.

0h) f(x 0 )hf' ( x 0 )hH,trongđó hxx 0 v à Htiến đến 0 cùng vớih Điều này cũng nói lên rằng, một hàm số có đạo hàm thì xấp xỉđược bởi hàm số tiếp tuyến (hàm tuyến tính) ở gần lân cận của tiếp điểm và đạo hàm làhệsốbậcnhấtcủahàmtuyếntínhnày.Xấpxỉvừanóiđượcbiểudiễnbằngcôngthức sauđây: f(x 0h) f(x 0)h.f'(x 0) hayf (x)f (x 0 )f ' ( x 0 )(xx 0 ).

Nghĩatổngquát:Đạohàmlàthướcđochotốcđộthayđổi(biếnthiên)củamộthàms ốtheobiếnsốcủa nó.

Nghĩahìnhhọc:Nếu𝑓(𝑥)≥0thì f(x )dx a bởiđồthị𝑦=𝑓(𝑥) vớitrụchoànhtừađếnb. b sẽbằngdiệntíchhìnhphẳnggiớihạn

 f(x )dx  lim  f(  i )x i Nócungcấpkĩthuậttínhtoánmộtđạilượngbằngcách a maxx i  0 i1 lấytổngcác tíchgiữahàmsốvớisốgiacủađốisốrồichuyểnqua giới hạn.

Kếtluậnchương2vànhữnggợiýsưphạmđượcrútra

10 XemthêmNgô MinhĐức(2017b). hàm, tích phân.Bên cạnh đó, từ kết quả nghiên cứu tri thức luận vừa thực hiện, chúngtôicũngrútramộtsốgợiýsưphạmquantrọng trongviệcxâydựnghoạtđộng DHchocáctri thức đangbàn tới.

Quá trình hình thành và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm, tích phân trong lịchsửnhậnđượcsựhỗtrợtolớntừnhững“tàinguyên” đếntừkhoahọcVậtlí.GTnghiêncứutrênnhữngđạilượngbiếnthiênliêntụcvàngaytừthuởbanđầ u,Vậtlíhọcmànóiriêng là Cơ học đã cung cấp những mô hình thực tế cho chúng Việc xem xét chuyểnđộngliêntụcbuộccácnhàkhoahọccổđạiphảiđốimặtvớicácquátrìnhvôhạnvàdẫnhọ đến ý tưởng chia một đại lượng thành vô số các đại lượng vô cùng bé Điều này gópphần đưa đến tư tưởng của phương pháp vét kiệt, và sau này phát triển thành phép tínhtích phân Bên cạnh đó, Vật lí học còn cung cấp nhiều vấn đề là động lực để đạo hàm,tích phân vượt ra khỏi những ngữ cảnh hình học ban đầu và trở thành hai công cụ tổngquáttrongviệcgiảithíchthếgiớitựnhiên.Hơnnữa,Vậtlíhọccòngópphầnhỗtrợchoviệc phát hiện ra mối quan hệ giữa hai phép tính đạo hàm và tích phân – cột mốc quantrọng nhất trong lịch sử GT Cụ thể thì nhờ nhận ra sự đảo ngược trong phương phápgiải quyết các bài toán động học (tính vận tốc và quãng đường) và mối liên hệ với cácbài toán hình học tương ứng (độ dốc tiếp tuyến và diện tích) đã đưa các nhà toán họcđếngầnhơnvớiviệctìmrađịnhlícơbảncủaGT. Với những hỗ trợ và động lực từ Vật lí, các nhà toán học đã phát triển đạo hàm vàtíchphânthànhhaikháiniệmtổngquát(nềntảngchongànhGTtoánhọc).Chúngđượcáp dụng trở lại vào Vật lí để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau Những ứng dụng đómang đến các ý nghĩa vật lí đa dạng cho hai khái niệm đang nói đến Tiếp theo đâychúngtôisẽtrìnhbàymộtsố ýtưởngsư phạmđượcrútratừnghiêncứuđãthựchiện.

 Vai trò của mô hình đồ thị rời rạc trong việc nảy sinh tư tưởng của phép tính tíchphân

Phátminhphươngphápbiểudiễnđồthị mộthàmsố(lúcnàyđượchiểulàmộtđạilượng biến thiên theo một đại lượng khác) là một bước quan trọng trong lịch sử để gắnkếtGTvớiHìnhhọc.Oresmeđãsửdụngphươngphápnàyđểbiểudiễnvàchứngminhmộtsốkếtq uảliênquanđếncácđạilượngbiếnđổi.Chẳnghạn,ôngkiểmtrađượcmốiquanhệgiữavậntốcvớiquã ngđườngđiđượcvàrútrakếtluậnrằngquãngđườngbằngvớimộtdiệntích.Tuynhiênđểcóđượckếtqu ảnày,Oresmeđãbắtđầuvớimôhìnhđồthịrờirạc.Ôngdùngcácđoạnthẳngvuônggóchoặcdả ihìnhchữnhậtmỏngđểbiểu thị cho vận tốc tại mỗi thời điểm Các yếu tố cơ bản này được ghép thành các hình màdiệntíchcủachúngbiểuthịchoquãngđường điđược.

Beeckman cũng sử dụng mô tả rời rạc nói trên khi xem một lực biến thiên liên tụcnhư là một chuỗi những các “giật nhỏ” – mỗi lực được xem là không đổi trong mộtkhoảngthờigianngắn.Rõrànglàviệcnghiêncứutrêncácđạilượngbiếnthiênliêntụccần đến một mô hình đồ thị rời rạc làm trung gian Trong lịch sử đã diễn ra một quátrình phát triển biện chứng, từ việc sử dụng đồ thị rời rạc để mô tả chuyển động đếnnhữngsuyluậnvềdiệntíchvàđộdốc,gắnkếtnóvớicácđạilượngđộnghọc,từđólàmnảysinhkhá iniệmtíchphân.

Xem xét ở phương diện sư phạm: phương pháp tính tích phân theo giới hạn tổngRiemann phải trải qua các bước: phân hoạch (chia nhỏ), lập tích giá trị hàm số với sốgiađốisố,lậptổngcáctíchnàyvàcuốicùnglàxácđịnhgiớihạncủatổngvừathuđượckhisốgiađốis ốtiếndầnvề0.Quátrìnhnàyphảigắnliềnvớibiểudiễnđồthịcủahàmsố và cần giúp HS thấy được rằng kết quả thu được phản ánh chính xác diện tích củahình dưới đường cong Những phân tích lịch sử ở trên đưa ra một gợi ý cho việc thiếtkế tình huống DH khái niệm tích phân theo cách hiểu giới hạn tổng Riemann:chúng tacó thể bắt đầu với việc giới thiệu mô hình đồ thị rời rạc thay vì là một đường cong liêntục.Gắn nó với ngữ cảnh động học, một vận tốc biến đổi có thể được xấp xỉ rời rạc bởimột dãy các vận tốc khác nhau nhưng không đổi trong các khoảng thời gian liên tiếp(mô hình hàm bước) Quãng đường đi được lúc này có thể tính xấp xỉ bằng tổng cácquãng đường liên tiếp trên từng khoảng thời gian nhỏ (vận tốc được xem là không đổitrêncác khoảngthờigiannày).

Thấu hiểu được mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân là một trongnhững thách thức lớn nhất mà các nhà toán học gặp phải trong việc phát minh ra GT.Thách thức này rõ ràng sẽ lại là trở ngại mà người học phải đối mặt trong việc hiểu haikhái niệm đạo hàm và tích phân và mối quan hệ giữa chúng Trong lịch sử, có hai dòngchảy phân biệt liên quan đến cách hiểu và diễn đạt đạo hàm, tích phân thể hiện rõ nétnhất trong các công trình của Newton và Leibniz Leibniz diễn đạt theo cách nhìn hìnhhọc:tíchphânđượchiểunhưdiệntíchdướiđườngcong(tổngcủacácdiệntíchvôcùngbé)vàđạ ohàmđượcđịnhnghĩabởiđộdốccủatiếptuyến.Trongkhiđó,Newtonđưa ra cách hiểu động học khi xem tích phân như là sự tích lũy một đại lượng và đạo hàmchínhlàtốcđộbiếnthiêncủanó.

Việcpháthiệnramốiquanhệđảongượcgiữađạohàmvàtíchphâncũngbắtnguồntừ hai mặt hình học và vật lí nói trên Cụ thể là nó đến từ việc nhận ra sự đảo ngượctrong quá trình giải hai cặp bài toán: xác định diện tích – tiếp tuyến và xác định quãngđường – vận tốc Chứng minh chặt chẽ cho định lí cơ bản được cả Leibniz và Newtonthực hiện dựa trên việc khảo sát cặp bài toán thứ nhất – nghĩa là chứng minh rằng cáchgiảibàitoántìmdiệntíchvàtìmtiếptuyếnlàhaiquátrìnhđảongượcnhau 11 Tuynhiênchứng minh này thì không dễ hiểu, nhất là với đối tượng HS phổ thông, vì thế chúng tacó thể tiếp cận nó từ mặt động học Cách tiếp cận này sẽ đơn giản và trực quan hơn vìbài toán tính quãng đường hay vận tốc rõ ràng là thân thuộc hơn với người học Tuynhiên cũng phải nói thêm rằng cách tiếp cận vật lí này chỉ để giúp người học phát hiệnra và ở một chừng mực nào đó hiểu được mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân màkhôngchútrọngđếnmộtchứngminh chặtchẽtrongngữcảnhtoánhọc.

CHƯƠNG 3 ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ

Mụctiêucủa chươngvàđịnhhướngthựchiện

Mục đích của chương này là trả lời câu hỏi nghiên cứu Q2: “Liên quan đến đạohàm, tích phân, mối quan hệ LM Toán – Vật lí đã thể hiện như thế nào trong chươngtrình hiện hành và SGK các môn Toán, Vật lí dùng ở bậc THPT?” Nghiên cứu củachúng tôi nhắm đến việc làm rõ sự nối khớp giữa hai thể chế DH Toán và Vật lí (liênquanđếnhaiđốitượngtrithứcđạohàm,tíchphân)từgócnhìnLM.Cụthểhơn,chúngtôi sẽ tìm hiểu mức độ, cách thức mà thể chế DH Toán và Vật lí hiện hành khai thác sựhỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học cùng với những gắn kết tiềm năng cho phép mang lạinhiềulợiíchđối vớiviệchiểuvàứngdụngcáctrithứcđangbànđến. Để đạt được mục đích nói trên, chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích thể chế theođịnhhướngLMnhưđãtrìnhbàyởkếtluậncủachương1.Chúngtôinhắclạinhữngvấnđềcầnlàm rõtrongchươngnàylà:

- Đạo hàm và tích phân xuất hiện ở những đâu trong SGK Toán và Vật lí Ở đó nómangnhữngnghĩavàđặctrưnggì?

- Ngữ cảnh và các vấn đề của vật lí hỗ trợ như thế nào trong việc giúp hình thànhkháiniệmđạohàm vàtíchphânởthểchếDHToán?

- Đạo hàm và tích phân đem đến công cụ toán học giải quyết được những vấn đề gìtrongchươngtrình vậtlí THPT?

- Những điều kiện và ràng buộc nào cần phải thỏa mãn để đảm bảo cho một sự nốikhớp LM hợp lí giữa Toán và Vật lí liên quan đến hai khái niệm đạo hàm và tíchphân?

- Từ quan điểm DH LM, những kiểu nhiệm vụ nào gắn với việc sử dụng đạo hàmvà tích phân, kĩ thuật giải quyết là gì và đâu là cơ sở lý thuyết cho việc giải thíchnhữngứngdụngcủahaikháiniệmnàytrongcácvấnđềcủaVậtlí?

Nghiên cứu thể chế DH trong chương này dựa chủ yếu trên các SGK, sách bài tậpvàsáchgiáoviêncủahaimônhọcToán,Vậtlí.Ngoàira,đểchogọnchúngtôisửdụngkí hiệu𝐼 𝑇 ể đầy đủ của Beeckman được thay thế cho thể chế DH Toán và kí hiệu𝐼𝑉𝐿thay cho thể chế DH Vật lí ởbậcTHPTtheochươngtrìnhhiệnhành.

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm đạo hàm nhìn từ địnhhướngliên môn

TrongluậnvănThạcsĩbảovệnăm2013vớiđềtài“Kháiniệmđạohàmtrongdạyhọc Toán và Vật lí ở trường phổ thông”(Ngô Minh Đức, 2013), chúng tôi đã tiến hànhmột phân tích thể chế với khái niệm đạo hàm theo định hướng LM Toán – Vật lí Đểtinh giản hơn trong việc trình bày luận án, ở đây chúng tôi chỉ tóm lược lại một số kếtquảđãcótừluậnvănvàbổsungthêmcácphântích mớinhằmlàmrõmốiquanhệLMgiữahaimônhọcToán, Vậtlí liênquanđến khái niệmđang bàn đến.

Trong chương trình vật lí THPT, đạo hàm được sử dụng với hai mục đích chính:thước đo cho tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng 12 và giải thích một số xấp xỉđược sử dụng Nói thêm là, đặc trưng tốc độ biến thiên là một dấu hiệu quan trọng đểnhậnrasự tácđộngcủacông cụđạohàmtrongviệctínhtoán mộtđạilượngvậtlí. Để phù hợp với thời điểm đạo hàm được dạy ở môn Toán, quá trình sử dụng côngcụnàytrong𝐼𝑉𝐿c ó t h ểđược chia thànhhai giai đoạnsauđây:

3.2.1.1 Sử dụng ngầmẩntrong sáchgiáokhoaVậtlílớp10và11

Trước thời điểm được giảng dạy chính thức ở chương trình môn Toán (cuối nămlớp11),đạohàmđãxuấthiệnngầmẩnởnhiềutìnhhuốngkhácnhautrongVậtlí.Ởcáctìnhhuống này,đạohàmđặctrưngchotốcđộbiếnthiêntứcthờicủamộtđạilượng

t rấtbé(tiếndầnđến 0).ChúngtôigiớithiệuởđâymộtsốtríchdẫntừSGKVậtlílớp10vàlớp11bannângcaovàSGK Vậtlílớp11cơbảnnhư làminhchứngchokếtluậnvừanêu 13 :

Xét vận tốc trung bình của chất điểm chuyện động thẳng trong khoảng thời gian từ tđếnt + ∆t Chọn∆𝐭rất nhỏ, nhỏ đến mức gần bằng 0… Khi đóvtbđầy đủ của Beeckman đượcặc trưng cho đầy đủ của Beeckman đượcộnhanhchậmvàchiềucủachuyểnđộng.Tacóthểdùngvectơvậntốctrungbìnhkhi∆trấtnhỏđểđặ ctrưngchophương,chiều,độnhanhchậmcủachuyểnđộngvàgọiđólàvectơ

13 Nhữngphântích kĩcànghơn cóthểthamkhảoởNgô MinhĐức, 2013, tr.40-41. vậntốc tứcthờitại thời điểmt…

(SGKVậtlí 10 nângcao,tr.13-14) Độlớncủasuấtđiệnđộngcảmứngtrongmạchkíntỉlệvớitốcđộbiếnthiêncủa từthôngquamạch…Nếutrongkhoảngthờigiant đủnhỏ,từthôngquamạchbiến thiênmộtlượngt h ì 

t làtốcđộ biếnthiêncủatừthông quamạch… Côngthức e  xácđịnh suấtđiện độngcảm ứngđượcviết dướidạngsau: c  

Nhưvậy, do nhucầucủamình,SGKVật lí đãsớmđưavàokháiniệm tốc độ biến thiên tứcthờivàngầmhiểunó nhưlàgiới hạncủatốc độbiến thiêntrungbình  u k h i

“giớihạn”cũngchưađượcnghiêncứutrongI T Chẳnghạntheotríchdẫntrênthìsuấtđiện độngcảm ứngđược tínhtheotốcđộbiến thiêntừthông.Trongkhiđó tốcđộbiến thiênnàylạiđượcxácđịnhbởi 

x ýnghĩalàtốcđộbiếnthiêntứcthờicủa hàmsốtheobiếnsốcủanó khisố gia x0(x rấtnhỏ).

ChúngtôinhậnthấycómộtchiềucóthểkhaitháctheoquanđiểmLMđãxuấthiệntrong thể chế𝐼𝑉𝐿khi nó cung cấp các bài toán là ộng lực giúp hình thành khái niệm đầy đủ của Beeckman được đạo hàm Đáng nói hơn là những ngữ cảnh này còn có thể đem đến cho đạo hàm cáchhiểutốcđộbiếnthiênnhờvàoýnghĩavậtlýcủacácđạilượngđangđượctínhtoán.Sựhỗtrợnà ycóđượctậndụngkhidạyđạohàmtrong𝐼𝑇h a ykhôngsẽđượcchúngtôilàmrõởcácphântíchtiếpth eo.

3.2.1.2 Sử dụngtườngminhtrongsáchgiáokhoaVậtlílớp12 Đạohàmxuấthiệntrong𝐼 𝑇v à o cuốinămlớp11thếnênnóđãđượcsửdụngtườngminhtrongnhi ềunộidungcủaSGKVậtlílớp12,đặcbiệtlàbannângcao.Ởcáctình huốngnày,đạohàmcũngđượcdùngvớinghĩatườngminhlà tốcđộbiếnthiêntứcthờicủamộtđạilượng.Cụthể,mỗikhicómộtđạilượngđặctrưngchotốcđộbiếnt hiêncủamộtđạilượngkhác,SGKVậtlísẽsửdụngđạohàmđểtínhtoánnó.Chúngtôitríchdẫnởđâymộ tsốvídụtừSGKVậtlí12nângcaođểlàmrõchonhậnđịnhnày:

Gia tốc góc tức thời (gọi tắt là gia tốc góc) của vật rắn quay quanh một trục ở thờiđiểm t là đại lượngđặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ gócở thời điểm đó và đượcxácđịnh bằngđạo hàmcủatốc độgóctheothời gian.

(SGKVậtlí 12nângcao,tr.6) Vậy,biểuthứccủadòngđiệnisẽcódạng:𝐢 =𝐂𝐝 𝐝𝐄 ( 2 1 2 )

𝐝𝐭 thấy có sự liên quan mật thiết giữa cường độ dòng điện trong mạch vớitốc độ biến thiêncủacường độ điện trườngtrongtụ điện.

MộtđiểmđángchúýSGKVậtlísửdụngkíhiệuđạohàmlà dE(SG K Toánlớp dt

11 không hề giới thiệu kí hiệu này) và hiểu nó một cách tường minh là “tốc độ biếnthiên” Cách hiểu này tiếp tục được sử dụng nhiều lần sau đó, chẳng hạn trong bài toánxácđịnhtốcđộphânrãphóngxạ(SGKVậtlí12nângcao,tr.270-271).Đặcbiệt,chúngtôi quan sát thấy bước chuyển trong việc sử dụng công cụ đạo hàm từ ngầm ẩn đến tườngminhtrongtrườnghợp củabàitoánxácđịnh“suấtđiệnđộngcảmứng”.Cụthể,nhưđãtríchdẫnởmụctrước,suấtđiệnđộngcả mứngởSGKVậtlí11nângcaođượctínhtoán e  theotốcđộbiếnthiên: c  

CũngkháiniệmnàytrongSGKVậtlí12nângcao(tr.63)lạiđượctínhbởiđạohàmmộtcá chtườngminhnhư sau:

Vìtừthôngq u a cuộndâybiếnthiêntheotnêntrongcuộndâyxuấthiệnsuấtđiệnđộng cảmứngđượctínhtheođịnhluậtFa-ra-đây: ed

Cùngmộtđạilượngvậtlí,SGKVậtlí11nângcaohiểunólàtốcđộbiếnthiêncònSGKVậtlí12n ângcaolạitínhnótheođạohàm.Bướcchuyểntiếpnàytưởngchừnglàdiễnratựnhiên,nhưngthậtran óchỉhợplínếunhư đặctrưngtốcđộbiếnthiêncủađạohàmđượchìnhthànhtrong𝐼 𝑇m à thôi. Ởgiaiđoạnnày,thểchế𝐼 𝑉𝐿lại tiếptụchỗtrợchoviệchiểukháiniệmđạohàmkhi cungcấpnhữngtìnhhuốngmàviệcgiảiquyếtchúngcósựtácđộngcủacáchhiểutốc

1  độ biến thiên Nó là cơ sở cho phép ứng dụng đạo hàm trong nhiều vấn đề của Vật lí,thếnênnếuquanniệm tốcđộbiếnthiênkhôngđượcxâydựngtronglớphọctoánthìsựnốikhớpvàhỗtrợlẫn nhaugiữahaimônhọckhócóthểxảyra.

Xem xét SGK và sách bài tập Vật lí THPT, chúng tôi phát hiện ra một số xấp xỉhàm số được sử dụng mà không có bất kì một lời giải thích nào về chúng Chẳng hạntrongbàiphươngtrìnhdaođộngcủaconlắcđơnSGKVậtlí12nângcao(tr.37)cónêunhận xét sau:“𝛼 ≪ 1 𝑟𝑎𝑑nên có thể coi gần đúng𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ 𝛼”.Sách bài tập Vật lí

2 Lời giải thích cho các xấp xỉ này có thể tìm thấy từ đặc trưng xấp xỉ của một hàmsốcóđạohàmkhitaxấpxỉhàmsốbởiphươngtrìnhđườngtiếptuyếncủanóquanhlâncậnđủbéc ủatiếpđiểm.TráchnhiệmcủaviệcnàycólẽthuộcvềthểchếDHToán,nếukhông muốnápđặtHS chấpnhậnnhư haitríchdẫntrên.

3.2.1.4 Tiểu kết: về nhu cầu của I VL và tiềm năng mà I T có thể khai thác trong dạyhọckháiniệmđạohàm

Trước khi có mặt chính thức trong𝐼 𝑇 , đạo hàm đã được thể chế𝐼𝑉𝐿sử dụng mộtcách ngầm ẩn như là công cụ nghiên cứu tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượngtheo thời gian Sau khi khái niệm này được giới thiệu ở𝐼 𝑇 , SGK Vật lí 12 nâng cao sửdụngnómộtcáchtườngminhvàvẫngắnvớicáchhiểuđạohàmtheotốcđộbiếnthiên.Bên cạnh đó trong nhiều tình huống,𝐼𝑉𝐿còn sử dụng các xấp xỉ hàm mà việc giải thíchchúngcầnđến sựtác động của đạohàm(xấpxỉtuyếntính).

Haiđiềucầnnhấnmạnhtừkếtluậnrútraởtrên:MộtlàVậtlíđãcungcấpcácngữcảnh và vấn đề có thể làm nảy sinh khái niệm đạo hàm và mang lại nghĩa tốc độ biếnthiêntứcthờichonó.Hailà,thểchếDHVậtlícầnđếncôngcụđạohàmmộtcáchtườngminh để giải quyết các vấn đề đặt ra mà ở đó có sự tác động của cách hiểu tốc độ biếnthiênvàđặctrưngvềxấpxỉtuyếntính.NhìnnhậnhaiđiềutrêntừquanđiểmLM,chúngtôi thấy được sự hỗ trợ đầy tiềm năng mà𝐼𝑉𝐿 ã cung cấp trong việc giúp hiểu ầy ủ đầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được hơn khái niệm đạo hàm Đến lượt mình,𝐼𝑇có tận dụng thích áng những gắn kết LM đầy đủ của Beeckman được này và liệu có đáp ứng những đòi hỏi mà𝐼 𝑉𝐿cần đầy đủ của Beeckman được ến hay không? Câu trả lời sẽ đầy đủ của Beeckman được ượclàmsángtỏsaukhichúngtôiphântíchmốiquanhệgiữađạohàmvới thểchế𝐼 𝑇

Cần nhấn mạnh lại rằng, một phân tích thể chế đặc trưng của𝐼 𝑇 liên quan đến kháiniệmđạohàmđãđượcchúngtôithựchiệntrongluậnvănThạcsĩcủamình(NgôMinhĐức,2013 ).Trongphầnnày,chúngtôichỉtómtắtlạicáckếtquảchínhrútratừnghiêncứuđóvàsẽphântíchsâu hơn ởnhữngbiểuhiệnLMgiữahaithểchế.

SGK toán sử dụng các bài toán vật lí để tạo động cơ nảy sinh khái niệm đạo hàm.Cụ thể, SGK Toán 11 cơ bản dẫn vào khái niệm từ hai bài toán vật lí: tìm vận tốc tứcthờivàtìmcườngđộdòngđiệntứcthời.Tronglúcđó,SGKToán11 nângcaochỉxemxétduynhấtbàitoánxácđịnhvậntốc tức thời của vậtrơitự do.

Cách tiếp cận nói trên cho thấy các SGK trên đã tính đến quan điểm LM khi trìnhbày khái niệm đạo hàm gắn với ngữ cảnh vật lí Tuy nhiên phân tích sau đó chỉ ra rằngcách tiếp cận này lại chưa thu được những lợi ích LM cần phải có – một trong số đó làmang lại nghĩa tốc độ biến thiên tức thời cho khái niệm đạo hàm Để làm rõ cho nhậnđịnh này, phải thấy được đâu là mục đích mà SGK Toán 11 cơ bản muốn đạt được khigiớithiệuhaibàitoánvậtlínóitrên.

Trướchết, SGKnhắclạicáchtínhvậntốc trungbình(𝑣 𝑡𝑏 )vàcường độdòngđiện trungbình(𝐼 𝑡𝑏

 s (t)s(t 0 ) tt 0 và I tb  Q (t)Q(t 0 ), với𝑠 (𝑡)và𝑄 (𝑡)làhàm tt 0 sốquãngđườngvàđiệnlượngtheothờigian.Sauđólậpluậnrằngđểcóđượcvậntốc tứct h ờ i v à c ư ờ n g đ ộ d ò n g đ i ệ n t ứ c t h ờ i c ầ n t í n h c á c g i ớ i h ạ n lims (t)s(t 0 ) và t  t 0 tt 0 lim Q(t)  Q(t 0 ).

Vềđặctrưngvậtlí,vậntốctrungbìnhđượctínhbởithươngsốcủasự t  t 0 tt 0 thayđổiquãngđường ss(t)s(t 0) vớisựthayđổithờigian ttt 0 vàsẽphản ánh tốc độ biến thiên trung bình của quãng đường theo thời gian Tương tự, cường độdòng điện cho biết tốc độ thay đổi của điện lượng gửi qua một thiết diện thẳng của vậtdẫn theo thời gian Tuy nhiên cách dẫn dắt của SGK toán không làm rõ được đặc trưngnày, thayvàođóchỉđưaranhậnxétsauđây:

,trongđó yf (x)l à mộthàmsốđãcho.Giớihạntrêndẫntớimộtkháiniệmquantrọng trongtoán học, đólà kháiniệmđạo hàm.

(SGKToán 11cơ bản, tr 148) Nhưvậy,ýđịnhcủaSGKtoánlàđểđưađếnlídotồntạicủamộtkháiniệmcótên là“đạo hàm” vàđượctínhtheogiớihạn códạng: f'(x)lim 0 f(x)f (x 0 ).Cáchtiếp xx 0 xx 0 cậnnhưtrêntấtnhiênsẽđemđếnnghĩavậtlíchođạohàmlàvậntốcvàcườngđộdòngđiện tức thời, tuy nhiên chưa làm nổi bật được ý tưởng tổng quát của đạo hàm là thướcđo cho tốc độ biến thiên của một đại lượng theo một đại lượng khác Không thể chắcchắn rằng SGK toán có ý định làm xuất hiện nghĩa tổng quát này hay không, tuy nhiênthuật ngữ “tốc độ biến thiên” thì chưa bao giờ thấy được nhắc đến trong các nội dungliênquanđếnkháiniệmđạohàm 14

SGKToán11cơbảnđưarabaứngdụngcủađạohàmtrongVậtlíthôngquacác côngt h ứ c t í n h v ậ n t ố c , g i a t ố c v à c ư ờ n g đ ộ d ò n g đ i ệ n t ứ c t h ờ i : v(t 0 )s'(t 0 ), a(t 0 )v'(t 0 )v ài(t 0 )Q'(t 0 ).VớiSGKToán11nângcaothìchỉcóhaiứngdụngđầu tiên được đề cập mà không giới thiệu bài toán tính cường độ dòng điện tức thời Cả haibộSGKtoánđềukhôngnêurađặctrưngchungtrongcácứngdụngnàycủađạohàmlàđể tính toán tốc độ biến thiên của một đại lượng vật lí (theo thời gian) SGK Toán 11nâng cao hình như có ý định làm việc này nhưng cách trình bày là khá “mập mờ” vàtheo chúng tôi cũng chưa hợp lý Chúng tôi sẽ làm rõ điều này từ việc phân tích cáchmàSGKToán11nângcao (tr.217)giảithíchvềýnghĩacủa giatốctức thời:

Bâygiờnếut 0 nhậnmộtsốgiat thìv(t 0 )nhậnmộtsốgialà vv(t 0  t)v(t 0 )Khi

tcàngnhỏ(khác0)thìvc à n gphảnánhchínhxácsựbiếnthiênvậntốccủachấtđiểm tạithờiđiểmt0.

t0t Cuốicùng,SGKtoáncònđưaranhậnxét:“Giatốctạithờiđiểm t 0 biếnđổivậntốccủachuyểnđộngtạithờiđiểmđó”. đặctrưngchosự Điểmbấthợplítrongcáchtrìnhbàytrênlàởchỗ,SGKtoánchorằngcảgiatốc

𝑎(𝑡0)và∆𝑣(khi∆𝑡rấtnhỏ)đềuphảnánh“sựbiếnthiênvậntốctạithờiđiểm𝑡0”.Điềunày theochúngtôichỉđúngvới∆𝑣màthôi.ĐitìmlạicáchhiểuvềgiatốctrongSGK

Vật lí 10 nâng cao, chúng tôi thấy nó được giải thích là đại lượng “đặc trưng chođộbiếnđổinhanhchậm củavậntốc”(tr.21).Độbiếnđổinhanhchậmởđâylàmuốnnóiđến việc vận tốc thay đổi nhanh như thế nào theo thời gian, cũng là muốn ám chỉ đếntốc độ thay đổi của nó Việc SGK toán chỉ giải thích gia tốc theo sự biến thiên của vậntốc (v ) thay vì phải là tốc độ biến thiên của vận tốc rõ ràng là có thể gây hiểu sai đặctrưngvậtlícủanóvàcũngkhôngthểgiúpHS hìnhthànhđượccáchhiểuđạohàmtheotốcđộbiếnthiênởtìnhhuốngnày.

Nghiêncứumốiquanhệthểchếđốivớikháiniệmtíchphânnhìntừđịnhhướngliên môn

Theo phân tích tri thức luận ở chương 2, tích phân là một khái niệm có nhiều cáchhiểu khác nhau Trong những cách hiểu đó, quan niệm tích phân theo giới hạn tổngRiemannđemđếnmộtkĩthuậtGTchophéptínhtoánnhiềuđạilượngthôngquaquá trìnhgồmcácbướcchianhỏ,lậptổngvôhạn,chuyểnquagiớihạn.Nócũnglàcơsởđểhiểuvaitròcủatí chphântrongnhiềungữcảnhứngdụng,đặcbiệtlàđốivớicácvấnđềcủaVậtlí.Mặtkhác,việctínhtoá ntíchphânlạicóthểthựchiệntheomộtquátrìnhđơngiản hơn từ phép tính nguyên hàm Tuy nhiên, nếu giới thiệu cả hai phương pháp tínhtoán nói trên thì lại cần phải chỉ ra sự tương đương giữa chúng thông qua việc chứngminh định lí cơ bản vốn phức tạp với đối tượng HS THPT Vậy𝐼𝑇tiếp cận tích phântheo tổng Riemann hay theo nguyên hàm? Sự lựa chọn của𝐼𝑇sẽ giúp HS hiểu và ứngdụngtíchphân như thếnào?

Tương tự như với khái niệm đạo hàm, chúng tôi sẽ đối chiếu𝐼 𝑇và 𝐼 𝑉𝐿 ,xác địnhnhững yếu tố mà việc DH tích phân có thể khai thác để tạo ra sự nối khớp giữa hai thểchếvàđemđếnmộtcáchhiểuđầyđủhơnchođốitượngtrithứcđangbànđến.

Xemxét𝐼 𝑉𝐿 ,chúngtôinhậnthấyxuấthiệnbakiểunhiệmvụchínhsauđâycầnđếnsựcanthiệpcủ akháiniệm tíchphân trongkĩthuật giảiquyết:

- Tínhđộdờicủachuyểnđộngkhibiếthàmsốvậntốc(khichuyểnđộngthẳngvàtheocùn gmộthướng thìđộdờibằngvớiquãngđườngđi được).

- Tínhcôngcủalựcbiếnđổi,baogồmcáckiểunhiệmvụconlà:côngcủatrọnglực,củalực điện,củalựcđànhồi.

- Tínhcôngcủakhílítưởng. Ở phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích kĩ thuật mà SGK Vật lí đã dùng để giảiquyết ba kiểu nhiệm vụ nói trên Điều này không chỉ giúp làm rõ cách𝐼 𝑉𝐿 hiểu và sửdụngtíchphânmàcònhélộnhữngtiềmnăngdocóthểkhaitháctừ cácngữcảnhvậtlítrongviệc tạotìnhhuốngDHkháiniệm.

SGK Vật lí 10 nâng cao chỉ xét các chuyển động thẳng và khi vận tốc không âm(luônchuyểnđộng theochiềudương)thì độ dờivàquãngđườnglàđồngnhất.

Trong trường hợp này vận tốc là hằng số, vì thế độ dời được tính bởi công thức quenthuộc là tích của vận tốc và thời gian:𝑥 − 𝑥0= 𝑣𝑡 Điểm đáng chú ý là việc SGK đưaranhậnđịnhvềýnghĩahìnhhọccủađộdời nàynhư sau: Độ dời(𝑥 − 𝑥0)được tính bằng diện tích hình chữnhật(Hình2.9)cómộtcạnhbằng𝑣0vàmộtcạnhbằng t.Ởđâyvậntốctứcthờikhôngđổi,bằngvậntốcđầu

𝑣=𝑣0.(SGK Vật lí10nâng cao, tr.16)

 Trườnghợpchuyểnđộngthẳngbiếnđổi đều Để có kết quả tương tự trong trường hợp vận tốc biến đổi theo thời gian, SGK VậtlílạiphảicầnđếnkĩthuậtcủaphươngpháplậptổngRiemann.

Trongchuyển độngthẳngbiến đổi đều,côngthứccủavận tốc là:𝑣=𝑣0+ 𝑎𝑡 Đồthịvậntốctheothờigianlàmộtđườngthẳngxiêngóc Ta sẽ chứng minh rằng độ dời𝑥 − 𝑥 0đầy đủ của Beeckman đượcược tínhbằngdiệntíchhìnhthangvuôngcócáccạnhđáylà

𝑣, 𝑣0và ường cao là t Thực vậy, trước hết tađầy đủ của Beeckman được kẻnhững đường song song với trục tung Ov cách đềunhaumộtkhoảng∆𝑡rấtnhỏ.Tacónhữnghìnhthangnh ỏvớiđườngcaoΔ𝑡.Lấymộthìnhthangbấtkìnhưtrênhình5.3 chuyểnđộngcủachấtđiểmtrongkhoảngthờigian𝑡𝑐− ��

� 𝐴= Δ𝑡cóthểcoinhưchuyển độngđềuvớivậntốc𝑣𝐵 = 𝑣 𝑐 +𝑣 2 𝐴 ĐộdờiΔ𝑥 t r o n gkhoảngthờigianđólàΔ𝑥 = 𝑣 𝑐 +𝑣 𝐴 Δ𝑡,bằngdiệntíchhìnhthang

2 nhỏ gạch chéo trên hình 5.3 Độ dời trong khoảng thời gian từ𝑡0đầy đủ của Beeckman đượcến t bằng tổng của tấtcảcácđộdờiΔ𝑥trongcáckhoảngthờigianΔ𝑡.Độdờinàyđúngbằngdiệntíchhìnhthangvuôngcócá ccạnhđáy𝑣 v à 𝑣0,đườngcaolà𝑡 −𝑡0.Dễdàngtínhđượcdiệntíchnày:

(SGKVật lí 10 nângcao,tr 26)Cách làm trên của SGK Vật lí đã đi qua các bước sau: Đầu tiên là chia thời gianchuyểnđộngthànhcáckhoảngthờigianΔ𝑡rấtnhỏđểcóthểxemvậntốclàkhôngđổi.Vì vận tốc được xem là hằng số nên độ dời nguyên tốΔ𝑥trong khoảng thời gian nhỏnàyđượctínhbởitíchcủavậntốcvàthờigian.Mỗiđộdờinàyđượcthaythếbằngdiệntíchcủamột hìnhthangnguyêntốtươngứng(biểudiễnhìnhhọccủatích).Lậptổngtất cả các độ dời nhỏ nói trên – tương ứng là tổng tất cả các diện tích nguyên tố Lớp giớihạn hoạt động một cách ngầm ẩn khi xemΔ𝑡rất nhỏ (dần đến 0) Cuối cùng, SGK Vậtlí kết luận rằng độ dời trong khoảng thời gian cần tính bằng với diện tích hình thangvuôngdướiđồthịhàmsốvậntốc.

Các bước của phương pháp giải nói trên cho thấy rằng SGK Vật lí đã sử dụng kĩthuật xấp xỉ theo tổng Riemann để tính độ dời từ hàm số vận tốc đã biết Quy trình xâydựng khái niệm tích phân tác động vào việc giải quyết vấn đề mà kết quả chính là diệntích hình phẳng dưới đồ thị. Tình huống vật lí nói trên đưa đến một ngữ cảnh thuận lợicó thể giúp nảy sinh khái niệm tích phân và giới thiệu cho người học một kĩ thuật tínhtoánxấpxỉhiệuquảcủaGT. Thậtra,cònmộtcáchthứhaiđểgiảithíchlídovìsaoquãngđườngđượctínhtoántheo tích phân hàm vận tốc: đó là xem xét từ bài toán đảo ngược của nó – bài toán tìmvậntốckhibiếthàmsốquãngđường,ởđóđạohàmlàcôngcụchophépgiảiquyết.Bàitoánnày,nh ưchúngtôichỉraởtrên,đượcsửdụngđểđưavàokháiniệmđạohàm.Tuyvậy, vào thời điểm𝐼 𝑉𝐿 xét bài toán “tìm quãng đường” thì đạo hàm và tích phân đềuchưa xuất hiện ở𝐼 𝑇 Thế nhưng, ở chiều ngược lại, SGK toán hoàn toàn có thể sử dụngcặp bài toán thuận – nghịch này để né tránh việc giới thiệu kĩ thuật xấp xỉ theo tổngRiemannkhixâydựngtíchphânmàvẫngiảithíchđượcứngdụngcủanótrongbàitoántính quãng đường Tuy nhiên, theo chúng tôi đây chỉ là giải pháp tạm thời vì có nhiềuvấnđềkhácxuấthiệntrong𝐼 𝑉𝐿m à mộtmốiquanhệngượcnhưtrênkhôngcósẵn.Điềuđó giải thích lý do vì sao DH Toán cần phải tiếp cận tích phân theo phương pháp lậptổng Riemann Một lớp các vấn đề như vậy xuất hiện trong SGK Vật lí sẽ được chúngtôiphântíchtiếpsauđây.

Khilựclàkhôngđổivàchuyểnđộnglàthẳngthìcôngđượctínhtheomốiquanhệnhângiữalực vàquãngđườngnhưsau:𝐴=𝐹 𝑠.Tuynhiêntrongnhiềutrườnghợp,lựcthường là một đại lượng biến đổi theo quãng đường dịch chuyển Để chuẩn bị phươngpháp giải quyết cho các bài toán thuộc dạng này, trong bài “Công và công suất”SGKVậtlí 10 nângcaođãtrìnhbàycáchtính“côngcủalựcbiếnđổi”như sau:

…trường hợp lực biến đổi và quỹ đạo không thẳng thìcôngđượctínhthếnào?Giảsửvậtchuyểnđộngtrênmộtđường cong bất kì từ A đến B…chia đường cong thànhnhững đoạn đủ nhỏ∆𝑠sao cho mỗi đoạn đó có thể xemnhư một đoạn thẳng (Hình

33.3) Đồng thời vì đoạnthẳng đã coi là đủ nhỏ nên có thể coi lực tác dụng trongkhoảngthờigiannàylàkhôngđổi.Côngthựchiệntrê n quãngđườngvôcùngnhỏnhưthếgọilà côngnguyêntố AFs.

Vớilậpluậnnhưvậy,vềnguyêntắc,côngtoànphầnmàlựcthựchiệntrêncảquãngđườngsẽ bằngtổngcáccôngnguyên tố( đượctínhbằngphép tínhtích phân ).

(SGK Vật lí 10 nâng cao, tr. 156)PhươngphápmàSGKVậtlítrìnhbày làchiamộtđ ạ i l ư ợ n g t h à n h c á c p h ầ n “nguyêntố”đượctạobởimộttíchgiữahà msốvớimộtsốgiabiếnsố“đủnhỏ”.Đạilượngbanđầusẽđượctínhbằngtổngcủacácthànhphầ n“nguyêntố”này(thậtrabướcchuyển qua giớihạn hoạt độngngầmẩn vàkhông rõràng trong bước lập luậnnày).Phươngpháplậptổngcác“côngnguyêntố”nóitrênđượcSGKVậtlínóirõlà“được tínhbằngphéptínhtíchphân”.Điềunàychothấyrõcáchmà𝐼 𝑉𝐿h i ể u vàsửdụngcông cụtíchphân làtheo cấutrúctổngRiemanncủanó.

Tất nhiên là làm việc trực tiếp với các công nguyên tố là khá khó khăn với HS nênmỗikhicầntínhmộtđạilượngbằngtổngRiemann,SGKVậtlísẽtìmcáchchuyểnmỗicôngnguyê ntốthànhcácdiệntíchnguyêntốtươngứngtrênđồthị.Côngtoànphầnsauđóđượctínhquadiệntíchto ànphần–tổngcủacácdiệntíchnguyêntốnày.

 Trườnghợpcôngcủalựcđànhồi ỞtìnhhuốngnàylựcđànhồiFkx biếnđổitheođộbiếndạng𝑥 nênđểtính công, SGK đã “chia nhỏ độ biến dạng toàn phần thành những đoạn rất nhỏ∆𝑥sao chotươngứngvớiđộbiếndạngnàylựcđànhồiđượccoilàkhôngđổi”(SGKVậtlí10nângcao, tr 169) Công nguyên tố tương ứng sẽ là∆𝐴 = 𝐹∆𝑥 = −𝑘𝑥∆𝑥, và công toàn phầnsẽ là tổng của các công nguyên tố đó Tương tự như tình huống trước, SGK Vật lí 10nângcao tiếptụcsử dụngphươngphápđồthịđểtínhcôngnày(tr.170):

TrênHình36.2,côngnguyêntốđượcbiểudiễnbằngdi ệntíchdảichữnhậtmàuxanhcóhai cạnhlàk xv àx.Cộngtấtcảcácdiệntích nguyêntốtrongphạmvigiớihạntrêntrụcxtừ giát r ị x1đ ế n g i á t r ị x2tađ ư ợ c c ô n g t o à n phần…cógiátrịbằngdiệntíchhìnhthangBCDE, cũng bằng hiệu diện tích hai tam giácOCD vàOBE.

Dường nhưquytrình giải bàitoán nêutrên cũng giống như cách giải bài toán tìm độ dời Tuy nhiên, trong bài toán về độ dời, mỗiđộ dời nguyên tố được thay thế bằng với một hình thang nhỏ Vì vậy khi cộng các hìnhthang này sẽ thu được trực tiếp diện tích hình thang lớn Ở tình huống tính công, mỗicông nguyên tố được thay thế bởi một dải hình chữ nhật, mà sau đó SGK Vật lí khônggiải thích rõ vì sao lấy tổng diện tích các dải hình chữ nhật nhỏ này lại thu được diệntích hình thang Bước chuyển qua giới hạn của tổng Riemann hình như đã được “lờ đi”haycóthểSGKVậtlíngầmhiểumỗidảihìnhchữnhậtkhixétđủnhỏsẽnhưmỗiđoạnthẳng để ghép lại thành hình thang như phương pháp mà Oresme đã làm trong bài toántínhquãngđường.

Một điểm thú vị khác là khi biểu diễn các công nguyên tố bằng diện tích hình chữnhật (là số dương), dấu trừ trong biểu thức∆𝐴 = 𝐹∆𝑥 = −𝑘𝑥∆𝑥cũng bị bỏ qua và chỉxuấthiệnlạitrongkếtquảtínhtoáncuốicùng:

Cầnphảinóithêmrằng trongphươngpháptínhcôngvừatrìnhbày,SGKVậtlíđãphải thực hiện việc lập tổng Riemann hai lần Lần thứ nhất là chia nhỏ công toàn phầnthànhtổngcáccôngnguyêntố,lầnthứhailấytổngcáchìnhchữnhậtnguyêntốvàxemtổng nàykhi∆𝑥rấtnhỏsẽbằngvớidiệntích hình phẳngnằmdưới đồthị giớihạntrên trụcxtừgiátrị x1đếngiátrị x2.Việclậptổnghailầnnàykhôngnhữngthểhiệnrõđặc trưng của cấu trúc tổng Riemann trong cách giải quyết bài toán mà còn đưa đến nhữnggợiývềcáchkếtnốinhữngýnghĩakhácnhaucủatíchphân:ýnghĩavậtlí,ýnghĩadiệntích,vàcác hhiểutíchphântheogiớihạntổngRiemann.Đâylànhững“tàinguyên”mà

𝐼 𝑇 hoàn toàn có thể tận dụng để mang lại cách hiểu đầy đủ hơn cho khái niệm tích phânđồngthờihỗtrợVậtlítrongviệcgiảiquyếtcácvấnđềcủanó.

PhươngpháplậptổngRiemanncònxuấthiệntrongnhiềuvấnđềkháccủaVậtlí,đặcbiệt làvớibàitoántínhcôngcủalựcbiếnđổi.DướiđâycáchmàSGKVậtlísửdụngđểxácđịn hcông củatrọnglựcvàcủalựcđiện(SGKVậtlí10 nângcao,tr 165). XéttrườnghợptrọnglựcPmgz,mộtlựcbiếnthiêntheođộcao𝑧 c ủ avậtsovới vị trí được chọn làm gốc Để tính công do trọng lực sinhra trong một chuyển động giữa hai vị trí có độ cao khácnhau (điểm B và điểm C), SGK vẫn sử dụng kĩ thuật xấpxỉnhưtrênkhixemcôngtoànphầnnhưtổngcủacáccôngnguyêntố

Côngtoàn phần thựchiện trên cảquãngđườngtừBđến C là:

Kếtquả: ABCmg  zBzC  (hình35.1)

Vớitrườngh ợp côngcủ a lực điện,S G K Vật lí11nâng caocũngcókĩthuậtgiảiquyếttươngtự(tr.19).

qEM'N' Đối với hai bài toán này, SGK Vật lí sử dụng phương pháp lập tổng Riemann đểgiải quyết nhưng quá trình tính toán này đi trực tiếp đến kết quả mà không cần đến mộtdiện tích nào biểu diễn cho đại lượng cần tính Nghĩa là biểu diễn đồ thị của tích phânkhôngtácđộngtrongkĩthuậtgiảibàitoán.

Kếtluậnchương3:mốiquanhệliênmônToán– Vậtlítrongviệcdạyhọchaikháiniệmđạohàmvàtíchphân

Dựa trên các cơ sở lý thuyết về DH LM đã trình bày ở chương 1 (quan điểm, môhìnhvàchiếnlượcLM),chúngtôisoisánglạicáckếtquảphântíchthểchếởchương2để chỉ ra mối quan hệ LM giữa Toán và Vật lí đã diễn ra như thế nào đối với tri thứcđangbànđến.Phântíchnàyđểtrảlờicâu hỏi nghiêncứuQ2màchúngtôiđãđặtra.

 Sựhỗtrợcủa 𝑰𝑽𝑳trong việcdạyhọc đạohàm,tíchphân ở 𝑰𝑻

- 𝐼 𝑉𝐿 cungcấpcácvấnđềmà𝐼 𝑇 c óthểsửdụngđểtạorangữcảnhvàtìnhhuốnglàmnảysinh,tiếnt riểnkháiniệmđạohàm,tíchphân.

- 𝐼 𝑉𝐿 sử dụng từ rất sớm những cách hiểu và phương pháp tính toán của hai kháiniệmđạohàm,tíchphântrongnhiềuvấnđềvậtlíkhácnhau.Điềunàytạorađộngcơđể𝐼 𝑇 p h ả icungcấp mộthiểubiếtđầyđủhơn chocáctrithứcđangnóitới.

- 𝐼 𝑉𝐿 sửdụngphươngphápchianhỏ,lậptích,lậptổngvàchuyểnquagiớihạn(ngầmẩn) để tính toán các đại lượng vật lí như quãng đường, công,… Cách giải quyếtnàymặcdùkhôngdựatrênmộtcơsởtoánhọcchặtchẽnhưnglạilàcơhộiđểgiớithiệuquann iệmvềtíchphânnhư làgiớihạntổngRiemann.

Như đã nói, thời điểm mà đạo hàm và tích phân được dạy ở𝐼 𝑇là muộn đầy đủ của Beeckman được ể𝐼 𝑉𝐿 cóthểvậndụngmộtcáchtườngminhtrongviệcgiảiquyếtcácvấnđềcủamình.Ýthứ c được điều này,𝐼 𝑉𝐿 sử dụng trước các công cụ toán học nói trên và mong đợi𝐼 𝑇sẽ làmsángtỏcơsởtoánhọcchocácphươngphápđãsửdụng.Tuynhiênphântíchthểchế𝐼 𝑇chỉ rarằng,s ựhỗtrợcủa𝐼 𝑉𝐿 ã đầy đủ của Beeckman được khôngđượctậndụngthíchđángvàđòihỏicủa𝐼 𝑉𝐿cũng không được đáp ứng Điều này được giải thích bởi những tiểu kết mà chúng tôi đã rútratừ cácphântíchthể chếđãthựchiện.Haiđiểmnhấnsauđâycầnđượcnhắclại:

- 𝐼 𝑇 sử dụng các bài toán vật lí để làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, tích phân nhưnglại không hướng đến cách hiểu tốc độ biến thiên và giới hạn tổng Riemann. Trongkhi đây lại là những quan niệm hữu ích nhất để hiểu nhiều ứng dụng của đạo hàmvàtíchphântrongVậtlí.

- Việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến Vật lí trong𝐼 𝑇 không phản ánh đầy đủ của Beeckman đượcượcphương pháp đặc trưng mà𝐼 𝑉𝐿 đầy đủ của Beeckman đượcã sử dụng – cách hiểu tốc ộ biến thiên vàđầy đủ của Beeckman được kĩ thuậtlập tổng Riemann không tác động ở những tình huống này Thay vào đó, các ứngdụng vào Vật lí được giới thiệu trong𝐼 𝑇 chỉ xoay quanh một số đại lượng động họcnhưquãngđường,vậntốcvàgiatốc.Cácbàitoánnàyđượcgiảiquyếtdựatrêncáccông thức cho sẵn và thậm chí còn nhầm lẫn trong việc tính toán hai đại lượng vậtlílà“quãngđường” và“độdời”.

MụcđíchcủachươngnàylàtrảlờicâuhỏinghiêncứuQ3củachúngtôi: Giảiphápsư phạm nào cho phép tận dụng hiệu quả những gắn kết LM giữa Toán và Vật lí đểmang lại hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm và tích phân cho HS đồngthờigiúp cácemứngdụngđượckiếnthứctoánhọc này vàocácvấnđềcủaVậtlí?

Domụcđíchnghiêncứuđãxácđịnhnênchúngtôiđặtrahainguyêntắcsaukhiđềxuất các giải pháp sư phạm Thứ nhất, các giải pháp phải nhắm đến mục tiêu kép: vừamang lại cho HS một hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm và tích phân, vừagiúpcácemhiểuđượcnhữngứngdụngđadạngcủachúngtrongVậtlí.Thứhai,khôngchỉkhaith ácmốiquanhệLMToán–Vậtlí(liênquanđếncáctrithứcđangnóitới)trênphương diện tri thức luận, mà còn phải tận dụng những yếu tố LM tiềm năng trong thểchế DH hiện hành Nguyên tắc thứ nhất cho thấy rõ mục tiêu mà các giải pháp phảihướngđếnvànguyêntắcthứ haichỉracáchthứcđểđạtđượcchúng.

Cơsởđề xuấtgiảipháp

Các giải pháp sư phạm được chúng tôi đề xuất dựa trên những nghiên cứu đã thựchiệntrướcđótrongluậnán gồm:

- Kết quả nghiên cứu tri thức luận ở chương 2 về mối quan hệ gắn kết, hỗ trợ lẫn nhaugiữa Toán học và Vật lí học trong quá trình hình thành và tiến triển hai khái niệm đạohàm,tíchphân.

- Kết quả nghiên cứu thể chế về sự nối khớp giữa𝐼 𝑉𝐿 và𝐼 𝑇 (liên quan đến hai đối tượngtrithứcđạohàm, tíchphân)theoquanđiểm LMở chương3.

Trước hết, trong chương cơ sở lí luận chúng tôi chỉ mới bàn về việc hiểu và ứngdụng một khái niệm toán học nói chung Muốn cụ thể hóa những mục tiêu mà các giảipháp hướng đến, cần làm rõ thế nào là hiểu đầy đủ về đạo hàm, tích phân và đâu lànhững yếu tố phải tính đến để giúp người học hiểu các ứng dụng của chúng trong Vậtlí.Mộtnghiêncứuthực hiệnnhiệmvụnàysẽ đượcchúngtôitiếnhànhtrướctiên.

Bên cạnh đó, ở chương 1 chúng tôi đã đề cập đến ba chiến lược LM Toán –KhoahọccủaNikitinavàMansilla(2003) Nghiêncứubổsungtiếptheosẽbànđếnviệcvận dụngcácchiếnlượcnàytheođịnhhướngLMToán–VậtlívớitrườnghợpDHhaikháiniệmđạohàm, tíchphân.

Trong chương 2 và chương 3, chúng tôi đã chỉ ra sự gắn kết Toán – Vật lí (liênquan đến đối tượng đạo hàm, tích phân) ở cả thể chế tạo ra tri thức và thể chế DH nótrong nhà trường Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy cần có thêm một nghiên cứu về sựLMthểhiệntrongchuyểnhóasưphạmhai trithứcđạohàm,tíchphânđểchỉranhữngđiểm nối khớp và gắn kết tương hỗ mà các thể chế DH ở nhà trường có thể đã chưa tậndụng hiệu quả Đây sẽ là những gợi ý sư phạm cho tiến trình xây dựng một cách tiếpcậnLM hợplí trong việcDHhaikhái niệmđạohàmvàtích phânởtrườngTHPT.

4.1.1 Cáchhiểu đầy đủvềkhái niệmđạohàm,tíchphân

Phần này sẽ dành để làm rõ thế nào là hiểu đầy đủ hai khái niệm đạo hàm, tíchphân Muốn vậy, chúng tôi dựa vào: cơ sở lí luận về hiểu khái niệm đã trình bày ởchương 1, kết quả nghiên cứu tri thức luận đã thực hiện ở chương 2, và các khung lýthuyết về hiểu khái niệm đạo hàm, tích phân của một số nhà nghiên cứu giáo dục toántrênthếgiới.

Dựa trên bản chất képquá trình – đối tượngtừ khung lý thuyết của Sfard (1991)cũng như tính đa biểu diễn của một khái niệm toán học Zandieh (2000) là người đầutiên đưa ra một khung lý thuyết mô tả cách hiểu khái niệm đạo hàm gồm các lớpquátrình–đốitượngvàthểhiệncủanótrong nhữngbiểudiễnkhácnhau.

Lớp Đồthị Lời Vật lí Kíhiệu Khác quátrình – đối tượng Độdốc Tốcđộ Vậntốc Tỉsốviphân

Zandieh chỉ ra ba lớpquá trình – đối tượng(ban đầu hoạt động trên quá trình vàsau đó sẽ được trừu tượng vào một đối tượng toán học tương ứng) trong cách hiểu vềđạo hàm bao gồm: lớp tỉ số, lớp giới hạn và lớp hàm số Mỗi ô trống trong bảng haichiều thể hiện một diện mạo của đạo hàm tại mỗi lớp và theo các biểu diễn khác nhau.Chẳnghạnnhư“lớptỉsố”trongbiểudiễnđồthịmangýnghĩalàđộdốc(hệsốgóc)cáttuyến,còn trongbiểudiễnbằnglờilạiđượchiểulàtốcđộthayđổitrungbình.

Khung của Zandieh cung cấp cho chúng tôi một mô tả đầy đủ về cách hiểu kháiniệmđạohàm.Theođó,ngườihọcphảihiểu đượccấutrúccủakháiniệmgồmcáclớp,những quá trình gắn với các lớp đó cùng với sự liên kết giữa các ý nghĩa và cách hiểucủakhái niệm trongnhững ngữcảnh haybiểudiễn khácnhau.

Dựa trên kết quả phân tích tri thức luận ở chương 2, khung lý thuyết của Zandieh(2000) cùng với những nghiên cứu của Kendal và Stacey (2003), Firouzian

(2013) vàSahin et al (2015), chúng tôi tổng hợp những cách hiểu sau đây có thể xây dựng trongảnhkháiniệmcủaHSvềđạohàm:

- Đạohàmnhưlà hệsốgóc(độdốc)tiếp tuyến tạimột điểmcủađồthịhàmsố(biểudiễnđồthị).

- Ngườihọcsử dụngcáctínhtoán sốđểmôtảđạohàmlàgì(biểudiễn số).

- Sửdụngnhữngđạilượng vậtlínhưvận tốc,giatốc,…đểmôtảvềđạohàm(biểudiễnvậtlí).

 x 2  '2x (cáchhiểutheoquytrình). Để có một kiến thức kháiniệm đầy đủ về đạo hàm,

Sahinet al (2015) cho rằng người họcphải “hiểu được ba ý tưởng lớnbên dưới khái niệm đạo hàm đólà tốc độ biến thiên, độ dốc củatiếp tuyến và giới hạn, cùng vớinhững mối liên hệ giữa chúng”(tr.178).

Trongb a ý t ư ở n g n à y , Hình4.2.Môhìnhcáchhiểukháiniệmđạohàm chúng tôi cho rằng cách hiểu theo tốc độ biến thiên tức thời đóng một vai trò thiết yếutrongảnh khái niệmcủa người học về đạo hàm bởi vì nó đem đến ý nghĩa nền tảng vàtổng quát nhất về bản chất của khái niệm Điều này được xác nhận bởi định nghĩa củaAkkoỗetal.(2008,tr 18-19):“Khỏiniệmđạohàmlàmột mụhỡnhtoỏnhọcchotốcđộ biến thiên tức thời và được tính bởi giới hạn của hàm số mô tả tốc độ biến thiên trungbình”.HaynhưnhậnđịnhcủaWeberetal.(2012,tr.1):“Vềphương diệntrithứcluận,đạo hàm được xây dựng như là một cách để biểu diễn và đo đạc tốc độ mà tại đó mộtđại lượng thay đổi so với một đại lượng khác” Bezuidenhout (1998) cũng cho rằng quanniệm tốc độ biến thiên là một trong những ý nghĩa quan trọng nhất của GT và vì thế,một cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm theo chúng tôi sẽ không thể thiếu hụt quanniệmnày.

Dựa trên khung lý thuyết của Zandieh (2000) về khái niệm đạo hàm, Habineza(2013)môtảmộtkhungtươngtựchokháiniệm tíchphânxâydựngtrongngữcảnhbàitoán tìm diện tích dưới đường cong nhằm hướng đến cách hiểu tích phân như giới hạntổngRiemann:

Kí hiệu tượng trưng (sự kháiquát)

Hình4.3 Khunglýthuyếtvềkháiniệm tíchphâncủaHabineza Ở khung lý thuyết này, tác giả đã chỉ ra bốn lớpquá trình – đối tượngtrong cáchhiểuvềtíchphântheogiớihạntổngRiemann:lớpphânhoạch,lớptích,lớptổngvàlớpgiớihạn. Mỗiôtrốngtrongbảnghaichiềuthểhiệnmộtdiệnmạocủa tíchphânứngvớimỗilớpvàdạngbiểudiễnđặttrongngữcảnhđangnóiđến.Chẳnghạnkhi môtảlớp tích,Habinezachorằngbiểudiễnđạisốlàtích f(x i ).x ,cònbiểudiễnhìnhhọc(đồthị) tươngứnglàdiệntíchmộtdảihìnhchữnhật vớichiều dài f(x i )vàchiềurộng x. Từkếtquảnghiêncứutrithứcluận,khunglýthuyếtcủaHabinezavàcáccôngtrìnhcủaKouropatov vàDreyfus(2013),Jones(2015a),chúngtôitổnghợpcáccáchhiểusauđâyvềtíchphân cóthểthiếtlậptrongquanniệmngườihọc:

- Giớihạncủatổng Riemann(biểu diễnkí hiệu):

- Tổng của những mẩu rất nhỏ được tạo thành từ tích của giá trị hàm số với một sựthayđổivôcùngbécủabiếnsố; thướcđochosựtíchlũyhoặctổng sựthayđổicủamộtđạilượngkhibiếttrướctốc độthayđổicủa nó(biểudiễnbằnglời).

- Người học sử dụng phương pháp chia nhỏ, lập tổng để tính gần đúng giá trị số củadiệntíchdướiđườngcong(biểudiễnsố).

- Sử dụng các đại lượng vật lí như độ dời, công để mô tả về tích phân (biểu diễn vậtlí).

Như đã đề cập ở phần cơ sở lí luận, để có một hiểu biết đầy đủ về tích phân, kiếnthức mà người học sở hữu phải được làm giàu bởi những kết nối giữa các cách hiểu vàbiểu diễn nói trên Hơn nữa trong những quan niệm này, nghiên cứu tri thức luận ởchương2chỉrarằngcáchhiểuchứađựngtrongcấutrúctổngRiemannmớichỉrađượcbảnchấtvàn guồngốccủatíchphân.Nhiềunhànghiêncứugiáodụccũngchorằngđâylà cách hiểu quan trọng nhất cho một hiểu biết vững chắc và đầy đủ về khái niệm đangbànđến (Artigue,1991;Sealey,2014;Jones,2015a).

Một hiểu biết đầy đủ về hai khái niệm đạo hàm và tích phân không thể thiếu mốiliên hệ mật thiết giữa chúng được phát biểu trong định lí cơ bản Lời giải thích chungthường thấy về mối quan hệ này là: đạo hàm và tích phân là các quá trình đảo ngượcnhau 15 Tuynhiênphátbiểuchínhxáccủađịnhlícơbảnbaogồmhaiphầnsau(Stewart,2012,tr.3 93):

Phần 1 thường được gọi là phần nguyên hàm vì nó chỉ ra cách sử dụng tích phânđểxâydựngmộtnguyênhàmchomộthàmsố.Phần2đượcxemlàphầntínhtoánvìnócung cấp một phương tiện để tính tích phân Định lí cơ bản cho thấy sự tương đươngtronghaicáchtínhtoántíchphân,theogiớihạntổngRiemann,vàtheomộtquátrìn h

15 Thựcranguyênhàmvàđạohàmmớiđượcxemlàcácquátrình,haycáchàmsốngượcvớinhau.Nguyênhàmlàmộthàmsốtr ongkhiđó tíchphânlàmộtsốthực. đảongượcvớiphéplấyđạohàm(nguyênhàm).CấutrúctổngRiemanngiúpngườihọcbiếtđượctạis aophảidùngđếntíchphântrongviệcgiảiquyếtmộtbàitoán,cònnguyênhàm đưa đến một quy trình tính toán thuận lợi Một cái trả lời câu hỏi tại sao, còn cáikiachobiếtphảitínhnónhưthếnào.Cácphântíchtrênchothấy,đểthựcsựhiểuđượcý nghĩa của định lí cơ bản, điều kiện tiên quyết là người học phải quan niệm tích phântheo giới hạn tổng Riemann Vì nếu như họ chỉ hiểu tích phân theo quy trình tính toánbởinguyênhàm,địnhlícơbản tự nósẽkhông cònýnghĩa.

Cácgiảiphápsưphạm

Vậtlíliênquanđếnđạohàm,tíchphân,chúngtôiđềxuấtcácgiảiphápsưphạmsauđâyvàchiathànhh ainhómchínhdựatrênmục tiêu mà chúng nhắm đến Nhóm giải pháp thứ nhất nhằm xây dựng cách hiểu đầyđủ và vững chắc hơn cho người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân Nhóm thứhai nhằm tăng cường vai trò công cụ của đạo hàm, tích phân trong các vấn đề vật lí vàqua đó cũng giúp người học vận dụng hiệu quả hơn kiến thức về GT trong những ngữcảnhứngdụng.

Tuy nhiên, như đã đề cập thì việc hiểu và ứng dụng một khái niệm luôn có tínhtương hỗ cho nên sự phân chia thành hai nhóm giải pháp như trên chỉ có ý nghĩa tươngđối.Nghĩalànhữnggiảiphápởnhómhaivẫncóthểhỗtrợchoviệchiểuđầyđủhơnvềkhái niệm và ngược lại, những giải pháp ở nhóm một cũng giúp ứng dụng tốt hơn côngcụ đạo hàm và tích phân trong Vật lí Điều này mặc dù dẫn đến sự gối đầu lên nhau ởmột số giải pháp, tuy nhiên cách phân loại nói trên phần nào giúp chúng tôi nhấn mạnhhơnvàocácmụctiêuchủyếumàmỗinhómhướngđến.

Cũng phải nói thêm rằng, lẽ ra trong một nghiên cứu DH theo quan điểm LM thìnhững biện pháp liên quan đến việc xây dựng các chủ đề LM Toán và Vật lí nên đượcbànđến.TuynhiênđểgắnkếtđượckiếnthứctoánvàvậtlívàocùngmộtchủđềDHlạicần phải cấu trúc lại chương trình hai môn học sao cho các nội dung có liên quan đượcđặt cạnh nhau và xuất hiện vào cùng một thời điểm Điều này rõ ràng là không khả thivớiđốitượngtrithứclàhaikháiniệmđạohàmvàtíchphân.NguyênnhânởchỗGT luôn được xem là đỉnh tháp trong các nội dung toán học được dạy ở cấp THPT và việchọc tập nó cần đến nhiều kiến thức chuẩn bị trước Thế nên hai khái niệm đạo hàm vàtíchphânchỉcóthểxuấthiệnở𝐼 𝑇v à o giaiđoạn cuốicủabậchọcTHPT.Trongkhiđó,những ứng dụng của hai khái niệm này lại trải dài từ đầu lớp 10 đến cuối lớp 12 ở chươngtrình DH Vật lí, vì thế gây khó khăn cho việc xây dựng các chủ đề DH LM những nộidungcóliênquancủahaimônhọc.Donhữngràngbuộcvừachỉra,chúngtôisẽkhôngnhắmđếnv iệcxâydựngcácchủđềLMtươngtựnhưnhữngchủđềtíchhợpmàmộtsốcôngtrìnhnghiêncứutrong nướcđãthựchiện.Thayvàođó,cácgiảiphápđượcđềxuất sẽ tập trung khai thác sự hỗ trợ LM có thể thực hiện từ hai môn học Toán và Vật lí đểđemđếnnhiềulợiíchhơnchochúng.Cácgiảiphápnàycóthểthựchiệnvàonhữngthờiđiểm thích hợp cả trong việc DH môn Toán hoặc môn Vật lí Trong quá trình trình bàycác giải pháp chúng tôi đưa ra ví dụ cho một số giải pháp Bên cạnh đó, để minh hoạcho việc sử dụng các giải pháp trong một tiến trình DH LM và tính khả thi của chúng,hai đồ án DH khái niệm đạo hàm/tích phân cũng được chúng tôi xây dựng nhằm đạtđượcnhữngmụctiêuLMđãđặtratrongcâuhỏinghiêncứuQ3.

4.2.1 Nhóm 1: Nhóm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ hơn cho người học vềhaikháiniệmđạohàmvàtích phân

4.2.1.1 Giải pháp 1: Xây dựng các tình huống dạy học nhằm liên kết những cáchhiểuvàbiểudiễnkhác nhaucủađạohàm/tíchphânvàocùngmộtkháiniệm Đạohàmvàtíchphânđềulànhữngkháiniệm“nhiềumặt”,theonghĩalàchúngcómột số cách hiểu và biểu diễn khác nhau mà thoạt nhìn thì rất khó thấy được sự liên hệgiữa chúng Các khung lý thuyết về DH hiểu khái niệm đã chỉ ra rằng, để có một kiếnthức đầy đủ và “kích hoạt” được trong các tình huống giải quyết vấn đề, người học cầnphải kết nối được những cách hiểu này lại với nhau để thấy được sự thống nhất và mốiliênhệgiữachúng.

Chẳng hạn, với khái niệm tích phân, những cách hiểu khác nhau có thể xây dựnglà: giới hạn tổng Riemann; hiệu giá trị hai nguyên hàm (phép toán đảo ngược của đạohàm); diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành; và một số ý nghĩa vật lí nhưquãng đường, công… Giải pháp này hướng đến việc xây dựng các tình huống DH màcó thể liên kết được những cách hiểu nói trên vào cùng một khái niệm – chẳng hạn ởđâylàtíchphân.Điềunàyđemđếnchongườihọcmộtdạngkiếnthứcgắnkếtđượclàmgiàutrongnh ữngmốiliênhệ,từđógiúphọhiểuđầyđủhơnvềkháiniệmvàcókhả năng ứng dụng hiệu quả nó để giải quyết các bài toán của Vật lí và của thực tiễn nóichung.

CácminhhoạchogiảiphápnàyđượcchúngtôigiớithiệutronghaiđồánDHkháiniệm đạo hàm và tích phân sẽ trình bày trong chương 5 Ở hai đồ án đó, chúng tôi xâydựngnhữngtìnhhuốngsưphạmnhằmtạorasựliênkếtgiữacáccáchhiểuvàbiểudiễnkhác nhau của hai khái niệm đạo hàm/tích phân, từ đó mang lại một hiểu biết đầy đủhơnchongườihọcvềtrithức đangbànđến.

4.2.1.2 Giải pháp 2: Khai thác tối đa mối quan hệ gắn kết giữa Toán học và Vật líhọcđãdiễnratronglịchsửnảysinhvàtiến triểncủakháiniệm

Tận dụng hiệu quả hơn những gợi ý có được từ quá trình phát triển của tri thứctrong lịch sử là một quan điểm về DH Toán hiện nay được nhiều nhà nghiên cứu giáodục ủng hộ Điều này không hàm ý là phải tổ chức DH mô phỏng lại hoàn toàn nhữnggì đã diễn ra trong lịch sử hình thành khái niệm Thay vì thế, điều nên làm là sử dụngnhữnggợiýcóđượctừphântíchtrithứcluậnđểxâydựngcáctìnhhuốngDHmanglạinhữngngh ĩađúngchotrithứcmàđặttrongsựphùhợpvớinhậnthứccủaHSvàsựràngbuộccủathểchếDH.

XemxétgợiýnóitrêntừquanđiểmLM,chúngtahoàntoàncóthểkhaithácsựhỗtrợ lẫn nhau giữa GT và Vật lí học đã xảy ra trong lịch sử để tổ chức các hoạt động DHhai khái niệm đang bàn đến Một tiến trình DH phản ánh được mối quan hệ

LM này cóthểmanglạicùnglúclợiíchchocảhaimônhọcToánvàVậtlí.Mộtmặt,ngườihọcsẽhiểu rõ hơn tri thức toán học nhờ sự hỗ trợ của Vật lí Mặt khác, các khái niệm và kĩthuật GT sẽ là công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết được nhiều vấn đề trong ngữ cảnh vậtlí.Hơnnữa,trongphân tíchsựchuyểnhóasưphạmtrìnhbàyởđầuchươngnày,chúngtôicũngchỉrarằngquátrìnhDHcáck háiniệmđạohàm,tíchphândườngnhưchưatậndụngthỏađángtiềmnăngLMvốncó.Đặttrongthựct rạngnày,giảiphápmàchúngtôivừa đề xuất vẫn còn tính thời sự trong việc xây dựng chương trình DH Toán và Vật líđểtạosự gắnkếthỗtrợnhauchohaimônhọc.

Bên cạnh đó, từ kết quả phân tích tri thức luận đã thực hiện ở chương 2 chúng tôiđã rút ra những gợi ý sư phạm nhằm tận dụng sự gắn kết tương hỗ giữa toán và vật lítrong việc làm nảy sinh và tiến triển hai khái niệm đạo hàm và tích phân Để minh hoạchoviệcvậndụnggiảipháp2,chúngtôisẽsửdụngcácgợiýcóđượctừnghiêncứutrithức luận lịch sử ở chương 2 trong việc thiết kế tình huống DH khái niệm tích phân màsẽtrìnhbàyởchương5củaluậnán.

4.2.1.3 Giải pháp 3: Tận dụng một cách xác đáng những hỗ trợ mà thể chế 𝑰 𝑽𝑳 ã đầy đủ của Beeckman được cungcấptrongquátrình dạy họckháiniệmđạohàm,tíchphân Ở chương 3 chúng tôi chỉ ra rằng, khi giải quyết một số vấn đề của mình,𝐼 𝑉𝐿 ã đầy đủ của Beeckman được cung cấp sớm nhiều tình huống thích hợp có thể giúp làm xuất hiện ý nghĩa tốc độ biếnthiên và kĩ thuật lập tổng Riemann Như đã đề cập thì những cách hiểu này là nền tảngvà quan trọng nhất đối với hai khái niệm đạo hàm, tích phân cả về mặt đối tượng vàcông cụ Hơn nữa, khi sử dụng ý tưởng về tốc độ biến thiên và phương pháp chia nhỏlậptổngRiemann,𝐼 𝑉𝐿t h ậ m chíđãgiớithiệutrướcrằngnhữnglậpluậnnàysẽđượclàmrõsaukhi thểchế𝐼 𝑇g i ớ i thiệutườngminh haikháiniệmđạohàm,tíchphân. Điều đáng tiếc là𝐼𝑇 ã không tận dụng sự hỗ trợ từ đầy đủ của Beeckman được 𝐼𝑉𝐿 ể mang lại hai cách hiểu đầy đủ của Beeckman được quan trọng nói trên cho các khái niệm đang bàn đến Theo đề xuất của chúng tôi, việcDH Toán hoàn toàn có thể khai thác tốt hơn những “tài nguyên” mà Vật lí đã cung cấp(các ngữ cảnh, bài toán, phương pháp giải quyết) để đem đến kiến thức đầy đủ hơn choHS cũng như giới thiệu cho các em những kĩ thuật đặc trưng và hiệu quả của GT Vàmặc dù đạo hàm và tích phân chỉ được dạy ở𝐼 𝑇ở cuối chương trình THPT, có lẽ cũngcần tạo điều kiện cho người học nhìn lại những ứng dụng hiệu quả của chúng trong cácvấnđềvậtlítrướcđó.Điềunàycóthểsẽgiúpngườihọcnhậnrarằng,nhữngkháiniệmmàhọđangh ọccómộtsứcmạnhthựctiễntolớnnhưthếnàotrongviệcgiảiquyếtnhiềuvấnđềcủathựctiễnvàkhoahọ c,nóiriêng làVật lí.

Liên quan đến việc vận dụng giải pháp 5, trong hai đồ án DH được xây dựng ởchương5,chúngtôiđãthiếtkếcác tìnhhuốngtậndụngngữcảnhvậtlíđểlàmnảysinhvàmanglạinghĩađầyđủhơnchohaikháiniệmđạo hàm/tíchphân.Ngoàira,bằngcáchtạo điều kiện cho HS “thăm lại” những ứng dụng ngầm ẩn trước đó của đạo hàm/tíchphân trong Vật lí, đồ án cũng giúp các em hiểu sâu sắc hơn về tri thức đang đề cập vàcáchứngdụngchúngtrongnhiềuvấnđềthựctiễn.

4.2.1.4 Giải pháp 4: Đưa vào thể chế DH Toán nhiều hơn những kiểu nhiệm vụ màviệc giải quyết chúng đòi hỏi người học phải hiểu khái niệm ở mức độ phù hợp thayvìchỉcầnđếncáckiếnthứctheoquytrình

Xu hướng đại số hóa GT ở trường THPT hiện nay dường như đang chú trọng vàocác kiến thức quy trình liên quan đến đạo hàm và tích phân Các kiểu nhiệm vụ xuấthiệntrongthểchế𝐼𝑇n g h i ê n gnhiềuvềyêucầutínhtoánhoặccóthểdùngnhữngquy

2 trình có sẵn để giải quyết Người học có thể thành thạo trong việc giải quyết các kiểunhiệmvụnàynhưngchưahẳnlàđãhiểukháiniệmở mộtmứcđộcầnthiết. Đểpháttriểnmộtkiếnthứcđầyđủhơnvềcáctrithứcđangbànđến,chúngtôichorằng thể chế𝐼 𝑇 phải đưa vào nhiều hơn các kiểu nhiệm vụ mà việc giải quyết chúng đòihỏi một mức độ hiểu khái niệm nhất định Các bài toán này không nhất thiết phải đặttrong ngữ cảnh toán mà có thể khai thác từ các ứng dụng của khái niệm trong thực tiễnkhoa học, đặc biệt là Vật lí Những kiểu nhiệm vụ này sẽ dẫn dắt việc học tập của HStheo hướng hiểu đầy đủ hơn khái niệm cũng như giúp các em rèn luyện khả năng vậndụng và nối kết các cách hiểu và biểu diễn khác nhau để giải quyết thay vì chỉ sử dụngnhữngquytrìnhđạisốcósẵn. Để minh hoạ cho giải pháp này, chúng tôi giới thiệu sau đây hai bài toán mà việcgiải quyết nó cần đến công cụ đạo hàm và tích phân Hơn nữa, người học cần phải hiểuđược nghĩa và các biểu diễn của khái niệm thì mới nhận ra được sự tác động của đạohàm/tíchphân trongviệc giải quyết bài toán đặt ra.

Đồándạyhọckháiniệmđạohàm

Trước đây, trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ của mình, chúng tôi đã xây dựng mộtTNkiểmtramốiquanhệcánhâncủaHSvớikháiniệmđạohàm(NgôMinhĐức,2013,tr.60- 68).ĐốitượngthamgiaTNlàmộtsốHSkhágiỏiđãhọcquakháiniệmđạohàm.Mục đích TN là kiểm tra xem trong những tình huống cần đến nghĩa tốc độ biến thiêntức thời hoặc xấp xỉ hàm số thì công cụ đạo hàm có xuất hiện hay không? Kết quả chỉra rằng với yêu cầu “so sánh thời điểm dân số tăng nhanh hơn”, đa số HS đều biết phảitính tốc độ tăng dân số trung bình để làm cơ sở cho việc so sánh, thậm chí một số emcònnhậnxétrằngtốcđộtăngtrungbìnhkhôngđảmbảochoviệcsosánhsựtăngnhanhhơn ở mỗi thời điểm Điều này cho thấy cách hiểu về tốc độ biến thiên trung bình vẫnhiện diện trong quan niệm của nhiều HS.

Tuy nhiên ở tình huống cần đến tốc độ biếnthiêntứcthờithìchiếnlượcsửdụngđạohàmđãkhôngxuấthiện.Kếtquảnóitrênchứngtỏrằngquann iệmvềđạohàmnhưlàthướcđocho“tốcđộbiếnthiêntứcthời”củamộtđại lượng chưa tồn tại trong hiểu biết của những HS tham gia TN Sự thiếu hụt này cònxảyravớiđặctrưngxấpxỉaffinkhiHSkhôngsửdụngđượcnóđểgiảithíchmộtxấp xỉhàmquen thuộcdùng trongVậtlí (sinxx vớixrấtnhỏ).

Cũng trong luận văn này, chúng tôi xây dựng một đồ án DH dành cho đối tượngHS đã học qua khái niệm đạo hàm mà mục đích là bổ sung hai nghĩa còn thiếu nói trên(tốcđộbiếnthiênvàxấpxỉ)trongcáchhiểucủangườihọc.Đồánnàysauđóđượctiếnhành TN và thu được các kết quả phù hợp với mục đích (Ngô Minh Đức, 2013, tr 69-98) Cụ thể thì sau TN, HS nhận ra rằng khái niệm đạo hàm mà các em học trước đâycóthểgiúptínhtoánđượctốcđộbiếnthiêntứcthờicủamộtđạilượngbấtkìvượtra khỏi ngữ cảnh động học (Đạo hàm không chỉ giúp tính toán vận tốc và gia tốc). Bêncạnhđó,HSthamgiaTNcònhiểuđượcýtưởngxấpxỉmộtđườngcongbằngtiếptuyếncủanóquan hlâncậntiếpđiểmvàtừđógiảithíchđượcnhiềuxấpxỉhàmxuấthiệntrongVậtlí.

Kế thừa kết quả đạt được nói trên, trong luận án này chúng tôi phát triển thêm mộtđồánDHđạohàmchođốitượngHSlầnđầuhọcvềkháiniệm.Mụctiêucủađồánnàylàmanglại choHSmộtcáchhiểuđầyđủhơnvềkháiniệmđạohàmđồngthờigiúpcácem nhận ra được những ứng dụng quan trọng của đạo hàm trong nhiều vấn đề của

Vậtlí.Mặtkhác,nhưcácphântíchtrướcđóchúngtôiđãchỉra,cáchhiểuđạohàmtheotốcđộ biến thiên là quan trọng nhất về cả hai mặt hiểu và ứng dụng khái niệm Vì lẽ đó, đồán DH chúng tôi xây dựng lần này sẽ tập trung vào mục tiêu đem lại cách hiểu tốc độbiếnthiênchoHSvàothờiđiểmgiớithiệukháiniệmđạohàmchocácem.Đốivớiviệcbổsungngh ĩaxấpxỉ,chúngtahoàntoàncóthểtiếnhànhsaukhiHSđãhọcvềýnghĩahìnhhọccủađạohàmnhưlà hệsốgóctiếptuyếncủađườngcong.Từđiểmnày,chúngtôi cho rằng đồ án bổ sung nghĩa xấp xỉ thực hiện trong luận văn thạc sĩ trước đây vẫncònnguyêngiátrịvàkhôngcầnthiếtphải xâydựnglạitrong luậnán.

Tóm lại, mục tiêu của đồ án này là mang lại cho khái niệm đạo hàm cách hiểu tốcđộ biến thiên tức thời và gắn kết nó với định nghĩa đạo hàm theo giới hạn tỉ sai phân.Thôngquađồán,chúngtôimongmuốnHSthấyđượcvaitròcủacôngcụđạohàmtrongviệcgiảiqu yếtnhiềuvấnđềcủaVậtlívàxahơnnữalàhiểuđượcýnghĩatổngquátcủakháiniệmẩnđằngsaucácứ ngdụngvàcôngthứctínhtoánnó.

5.1.2 Cácgiảiphápđượcvậndụng Đểđạtđượccácmụcđíchnóitrên,trongđồánnàychúngtôivậndụngmộtsốgiảiphápđãđềxuấ t ởmục 4.2vàdiễnđạtlạimộtcáchcụthểnhư sau:

Vậndụnggiảipháp1:Xây dựngcáctìnhhuốngcóthểliênkếtcáchhiểuđạohàmtheogiới hạn tỉ sai phân với cách hiểu tốc độ biến thiên tức thời, cũng như kết nối giữa biểudiễnđạisốvớibiểudiễnbằnglờicủanó(chiếutheokhunglýthuyếtcủaZadiehvềkháiniệm đạo hàm). Giải pháp này giúp mang lại một kiến thức khái niệm đầy đủ và vữngchắchơnchongườihọcvềtrithứcđangnóiđến.

Vận dụng giải pháp 2: Phân tích khoa học luận lịch sử đã chỉ ra rằng, ở giai đoạn đạohàmđượcnảysinh vàứngdụnghiệuquảtrongVậtlí,nóđượchiểumộtcáchđộnghọcnhưlàthướcđotốcđộbiếnthiêntức thờicủamộtđạilượng.Ápdụnggiảipháp2,chúngtôikhaithácmốiquanhệLMnàybằngcáchthiếtlậpt rướctiêncáchhiểuđạohàmtheo tốc độ biến thiên Cách hiểu này sau đó sẽ quay trở lại soi sáng cho các ứng dụng đãxuất hiện trong thể chế DH Vật lí trước đó Hoạt động này vừa để hỗ trợ cho việc họctậpVật lí vừagiúp củng cốkiếnthứcvềkháiniệmđạohàm vừahọc.

Vậndụnggiảipháp4:Chúng tôivậndụnggiảiphápnàybằngcáchđưavàođồánmộtsốkiểunhiệm vụLMmàviệcgiảiquyếtcầnđếncáchhiểutốcđộbiếnthiênvàkhảnăngkết nối cách hiểu này với các đặc trưng vật lí tương ứng Điều này không những giúpHS hình thành nghĩa vật lí cho khái niệm đạo hàm, hơn nữa còn tạo cơ hội cho các emlàmquenvớiviệcvậndụng đạohàmvàonhiềungữcảnhkhácnhautrongthựctiễn.

Bêncạnhđóchúngtôicònápdụng giảipháp5(thiết lậpcáchhiểuvềđạohàmmộtcách tường minh theo tốc độ biến thiên tức thời) và giải pháp 7 (soi sáng lại các ứngdụngcủa đạohàmtrongnhiềuvấnđềvậtlítrướcđó)đểtăngcườngvaitròcôngcụcủađạohàmtrongVậtlí.Liê nquanđếnnhữngviệclàmnày,chúngtôicũngđangvậndụng giải pháp 9 nhằm trang bị cho HS kiến thức đạo hàm đặt trong ngữ cảnh để hỗ trợ tốthơnchoviệchiểuvàứngdụng trithứcđangđềcập.

Nhìn từ lịch sử, một trong những bài toán làm nảy sinh khái niệm đạo hàm là xácđịnh tiếp tuyến của một đường cong Ở bài toán này, đạo hàm cho phép xác định hệ sốgóc của tiếp tuyến và mang lại ý nghĩa hình học cho tri thức đang nói tới Tuy nhiêntheo định hướng LM thì có hai vấn đề sau đây cần phải xem xét nếu ta chọn ngữ cảnhhìnhhọcđểgiớithiệukháiniệmđạohàm.

Vấnđềđầutiênnằmởchỗ,mặcdùcáchtiếpcậnhìnhhọcnhấnmạnhđượcýnghĩacủađạohàmnh ưlàhệsốgóctiếptuyến,nhưngcáchhiểuthườngđượcsửdụngchocácứng dụng trong thực tiễn và Vật lí lại là tốc độ biến thiên Vấn đề thứ hai là rất khó đểliên kết hai cách hiểu này với nhau Làm thế nào để HS có thể liên hệ được việc tínhtoán hệ số góc của tiếp tuyến với việc xác định tốc độ biến thiên tức thời của một đạilượngbấtkìtrongthựctiễnhoặcVậtlí?

Như vậy, nếu nhìn từ lợi ích LM thì cách hiểu tốc độ biến thiên sẽ thuận lợi hơntrong việc kết nối khái niệm đạo hàm với những ứng dụng đa dạng của nó trong thựctiễnvàkhoahọc.Vìlẽđóchúngtôichorằngngữcảnhđểgiớithiệukháiniệmđạohàmnêntừ thựctiễnhoặc Vật lí thayvìHìnhhọc. Đề nghị này của chúng tôi không phủ nhận tầm quan trọng của cách hiểu đạo hàmnhư làhệsốgóccủatiếptuyến,vìcáchhiểu nàychẳngnhữngcầnchotoán họcmàđôi lúc cũng được sử dụng trong các bài toán vật lí Vì vậy, nếu có tiếp cận đạo hàm trongngữ cảnh vật lý để làm nổi bật nghĩa tốc độ biến thiên thì sau đó vẫn phải nghiên cứukháiniệmnàytrongngữ cảnh“tìmtiếptuyến”.

Theo truyền thống, các SGK và thậm chí nhiều giáo trình đại học vẫn hay sử dụngngữ cảnh động học để tiếp cận khái niệm đạo hàm Thường thấy nhất là giới thiệu bàitoán tìm vận tốc tức thời để đưa đến định nghĩa đạo hàm như giới hạn của một tỉ số saiphân Lí do mà các SGK toán ưa thích lựa chọn ngữ cảnh này có lẽ là vì bài toán vậntốc vốn rất quen thuộc với HS và hơn nữa nó đưa đến động cơ làm nảy sinh khái niệmđangđềcập.Tuynhiêntheochúngtôithìchínhsựquenthuộcvớiđạilượngvậntốclạitrởthàn hràocảnngănHSthấuhiểuýnghĩavềđạohàmnhưlàtốcđộbiếnthiên.Cụthểthì HS đã biết rõ về vận tốc ở Vật lí nhưng đại lượng này trước đây lại không gắn vớimộttốcđộbiếnthiênnàocả.Vìthế,HScóthểápdụng đạohàmđểtínhvậntốchaygiatốcnhưngcólẽkhómàtổngquátnólênthành ýtưởngvềtốcđộbiếnthiêncủamộtđạilượngbấtkìđược.

Một số đại lượng vật lí khác có sử dụng công cụ đạo hàm như suất điện động (liênquan đến tốc độ biến thiên của từ thông) cũng không thích hợp vì nó yêu cầu HS phảichuẩn bị trước những kiến thức vật lí đặc thù Điều này có thể đưa đến các khó khănkhông cần thiết khi người học phải hiểu bản chất vật lí của hiện tượng trước khi thấuhiểutư tưởngtoánhọcgắnkèmvớinó.

Đồándạyhọckháiniệmtíchphân

5.2.1 Mục tiêuxây dựngđồán Đồ án DH này nhắm đến hai mục tiêu chính sau: nhằm mang lại cách hiểu đầy đủhơnchoHSvềkháiniệmtíchphân;vàgiớithiệuchongườihọccácphươngphápvàkĩ thuật của GT được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề của Vật lí Như các phân tíchtrướcđóđãchỉra,haimụctiêunàycómộtnhântốchungđólàcáchhiểutíchphântheogiới hạn tổng Riemann Quan niệm này là cơ sở để hiểu được bản chất của khái niệmđồng thời giúp HS làm quen với một kĩ thuật tính toán đặc trưng của GT Hơn nữa, sựcần thiết của kĩ thuật tính toán này còn vượt ra khỏi phạm vi toán học bởi những ứngdụnghiệuquảcủanótrongnhiềuvấnđềvậtlí.

5.2.2 Cácgiảiphápđượcvậndụng Để đạt được mục đích nói trên, chúng tôi sẽ diễn đạt cụ thể hơn việc vận dụng cácgiải pháp sư phạm đã đề xuất trong quá trình xây dựng đồ án Cần nói rõ, chúng tôikhôngtrìnhbàycácgiảipháptheothứtựsốđếmmàtheologiccủaviệcápdụngchúngtrongđồán.

Vận dụng giải pháp 3: Chúng tôi tận dụng những hỗ trợ mà thể chế DH Vật lí đã cungcấp Cụ thể, kết quả phân tích ở chương 3 cho thấy𝐼 𝑉𝐿 ã đầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được ưa vào nhiều vấn đầy đủ của Beeckman được ề màphươngphápgiảiquyếtcóápdụngkĩthuậttínhtoántheotổngRiemann.Cáctìnhhuốngnày sẽ được chúng tôi khai thác để xây dựng chuỗi tình huống DH nhằm mang lại cáchhiểutíchphân theogiớihạntổngRiemann.

Vận dụng giải pháp 1: Để giúp người học có được hiểu biết đầy đủ hơn về tích phân,giải pháp 1 gợi ý rằng cần phải liên kết được các cách hiểu và biểu diễn khác nhau vàocùng một khái niệm – tích phân Để thực hiện nhiệm vụ này, chúng tôi sẽ thiết kế mộtchuỗi tình huống học tập giúp người học thấy được sự tương đương của ba cách tínhtoán (tương ứng với ba cách hiểu về tích phân): theo giới hạn tổng Riemann, theo nguyênhàm,vàcuốicùnglàtheodiệntích.

Vậndụnggiảipháp2:Như đãnói,việctiếpcậntíchphântheotổngRiemannhoàntoàncó thể thực hiện bằng cách tận dụng những ngữ cảnh và vấn đề mà Vật lí hỗ trợ. Tuynhiên,khókhănlớnnhấtnhưchúngtôiđãphântíchởcácphầntrướcchínhlà:nếutiếpcận tích phân từ kĩ thuật tính toán theo tổng Riemann thì làm thế nào gắn kết nó vớiphép toán ngược – phép toán đạo hàm? Vận dụng giải pháp 2 trong hoàn cảnh này,chúng tôi nhìn lại kết quả nghiên cứu về mối quan hệ gắn kết GT – Vật lí trong lịch sửvà tìm hiểu xem các nhà khoa học vượt qua khó khăn kể trên như thế nào? Theo đó,những kết luận rút ra ở chương 3 đưa đến gợi ý quan trọng sau đây và là cơ sở quantrọngđểchúngtôithiếtkếcáctìnhhuốngDHtrongđồán:mốiquanhệđảongượcgiữacácđạilư ợngvậtlí(quãngđườngvàvậntốc)đemđếncáinhìnđộnghọcgópphầngiúpcácnhàtoánhọcphát hiệnramốiliên hệgiữađạohàmvàtíchphân.

Vận dụng các giải pháp khác: Bên cạnh việc vận dụng các giải pháp thuộc nhóm 1 đãđề cập ở trên, một số khía cạnh liên quan đến các giải pháp ở nhóm 2 cũng được xemxétđểtăngcườngvaitròcôngcụcủatíchphântrongVậtlí.Cụthể,vậndụng giảipháp6 , chúng tôi giới thiệu cho HS kĩ thuật lập tổng Riemann có nhiều ứng dụng trong Vậtlí Bên cạnh đó, chúng tôi cũng vận dụng giải pháp 8 khi đưa vào đồ án một số kiểunhiệm vụ

LM mà việc giải quyết cần đến cả kiến thức toán và vật lí (ví dụ 8.4 và 8.5).TrảinghiệmvớicáctìnhhuốngvậtlítrongđồánvàcáckiểunhiệmvụLMvừanóiđếncòn là cơ hội để soi sáng lại cơ sở toán học cho phương pháp toán học mà𝐼 𝑉𝐿 ã đầy đủ của Beeckman được dùngđểgiảiquyếtnhiềuvấnđềcủamình: giảipháp7 Cuốicùng,việcDHkháiniệmtích phân theo cách tiếp cận LM Toán – Vật lí như trên đem đến “kiến thức ngữ cảnh” cóthể giúp người học hiểu và ứng dụng tri thức một cách hiệu quả và linh hoạt hơn: giảipháp9

Tánthànhlựachọnđưavàokháiniệmtíchphânthôngquacáchhiểutheogiớihạntổng Riemann, chúng tôi sử dụng khung lý thuyết tham chiếu của Habineza 19 Theokhungnày,ngườitasửdụngngữcảnhhìnhhọcđểgiớithiệukháiniệmtíchphântừbàitoánxác địnhdiệntíchhìnhphẳngdướiđồthịhàmsố.Đâycũnglàcáchtiếpcậntruyềnthống mà các giáo trình đại học, thậm chí nhiều SGK THPT nước ngoài lựa chọn Ngữcảnh nói trên mang lại cho tích phân ý nghĩa hình học là “diện tích dưới đường cong”và làm xuất hiện đầy đủ bốn lớpquá trình – đối tượng: phân hoạch, lập tích, lập tổng,giớihạn.Tuynhiênnókhônggiúpgiảiquyếtđượchaikhókhănmàchúngtôiđãđềcậptrướcđó:

- Người học khó mà hiểu được mối liên hệ giữa tích phân với đạo hàm nếu như cácem tiếp cận tích phân theo giới hạn tổng Riemann nhưng lại tính toán nó theo nguyênhàm.Hơnnữa,mặcdùcáchtiếpcậnhìnhhọcnóitrênmangđếnchotíchphânnghĩadiện tích nhưng nếu muốn liên kết nghĩa này với phép lấy nguyên hàm thì vẫn phảiđưa vào định lí cơ bản về mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân Ấy vậy mà việcchứngminhchặtchẽđịnhlínàythìkhóvàcầnnhiềunỗlựcvốnkhôngphùhợpvớiDHởcấpđ ộTHPT.

- Người học gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp lập tổng Riemann trong nhữngngữ cảnh ứng dụng khác ngoài Hình học Nghiên cứu của một số tác giả đã chỉ ra,ngaycảkhiđượctiếpcậntíchphântheotổngRiemanntừngữcảnhhìnhhọc,ngườihọcchỉxe mnónhưmộtquytrìnhtínhtoándiệntíchphứctạpvàthườngkhôngvậndụngđượcvàocácngữc ảnhứngdụngkhác.

5.2.3.2 Tiếpcậnkháiniệmtíchphântheongữcảnhvậtlí Để tận dụng sự hỗ trợ LM giữa Toán và Vật lí, chúng tôi lựa chọn ngữ cảnh vật líđể xây dựng tình huống làm xuất hiện khái niệm tích phân và phân tích chúng dựa trênkhung lý thuyết của Habineza Kết quả phân tích thể chế𝐼𝑉𝐿chỉ ra khá nhiều ứng viêncóthểchọnđểvậndụngkhunglýthuyếtnày.Chẳnghạnnhư:bàitoántìmquãngđường,công của lực đàn hồi, công của khí lí tưởng, công của lực hấp dẫn và lực điện Để giảiquyết các bài toán ấy, SGK Vật lí sử dụng phương pháp tính toán trải qua những bướcsauđây:1/chianhỏ,lậptíchđểtínhgầnđúngđạilượngtrênmỗikhoảngnhỏ;2/ lậptổngcáctíchnóitrên;3/ngầmẩndùngkháiniệmgiớihạnđểsuyrarằngđạilượngvậtlícầntính bằng diện tích của hình phẳng dưới đồ thị Cách giải quyết này thuận lợi cho việchình thành các lớpquá trình – đối tượngtrong khung của Habineza về tích phân, ngoàiracònmangđếncơhộitậndụngđặctrưngvật lícủađạilượngcầntínhđểđemlạicáchhiểusâusắchơnchokháiniệm đangnóitới.

Trong những ứng viên nói trên, chúng tôi lựa chọn ngữ cảnh của bài toán

“tínhquãng đường khi biết hàm số vận tốc” để đưa vào khái niệm tích phân Nói thêm là chỉxét trường hợp chuyển động thẳng và hàm số vận tốc là không âm để không đặt ngườihọcvàotìnhhuốngbị nhầmlẫngiữahaiđạilượngvậtlí:“quãngđường”và“độdời”.

Nhưđãbiết,khunglýthuyếtcủaHabinezachỉmớixemxéttíchphânđặttrongngữcảnh hình học (bài toán tính diện tích) Để có một khung lí thuyết giúp phân tích cáchhiểuvềtíchphântrongngữcảnhvậtlí,chúngtôitiếnhànhxâydựngmộtkhungvềtíchphân đặt trong bài toán tính quãng đường và lấy nó làm cơ sở cho việc thiết kế đồ ánDH.

Vậtlí Đồthị Kí hiệu Tínhtoánsố

Chia thành cáckhoảngthờigi an nhỏ

Quãng đường xấp xỉtrong từng khoảngthờigian nhỏ

Diện tích hìnhchữ nhật với haicạnhlà𝑣(𝑡)và

Tổngdiện tích các hình chữnhậtnhỏ

Diện tích hìnhdướiđồthịh àm sốvậntốc

Tổng gầnđúngvớisa i sốchophép Cóbalýdokhiếnchúngtôi muốn tậndụngbàitoánnóitrên.

Thứ nhất, tính quãng đường khi vật chuyển động thẳng với vận tốc không đổi làmộtkiểunhiệmvụquenthuộcvớiHSngaytừtiểuhọc.Ởtrườnghợpnày,nếuđặttronghệtrụctoạđộ( vậntốc–thờigian)thìđồthịhàmvậntốclàđườngthẳngsongsongvớitrục hoành Hơn nữa, theo công thức tính quãng đường đã biết (𝑆 =𝑣 𝑡)ta có thể choHS liên hệ ngay đại lượng này với diện tích hình chữ nhật (đây cũng là điều mà SGKVật lí đã làm) Cách nhìn này sau đó được vận dụng để nghiên cứu trường hợp vận tốcbiến đổi theo một hàm số𝑣(𝑡), tất nhiên là với phương pháp mới, phương pháp xấp xỉ.Cụthể,đểtínhgầnđúngquãngđường,ngườitachiathờigianchuyểnđộngthànhnhữngkhoảng nhỏ∆𝑡mà ở đó có thể xem vận tốc là không đổi để áp dụng công thức𝑆 𝑣 𝑡,trướckhilấytổngtấtcảnhữngquãngđườngnhỏnàyvớinhau.Mộtgiátrịtốtnhấtbiểudiễn chính xác quãng đường chuyển động có thể đạt được từ quá trình lấy giới hạn cáctổng vừa lập khi khoảng thời gian∆𝑡ngày càng nhỏ (tiến về không) Như vậy ở đây đãxuất hiện đầy đủ bốn lớpquá trình – đối tượng(chia nhỏ, lập tích, lập tổng, giới hạn)mà cuối cùng kết tinh lại trong cái gọi là tích phân.

Ngữ cảnh vật lí này đem lại một lídochosựxuấthiệnquanniệmgiớihạntổngRiemannkhinóđóngvaitròlàcôngcụ giảiquyết vấnđềvàsẽđượckếtthúc bởiviệcđưavàokháiniệmtích phânsauđó.

Thứ hai, như khung của chúng tôi đã chỉ ra, quá trình giải bài toán “tính quãngđường” cho phép thiết lập một sự chuyển đổi giữa nhiều biểu diễn khác nhau của kháiniệm tích phân Cụ thể, ứng với biểu diễn hình học trên đồ thị thì việc nhân vận tốc vớikhoảng thời gian∆𝑡trong lớp tích chính là diện tích hình chữ nhật có kích thước là haiđạilượngnày.Sựchuyểnđổitừbiểudiễnvật lísangbiểudiễnhìnhhọcsẽgiúpnốikếtquãngđườngvớidiệntíchdướiđườngconghàmsốvậntốcv àmanglạinghĩahìnhhọcchokháiniệmtíchphânmàGVsẽchếhoásauđó.