(Tt luận án) Tích ch¾p suy r®ng liên quan đen các phép bien đői tích phân laplace, fourier và úng dựng

MĐ A U Tongquanvehưngnghiêncfíuvàlýdochonđetài Lý thuyet ve phép bien đői tích phân đe c p nghiên cáu tàratsớm.Đen nay,nóđãtrởthànhm®tb®phnquantrongcủaGiải tíchtốn hoc M®t nhǎng n®i dung quan tâm phép bien đőitích phân nghiên cáu tích ch p Đó m®t phép nhân đ c bi t định nghĩa qua phép bien đői tích phân tương áng, thường đưa vàonghiên cáu khơng gian hàm mà phép nhân thơng thườngkhơngtontại.CáctíchchpđautiênđượcnghiêncáulàtíchchpLaplace,tíchc hpFourier.Năm1951,tích chpsuyr®ngđautiên đượcSneddon I.N đe c p nghiên tích ch p suy r®ng Fourier sine Fourier cosine.Cho đen nhǎng năm 90 thektrước, m®t vài tích ch p suy r®ng đoivới phép bien đői tích phân khác tiep tục nghiên cáu bởiYakubovich S.B Đó tích ch p suy r®ng đoi với phép bien đőitíchphânMellin,KontorovichLebedev,phépbienđőiGvàphépbienđőiHtheo so Đen năm 1998, Kakichev V.A N.X Thảo đưa địnhnghĩatích ch psuyr®ngvớihàmtrongγc ủ a haihàmfv kđ o i vớiba phépb i e n đ ő i tí c h p h â n b a t k ỳ T 1,T2v T 3t h ỏ a m ã n đ ȁ n g t h c n h â n t ả hóaT 1f γ k(y)=γ(y)Tf ( y)Tk (y)vàchođieukincanđexácđịnh ∗ tíchch pkhibi etm® tsoràngbu®c cụthevenhâncủacácphépbi enđő i tíc hp h â n t n g n g N h k y t h u tn y m n h ǎ n g n ă m v e s a u đ ã c ó m ® t so tíchchpsuyr®ngliênquanđencácphépbienđőitíchphânkhácđượcxây dựng Tuy nhiên, đen van chưa có m®t ket nghiên cáu chínhthác ve tích ch p suy r®ng liên quan đen phép bien đői Laplace đượccơngbo Nhưm®tquyluttựnhiên,khiđãxâydựngđượctíchch p f∗k( x), bangc c h c h o m ® tt r o n g h a i h m c o đ ị n h n h l n h â n t r o n g b i e u t h c tíchchp,chȁnghạncođịnhhàmk, cịn hàmfcho bien thiên m®tkhơng gian hàm xác định ta sě nh n phép bien đői tích phânliênq u a n đ e n tí c h c h pt n g n g , g o i l p h é p b i e n đ ő i tí c h p hânkieu tíchc h pf›→g= f∗k P h é p b i e n đ ő i tí c h p h â n k i e u tí c h c h pđautiên đượcWatsonxâydựngvànghiêncáulàphépbienđőiliênquan đ e n tíchc h p Mellin.T ő n g q u t h n , n g i t a c ó t h e n g h i ê n c u p h é pbienđői tích phân dạngf›→g=D f∗kmàDlà m®t tốn tả Trongtrườngh ợp D =(1−d 2)làm® tt ốn t ả v ip hâ n c a p ,ph é p b i e n đ ő dx2 i tích phân kieu tích ch p Fourier cosine V.K Tuan Musallamthiet l p nghiên cáu Các phép bien đői tích phân kieu tích ch p ho ctích ch p suy r®ng liên quan đen bien đői Fourier sine, Mellin, bien đőiKontorovich-Lebedev sau nghiên cáu Cho đen phépbien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ng Laplace có hàm khơngcóhàmtrongvanchưađượcnghiêncáu Khi giải quyet toán toán-lý, nghi m tốn có theđượcbieudienquacáctíchchptươngáng.Đeđánhgiácácnghimđótacóthedù ngđenbatđȁngthácđoivớitíchchp.Đautiênphảikeđenbatđȁng thác Young bat đȁng thác Saitoh đoivới tích ch p Fourier Cácbatđȁngthácdạngnàyđoi vớitíchchpMellin,tíchchpFouriercosinesau thiet l p nghiên cáu cho nhieu dụng thú vị Tuynhiên, bat đȁng thác đoi với tích ch p suy r®ng liên quan đen phépbienđőiLaplaceđennayvanchưađượcđecpvànghiêncáu Tà nhǎng lý trên, lựa chon đe ti e nghiờn cỏu l"Tớchchắp suy rđng liờn quanen cỏc phép bien đői tích phân Laplace, Fouriervàún gd ựn g " Mncđích,đoitưngvàphạmvinghiêncfíu Mục đích củalu nán xây dựng nghiên cáu m®t so tích ch p suyr®ngliênquanđenphépbienđőitíchphânLaplace.Nghiêncáutínhchattốntả tí c h c hp,thiet lpba t đ ȁ ng t há c đ oi vớ i c c tíc h ch psu yr® ng m®t so không gian hàm cụ the.Xâydựng nghiên cáu cácphép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ng tương Nghiên cáucác tính chat tốn tả phép bien đői tính unita, ton tốn tảngượct r o n g k h ô n g g i a n L 2(R+).T đ ó , n g d ụ n g v o v i cg i ả i m ® t l p cácphươngtrình,hp h n g trìnhtíchphânvàphươngtrìnhvi-tíchphân Phươngphápnghiêncfíu Trong lu n án, sả dụng phương pháp giải tích hàm, lýthuyet tốn tả, phép bien đői tớch phõn v lý thuyet tớch ch p Chỳng tụiỏngdngbatngthỏcHăoldereỏnhgiỏchuncacỏctoỏnttớchch p không gian hàm cụ the Đ c bi t Định lý Wiener-Levyđược sả dụng nhieu vi c xây dựng cơng thác nghi m đóng cho lớpcácphươngtrình,hp h n g trìnhtíchphânvàphươngtrìnhvi-tíchphân Cautrúcvàketquảcủalu nán Ngoài phan Mở đau, Ket lu n Tài li u tham khảo, lu n án chialàmbachương: Chương1 , x â y x ự n g v n g h i ê n c u c c tí c h c h psuyr®ngFourierLaplace.Nhnđượccácđȁngthácnhântảhóa,đȁngtháckieuParseval,Địnhlýki euTitchmarchvàm®tsođánhgiáchuȁntrongcáckhơnggianhàmL p(R+)v p àL α,β(R+).Tìmđượcmoiliênhg i ǎ a cáctích chpsuyr®ngmớivớim®tsotíc hchpquantrongđãbiet.Hơnnǎa,trongcáckhơnggianL p(R+)v L p(R+,ρ) ,c c b a t đ ȁ n g t h c k i e u Y o u n g , k i e u S a i t o h đ o i vớitíchchpsuyr®ngFo urier-Laplacecũngđượcthietlpvàchángminh Chương2,thietlpvànghiêncáucácphépbienđőitíchphânkieutíchch p suy r®ng Fourier-Laplace Nghiên cáu tính chat tốn tả cácphépbienbienđőinày,tanhnđượccácĐịnhlýkieuWatsonchođieuki ncanvàđủđecácphépbienđőitươngánglàunitatrongkhơnggianL2(R+), nǎa ta xác định đieu ki n đủ cho ton cácphép bien đői ngược Ngoài Định lý kieu Plancherel đoi với phép bienđőitích phântươngángcũngđượcchángminh Chương 3, m®t so lớp phương trình tích phân, hphương trình tíchphân phương trình vi-tích phân giải nhờ vào tích ch p suy r®ngFourier-Laplacevàphépbienđőitíchphânkieutíchchpsuyr®ngFourier-Laplace Hơn nǎa, bang phương pháp giải nghi m cáccácphươngtrìnhtrênđeuđượcchodướidạngdóng nh n tà Ýnghĩacủacácketquảcủalunán Các tích ch p suy r®ng liên quan đen bien đői Laplace, phép bienđőitíchphânkieutíchchpsuyr®ngLaplace,vàm®tsobatđȁngthácđoivới tíchchpsuyr®ngtươngánglanđautiênđượcđecpvànghiêncáu lu n án Các ket có ý nghĩa khoa hoc góp phan làmphong phú ve lý thuyet phép bien đői tích phân, tích ch p nhưbat đȁng thác đoi với tích ch p Tà đó, đưa cách tiep c n cácphương pháp giải phương trình tích phân phương trình vi-tích phân.M®t so ý tưởng phương pháp sả dụng lu n án có the dùngnghiêncáucáctíchch psuyr®ngkhác N®i dung lu n án dựa vào bon cơng trình cơng bo, đượcli t kêở"Danhmnccơngtrìnhđãcơngbo lu n án", gom bacơng trình tạp chí tốn hoc Quoc te (trong [4] thu®c tạp chítrong danh mục ISI) m®t cơng trình tạp chí tốn hoc Quoc gia.Cácketquảnàyđãđượcbáocáom®tphanhoctồnb®tại: +H®inghịTốnhocVit-Pháp,tháng8năm2012,tạiHue +H®inghịTốnhocTồnquoclanthá8,tháng8năm2013,tạiNhaTrang +H®inghịQuocteGiảitích pháchǎuhạnvàvơhạnchieuvàángdụng( ICFIDCAA),tháng8năm2011tạiHàN®i +H®ithảoTốnhocphoihợpTrườngĐạihocBáchkhoaHàN®ivàTrư ờngĐạihocHeidelbergcủaĐác,tháng3năm2015 +SeminarGiảitích,TrườngĐạihocBáchkhoaHàN®i +SeminarGiảitích-Đạiso, TrườngĐạihocKhoahocTựnhiênHàN®i CHương1 TÍCHCHPSUYRNGFOURIER-LAPLACE Mục đích Chương nghiên cáu m®t so tích ch p suy r®ng liênquanđenphépbienđőiLaplace.Nghiêncáucáctínhchattốntảcủacáctích ch p suy r®ng m®t so khơng gian hàm khác Thiet l pcácbatđȁngtháckieuYoung,kieuSaitohđoivớicáctíchchptươngáng 1.1 TíchchpsuyrngFouriercosine-Laplace Địnhn g h ĩ a Tíchc h ps u y r ® n g c ủ a h a i h m f v k đoiv i h a i phépbienđőitíchphânFouriercosinevàLaplaceđượcđịnhnghĩanhưsau ( f 1∫ ∗ k x)= ∞∫∞θ (x,u,v)f(u)k(v)dudv, (1.1) π trongđó θ1(x,u,v)= v v2+ (x−u)2 + v v2+ (x+u)2 ,x >0 (1.2) Ta goiAclà không gian ảnh củaL1(R+) thông qua phép bien đői FouriercosineF c VớichuȁnǁfǁAc:=ǁFc fǁL1 (R+ )thìA clàđạisoBanach,nghĩalàn euf(x),k(x)∈ Ac,th ìf(x)k(x)∈ Acv thỏamãnǁfkǁAc≤ǁfǁAcǁkǁAc Địnhlý1.1.1Giảsủcáchàmf(x)vàk(x)thu®ckhơnggianL2(R+).Khiđótacóf∗ k(x)∈Ac ,vàthóamãnđȁngthúckieuParseval f ∗ ( 1k x)=F c Fc f(y)Lk(y)(x), ∀x>0 (1.3) Hơnnũa,tacũngnh¾nđượcđȁngthúcnhântủhóasau Fc f∗ k(y)=F c f(y)Lk(y), Bođ e N e u k(x)∈L1(R+),thì Lk( y)∈Ac ∀y>0 (1.4) Địnhl j 1.1.2Giảsủ r a ng f (x),k(x)∈L1(R+).Khiđ óđo iv i tí ch c h ¾p fk(x ),các đȁng thúc kieu Parseval(1.3)và đȁng thúc nhân tủ hóa(1.4)vȁncịnđúng,hơnnũaf∗ k(x)∈L1(R+ ) ∗ Nhnx é t Trongbieutháctíchchpsuyr®ngFouriercosine-Laplace , ∗ neuthaythenhânθ (x,u,v)bởinhân v v θ2(x,u,v)= ,x >0, (1.5) − v 2+ v2+ (x−u)2 (x+u)2 thìtasěnhnđượctíchchpsuyr®ngmới.Đólàtíchchpsuyr®ngFouriersineLaplace đư ợcđị nhnghĩ abởi ( f 1∫ ∗ k x)= ∞∫∞θ π 0 (x,u,v)f(u)k(v)dudv, (1.6) thỏam ã n đ ȁ n g t há c n h â n t ả hó a Fs f∗ k(y)=F s f(y)Lk(y),∀y>0,f,k∈L2 (R+ ) (1.7) Địnhl j 1.1.3G i ả s ủ r a n g f (x),f′ (x)∈L2(R+)v k (x)∈L2(R+).K h i đó,tacócácđȁngthúcsau df d df ( f ( ∗k x)= ′∗k x), (1.8) ( f ( 2f y k (y)dy ∗k x)= ′∗k x)+r (0)∫∞ d π x2+ y2 (1.9) Định nghĩa 1.1.2Tớch ch p suy rđng vi hm trong(y)=eày(à>0)cahaihmfvkoivihaiphộpbienitớchphõnFou riercosinevLaplacecnhnghanhsau f k ( 1∫ (1.10) ∗ x)= ∞∫∞θ( x,u,v+µ)f(u)k(v)dudv, π 0 trongđ ó θ 1(x,u,v)đ ợ c x c đ ị n h b i ( ) Địnhl j Giảs ủ f (x),k (x)∈ L 1(R+).K h i đ ó , tí c h c h ¾ p s u y r ® n g fγ k ( ∗ x)thu®cL(R),thóamãnbatđȁngthúcchuȁn + + ǁ f γ k∗ǁ L1(R ) ≤ǁfǁ L1(R+) ǁkǁL1(R+) , (1.11) vàcóđȁngthúcnhântủhóa fc γ k (∗ c −µy F F f( y)L k( y),∀ y>0 y)=e f γk ( Ngồira,tíchch¾p suyr®ng ∗x)cũngthu®cC(R) (1.12) + Địnhlj1.1.5(ĐịnhljkieuTitchmarch)C h o haihàmsoliêntực k(x)∈L1 (R+ )vàf(x)∈L1 (R+ ,eαx )(α>0).Neuf k(x)=0,∀x>0 γ ∗ thìho¾cf(x)=0,∀x>0ho¾ck(x)=0,∀x>0 Địnhl j G i ả s ủ p > 1,r ≥ 1,0 < β≤ 1,c c h m f (x)∈Lp(R+) vàk(x)∈L1(R+).Khiđótíchch ¾p suy r®ngf k( x)tontại,liêntực γ ∗ α,β r vàthu®cL (R+).Hơnnũa,tacóđánhgiásau r f γ k∗ǁ ǁ α,β L + (R ) ≤Cǁfǁ Lp(R+) ǁkǁL1(R+) , (1.13) trongđóC= ( 2)1/pβ−α+1Γ1/rr(α+1)v iΓlàhàmGamma.Ngoàira,neu hà mGam ma.N goàira ,ne u f(x)L1 (R+ )Lp (R+ f k ( x)thuđcC )thỡtớchchắp suyr®ng vàthóamãnđȁngthúcnhântủhóa( ) Địnhlj1.1.7Giảsủα> − 1,0< β ≤ 1,p> ,q> ,r≥ 1t h ó a m ã n 1+1 f γikđ( ó , n e u f (x)∈ Lp(R+)v k (x)∈ Lq(R+,(1+x2)q−1),t h ì = K h p q tíchch¾p x)tontại,liêntực,bc h ¾ n trongL α,β(R) vàcó ǁ k ∗ ∗ fγ ≤Cǁfǁ L (R+) r Lα,β(R) p (R+), ǁkǁ r q−1 +Lq(R+,(1+x ) ) , 1/r − trongđóC= µ −1π − p 1β q α+1Γr (α+1).Hơnnũa,neugiảthietthêmf(x)∈ q−1 Lf1(R )thìtíchch¾p +)∩ Lp(R+)vàk(x)∈L 1(R+)∩ Lq(R+,(1 +x ) k ( γ ∗ x)thu®cC(R)vàthóamãnđȁngthúcnhântủhóa(1.12) + (1.14) γ ,∗ Nhnxét1.1.2T r o n g tí c h c h ps u y r ® n g n e u t h a y t h e n h â n θ1(x,u,v+ µ)b i θ 2(x,u,v+ µ)đ ợ c x c đ ị n h n h ( ) , t h ì t a n h γ nctớchchpsuyrđngFouriersine-Laplace vihmtrong(y)= eày( à>0)cnhnghabi f k ( ∗ x)= ∞∫∞θ( x,u,v+µ)f(u)k(v)dudv, π 0 2 (1.15) vàt hỏ a mã n đ ȁ n g th ác nh â nt ả h ó a fγ k ( F s ∗y)=e−µyF s 1.2 L ( f y) k y),∀y>0,f , k∈L1 (R+ ) ( (1.16) TíchchpsuyrngFouriercosineFouriersine-Laplacevihàmtrong Định nghĩa 1.2.1Tích ch p suy r®ng với hàm trongγ(y) =−sinycủahai hàmf(x) vàk(x) đoi với ba phép bien đői tích phân Fourier cosine,FouriersinevàLaplaceđượcđịnhnghĩanhưsau fγ k ( ∫ f x)= ∞∫∞θ( x−1,u,v)−θ (x+1,u,v) (u)k(v)dudv, ∗ 2π (1.17) vớiθ 2(x,u,v)đ ợ c x c đ ị n h b i ( ) TađtH(R+) =,f(x):Lf(y)∈L2(R+), Địnhl j 1f 2k ( G i sf(x)L2(R+)vk(x)H(R+).Khiú,tớchchắp suyrđng x)thuđcL(R) thúamónngthỳckieuParseval + fγk∗( F L ( s x)=F siny f k x), − c vàđ ȁ n g t h ú c n h â n t ủ h ó a s a u ∀x>0, (1.18) CHương2 PHÉPBIENĐOITÍCHPHÂNKIEUTÍCHCHPSUYR NGFOURIER-LAPLACE Mụcđíchcủachươngnàylàthietlpvànghiêncáucácphépbienđői tíchp h â n d ự a t r ê n c c tí c h c h ps u y r ® n g F o u r i e r c o s i n e L a p l a c e v tí c h ch p suy r®ng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm đượcnghiêncáu trongChươ ng1 2.1 Phépbienđoitíchphânkieutíchchpsuyr ngFouriercosine-Laplace Xétp h é p b i e n đ ő i tí c h p h â n l i ê n q u a n đ e n tí c h c h ps u y r ® n g F o u r i e r cosine-Laplace(1.1) : f(x)›→g(x)= Tkf (x)= 1− d2 f∗ dx2 1k (x),x >0, (2.1) trongđókl nhâncủaphépbienđői 2.1.1 ĐịnhljkieuWatson Địnhlj2.1.1Giả sủ rang k(x)∈L2(R+),ho¾ck(x)∈H(R+)sao chotớchphõn(1.1) hđit nhtớchphõn lắp.Khiú ieuki n canv ephộpbieni tớch phân( ) unitatrongL 2(R+)là (1+y2)L k( y)=1,y >0 (2.2) Hơnn ũ a , p h é p b i e n đ ő i n g ợ c t o n t i v đ ợ c x c đ nhb i f(x)= 1− d2 g∗ dx2 k (x), (2.3) trongđókl hàmliên hợpphúccủa k Mnhđ e Giảt h i e t k (x)l h m t h ó a m ã n c c đ i e u k i nc ủ a Đ nhlý 2.1.1,trongđóđieukin(2.2)đượcthaybangđieukinsau 00, (2.11) (x) s c Địnhl j G i ả sủk 1∈H(R+),k 2∈L2(R+)saoc h o ( 1 ) u n i t a v d2 Θ1(x,u,v)= Θ2(x,u,v)= K(x)= 1− θ2(x−1,u,v)−θ2(x+1,u,v), dx d θ1(x−1,u,v)−θ1(x+1,u,v), 1− dx d 1− k2(x) dx làcáchàmbch¾n.Chof∈L2(R+)vàvớimőisotựnhiênN,đ¾t ∫∞∫N gN(x)= 2π Θ2(x,u,v)f(u)k1(v)dudv 0 ∫N f(u) K(|x−u|)−K(x+u) +√2π du Khiđó: 1) Tacóg N∈ L2(R+),vàneuN→ ∞thìg Nh ® i tựth eochuȁntrong L2(R+ )đenhàmg∈L2(R+ )vớiǁgǁL2 (R+ )=ǁfǁL2 (R+ ) 2) Đ¾tg N= g.χ(0,N),t h ì fN(x)=− 2π ∫∫ 1∞ ∞ Θ1(x,u,v)gN (u)k1(v)dudv ∫ ∞ N K +√ g (u) (x+u)+sign(u−x)K(|x−u|) 2π du, cũngthu®cL 2(R+),vàne uN→ ∞thìf Nh ® i tựthe ochuȁn đenf KetlunChương2 Xây dựng hai phép bien đői tích phân kieu tích ch p suy r®ng Fouriercosine-LaplaceTkvàFouriercosine-Fouriersine-LaplaceTk1,k2với hàm trong.N hnđư ợc ket c hính: • ĐịnhlýkieuWatsonveđieukincanvàđủđecácphépbienđőiTk vàT k1,k2l unitatrongL 2(R+) • Xácđ ị n h đ ợ c đ i e u k i nđ ủ đ e t o n t ả T kb ị c h nv c ó b i e n đ ő i n gược • Địnhl ý k i e u P l a n c h e r e l v e s ự t o n t i c c d ã y t o n t ả h ® i t ụ t h e o chuȁnvetốntảtí chphân T k1,k2vàto án tảngượccủanó N®idungcủachươngnàydựavàom®tphancủamoibàibáo[3]và[4], D a nh m n c c ô n g t r ì n h đ ã c n g b o c ủ a l u ná n