Nghiên cứu về phép biến đői tích phân kieu tích ch¾p suy r®ng hartley

1 MĐ A U Tongquanvehưngnghiêncfíuvàlídochonđetài Phépb i e n đ o i tí c h p h â n Phép bien đői tích phân đời rat sớm có vai trị quan trong lýthuyet dụng đoi với nhieu ngành khoa hoc, đ c bi t cácngành Vtlý như: quang hoc, n, hoc lượng tả, xả lý âm thanh, xả lýảnh, Phépbienđőitíchphânđautiênđượcnghiêncáuxuatpháttàbàitốnthực te, FourierJ.nghiên cáu ve q trình truyen nhi t, phép bien đői nàycódạng ∞ ∫ e−ix f(y)dy,y∈R, f∈ L1(R) (1) (Ff)(x)= √ 2π −∞ y Năm1942,phépbienđőitíchphânHartleyđãđượcđexuatnhưm®tthaythe cho phép bienđőiFourierbởitácgiảHartleyR.V.L.,nhamgiảiquyetcácbài toán thực te với nhǎng ưu điem m®t so lĩnh vực như: xả lý tín hi u,xả lý ảnh, xả lý âm thanh, Phép bien đői Hartley hàmfL1(R) đượcchobởicáccôngthácsau ∈ ∫∞ √ f(x)cas(xy)dx, (2) (H1f)(y)= 2π −∞ (H2f)(y)= ∫∞ √ f(x)cas(−xy)dx, 2π (3) −∞ trongđ ó c a s u=cosu+sinul n h â n c ủ a p h é p b i e n đ ő i tí c h p h â n H a r t l e y Trongthờigianganđây,đãcónhieunghiêncáumớivephépbienđőitíchphânHartle yvàángdụng.Năm2014tácgiảBouzeffourF.nghiêncáuvephépbienđ ő i H a r t l e y s u y r ® n g t r ê n L 1(R)v c c n g d ụ nα g l i ê n q u a n C ũ n g t r o n g năm 2014,nhà toán hoc Yakubovich S.B nghiên cáu ve phép bien đői tích phânHartleyvàbienđőingượccủanótrênnảatrụctrongkhơnggianL 2(R+) Đenghiêncáukhơnggiantuyentính,ngườita thườngđưavàophépnhâ nch p hay cịn goi tích ch p, co định m®t hàm ta có m®t lớp bien đői tíchphângoilàphépb i e n đ ő i tí c h p h â n k i e u tí c h c h ắ p Vicnghiờncỏuphộpbienitớchphõnkieutớchchắpsuyrđng,cúthegiiquyet nhng bitoỏnỏngdngthctecúnhieuýnghakhoahochn,chnghnoivinhngbitoỏncúnguonthụngtindliua dạnghơn(vìtrongđȁng thác nhân tả hóa tích ch p suy r®ng ket hợp nhieu phépbien đői tích phân hơn) Tuy v y, cho đen van chưa có nhieu nghiên cáuve phép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ng, có the ke tên nhǎng cơngtrìnhnghiêncáuganđây,chȁnghạn • Đoi với phép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ngkhơng có hàmtrong:Năm 2000, phép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ngFourier cosine, Fourier sine không gian hàmLp(R+), (10, (4) trongđóg,k 1,k 2lànhǎnghàmđãbiet,vàflàȁnhàm Gan đây, sả dụng cơng cụ tích ch p, m®t so lớp phương trình tích phânToeplitz-Hankel (4) trường hợp đ c bi t có the giải cho nghi mdưới dạng đóng Cho đen nay, ngoại trà m®t so trường hợp đ c bi t, tốntìmnghimđóngchophươngtrình(4)trongtrườnghợptőngqtvanđanglàbài tốnmở.Dođó,cácángdụngtheohướngnàycũnglàm®tvanđecanđượctiep tục quan tâm nghiên cáu m®t mục tiêu đ t nghiêncáucácángdụngcủa Lunán Vìcáclídotrênvàđetiepnoi,pháttrienhướngnghiêncáunày,chúngtơiđãđịnhhư ớngvanđe,mụctiêu cannghiêncáuvàlựachonđetàichoLun án với tên goi "Phép bien đői tớch phõn kieu tớch chắp suy rđng Hartley v ỳngdng" Mncớch,oitngvphmvinghiờncfớu ã Mcớch: - Xõy dng mđt so tớch ch p suy r®ng Hartley Nghiên cáu tính chatcủa tích ch p suy r®ng dụng giải phương trình tíchphânnhânToeplitz-Hankel - Nghiên cáu m®t so bat đȁng thác đoi với tích ch p suy r®ng Hartley,chȁng hạn bat thác kieu Hausdorff-Young, kieu Young, kieu Saitohvàcácángdụngliênquan - Xây dựng m®t so phép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ngHartley,nghiêncáucáctínhchattốntảcủacácphépbienđőitíchphânnày trongcáckhơnggianhàmL2(R), Lp(R),với 1≤p≤2 v mđt so ỏngdng ã oitng:Xõydngcỏctớchchp suyrđngHartley-Fouriercosine,HartleyFouriersine.Nghiờncỏucỏcvaneliờnquanenphộpbienitớchphõnkieutớch chp suy rđng, bat đȁng tháckieu tích chp suy r®ng m®tsốngdụng • Phạm vinghiên cáu: Làcác phépbien đőitích phân, tích ch p vàcáctíchchpsuyr®ngliênquanđencácphépbienđőitíchphânHartley,Fourier cosine, Fourier sine, bat đȁng thác tích ch p tích ch p suyr®ng,phépbienđőitíchphân kieutíchch p,kieutíchch psuyr®ng Phươngphápnghiêncfíu TrongLunánnày,đãsảdụngcácphươngphápliênquanđenlýthuyetgiảitíchhàm,phươ ngpháptíchchpvàtíchchpsuyr®ngđexâydựng,nghiêncáucáctíchchpsuyr®ngmới,chángminh ton tích ch p suy r®ngnàycũngnhưtínhbịchncủachúng.Ngồira,cịnsảdụngphươngphápbienđői tích phânđeđánhgiávàđưaracáctínhchattốntảcủanhǎngketquảnghiên cáu mới, nham mục đích giải m®t so phương trình tích phân với nhânToeplitz-Hankel, phương trình hphương trình tích phân, phương trình vàhphương trình vi-tích phân Sả dụng phương pháp đánh giá bat đȁng tháctíchphântrongkhơnggianđechángminhcácbatđȁngtháctíchphânđoivớitíchch psuyr®ngvàxâydựngcácđánhgiánghi m CautrúcvàcácketquảcủaLunán Lu n án trình bày 125 trang Ngồi phan mở đau tài li uthamkhảo,lu ngombonchương: Chương1:Nhaclạinhǎngkienthácl iênquan đenhướngnghiêncáu Chương2 :X â y d ự n g c c tí c h c h ps u y r ® n g H a r t l e y m i l tí c h c h ps u y r®ng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, HartleyH1vàH 2.C h n g m i n h c c đ ȁ n g t h c n h â n t ả h ó a , đ ȁ n g t h c P a r s e v al,địnhlý kieu Titchmarch Áp dụng giải m®t lớp phương trình hphương trình tíchphân,phươngtrìnhvàhphươngtrìnhtíchphânvớinhânToeplitz-Hankel Chương3:Nghiêncáum®tsobatđȁngtháctíchchpsuyr®ngHartleynhưbatđȁ ngtháckieuHausdorff-Young,kieu Young,kieuSaitohvàkieuSaitoh ngược.Ápdụngnhǎngketquảđạtđượcđánhgiánghimcủaphươngtrìnhtíchphânki euToeplitz-Hankel,phươngtrìnhviphânvàm®tsobàitốnTốnLý.Chương4:Xâydựngcácphépbienđőitíchphânkieutíchch p suy r®ngHartley.ChángminhđịnhlýkieuWatson,thietlpđieuki ncanvàđủchotínhunitacủacácphépbienđőitíchphânmớixâydựngtrongkhơng gianL 2(R).NhnđượcđịnhlýPlancherel,địnhlývetínhbịchncủatốntảvitíchphân,chominhhoạvesựtontạicủacácphépbienđőitíchphântrênbangm®tso vídụcụthe.Vndụngketquảmớinhnđượcchovictìm nghimđóngcủalớpphư ơngtrìnhvàhp h n g trìnhvi-tíchphân,phươngtrìnhparabolicm®t chieu Ýnghĩacácketquảđạtđưc trongLunán Các ket nghiên cáu nh n mới, có ý nghĩa khoa hoc lĩnhvực phép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ng, góp phan làm phong phúthêmlýthuyettíchchpsuyr®ngđoivớicácphépbienđőitíchphân,batđȁngthác tích ch p suyr®ngđoivớicácphépbienđőitíchphânHartley,Fouriercosine, Fourier sine Các ket cho dụng vi c tìm nghi m đóngcủam®tlớpcácphươngtrìnhvàhphương trình tích phân Toeplitz-Hankel,phươngtrìnhvàhp h n g trìnhvitíchphân,nhnđượccácbieudienvàđánhgiánghimtrongm®tsobàitốnTốn-Lý.Cácketquảvàýtưởng lunáncó the sả dụng nghiên cáu tích ch p suy r®ng đoi với phép bienđőitích phânkhác,vànghiêncáubàitốnquangphő,xảlýảnh N®id u n g c h í n h c ủ a L u nánd ự a t r ê n b o n c ô n g t r ì n h n g h i ê n c u đ ợ c l i t kê "Danh mực cơng trình cơng bo Lu¾n án" Trong có 03 cơngtrìnht r o n g d a n h m ụ c c c t p c h í q u o c t e u y tí n I S I , c ô n g t r ì n h t r o n g k yeu H®i nghị Tốn hoc Quoc te Các ket báo cáo tồn b® haytàngphan t ại cá c H ® i ngh ị k ho ah oc c c S em in ar sau : ã Cỏchđinghkhoahoc: - HđinghQuocteGiitớchphỏchuhnvvụhnchieuvỏngdng(ICFIDCAA),t hỏng7nm2012tiHNđi - HđinghtoỏnhocVitPhỏplanthỏ8,thỏng8nm2012tiHue - ihđiToỏnhocTonquoclanthỏ8,thỏng8nm2013tiNhatrang - HđinghToỏnhocQuoctelanthỏ III,thỏng12nm2013tiThnh phoHoChớMinh ã Cỏcseminar: - SeminarG i ả i tí c h v Đ i s o , T r n g Đ i h o c K h o a h o c T ự n h i ê n Đ i hocQuocgiaHàN®i - SeminarGiảitích, trườngĐạihocBáchkhoaHàN®i CHương1 KIENTHỨCCHUANB± Trong chương này, nhac lại nhǎng kien thác biet sả dụng cho nghiêncáucủa lu nán : • Trình bày khái ni m tính chat ve tích ch p tích ch p suyr®ngliênquanđencácphépbienđőitíchphân,cũngnhưqtrìnhpháttriencủa hngnghiờncỏu ã Nhac li mđt so nh lý liờn quan en cỏc ket qu nghiờn cỏu lu nỏn,chnghnlnhlýWiener-Lộvy,nhlýnđisuyRiesz ã Nhac lại m®t so bat đȁng thác tích phân biet, định lý ve bat đȁngthácđoivớitíchch pliên quanđenhướngnghiêncáucủalunán Các bat đȁng thác quan sả dụng cháng minh mđt soketqunghiờncỏuvỏngdngcalunỏnlbatngthỏcHăoldervbatngth ỏcHăolderngcs a u õy nhl ý ( B a t đ a n g t h fí c H o l d e r ) Giảs ủ p , q> 1s a o c h o p 1.K h i đ ó v i m o i f ∈ Lp(X),g∈Lq(X),t a c ó q= ∫ |f(x)g(x)|dµ≤ ! p1 ∫ p |f|dµ X ! 1q ∫ · q |g|dµ (1.1) X X Haytacó:ǁf gǁL1 (X)≤ǁfǁLp (X)·ǁgǁLq(X) Địnhlý1.0.2(Batđangthfíc Holderngưc ) C h o i h àm d n g fvàgthóamãn 01saochongthỳc + =1.Khiú,tacúbat p q saulỳngneuvephihđit: ! p1∫ ! q1 ∫ ≤Ap,q m ∫ pg1 qdµ, fdµ gdµ f (1.3) X X M X trongđó, Ap,q(t)=p −p1 −q q t−pq(11 − t) 1−t 1p1−t 1q p q • Nhaclạicáchàmđ cbitđượcsảdụngtrongnghiêncáu + CHương2 TÍCHCHPSUYRNGHARTLEY Mụcđíchcủachươngnàylàxâydựngvànghiêncáucáctíchchpsuyr®ngHartleymới như:Hartley-Fouriersine,Hartley-Fouriercosine.Nghiêncáucáctính chat tương nó,chȁnghạnnhưcácđȁngthácnhântảhóa,đȁngthác Parseval, định lý Titchmarch, Trong phan dụng sě xây dựng giảim®tsophươngtrìnhvàhphươngtrìnhtíchphânnhânToeplitz-Hankel N®i dung chương ket báo [1, 2] trong"Danhmực cơng trình cơng bo Lu¾n án", hai ket cơng botrongc ác tạp chí qu oc te u y tí n I S I 2.1 2.1.1 TớchchpsuyrngHartley-Fouriersine nhnghavcỏc tớnhchat nhn gha2.1.1.T c h chắpsuyrđngcahaihmfv gđ o i vớiphépbienđ őitíchphânHartley,Fouriersinekýhiulà(f∗ )đượcđ nhnghĩabớicơng 1g thúc ∫ (f∗ )(x):= ∞ 1g √ f(u)[g(x−u)−g(x+u)]du, x∈R (2.1) 2π Địnhlý2.1.1.Giả sủfL1(R+∈)và gL1(R) Khi đó, tích ch¾p suy r®ngHartley– Fourier sine(2.1)thu®c khơng gian L1(R)C∩0(R)và có đȁng thúcnhântủhóasaulnđúng H1 (f∗ g )(y)=(Fs f)(y)·(H2 g)(y),∀y∈R; H2 (f∗ g )(y)=−(Fs f)(y)·(H1 g)(y),∀y∈R, (2.2) ớđ â y ( Fsf)(−y)=−(Fsf)(y),v i y < 0.H n t h e , t a n h ¾ n đ ợ c b a t đ ȁ n g t h ú c ǁ(f∗ )ǁL1 (R)≤ǁfǁL1 (R+ )·ǁgǁL1 (R) 1g (2.3) Đ¾cb i t,n e u g ∈L1(R)∩L2(R),t h ì t a c ó c c đ ȁ n g t h ú c P a r s e v a l s a u ∫ (Fsf)(y)·(H2g)(y)cas(xy)dy, ∞ (f∗ )(x)=√ 1g 2π −∞ ∫ ∞ (Fsf)(y)·(H1g)(y)cas(−xy)dy, (f∗ )(x)=−√ 1g 2π −∞ (2.4) (2.5) tíchphântrongcácđȁngthúcParsevaltrênđượchieulàgiátrch í nh Cauchy Địnhlj2.1.2.G i ả s ủ f l h m t h u ® c k h n g g i a n L p(R+),g l h m t h u ® c khơngg ia n L q(R),v + =1 ,p , q> K h i đ ó tí c h c h ắ p s u y r đ n g (2.1.1) p q tontạivớimoix ∈Rtrong k h ô n g g i a n L α,β,γr (R),α>−1,β> 0,γ> 0,r≥ thóam ã n b a t đ ȁ n g t h ú c s a u ǁ(f∗ )(x)ǁLα,β,γ(R)≤CǁfǁLp (R+ )·ǁgǁLq(R) , (2.6) r 1g 1 − α+1 q r α+1 − ớđây,C= √2 β γ Γ γ γ 2π Bođ e Neuf (x)L 1∈ (R)v ( H2f)(y)=0,y R ,t h ì t ∀ a c ó f (x)=0 hauk h a p n i ∈ Địnhl j 2.1.3( Đ ị n h l j kieuT i t c h m a r c h ) Giảs ủ f v g làc c h m l i ê n tựct h ó a m ã n f ∈L 1(R+,ex),g∈ L 1(R,e|x|).N e u ( f∗ g)(x)≡ 0h a u k h a p n i trênR,thìtacóf(x)≡0,∀x∈R+ ,ho¾cg(x)≡0,∀x∈R 2.1.2 Tíchc h ps u y r ngl i ê n q u a n đ e n p h é p b i e n đ o i Hartley Định nghĩa 2.1.2.Tích chắp suy rđng ca hai hmfv g oi vi cỏc phépbienđőitíchphânHartley,Fourierkýhiulà(f ∗ ),đượcxácđ nhbớicơngthúc H Fg (f ∗ H )(x)= √ Fg 2π ∫∞ g(y)[f(x+y)+f(x−y)+if(−x−y)−if(−x+y)]dy (2.7) −∞ Định lj 2.1.4.Giscỏchmf, gL1(R).Khiú,tớchchắpsuyrđngHartley Fourier(2.7)thuđckhụnggianL1(R)vthúamóncỏcngthỳcnhõnthúasau H1 (f g)(y)=(H1 f)(y)Ã(F g)(y),yR, (2.8) H F H2 (f ∗ g)(y)=(H2 f)(y)·(F g(−t))(y),∀y∈R H F nhngha2.1.3.C ỏ c tớch chắps uyrđngcahaihmfv g o i vớicác phépb i e n đ ő i tí c h p h â n H a r t l e y H 1,H2t n g ú n g k ý h i ul f∗ gv f ∗ g H11 lanlượtxácđnhbới ∫ ∞ (f ∗ g)(x)= √ f(t)[g(x+t)+g(−x+t)+g(−x−t)−g(x−t)]dt, 2π H11 H12 (2.9) −∞ g)(x)= (f ∗H 12 f(t)[g(x+t)+g(x−t)+g(−x−t)−g(−x+t)]dt ∞∫ √ 22 π −∞ (2.10) Định lý sau cho phép ta xác định đȁng thác nhân tả hóa haitíchchpsuyr®ngnày Địnhlj2.1.5.Giả sủ hàmf,gL 1∈(R) Khi đó, tích ch¾p suy r®ng(2.9)và(2.10), thu®c khơng gian L1(R), thóa mãn đȁng thúc nhân tủhóasau H1(f ∗ g)(y)=(H f)(y)·(H g)(y),∀y∈ R, 2 11 H H2(f ∗ g)(y)=(H1f)(y)·(H1g)(y),∀y∈ R; (2.11) H11 H1(f ∗ g)(y)=(H2f)(y)·(H1g)(y),∀y∈ R, H12 H2(f ∗ g)(y)=(H1f)(y)·(H2g)(y),∀y∈ R (2.12) H12 2.1.3 Ứngdnng 2.1.3.1 Phươngt r ì n h tí c h p h â n a) Phươngtrìnhtíchphân loạimt Xétphươngtrìnhtíchphân 1√ 2π f(u)[k(x−u)−k(x+u)]du=h(x), x∈R, (2.13) ∫ ∞ trongđ ó k , hl n h ǎ n g h m c h o t r c t h u ® c k h n g g i a n L 1(R),f làȁ n h m Bođ e Giảs ủ k v h l c c h m t h u ® c k h ô n g g i a n L 1(R)s a o c h o ( H1h)(y) (H2 0, y.Khiđó làm®thàmlékhivàchíkhi(h ∗k)(y)∈ k)(y) ∀ H (H2k)(y) KerTc Địnhlj2.1.6.Giảsủrangk,h∈L1 (R),saocho(H2 k)(y)=/0,∀y,và(h ∗k) H (y)làm®thàmlé.Khiđó,đieukincanvàđủđephươngtrìnhtíchphân(2.13)cónghi mdu ynhattrongkhơnggianL 1(R+)là (H1h)(y) (H1h)(y) ∈L1 (R)v F −1 ∈ (H2k)(y) (H2k)(y) L 1(R+), vàn g h i mc ủ a p h n g t r ì n h đ ợ c x c đ nhb i c ô n g t h ú c f(x)=F−1 (H1h)(y) (H2k)(y) (x) (2.14) 2.1.3.2 Hp h n g t r ì n h tí c h p h â n Trongphannày,taxéthphươngtrìnhsau f(x)+(g∗ 1h )(x)=p(x) (2.20) g(x)+(f∗ )(x)=q(x), x∈R+ 1k Địnhl j 2.1.8.G i ả sủrangh,k ∈ L1(R+),p,q L1(R)saochođieukinsauđượcthóa mãn 1+ (H1k)(y)· (H2h)(y) 0, ∀y∈R, (2.21) l∈L1(R)x c đ nhb i c ô n g t h ú c (Fl)(y)= ( H1k)(y)·(H2h)(y) 1+ (H1k)(y)· (H2h)(y) (2.22) Khiđ ó , h phươngt r ì n h (2.20)c ó n g h i md u y n h a t ( f,g) ∈ L1(R+) xácđnhbới L1(R+) f(x)=p(x)−(q ∗ h)(x)−(p ∗ (−t))(x)+[(q ∗ h) ∗ (−t)](x),∀x∈R+ H Fl H H Fl 1 g(x)=−q(x)+(k ∗ p)(x)+ (q ∗ (−t))(x)−[(k ∗ p) ∗ (−t)](x),∀x∈R+ H H Fl H H Fl 1 1 H 1 2.2 Tíchch psuyrngHartley-Fouriercosine 2.2.1 nhnghavcỏctớnhchattoỏntfi nhngha 2.2.1.Tớch chắp suy rđng ca hai hmfL1(R+)v gL1(R)oiviphộpbienitớchphõnHartley,Fouriercosinekýhiul(f g )đượcđnh n g h ĩ a i (f∗ )(x):= √ [g(x+u)+g(x−u)]f(u)du, x∈R, (2.23) 2g 2π ∫ nhlj2.2.1.Tớch chắp suy rđng Hartley-Fourier cosine(2.23)ca cỏc hmfL ∈ 1(R+), gL 1(R)thu®c khơng gian L1(R)và có đȁng thúc nhân tủhóasau l n đú ng Hj (f∗ g )(y)=(Fc f)(y)·(Hj g)(y), ∀y∈R,j=1,2, (2.24) ớđ â y ( Fcf)(−y)=(Fcf)(y),v i y −1,β>0,γ> 0,r≥1 Địnhlj2.2.2(Địnhljkieu Titchmarch).Chofvà g hàm liên x tựcsaoc h o f ∈L 1(R+,e ),g∈ L 1(R,e|x|).N e u ( f∗ g)(x)≡ 0h a u k h a p n i t r ê n R,thìtacóf(x)≡0,∀x∈R+ ,ho¾cg(x)≡0,∀x∈R M nh đe 2.2.1.ChofL1(R+∈), g L1(R)và hL 1(R+) Khi phéptốn ∈ tích ch¾p suy r®ng(2.1)và(2.23)là khơng có tính giao hốn ∈ vàcũngkhơngkethợp,tuynhiênchúngthóamãncácđȁngthúcsau a)f∗ g∗ )=−(f ∗ s )∗ 1( 1h F Fg s 2h, b)f∗ g∗ )=(f ∗g)∗ c 2( 2h 2h, F c)f∗ g∗ )=(f ∗ s )∗ c 1( 2h F Fg 1h 2.2.2 Ứngdnng Trong phan ta xét phương trình Toeplitz-Hankel (4), đoi với trườnghợp nhânk1=k2, đieu ki n nhânk2là hàm chȁn, phương trìnhToeplitz-Hankellanđautiênđược xéttrêntồntrựcthực Xétcácphươngtrình f(|x|)+√ [k(x+y)+k(x−y)]f(y)dy=g(x),x ∈R, (2.27) 2π ∫ ∞ f(x)+√ [f(x+y)+f(x−y)]k(y)dy=g(x),x ∈R (2.28) 2π ∫ ∞ Địnhlj2.2.3(ĐịnhljkieuWiener-Lévy).G iảsủf L1(R).K h i đ ó , ∈ 1+(Hjf)(y)= 0,/ L1(R) ∀y ∈ R,(j= ,2)l đ i e u k i nđ ủ đ e t o n t i h m l saoc h o ∈ ( Hjf)(y) (Hj l)(y)= (2.29) 1+(Hjf)(y) Nhnxétrang,dotính tuyentính nêntàĐịnhlý2.2.3,vớif∈ L1(R)saocho 1−(Hjf)(y)/=0,∀y∈R,(j= 1,2),l∈L1(R),t anh nđ ượ c cô ngt h c sa u (Hj l)(y)= ( Hjf)( y) (2.30) 1−(Hjf)(y) 2.2.2.1 Phươngt r ì n h T o e p l i t z - H a n k e l t r ê n R Địnhl j 2.2.4 Cho k , g ∈ L1(R)lànhũnghàmđãbietvàthóamãncácđieukind i đ â y a) 1+(H1k)(x)/=0vớibatkỳx∈R b) g(x)−(g ∗l)(x)làhàmchȁn,trongđóllàhàmxácđ nhbới H l(x)=H1 ( H1k)(y) (x) (2.31) 1+(H1k)(y) Khiđó,phươngtrình(2.27)cónghimduynhatf L1(R+),đượcchobớicơngthúcs a u f(x)=g(x)−(g ∗l)(x), H ∈ x∈R+ Địnhl j 2.2.5.Chok ∈L1(R+),g∈L1(R)l n h ũ n g h m b i e t , t a g i ả s ủ 1+(Fck)(x)/=0,x ∈R, vàl(x)làhàmthu®ckhơnggianL 1(R)saocho l(x)=Fc ( Fck)(y) 1+(Fck)(y) ∈ (x) L 1(R+ ) (2.32) Khiđóphương trình (2.28)cónghimduynhatf∈ L1(R+)xácđnhbới f(x)=g(x)−(l∗ )(x), 2g x∈R (2.33) 2.2.2.1.H p h n g t r ì n h T o e p l i t z - H a n k e l t r ê n R Taxéthgomhaiphươngtrìnhtích phânToeplitz-Hankel  1∞ ∫  g(u)[k1(x+u)+k1(x−u)]du= p (x),x ∈R,  f(|x|)+√ 2π ∫  ∞  (|x|)+√ f(u)[k2(x+u)+k2(x−u)]du= q(x),x ∈R, g 2π trongđ ó p , q,k1,k2∈L1(R)l c c h m đ ã b i e t , f , g∈ L1(R+)l c c ȁ n h m (2.34) Địnhlj2.2.6.G i ả sủrangđieukinsauluônđúng 1−(H1 k1 )(y)·(H1 k2 )(y)=/ 0,∀y∈L1 (R), (2.35) vàcáchàmsaulànhũnghàmchȁn p(x)−(q ∗k1 )(x)+(p ∗l)(x)−(q ∗k1 ∗l)(x); H H H H H H H H q(x)−(p ∗k2 )(x)+(q ∗l)(x)−(p ∗k2 ∗l)(x), trongđó,l(x)làm®thàmthu®ckhơnggianL 1(R)saocho l(x)=H1 Khiđ ó h ( H1k1)(y)· ( H1k2)(y) (1−H1k1)(y)·(H1k2)(y) (x) (2.36) p h n g t r ì n h ( ) c ó n g h i md u y n h a t∈f , g L1(R)đượcxácđnhbớicô ng t hú c sau f(x)=p(x)−(q ∗k1 )(x)+(p ∗l)(x)−(q ∗k1 ∗l)(x), x>0, g(x)=q(x)−(p ∗k2 )(x)+(q ∗l)(x)−(p ∗k2 ∗l)(x), x>0 H H H H H H H H (2.37) Ketlunchng2 Chngnyótcmđtsoketqusau: ã XõydngcỏctớchchpsuyrđngmiHartley-Fouriersine(f ),Hartley1g Fourierc os in e ( f∗ ),Hartley-Fourier( f ∗ )vàcáctíchchps uy r®ng 2g H Fg Hartley(f ∗ g),(f ∗ g) H11 H12 • Cháng minh đȁng thác nhân tả hóa, đȁng thác Parseval, tính khơngcó ước khơng định lý kieu Titchmarch, tích ch p suyrđngHartley-Fouriersine,Hartley-Fourier cosine ã Nh n c nh lý kieu Wiener-Lộvy đoi với phép bien đői tích phânHartley • Trong phan dụng, xây dựng giải m®t so lớp phương trình hphươngtrìnhtíchphân,phươngtrìnhvàhp h n g trìnhtíchphânnhânToeplitzHankel CHương3 BATĐANGTHỨCTÍCHCHPSUYRNGVÀỨNGDỤ NG Mụcđ í c h c ủ a c h n g l x â y d ự n g m ® t s o b a t đ ȁ n g t h c đ o i v i c c tí c h chpsuyr®ngf∗ vàf∗ ,chángminhbatđȁngthácngượcđoivớitích 1g 2g ch p suy r®ng Hartley-Fourier cosine Áp dụng ket nh n đe đánh giánghimcủam®tsobàitốnTốn-Lý N®i dung chương dựa vào ket nghiên cáu [3, 4], trong"Danhmựcc c c n g t r ì n h đ ã c ô n g b o c ủ a L u ¾ n n " ,t r o n g đ ó c ó m® t k e t q u ả đ ợ c cơngbotro ng tạ p c hí q uo c teuy tí n IS I 3.1 BatđangthfícHausdorff-Young Tas ě c h n g m i n h b a t đ ȁ n g t h c H a u s d o r ff Y o u n g đ o i v i p h é p b i e n đ ő i tíchphânH artl ey Địnhl j ( B a t đ a n g t h fí c k i e u H a u s d o r ff - Y o u n g ) G i ả sủ f∈ Lp(R), với1 1,t h o ả m ã n đ i e u 1 kin 2,sao chof∈Lp(R+),g∈Lq(R)vàh∈Lr(R).Khiđóta p+q+r= (3.2) cób a t đ ȁ n g t h ú c s a u ∫∞ − 1 2ǁ fǁ (3.3) Lp(R+)·ǁgǁLq(R)·ǁhǁLr(R) p −∞ (f∗g)(x)·h(x)dx≤ (2π) Tàđịnhlýtrên,tanhnđượcm®thquảlàbatđȁngtháckieuYoungđoivớitíchchpsu yr®ngHartley-Fouriercosinesauđây Hquả3.2.1(BatđangthfíckieuYoung).Giảsủp>1,q>1,r>1 1 saocho 1+ Khiđó,vớimoihàm fLp(R+), gLq(R),tacútớch p+q= r chắpsuyrđng(f )Lr (R)vthúamónbatngthỳc 2g 1 − ǁf∗2gǁLr(R)≤ 2p(2π) 2ǁ fǁLp(R+)·ǁgǁLq(R) (3.4) Tuy nhiên, khifL2∈ (R+), gL 2(R) bat đȁng thác (3.3) (3.4)khơng nǎa Trong phan tiep theo, ta sě cháng minh bat đȁng tháctrong khơng gianLp(R, ρ) có hàm dươngρ,đoi với tích ch p suy r®ngHartleyFouriercosine.Hơnnǎa,batđȁngthácnàyvanđúngtrongtrườnghợp p=q=2 Địnhlj3.2.2 (Địnhljkieu Saitoh).Gi hmdngsaochotớchchắpsuyrđng(1 )xỏc s j,(j=1,2)l hai nh.Khiú,vimoiF1Lp (R+ ,ρ1 ),F2∈Lp(R, ρ2),p >1bat đȁng thúc đoi với tích chắp suy rđng Hartley-Fouriercosinesauõylỳng (( F )(F ≤r2 ρ)2 ) ·(ρ − p ǁ ∗ρ) Lp(R) π ǁFǁ Lp(R+,ρ1) ·ǁFǁ2 Lp(R,ρ2) (3.5) Nhnx é t Khiρ 1≡ρ∈L1(R+)vàρ 2≡1,batđȁngthác(3.5)códạng 1 p ǁ(F1 ρ)∗ F ǁLp (R)≤2ǁρǁL−(R )·ǁF2 ǁLp (R)·ǁF1 ǁLp (R+ ,ρ) + (3.6) Địnhl j 2.3 ( Đ ị n h l j kieu S a i t o h n g c ) Giảsủρ 1(u),ρ2(x)làcáchàmtr ongdương,F 1(u)vàF 2(x)lànhũnghàmdươngthóamãn p 0