Liên Hợp Toán - Vật Lý Trong Giảng Dạy Khái Niệm Đạo Hàm Và Tích Phân
MỤC LỤC
Mộtsốvấn đềđặtrachodạy họcgiảitích
Điều này không còn đúng ởbướcchuyểntừĐạisốvàoGT.GTnghiêncứucácđạilượng,cácquátrìnhvôhạn,biếnthiên liên tục, và phải sử dụng những phương pháp và kĩ thuật khác hẳn với Đại số nhưchianhỏ,lậptổngvôhạn,xấpxỉ,đóngkhung(chặntrên,chặndưới).Nhiềunghiêncứucho thấy những khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân và các kĩ thuật củaGTkhóhiểukhôngchỉvớiHSphổthôngmàthậmchícòncảvớisinhviên(SV)đạihọc(Orton,1983a;. Thậm chí theo Kleiner (2001) thìGT là “công cụ định lượng chủ yếu cho việc nghiên cứu các vấn đề khoa học trong bathế kỉ gần đây (…) mà nếu không có nó thì Vật lí và kĩ thuật hiện đại sẽ không thể tồntại”(tr.138).Vìthế,việcDHGTkhôngthểchỉtậptrungvàonhiệmvụgiảicácbàitoántoán học thuần tuý mà bỏ qua cơ hội giúp người học thấy được vai trò công cụ quantrọngcủa GTtrongVậtlí.
Dạyhọcliên môn Toánvà Vậtlí, mộtxuhướngđể khắcphục
Giải thích hiện tượng này, Jones (2010) nhận định nguyên nhân nằm ở chỗ “cáckhóa học GT thành công trong việc cung cấp cho SV một dạng của kiến thức, dạng cầnthiết để giải quyết các nhiệm vụ trong lớp học toán, nhưng lại không chuẩn bị cho việcsửdụngkiếnthứcnàymộtcáchthànhcôngtrongcáclớphọckhoahọc”(tr.2). Ta tìm thấy ở đây một giải pháp để vượt qua hai khó khăn kể trên trong việc hiểuvà ứng dụng các khái niệm của GT: đó là tận dụng sự gắn kết giữa Toán học và Vật líhọcvàoquátrìnhDHđểhaimônhọccóthểhỗtrợlẫnnhau.Hướngnghiêncứunàyđưađến một xu hướng DH thường được gọi là “tích hợp (TH) – liên môn (LM) toán và cácmôn khoa học1”.
Lựachọnđốitượngtrithức
- Đạo hàm, tích phân và mối quan hệ mật thiết:Lí do cuối cùng giải thích choviệcchọnđồngthờicảhaikháiniệmđạohàmvàtíchphânnằmởmốiliênhệđảongượcmật thiết giữa chúng, thể hiện qua định lý cơ bản của GT. Vì thế, việc nghiên cứusong hành hai đối tượng đạo hàm và tích phân trong sự gắn kết, theo cách tiếp cận LMgiữaGTvới Vậtlícóthểsẽgiúphaikháiniệmnàysoisánglẫnnhau.
TỔNGQUAN VỀ VẤNĐỀ NGHIÊNCỨU
Đó là phải hiểu được quá trình lấy tích phân như một sự tíchlũy (lấy tổng) các lượng nhỏ gia tăng tạo thành từ các tích – mà cách hiểu này lại dựatrêncấutrúccủatổngRiemann.Tươngtựnhưvậy,theoJones(2015a)thìcáchhiểutíchphân theo nguyín hăm đê cắt bớt đi ý nghĩa của tích phđn trong ngữ cảnh ứng dụng, vẵng cũng cho rằng câch hiểu tích phđn theo giới hạn tổng Riemann nên được kích hoạttrong người học nếu như muốn ứng dụng được tích phân trong nhiều vấn đề của Vật lí.LiênquanđếnviệcdạytíchphânđểkếtnốiđượcvớinhữngứngdụngtrongVậtlí,Drayet al. Nghiên cứu của tác giả Trần Văn Học (2018) với đối tượng HSTHPT và của Lê Thị Hoài Châu và Ngô Minh Đức (2018) với đối tượng SV trường Sưphạmcũngchỉrarằngngườihọcgặpkhókhănvớiviệcgiảiquyếtnhữngvấnđềđòihỏivận dụng kiến thức từ cả hai môn học toán và vật lí, nói riêng với khái niệm tích phân.Một nghiên cứu khác tìm hiểu quan niệm của GV về sự liên môn giữa Toán và Vật líliênquanđếnchủđềvectơđượcthựchiệnbởitácgiả NguyễnThịNga(2018).Kếtquảcho thấy các GV toán ít quan tâm đến những ứng dụng của vectơ trong Vật lí cũng nhưkhụngliờnhệnhữngứngdụngnàyđểgiỳpHShiểurừhơnkhỏiniệmtoỏnhọc.
MỤCTIÊUVÀCÂUHỎI NGHIÊNCỨU
CâuhỏiQ2:Liênquanđếnđạohàm,tíchphân,mốiquan hệLMToán–Vậtlíđãthể hiện như thế nào trong chương trình hiện hành và SGK các môn Toán, Vật lí dùngởbậcTHPT?. Câu hỏi Q3:Giải pháp sư phạm nào cho phép tận dụng hiệu quả những gắn kếtLM giữa Toán và Vật lí để mang lại hiểu biết đầy đủ hơn về hai khái niệm đạo hàm.
PHƯƠNGPHÁPNGHIÊNCỨU
Thiết kế tình huống DH và xây dựng đồ án DH đạo hàm, tích phân theo cách tiếpcận LM Toán – Vật lí. Kiểm tra khả năng của người học trong việc ứng dụng GT vào các vấn đề của Vậtlí,từ đókiểmchứngmộtsốgiảiphápsư phạm.
CÁCĐểNGGểP MỚICỦALUẬNÁN a) Vềmặtlíluận
- Xây dựng các đồ án DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân theo cách tiếp cận LMgiúpmanglạicáchhiểuđầyđủhơnvềkháiniệmchoHSđồngthờigiúpcácemvậndụngđượct rithứctoánvừa học vàocácvấnđềcủa Vậtlí. - Góp phần đổi mới phương pháp DH môn Toán theo hướng tận dụng những lợi íchmàcáchtiếpcậnLMToánvàKhoahọcmanglại.ĐặcbiệtlàtrongviệcDHcáckháiniệmcủaGT, vốnlàmộtlĩnhvựccósựgắnkếtmậtthiếtvớiVậtlí.
CẤUTRÚCLUẬN ÁN - Chương1:Cơsở líluận
Liênmôn ToánvàKhoahọc: mộtsố môhình vàcách tiếpcận
MốiquanhệgắnkếtvừađềcậpởtrênhoàntoànthíchhợpđểvậndụngvàoDHvànó làm nên đặc thù riêng cho sự LM giữa Toán và các môn khoa học trong nhà trường.Sự phát triển của các ý tưởng toán học và việc áp dụng toán trong các môn học khác đượcquyệnvàonhau.Thỉnhthoảng,mộtýtưởngmớipháttriểntrongngữcảnhtoán vàngười học áp dụng nó để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. Trong năm loại này, chúng tôi thấy rằng loại đầu và loại cuối muốn nói đến hìnhthứctíchhợptrongnộibộtừngmônhọc.Loạithứba(MS)nhắmđếncáchtiếpcận“tíchhợp” theo nghĩa mà Berlin và White (1992) đã đề cập: “trộn lẫn Toán và Khoa học lạivới nhau từ sự liên kết các khái niệm, nguyên lí và sử dụng chung các phương phápnghiên cứu” (tr.
Bachiếnlược dạy họcliên môn Toán –Khoahọc
Theo đú, ngoàinhững mục tiờu trong nội bộ môn học, việc DH Toán cũng cần phải cung cấp các kháiniệm, ý tưởng, phương pháp là công cụ giải quyết các vấn đề của khoa học nói chung,Vậtlínóiriêng.Theochiềungượclại,mộtsố vấnđềvậtlícóthểđượcsửdụngđểđemđến động cơ nảy sinh và ý nghĩa cho các khái niệm toán học. Bài toán – tâm:Là chiến lược xây dựng các bài toán tâm điểm, theo nghĩa là cầnhuy động kiến thức và kỹ năng của cả toán học lẫn các khoa học khác để giải quyết.Kiếnthứccủanhiềumônhọcsẽhộitụvềmộtbàitoánnày,từđótạorahoàncảnhthuậnlợichoviệ ctíchhợpchúnglạivớinhau.Cácbàitoán –tâmcóthểtìm thấytừ thựctiễncuộc sống, từ ứng dụng của công cụ toán học vào các khoa học hoặc đến từ phân tíchnguồngốclịchsửđểthấyđượcđâulànhữngvấnđềđemđếnđộnglựcchosựhìnhthànhcủakhái niệm.
Hiểukhái niệmtoánhọc 1. Ảnhkháiniệm
Pape và Tchoshanov (2001) phân chia các biểudiễn thành hai loại: một loại là kết quả của “sự trừu tượng bên trong” các ý tưởng vàthiếtlậpnhữnglượcđồnhậnthứctrongquátrìnhhọctập.Loạithứhailànhữngbiểulộbên ngoài của các khái niệm toán học như các biểu diễn số, phương trình đại số, đồ thị,bảng, biểu đồ, lời, … Loại này đóng vai trò kích thích nhận thức, giúp người học hiểuvà sử dụng được khái niệm. Trong nhiều trường hợp, những hoạt động trên các quá trình liên quan đến kháiniệm không đem đến một cách hiểu về bản thân khái niệm, mà có thể chỉ hình thành ởngườihọcmộtdạngkiếnthứcquytrìnhvềkháiniệmđó.ChẳnghạnmộtHScóthểbiếtvề sự tồn tại của một khái niệm có tên là tích phân, biết kí hiệu và vận dụng được cáccông thức hay quy trình để tính toán và giải các dạng toán, tuy nhiên lại không thật sựhiểuđượckháiniệm.Vớimụcđíchnghiêncứucủamình,chúngtôimuốnxâydựngmộthiểubiếtvềk háiniệmđầyđủhơnchoHSvềđạohàmvàtíchphân.Mộtkiếnthứckháiniệm đầy đủ như vậy theo định nghĩa của Hiebert và Lefevre cần phải được làm giàutrong những kết nối.
Ứngdụngkhái niệmtoán học
Để giải quyết một bài toán vật lí Jones (2010) cho rằng cần phải xây dựng đượcmột mô hình toán học cho nó, từ đó chuyển đổi được vấn đề đặt ra thành các phươngtrìnhtoánhọctrướckhicóthểxâydựngvàthựchiệnđượccácquytrìnhgiải.Tuynhiên,những bài toán vật lí thường đặt trong ngữ cảnh thế giới thực, sử dụng các biểu diễnkhác nhau như các từ ngữ, bảng số, đồ thị, hình ảnh để diễn đạt vấn đề. Bêncạnhviệcnhấnmạnhvaitròcủahiểukiếnthứctoánhọc,nhiềunhànghiêncứucòn quan tâm đến sự biến chuyển của cách hiểu và kiến thức này khi người học ứngdụngchúngvàovậtlí.Chẳnghạn,HSđãbiếtvềtíchphânnhưngcáchhiểuvềtíchphânsẽnhưthến àokhihàmsốlấytíchphâncómộtýnghĩavậtlícụthể.Vậndụnglýthuyếtvề “sự hòa trộn nhận thức” (cognitive blending) của Fauconnier and Turner (2002),Jones (2010) chỉ ra rằng có một sự trộn lẫn trong nhận thức của người học giữa cáchhiểu về một khái niệm toán học với những đại lượng có liên quan trong Vật lí hay cácngữ cảnh ứng dụng khác.
Tiểukết
Sự ghi nhớ những kiến thức theo quy trình nhưng không được hỗ trợ bởi việc hiểu kháiniệmchỉtạorađượcnhữngthànhcônghạnchế.Sựlinhhoạtcầnthiếtđểgiảiquyết. Vì thế, để tìmđược các công cụ toán học phù hợp thì người học cần phải có hiểu biết cũng như sửdụngđượccácbiểudiễnkhácnhaucủakhái niệmtoánhọctươngứng.
ThuyếtnhânhọctrongDidactic
(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.25)Lý thuyết về chuyển hóa sưphạmchỉra nhữngchênh lệch có thể xuấthiệngiữa trithứcđượcdạy vớicáctrithứcbáchọclàthamchiếucủanó,vàsựchênhlệchnày đếntừnhữngràngbuộctácđộnglêntrithứcởmỗimộtthểchếmànóhiệndiện.Đểtìmhiểunhữngchênhl ệchnàytrướctiêncầnphảitiếnhànhmộtnghiêncứutrithứcởthểchếđãtạoranótronglịchsử.Một phântíchtrithứcluậnlịchsửvềtrithứccầndạysẽthực hiệnđượccôngviệcđó. Hay nói khác đi là có tồn tại mối quan hệ cá nhân của XvớiOhaymốiquanhệthểchếcủaIvớiO.MốiquanhệgiữaXvàOđượcthểhiệnquatập hợp tất cả các tác động qua lại mà X có với O (hiểu về O, sử dụng O, nói về O,…).Và tương tự như thế, mối quan hệ thể chế giữa I với O sẽ cho biết O xuất hiện ở đâutrongI,xuấthiệnnhưthếnào,giữvaitròvàcómốiliênhệgìvớicácđốitượngtrithứckháctrongth ểchếđó,…CóthểhìnhdungthểchếIhaylàcánhânXnhưnhữngkhônggiansống.
Lýthuyếttìnhhuống
Biến DH là một khái niệmquan trọng của lý thuyết tình huống vì nó giúp thấy được cách thức vận hành đặc trưngcủa một tình huống lí tưởng: GV gián tiếp điều khiển quá trình học tập bằng cách chọncácgiátrịcủabiếnDH mộtcáchcódụngý.HShọctậpthôngquasựthayđổicácchiếnlược giải quyết vấn đề cài trong tình huống và sự tiến. (2014) thì những bước sau đây cần thực hiện để xâydựng một đồ án DH: 1/Phân tích tri thức luận (gắn với những đặc trưng của tri thức);2/Tìm hiểu nhận thức cá nhân của người học về tri thức (gắn với những đặc trưng củaHS); 3/Phân tích thể chế (gắn với các đặc trưng của hệ thống giáo dục và DH); 4/Phântích các biến DH của tình huống được sử dụng trong đồ án; 5/Phân tích.
Kếtluậnchương1:những nghiêncứu cầntriển khai
Theo chiều ngược lại,phương pháp luận nghiên cứu của lý thuyết đồ án DH cung cấp những bước thích hợpđể xây dựng và phân tích trước các tình huống DH cũng như để kiểm chứng được tínhhợp thức của các giả thuyết nghiên cứu dựa vào sự so sánh giữa phân tích tiên nghiệmvàhậunghiệm. Dưới sự soi sáng của lý thuyết tình huống, một nhiệm vụ quan trọng mà chúng tôiphải thực hiện là tìm kiếm các tình huống lí tưởng từ nguồn gốc tri thức luận sao chovừa tận dụng được các gắn kết LM Toán – Vật lí và vừa tạo điều kiện tối ưu cho hoạtđộngtựkiếntạotrithứcởngườihọc.NhữngtìnhhuốngLMnhưvậycóthểtìmthấytừsựrađờiv àtiếntriểncủađạohàmvàtíchphântronglịchsử.Đósẽlàhạtnhânđểchúngtôi thiết kế hoạt động học tập và lựa chọn.
Quan hệgắn kếtgiữaToán họcvớiVậtlíhọctronglịch sửhình thành và tiếntriểncủađạohàm,tíchphân
Galileo cũng thông báo một kết quả tương tự như của Beeckman (độ dời của mộtvậtrơitựdotừtrạngtháinghỉ𝑡=0thìtỉlệvới𝑡2)trongmộtbứcthưgửiđinăm1604.Galileo không chỉ giải thích được mối quan hệ bậc hai này từ phương pháp đồ thị củaOresme mà còn tìm ra cách kiểm tra sự đúng đắn của nó bằng TN (thực nghiệm củaGalileo dựa trên chuyển động của một vật lăn. theo mặt phẳng nghiờng được núi rừ. ởPhụlục1,trangPL4)NhậnđịnhvềnhữngthànhtựunàycủaOresmevàGalileo,Boyer(1959)chorằ ng:“OresmevàGalileođãsửdụngcôngcụhìnhhọcđểgiảiquyếtvấnđề,tuy chưa được chặt chẽ về mặt toán học nhưng đây là giải pháp hợp lí nhất khi mà tíchphânchưađượchìnhthành”(tr.83). Vật lí học giúp đưa vào Toán học khái niệm về sự biến thiên liên tục và GT đemlại công cụ để nghiên cứu sự biến thiên đó (chẳng hạn đạo hàm giúp xác định tốc độbiếnthiên).Cáchiệntượngtựnhiênđượcmôtảbằngcáchthiếtlậpcácphươngtrìnhviphânhayph ươngtrìnhđạohàmriêngmàviệcgiảichúngsẽchophépnhàkhoahọctìmraquyluậtvậtlíẩnphíasau hiệntượngđó.MộtminhhọachođiềunàylàcáchmàEulerđãthựchiệnđểtìmraquyluậtdaođộngcủac onlắclòxonăm1739.Ôngthiếtlậpđượcmột phương trình vi phân mô tả dao động của con lắc lò xo từ công thức tính lực đànhồi và định luật hai Newton, sau đó giải nó để tìm ra được sự phụ thuộc của li độ theothời gian là một hàm số dạng𝑠𝑖𝑛.
Đặctrưngtrithức luậncủađạohàmvàtíchphân
Đểtínhdiệntíchcáchình, ngườitaxấpxỉnóbằngtậphợpcáchìnhnguyêntốnàođó.Lậptổng các diện tích nguyên tố này chúng ta sẽ có một giá trị gần đúng cho diện tích hìnhbanđầu.EdoxusvàArchimedesđãpháttriểnýtưởngnàythànhphươngpháp“vétkiệt”cho phép chuyển qua giới hạn các tổng trên để xác định được chính xác diện tích cầntìm. Các bài toán vật lí (tính quãng đường chuyển động, trọng tâm vật rắn, hay các đạilượng vật lí liên quan đến một đại lượng biến đổi khác) đóng vai trò quan trọng hơntrongsựtiếntriểnsaunàycủakháiniệmtíchphân.Cácnhàkhoahọcnhậnrasứcmạnhcủa tư tưởng tích phân có thể giúp họ giải quyết nhiều vấn đề khác nhau, đặc biệt trongkhoa học Vật lí.
Kếtluậnchương2vànhữnggợiýsưphạmđượcrútra
Phátminhphươngphápbiểudiễnđồthị mộthàmsố(lúcnàyđượchiểulàmộtđạilượng biến thiên theo một đại lượng khác) là một bước quan trọng trong lịch sử để gắnkếtGTvớiHìnhhọc.Oresmeđãsửdụngphươngphápnàyđểbiểudiễnvàchứngminhmộtsốkếtq uảliênquanđếncácđạilượngbiếnđổi.Chẳnghạn,ôngkiểmtrađượcmốiquanhệgiữavậntốcvớiquã ngđườngđiđượcvàrútrakếtluậnrằngquãngđườngbằngvớimộtdiệntích.Tuynhiênđểcóđượckếtqu ảnày,Oresmeđãbắtđầuvớimôhìnhđồthịrờirạc.Ôngdùngcácđoạnthẳngvuônggóchoặcdả ihìnhchữnhậtmỏngđểbiểu. Những phân tích lịch sử ở trên đưa ra một gợi ý cho việc thiếtkế tình huống DH khái niệm tích phân theo cách hiểu giới hạn tổng Riemann:chúng tacó thể bắt đầu với việc giới thiệu mô hình đồ thị rời rạc thay vì là một đường cong liêntục.Gắn nó với ngữ cảnh động học, một vận tốc biến đổi có thể được xấp xỉ rời rạc bởimột dãy các vận tốc khác nhau nhưng không đổi trong các khoảng thời gian liên tiếp(mô hình hàm bước).
Mụctiêucủa chươngvàđịnhhướngthựchiện
Haiđiềucầnnhấnmạnhtừkếtluậnrútraởtrên:MộtlàVậtlíđãcungcấpcácngữcảnh và vấn đề có thể làm nảy sinh khái niệm đạo hàm và mang lại nghĩa tốc độ biếnthiêntứcthờichonó.Hailà,thểchếDHVậtlícầnđếncôngcụđạohàmmộtcáchtườngminh để giải quyết các vấn đề đặt ra mà ở đó có sự tác động của cách hiểu tốc độ biếnthiênvàđặctrưngvềxấpxỉtuyếntính.NhìnnhậnhaiđiềutrêntừquanđiểmLM,chúngtôi thấy được sự hỗ trợ đầy tiềm năng mà𝐼𝑉𝐿 ã cung cấp trong việc giúp hiểu ầy ủđầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được hơn khái niệm đạo hàm. Nghiêncứuvềtổchứctrithứcliênquanđếnkháiniệmđạohàmtrongluậnvăncủachúng tôi (Ngô Minh Đức, 2013) và bài báo của Nguyễn Phú Lộc và Nguyễn Văn Nu(2015) đã chỉ ra: SGK toán ưu tiên cho. các kiểu nhiệm vụ tính toán đạo hàm và. kiểunhiệmvụliênquanđếnhaiđặctrưng đangbànđếnlàtốcđộbiếnthiênvàđặctrưng xấpxỉhàmsố. Các ứng dụng chủ yếu của đạo hàm trong Vật lí là tính toán các đại lượng có liênquanđếntốcđộbiếnthiêntứcthời.TuynhiênSGKtoánchỉđưavàohaikiểunhiệmvụ. Công nghệ giải thích cho kĩ thuật này liên quan đến bản chất vật lí mà đặcbiệtlàđặctrưngtốcđộbiếnthiờnlại khụngđượclàmrừ. độbiếnthiêncủađạohàmkhônghềxuấthiệntrongSGKtoánlớp11ởcảhaiphânban.SGK GT 12 nâng cao thì có đưa vào một bài toán duy nhất liên quan đến cách hiểu tốcđộbiếnthiên,nhưngnólạikhông phảilàbàitoánvậtlí. Sốdân củamột thị trấnsau𝑡năm kểtừnăm 1970đượctính bởicôngthức:. Xem𝑓làmộthàmsốxácđịnhtrênnửakhoảng[0;+∞).Tìm𝑓′vàxétchiềubiếnthiêncủahàm số𝑓trên nửakhoảng[0 ; +∞).
Cơsởđềxuấtgiảipháp
Để có thể hiểu được những ứng dụng đa dạng của tích phân trong Vật lí, các nhànghiêncứugiáodụctoánvàvậtlítrênthếgiớiđềuchorằngngườihọcphảisởhữucáchhiểu về tích phân dựa trên cấu trúc tổng Riemann (Thompson và Silverman, 2008;Meredith và Marrongelle, 2008; Jones, 2015a). Nhận định này cũng được xác nhận từkết quả nghiên cứu thể chế của chúng tôi ở chương 3. Cụ thể hơn, khi xem xét các kiểunhiệm vụ trong thể chế𝐼𝑉𝐿, chúng tôi nhận thấy hai đặc trưng quan trọng sau đây xuấthiệnởnhữngđạilượngvậtlí đượctínhbởitíchphân. 𝑡 ), và công bằng tích của lực với độ dịch chuyển khi lựckhôngđổivàcùnghướngvớiphươngchuyểnđộng(𝐴=𝐹. Định lí cơ bản cho thấy được mối quan hệ đảo ngược giữa tích phân với đạo hàm.Từ mối quan hệ này, khi một bài toán vật lí giải được bằng cách áp dụng đạo hàm thìluôn có thể đặt ra một bài toán ngược lại, ở đó tích phân là phương tiện để giải quyết.Như chúng tôi đã đề cập đến trước đó, có thể xem đây là cặp bài toán thuận – nghịch.Chẳnghạn,vìvậntốcđượctínhbằngcáchđạohàmhàmsốquãngđườngthếnêncóthểxác định quãng đường bằng cách lấy tích phân hàm vận tốc trong khoảng thời gianchuyển động16.
Cácgiảiphápsư phạm
Chẳng hạn, với khái niệm tích phân, những cách hiểu khác nhau có thể xây dựnglà: giới hạn tổng Riemann; hiệu giá trị hai nguyên hàm (phép toán đảo ngược của đạohàm); diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành; và một số ý nghĩa vật lí nhưquãng đường, công… Giải pháp này hướng đến việc xây dựng các tình huống DH màcó thể liên kết được những cách hiểu nói trên vào cùng một khái niệm – chẳng hạn ởđâylàtíchphân.Điềunàyđemđếnchongườihọcmộtdạngkiếnthứcgắnkếtđượclàmgiàutrongnh ữngmốiliênhệ,từđógiúphọhiểuđầyđủhơnvềkháiniệmvàcókhả. Ở ví dụ 8.4, HS sẽ cần kết nối quãng đường cần so sánh với tích phân hàm số vậntốc và tiếp tục kết nối tích phân này với diện tích dưới đồ thị để thực hiện việc so sánh.Với ví dụ 8.5, công thức tính công trong Vật lí khi lực không đổi và cùng phương vớiphươngdịchchuyểnđượcchúngtôinhắclại.Đểcóthểtínhcôngnàykhilực𝐹(𝑠)biếnthiên, chúng ta phải cần đến sự tác động của cách hiểu tích phân theo cấu trúc tổngRiemann.Cầnphảithôngbáorằng,việchìnhthànhcáchhiểutíchphântheokĩthuậtlậptổng Riemann là một trong những mục tiêu mà đồ án DH của chúng tôi ở chương 5 đặtra.
Đồándạy họckháiniệmđạohàm 1. Mục tiêuxâydựngđồán
Bêncạnhđóchúngtôicònápdụnggiảipháp5(thiếtlậpcáchhiểuvềđạohàmmộtcách tường minh theo tốc độ biến thiên tức thời) vàgiải pháp 7(soi sáng lại các ứngdụngcủa đạohàmtrongnhiềuvấnđềvậtlítrướcđó)đểtăngcườngvaitròcôngcụcủađạohàmtrongVậtlí.Liê nquanđếnnhữngviệclàmnày,chúngtôicũngđangvậndụnggiải pháp 9nhằm trang bị cho HS kiến thức đạo hàm đặt trong ngữ cảnh để hỗ trợ tốthơnchoviệchiểuvàứngdụng trithứcđangđềcập. Mục tiêu của chúng tôi là mang lại cho HS cách hiểu về đạo hàm theo tốc độ biếnthiêntứcthời.Vìlẽđó,cáchlựachọncácgiátrịcủabiếnDHphảihướngHStừviệcsửdụng chiến lược𝑺trung bình(ban ầu) sang chiến lược tính giới hạnđầy đủ của Beeckman được 𝑺tức thời(mong ợi).đầy đủ của Beeckman được Để làm điều này cần dẫn dắt HS đến việc tính tốc độ tăng trung bình trên một khoảngđủ nhỏ để sau đó𝑺tức.
Hàmsốnhiệt độ𝒇(𝒕)
Phântích hậunghiệm
Chẳnghạnnhưtrườnghợpcủanhóm6,banđầucácemchọn∆𝑡=5thấychưathànhcôngnêntiếptục chọngiátrịlớnhơn(∆𝑡=11)vàtiếptụcthấtbại.Cácthànhviênnhómnàysauđó quyết định thử chọn một khoảng thời gian thật nhỏ∆𝑡 = 0,001 và đã thu được kếtquảphùhợp.Vớinhóm3,mặcdùđãlựachọn∆𝑡cànglúccàngnhỏnhưngđếnlầnchọnthứbavẫnc hưathànhcông(khi∆𝑡=0,25thìtốcđộtăngtrungbìnhtrênhaiđoạnbằngnhau). Tỏ ra nghi ngờ giá trị này có vấn đềnên nhóm này chỉ chọn∆𝑡 = 10−6và thu ược kết quả tốc ộ tăng trung bìnhđầy đủ của Beeckman được đầy đủ của Beeckman được là0,7499985.Nhóm5vànhóm6thìvẫnđưarakếtquả0,75ứngvới∆𝑡lầnlượtlà10−10và10−11.Nh óm2có mộtemđãsửdụngphầnmềmtínhtoáncàitrênđiệnthoạiđểtínhđược tốc độ tăng trung bình khi∆𝑡.
Kếtluậnchothựcnghiệmdạy họckháiniệmđạohàm TrongđồánDHnày,chúngtôiđãsử
Kết thúc pha này, tất cả HS tham gia TN đều nhận ra vai trò công cụ trong nhữngvấnđềvậtlítrướcđómàcácemđãhọcmàcóliênquanđếnđặctrưngtốcđộbiếnthiên.Bên cạnh đó, các em còn chỉ ra được rằng những đại lượng vật lí đang nói cũng đượctính toán theo giới hạn tỉ sai phân.
Đồándạyhọckháiniệmtíchphân 1. Mục tiêuxây dựngđồán
Bên cạnh đó, chúng tôi cũng vận dụnggiải pháp 8khi đưa vào đồ án một số kiểunhiệm vụ LM mà việc giải quyết cần đến cả kiến thức toán và vật lí (ví dụ 8.4 và 8.5).TrảinghiệmvớicáctìnhhuốngvậtlítrongđồánvàcáckiểunhiệmvụLMvừanóiđếncòn là cơ hội để soi sáng lại cơ sở toán học cho phương pháp toán học mà𝐼𝑉𝐿 ãđầy đủ của Beeckman được dùngđểgiảiquyếtnhiềuvấnđềcủamình:giảipháp7.Cuốicùng,việcDHkháiniệmtích phân theo cách tiếp cận LM Toán – Vật lí như trên đem đến “kiến thức ngữ cảnh”. - Theo diện tích: Quãng đường bằng diện tích hình phẳng dưới đồ thị hàm số𝑣(𝑡).Sơđồtrênchothấyngữcảnhmàchúngtôilựachọnlàcơhộiđểliênkếtcáccáchhiểuk hácnhaucủatíchphân.Bêncạnhđó,phươngphápchianhỏ,lậptích,tổngvàchuyển quagiới hạndùngchoviệctínhquãng đườnghoàntoàncóthểvận dụngtươngtựchotrongnhiềungữcảnhvậtlíkhác.NógiảithíchchoHShiểuđượcnh ữngứngdụng rộng rãi của tích phân, giúp các em nhận ra ngữ cảnh nào cần đến khái niệm đangnói.Phântíchnàychothấy,ngữcảnhvậtlínóitrêncóthểgiúpngườihọchiểubảnchấtcủatíchphân, làmquenvớikỹthuậtnghiêncứuGT,nhậnraứngdụngđadạngcủakháiniệmtrongVậtlí–.
Cácchiếnlượccóthể
Cơ sở cuối cùng cho việc chọn biến DH đến từ kết quả phân tích tri thức luận liênquanđếnquátrìnhnảysinhvàtiếntriểncủakháiniệmtíchphântronglịchsử.Theođó,một trong những kết luận sư phạm quan trọng mà chúng tôi rút ra là “sự tiến triển củamô hình đồ thị rời rạc để mô tả các đại lượng vật lí là một hỗ trợ quan trọng cho việchìnhthànhphéptínhtíchphân”20.Tậndụnggợiýnày,chúngtôisẽđểchoHSlàmquentrướcvớivi ệctínhtoánquãngđườngtrênmôhìnhđồthịrờirạctrướckhitiếpcậnvới. Vớibàitoán4:hàmsố𝑣(𝑡) ượcđầy đủ của Beeckman được chọnlàdạnghàmbước.Cụthểthì𝑣(𝑡)nhậngiátrị là hằng số trong mỗi khoảng thời gian, các giá trị hằng số này thay đổi qua từngkhoảngthờigianliêntiếp.Đểhợplíhóamộtchuyểnđộngcóvậntốcgiánđoạnnhưvậychúng tôi sử dụng tình huống chạy tiếp sức trong đó mỗi vận động viên có một vận tốcriêngbiệt.
Hàmsố lấytíchphân
Việc tăng số vận động viên trong bài toán 4 ở câubthật ra là một cách minh họacho việc tăng số khoảng chia trong bước phân hoạch của𝑺Riemann. Ngữ cảnh vật lí cần được lựa chọn để khái niệm tích phân có thể tác động.
Yêu cầucủa bàitoán
Phântích hậunghiệm
Các nhóm ngồi thành một vòng tròn để tiện thảo luậnvàtraođổi.Mỗitrợgiảngthựchiệnviệcquayphimghilạihoạtđộngthảoluậncủatừngnhóm.Ngoà ira,mộtmáyquayphimđặtởcuốilớpsẽghihìnhtoàncảnhmọihoạtđộngcủaGVvàHStrongsuốtbuổi TN.Saumỗiphalàmviệc,GVthulạigiấynhápcủatừngHS và xem xét phiếu trả lời của mỗi nhóm trước khi tiến hành thảo luận tập thể với cảlớp. Ởcuốiphanày,GVtổngkếtlạimộtbiểudiễnmớichogiátrịquãngđườngkhivậntốckhôngđổi:đ ólàquãngđườngtrênđiđượctrênđoạnthờigian[𝑡1;𝑡2]bằngvớidiệntíchhìnhgiớihạnbởiđồthịhà msố𝑣(𝑡),trụchoànhvàbịchặnhaibênbởihaicậnthờigian𝑡1;𝑡2.Saupha2,HSnắmđượclớptích(tính mộtđạilượngbằngtíchhaiđạilượngkhác) và biểu diễn hình học của nó trong ngữ cảnh bài toán tính quãng đường.