Luận văn biến đổi sóng nhỏ và sự phân tích thời gian tần số (tt)

i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Hồng Đức – Thanh Hóa hướng dẫn TS Mai Xuân Thảo Nhân dịp em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Mai Xuân Thảo, người bảo cho nhận xét quý báu giúp em hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cám ơn tới Trường Đại học Hồng Đức, ban lãnh đạo Khoa KHTN, thầy, cô giáo – người tận tình giảng dạy giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu khoa học; gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo nhiều điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Do khả thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo thầy, ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện ii MỤC LỤC Một số ký hiệu dùng luận văn iii Lời mở đầu Chương Biến đổi sóng nhỏ 1.0 Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến đổi Gabor 1.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn nguyên lý bất định Chương Sự phân tích thời gian - tần số 2.1 Biến đổi tích phân sóng nhỏ 2.2 Sóng nhỏ nhị nguyên phép biến đổi ngược 2.3 Dàn 11 2.4 Chuỗi sóng nhỏ 13 Kết luận 18 Tài liệu tham khảo 19 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • L2 (R): Khơng gian hàm đo có modul lũy thừa bậc hai khả tổng • L1 (R): Khơng gian hàm đo R có modul bậc khả tổng • ( f ∗ g) : Tích chập hai hàm số f , g • gα : Hàm Gauss • Gbα : Biến đổi Gabor hàm f • Gαb,ω : Hàm cửa sổ • fˆ: Biến đổi Fourier hàm f • fˆk : Hệ số Fourier thứ k hàm f • Z: Tập hợp số nguyên • R: Tập hợp số thực LỜI MỞ ĐẦU Sóng nhỏ đối tượng quan tâm nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng Tốn học Hiện có ba khuynh hướng nghiên cứu sóng nhỏ, là: Nghiên cứu sóng nhỏ sở để biểu diễn hàm số Một kỹ thuật để phân tích thời gian - tần số tín hiệu Một đối tượng toán học Cả ba khuynh hướng đà phát triển mạnh mẽ Tương tự giải tích Fourier, giải tích sóng nhỏ “Phép biến đổi tích phân sóng nhỏ” “Chuỗi sóng nhỏ” hai thực thể tốn học đóng vai trị nịng cốt Với đề tài “Biến đổi sóng nhỏ phân tích thời gian - tần số”, nội dung luận văn trình bày số kết khuynh hướng thứ hai: Sóng nhỏ kỹ thuật để phân tích thời gian-tần số tín hiệu Để nghiên cứu dáng điệu phổ mơ hình tín hiệu từ biến đổi Fourier nó, ta phải nhận đầy đủ tin tức tín hiệu miền thời gian, chí bao gồm thơng tin tương lai tín hiệu Ngồi ra, tín hiệu thay đổi lân cận nhỏ thời điểm phổ ngun bị ảnh hưởng Thật vậy, trường hợp cực trị biến đổi Fourier phân phối đenta δ (t − t0 ) với giá thời điểm đơn t0 e−iωt0 phủ miền tần số nguyên Do đó, nhiều ứng dụng phân tích tín hiệu khơng dừng xử lí tín hiệu thời gian thực, dùng cơng thức biến đổi Fourier hồn tồn khơng đủ Hạn chế cơng thức biến đổi Fourier phân tích tần số -thời gian D.Gabor nhận xét năm 1946, báo ông giới thiệu định vị thời gian “Hàm cửa sổ” g(t − b), b tham số, b sử dụng để tịnh tiến cửa sổ đến phủ miền thời gian nguyên để thu nhận thông tin địa phương biến đổi Fourier tín hiệu Thực vậy, Gabor sử dụng hàm Gauss cho hàm cửa sổ g Từ biến đổi Fourier hàm Gauss lại trở thành hàm Gauss, phép biến đổi Fourier nghịch đảo định vị tương thích Nội dung luận văn gồm: Chương I Biến đổi sóng nhỏ: Chương tìm hiểu biến đổi Gabor, thảo luận “Biến đổi Fourier thời gian ngắn” (STFT) nói chung nguyên lý bất định để điều chỉnh kích thước cửa sổ Đặc biệt quan sát cửa sổ thời gian - tần số (STFT) khơng hiệu cho tín hiệu phát tần số cao tín hiệu điều tra với tần số thấp Chương Sự phân tích thời gian - tần số: Chương này, ta quan tâm đến biến đổi tích phân sóng nhỏ (IWT) vấn đề thay cửa sổ biến đổi biến đổi ngược Fourier STFT cửa sổ IWT hàm (hoặc tín hiệu) biến đổi Fourier trực tiếp Điều cho phép định vị t phép giãn tham số (thang) cửa sổ thời gian - tần số rộng hẹp phụ thuộc vào tần số thấp cao Ngược lại, biến đổi tích phân sóng nhỏ (IWT) cần xây dựng lại tín hiệu từ thơng tin phổ địa phương phân tích Thơng tin thời gian rời rạc liên tục nhận xét tới Điều dần tới việc tìm hiểu dàn chuỗi sóng nhỏ phần cuối luận văn 3 CHƯƠNG BIẾN ĐỔI SÓNG NHỎ 1.0 Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến đổi Gabor Giả sử hàm f ∈ L2 (R) biểu diễn tín hiệu tương tự với lượng hữu hạn biến đổi Fourier xác định bởi: fˆ(ω) = Z∞ e−iωt f (t)dt (1.1) −∞ cho ta thơng tin phổ tín hiệu Trong t ω biến thời gian tần số tương ứng Hạn chế là, cơng thức (1.1) chưa đủ để thu nhận thông tin phổ fˆ từ quan sát địa phương tín hiệu f Điều cần thiết cửa sổ- thời gian “tốt Cửa sổ “tối ưu” cho định vị thời gian đạt cách sử dụng mơt hàm Gauss có dạng: t2 gα (t) := √ e− 4α , πα α = const, α > 0, (1.2) hàm cửa sổ, tính chất tối ưu đặc trưng ngun lí bất định trình bày phần sau ∀α > 0, α = const, “Biến đổi Gabor” hàm f ßL2 (R) xác định bởi: (Gbα Z∞ f )(ω) = e−iωt f (t)gα (t − b) (1.3) −∞ Trong đó: (Gbα f )(ω) định xứ biến đổi Fourier xoay quanh t = b Độ rộng cửa sổ xác định số dương α Người ta chứng minh ω = α = thì: 4α Z∞ −∞ gα (t − b)db = Z∞ gα (x)dx = −∞ (1.4) Do đó: Z∞ (Gbα f )(ω)db = fˆ(ω), ω ∈ R −∞ nghĩa tập hợp {Gbα f : b ∈ R} biến đổi Gabor f phân tích thành biến đổi Fourier fˆ hàm f để cung cấp thông tin phổ địa phương cho Để chọn phép đo độ rộng hàm cửa sổ ta sử dụng khái niệm độ lệch chuẩn bình phương trung bình xác định bởi: ∆gα :=   Z∞ kgα k2  x2 g2α (x)dx 1/2  (1.5)  −∞ Định lý 1.1.1 Với α > ∆gα = √ α (1.6) √ Nghĩa độ rộng hàm cửa sổ gα α 1.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn nguyên lý bất định Biến đổi Gabor gọi biến đổi Fourier cửa sổ với hàm Gauss gα hàm cửa sổ Vì lý khác hiệu tính tốn, thuận lợi hàm sử dụng thay cho hàm cửa sổ Với hàm không tầm thường w ∈ L2 (R) để hàm sổ thỏa mãn điều kiện sau: tw(t) ∈ L2 (R) (1.7) cho |t|1/t w(t) ∈ L2 (R) từ (1.7) sử dụng bất đẳng thức Schawrz cho tích hai số: (1 + |t|)−1 (1 + |t|)w(t) ta thấy, w ∈ L1 (R) biến đổi Fourier wˆ liên tục wˆ ∈ L2 (R) nhiên thỏa mãn điều kiện (1.7) nên khơng thể có hàm cửa sổ (tần số) Nhớ lại ý nghĩa hàm Gauss gα (Biến đổi Fourier hàm Gauss gα ) cho gα gˆα dùng định xứ thời gian - tần số 5 Như vậy, với ω ∈ L2 (R) thỏa mãn (1.7) định nghĩa tâm bán kính ω xác định x := ||ω||22 ∗ Z∞ t|ω(t)|2 dt −∞ ∆ω :=   Z∞ ||ω||2  (1.8) (t − x∗ )2 |ω(t)|2 1/2  (1.9)  −∞ Ta sử dụng giá trị 2∆ω để biểu thị độ rộng hàm cửa sổ ω Trong giải tích tín hiệu ω coi tín hiệu tương tự ∆ω gọi bình phương trung bình (RMS) tiến hiệu tương tự ∆ωˆ gọi dãy sóng (RMS) với điều kiện ωˆ thỏa mãn (1.7) Biến đổi Gabor (1.3) tổng quát cho "Biến đổi Fourier cửa sổ" hàm f ∈ L2 (R) cách dùng hàm ω thỏa mãn (1.7) hàm cửa sổ sau: (G˜b f )(ω) := Z∞ e−iωt f (t)ω(t − b)dt (1.10) −∞ Do đó, cách đặt: Wb,ω (t) := eiωt ω(t − b) (1.11) Ta có được: Z∞ fb f )(ω) =< f ,Wb,ω >= (G f (t)Wb,ω (t)dt (1.12) −∞ fb f )(ω) cung cấp thông tin địa phương f cửa sổ thời gian Sao cho (G [x∗ + b − ∆ω , x∗ + b + ∆ω ] (1.13) Tiếp theo, ta giả sử biến đổi Fourier ω ωˆ thỏa mãn điều kiện (1.7) ta xác định tâm bán kính ω ∗ ∆ωˆ hàm cửa sổ ωˆ xác định công thức (1.8) (1.9) Bằng cách đặt: b Vb,ω (η) := Wb,ω (η) = 2π  eibω 2π  b − ω) e−ibη ω(η (1.14) hàm cửa sổ với tâm (ω ∗ + ω) bán kính ∆ωˆ Như vậy, theo bất đẳng thức Parseval thì: fb f )(ω) =< f ,Wb,ω >=< fˆ,Wb,ω > (G (1.15) fb f )(ω) thông tin phổ f cửa sổ tần số Do (G [ω ∗ + ω − ∆ωˆ , ω ∗ + ω + ∆ωˆ ] (1.16) Nếu chọn hàm w ∈ L2 (R) cho hai hàm ω ωˆ thỏa mãn (1.7) dựa vào định nghĩa biến đổi Fourier cửa sổ (1.10) ta có cửa sổ thời gian - tần số là: [x∗ + b − ∆w , x∗ + b + ∆w ] × [ω ∗ + ω − ∆wˆ , ω ∗ + ω + ∆wˆ ] (1.17) với chiều rộng 2∆w diện tích cửa sổ khơng đổi bằng: (1.18) 4∆w ∆wˆ Định nghĩa 1.2.1 Chọn w ∈ L2 (R) cho w biến đổi Fourier wˆ thỏa mãn (1.7) Khi đó, biến đổi Fourier cửa sổ giới thiệu (1.10) với w hàm cửa sổ gọi "Biến đổi Fourier thời gian ngắn" (STFT) Định lý 1.2.2 Cho hàm w ∈ L2 (R) cho w biến đổi Fourier wˆ thỏa mãn (1.7) Khi ∆w ∆wˆ > Hơn nữa, dấu đẳng thức xảy w(t) = c.eiat gα (t − b) (1.19) đây, c 6= 0, α > 0, a, b ∈ R Định lý 1.2.3 Cho w ∈ L2 (R) có chuẩn ||w||2 = 1; w, wˆ thỏa mãn (1.7) tập Wb,ω (t) xác định (1.11) Khi ta có: Z∞ Z∞ < f ,Wb,ω > < g,Wb,ω >dbdω = 2π < f , g >, ∀ f , g ∈ L2 (R) (1.20) −∞ −∞ Hệ 1.2.4 Giả sử hàm w thỏa mãn điều kiện định lý (1.2.3) hàm f ∈ L2 (R) Khi đó, f liên tục điểm x và: f (x) = 2π Z∞ Z∞   eiωx (Gb˜ f )(ω)w(t − b)dωdb −∞ −∞ (1.21) CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH THỜI GIAN - TẦN SỐ 2.1 Biến đổi tích phân sóng nhỏ Định nghĩa 2.1.1 Nếu hàm ψ ∈ L2 (R) thỏa mãn điều kiện "tính chấp nhận được" Z∞ ˆ |ψ(ω)| dω < ∞ |ω| Cψ := −∞ (2.1) Khi ψ gọi "sóng nhỏ sở" Liên quan với sóng nhỏ sở ψ có biến đổi tích phân sóng nhỏ (IWT) L2 (R) sau: Z∞   t −b f (t)ψ (Wψ f )(b, a) := |a| dt a − (2.2) −∞ f ∈ L2 (R), a, b ∈ R, a 6= Định lý 2.1.2 Cho ψ sóng nhỏ sở xác định IWT Wψ Khi Z∞ Z∞ h −∞ −∞ i da (Wψ f )(b, a)(Wψ g)(b, a) db = Cψ < f , g > a (2.3) với f , g ∈ L2 (R) Hơn nữa, ∀ f ∈ L2 (R), x ∈ R, f liên tục f xác định bởi: f (x) = Cψ Z∞ Z∞   da (Wψ f )(b, a) ψb,a (x) db a −∞ −∞ (2.4) Theo phân tích tín hiệu, ta có đại lượng tần số dương ω Do đó, ω∗ tần số biến đổi ω định nghĩa số a cho: ω = a ta phải xét đến giá trị dương a Hơn nữa, theo cấu trúc f từ IWT f phép sử dụng giá trị (Wψ f )(b, a), a > theo cơng thức ta đưa sóng nhỏ ψ phải thỏa mãn thêm điều kiện: Z∞ −∞ ˆ |ψ(ω)| dω = ω Z∞ ˆ |ψ(−ω)| dω = Cω < ∞ ω (2.5) Định lý 2.1.3 Giả sử ψ sóng nhỏ thỏa mãn điều kiện (2.5) Khi  Z∞ Z∞  −∞ −∞  da (Wψ f )(b, a)(Wψ g)(b, a)db = Cψ < f , g >, a ∀ f , g ∈ L2 (R) (2.6) Hơn nữa, với f ∈ L2 (R), x ∈ R f hàm liên tục điểm x ∈ R xác định f (x) = 2.2 Cψ    (Wψ f )(b, a)ψb,a (x)db Z∞ Z∞ −∞ da a2 (2.7) Sóng nhỏ nhị nguyên phép biến đổi ngược Để tính tốn hiệu thuận tiện, xét phân hoạch nhị phân, cụ thể là: (0, ∞) = ∞ [ (2 j ∆ψˆ , j+1 ∆ψˆ ) (2.8) j=−∞ với ∆ψˆ > tâm biến đổi Fourier ψˆ sóng nhỏ ψ Ta thấy ψˆ thỏa mãn điều kiện (1.7) Hơn nữa, với sóng nhỏ ψ điểm đơn ψ xác định α tương đương với dịch chuyển tần số ψˆ α, nghĩa là: ˆ − α) ψ (t) = eiαt ψ(t) ⇔ ψ (ω) = ψ(ω (2.9) Do đó, từ ∆ψ = ∆ψ , ∆ψ = ∆ψˆ , ta ln có tâm ψˆ ω ∗ = 3∆ψˆ Vì ta  ω∗ ω∗ − ∆ψˆ , + ∆ψˆ aj aj aj aj  = (2 j+1 ∆ψˆ , j+2 ∆ψˆ ) (2.10) (2.11) 10 với a j = , j ∈ Z Tâm tần số cho (2.10) xác định bởi: 2j 3∆ψˆ ω∗ ω j := = = × j ∆ψˆ aj aj (2.12) ω∗ để biểu thị tần số phức tạp ω Ở đây, a > tham số Vì vậy, ta sử dụng a giản nở (hoặc thang) Định nghĩa 2.2.1 Cho hàm số ψ ∈ L2 (R) gọi sóng nhỏ nhị nguyên tồn số A, B với A B < ∞ cho: ∞ A6 ˆ − j ω)|2 B, |ψ(2 ∑ hầu khắp nơi (2.13) j=−∞ Điều kiện (2.13) gọi “điều kiện ổn định” Để làm rõ thuật ngữ ta sử dụng kí hiệu: nguyên lí phản xạ hàm giới thiệu “bộ lọc” IWT: ψ (W j f )(b) := j/2     j −2 j (b) (Wψ ) b, j = f ∗ ψ (2.14) Khi (2.13) tương đương với: A k f k22 ∞ ∑ j=−∞ ψ 2 Wj f B k f k2 , f ∈ L (R) , (2.15) với A, B số Định lý 2.2.2 Giả sử ψ hàm thỏa mãn điều kiện (2.13) Khi ψ sóng nhỏ sở thỏa mãn: Z∞ A ln ˆ |ψ(ω)| dω, ω Z∞ ˆ |ψ(−ω)| dω B ln ω (2.16) Hơn nữa, A, B thỏa mãn điều kiện (2.13) thì: Z∞ Cψ := −∞ ˆ |ψ(ω)| dω = 2A ln |ω| (2.17) 11 Định nghĩa 2.2.3 Hàm ψ˜ ∈ L2 (R) gọi đối ngẫu nhị nguyên sóng nhỏ nhị nguyên ψ với f ∈ L2 (R) ta có: Z∞ ∞ f (x) = ∑  ψ ˜ j (x − b)) db (W j f )(b) j ψ(2 j=−∞−∞ ∞ = ∑ 23 j/2 j=−∞ Z∞ −∞ (2.18)   ˜ j (x − b))db (Wψ f ) b, j ψ(2 Định lý 2.2.4 Cho ψ sóng nhỏ nhị nguyên Khi đó, với hàm ψ ∗ khai triển Fourier ψ ∗ xác định công thức: ˆ ψ(ω) c∗ := ψ ∞ ˆ −k ω)|2 ∑ |ψ(2 k=−∞ Được gọi đối ngẫu ψ Hơn nữa, ψ ∗ sóng nhỏ nhị nguyên với: B ∞ ∑ c∗ (2− j ω)|2 |ψ j=−∞ , A hầu khắp nơi (2.19) Định lý 2.2.5 Cho ψ sóng nhỏ nhị nguyên ψ˜ ∈ L2 (R) thỏa mãn điều kiện: ∞ ess sup ∑ −∞ hai mệnh đề sau tương đương với nhau: 13 (i) {ψb0 ; j,k } sở Riesz L2 (R) (ii) {ψb0 ; j,k } dàn L2 (R) độc lập thuộc tuyến tính l có nghĩa là: ∑ c j,k ψb0 ; j,k = 0, {c j,k } ∈ l c j,k = Hơn nữa, chặn Riesz chặn dàn Định lý 2.3.4 Giả sử ψ ∈ L2 (R) hàm sinh dàn {ψb0 ; j,k } L2 (R) với chặn dàn A, B hệ số b0 > Khi biến đổi Fourier ψˆ thỏa mãn: ∞ b0 A ∑ 2 ψ(2 ˆ − j ω b0 B (hầu khắp nơi) (2.27) j=−∞ 2.4 Chuỗi sóng nhỏ Định nghĩa 2.4.1 Giả sử ψ ∈ L2 (R) R - hàm sinh dàn {ψ j,k } Khi đó: (i) ψ sóng nhỏ trực giao {ψ j,k } thỏa mãn điều kiện sau: ψ j,k , ψl,m = δ j,l δk,m , j, k, l, m ∈ Z (2.28) (ii) ψ gọi sóng nhỏ bán trực giao {ψ j,k } thỏa mãn điều kiện sau: ψ j,k , ψl,m = , j 6= l ; j, k, l, m ∈ Z (2.29) Nhận thấy ,một sóng nhỏ trực giao “tự đối ngẫu” theo nghĩa: ψ j,k = ψ j,k ; j, k ∈ Z Định lý 2.4.2 Với hàm φ ∈ L2 (R) mệnh đề sau tương đương: (i) {φ (x − k) : k ∈ Z} họ trực giao có nghĩa hφ ( − k), φ ( − l)i = δk,l ; k, l ∈ Z (2.30) 14 (ii) Biến đổi Fourier ψˆ ψ thỏa mãn: 2π Z∞ e−i jx φˆ (x) dx = δ j,0 , j∈Z (2.31) −∞ (iii) Đồng thức: ∞ φˆ (x + 2πk)2 = ∑ (hầu khắp nơi) (2.32) k=−∞ Định lý 2.4.3 Với φ ∈ L2 (R) hai số A, B với < A B < ∞ Khi hai mệnh đề sau tương đương: (i) {φ ( − k) : k ∈ Z} thỏa mãn điều kiện Riesz với chặn A B tức với {ck } ∈ l thì: ∞ A k{ck }kl ∑ ck φ ( − k) B k{ck }k2l k=−∞ (2.33) (ii) Biến đổi Fourier φˆ φ thỏa mãn: ∞ A6 ∑ φˆ (x + 2πk)2 B (hầu khắp nơi) (2.34) k=−∞ Từ hai định lí ta xây dụng số cơng thức sóng nhỏ bán trực giao đối ngẫu sau: Định lý 2.4.4 Giả sử ψ ∈ L2 (R) sóng nhỏ bán trực giao định nghĩa ψ˜ thông qua biến đổi Fourier sau: b˜ ψ(ω) := ˆ ψ(ω) ∞ (2.35) ˆ + 2πk)| ∑ |ψ(ω k=−∞ Khi ψ˜ đối ngẫu ψ,có nghĩa là: ψ j,k , ψ˜ l,m = δ j,l δk,m , (2.36) 15 đó: ˜ l x − m) ψ˜ l,m (x) := 2l /2 ψ(2 (2.37) Tức hai sở đối ngẫu {ψ j,k } liên quan tới {ψ j,k } cho ψ j,k = ψ˜ j,k Từ kết ta có cách biến đổi sóng nhỏ bán trực giao thành sóng nhỏ trực giao Thật vậy, đặt: ψˆ ⊥ (ω) =  ˆ ψ(ω) ∞ ˆ + 2πk)|2 ∑ |ψ(ω 1/2 , (2.38) k=−∞ Thì ψˆ ⊥ tự đối ngẫu ψ ⊥ xác định bởi: ψˆ ⊥ (ω) ψˆ˜ ⊥ (ω) = = ψˆ ⊥ (ω) ∞ ∑ |ψˆ ⊥ (ω + 2πk)|2 k=−∞ Ở đây, ψ˜ ⊥ = ψ ⊥ ψ ⊥ tự đối ngẫu Định nghĩa 2.4.5 Một R - hàm ψ ∈ L2 (R) R - sóng nhỏ có đối ngẫu ψ˜ ∈ L2 (R) ˜ Với f ∈ L2 (R) Định lý 2.4.6 Giả sử ψ sóng nhỏ với đối ngẫu ψ giá trị IWT, ψ ψ˜ hai sóng nhỏ sở, với đánh giá   k (a, b) = , j, k ∈ Z ; 2j 2j Cụ thể là:    k   , j  d j,k = f , ψ j,k = (Wψ f ) j 2  k    c j,k = f , ψ˜ j,k = (Wψ˜ f ) , 2j 2j (2.39) Khi ta xây dựng lại f từ hai {d j,k } {c j,k } cách sử dụng hai chuỗi sóng nhỏ f (x) = ∑ j,k∈Z c j,k ψ j,k (x) = ∑ j,k∈Z d j,k ψ˜ j,k (x) 16 Hơn nữa, với hai hàm f , g ∈ L2 (R) tích vơ hướng chúng xác định công thức: h f , gi = ∑ f , ψ j,k ψ˜ j,k , g (2.40) j,k∈Z Giả sử ψ sóng nhỏ bán trực giao với chặn Riesz A, B Từ chứng minh định lí (2.4.4) ψ thỏa mãn bất đẳng thức: ∞ A6 ∑ ˆ + 2πk)|2 B |ψ(x (hầu khắp nơi) (2.41) k=−∞ {ψ j,k } xem dàn L2 (R) với hệ số mẫu b0 = Lại từ định lí (2.3.3) (2.3.4) ψˆ thỏa mãn điều kiện: ∞ A6 ∑ 2 ψ(2 ˆ − j ω) B (hầu khắp nơi) (2.42) k=−∞ Từ hai cơng thức (2.42) (2.43) ta rút hai hàm ψ ∗ , ψ ∈ L2 (R) với biến đổi Fourier xác định bởi:  ˆ ψ(ω)  ∗ (ω) :=  ˆ ψ  ∞    ˆ −k ω)|2 |ψ(2 ∑  k=−∞ ˆ ψ(ω)    ψˆ (ω) := ∞    ˆ + 2πk)|2  ∑ |ψ(ω (2.43) k=−∞ Giả sử ψ ⊥ sóng nhỏ trực giao thu cách trực giao hóa ψ từ cơng thức (2.38) Khi ψ ⊥ R - hàm với chặn Riesz A, B cho A = B = Do từ định lí (2.3.3) (2.3.4) thì: ∞ ∑ k=−∞ ⊥ − j ψˆ (2 ω) = (hầu khắp nơi) (2.44) 2 Từ ψˆ ψˆ = ψˆ ⊥ ta có ∞ ∑ k=−∞ ˆ − j ω) ψˆ (2− j ω) = ψ(2 (hầu khắp nơi) (2.45) 17 Theo quan điểm thì: ∞ ess sup ∑ −∞