Bài giảng tính đơn điệu của hàm số

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THN HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết, hiểu cơng thức, quy tắc tính đạo hàm + Nắm vững tính đơn điệu hàm số + Thấy mối liên hệ biến thiên hàm số thơng qua đạo hàm + Biết quy tắc xét dấu học lớp 10 + Nhận biết mối liên hệ hàm số biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , y  f  u  x   biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f '  x   Kĩ + Biết áp dụng công thức, quy tắc tính đạo hàm vào hàm số + Nhận diện bảng biến thiên, đồ thị hàm số đơn điệu khoảng cụ thể + Vẽ bảng biến thiên, đồ thị hàm số bản, hàm chứa trị tuyệt đối + Vận dụng tính chất hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, hàm hữu tỷ vào giải nhanh tốn trắc nghiệm + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x   h  x   biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x  ( y  f   x  ) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ nửa khoảng) K Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1  x2  f  x1   f  x2  Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số đồng biến khoảng  1;0  Hàm số nghịch biến khoảng  0;1 Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K TOANMATH.com Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  Ta có bảng xét Trang x1  x2  f  x1   f  x2  dấu sau: x  y     Ta thấy Hàm Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến khoảng K số đồng biến khoảng 1   ;  ; 1;   3  1  Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 3  Ví dụ 3: Cho hàm số g  x   x  x  a   Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến Hàm số có      5   4.2.6  23  khoảng K  g  x   0, x   Nếu f   x   0, x  K hàm số khơng đổi Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K f   x   x  K dấu “=” hữu hạn điểm Định lí đảo K hàm số nghịch biến K Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f   x   0, x  K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f   x   0, x  K Lưu ý: - Hàm số f  x  đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải - Hàm số f  x  nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Xét dấu tam thức bậc hai g  x   ax  bx  c TOANMATH.com Trang  a  0 g  x   0, x    g  x   0, x    g  x   0, x    g  x   0, x        a0 ; 0 a0 ; 0 a0 ; 0 a0 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận - Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến - Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến khoảng K khoảng K Định lí đảo Định lí đảo - Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K - Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f   x   0, x  K f   x   0, x  K Định lí thuận “mở rộng” f   x   0, x  K dấu hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K Đồ thị - Đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải Định nghĩa Định lí thuận “mở rộng” f   x   0, x  K dấu hữu hạn điểm K hàm số nghịch biến K Đồ thị - Đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải Định nghĩa Hàm số f gọi nghịch biến K Hàm số f gọi đồng biến K TOANMATH.com Trang x1  x2  f  x1   f  x2  x1  x2  f  x1   f  x2  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y  f  x  Phương pháp giải Thực bước sau: Ví dụ: Hàm số y   Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y  f   x  x3  3x  x  đồng biến khoảng đây? Bước Tìm giá trị x mà f   x   giá trị làm cho f   x  không xác định A  5;   B  ;1 C  2;3 D 1;5  Hướng dẫn giải Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp Tập xác định D   đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số Ta có y   x  x  y  f  x  (chọn đáp án) x  Ta có y    x  x     x  x  y y   13    19  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng 1;5  Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  x  x  x  15 Khẳng định khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng  3;1 B Hàm số đồng biến  9; 5  C Hàm số đồng biến  D Hàm số đồng biến  5;   Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x  x  x  Cho y     x  3 TOANMATH.com Trang x 3  y y      42  10 Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai Chọn C Ví dụ Các khoảng nghịch biến hàm số y   x  x  A  1;0  1;   B  ;1 1;   C  1;0   0;1 D  ; 1  0;1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  4 x3  x x  y     x  1 Bảng biến thiên hàm số y   x  x  sau x y  1 3   0  3   y  4  Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến  1;  1;   Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  x 1 Mệnh đề đúng? x2 A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến  \ 2 D Hàm số đồng biến khoảng miền xác định Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 2 Ta có y   x  2  0, x  D nên hàm số y  x 1 đồng biến khoảng miền xác định x2 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ Hàm số nghịch biến  ? B y  A y   x3  x x2 x 1 C y  x  x D y  x3  x Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y   x3  x  y  3 x   0, x   Vậy hàm số y   x3  x nghịch biến  Chọn A Ví dụ Cho hàm y  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  5;   B Hàm số đồng biến khoảng  3;   C Hàm số đồng biến khoảng  ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng  ;3 Hướng dẫn giải Tập xác định D   ;1  5;   Ta có y  x 3 x  6x   0, x   5;   Vậy hàm số đồng biến khoảng  5;   Chọn A Ví dụ Hàm số y  x  đồng biến khoảng đây? x A  0;   B  2;  C  2;  D  2;   Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 0 Ta có y  x2  x2    y     x  2 x2 x2 Bảng biến thiên x  y  2 0   4     y   Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến  ; 2   2;   TOANMATH.com Trang Chọn D Ví dụ Cho hàm số f  x   1  x  2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số đồng biến  ;  C Hàm số nghịch biến  ;  D Hàm số nghịch biến  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Đạo hàm f   x   2019 1  x  Vì 2019 1  x  2018 2018 2018 1  x   2019 1  x   2 x   , x   nên dấu đạo hàm dấu với   x  x  Ta có f   x      x  1 Ta có bảng biến thiên  x f  x 1  f  x     0   Vậy hàm số đồng biến  ;0  Chọn B Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến  ;0  Ví dụ Cho hàm số f  x   x3  x  x  cos x Với hai số thực a, b cho a  b Khẳng định sau đúng? A f  a   f  b  B f  a   f  b  C f  a   f  b  D f  a   f  b  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có f   x   3x  x   sin x   3x  x  1    sin x   0, x   Suy f  x  đồng biến  Do a  b  f  a   f  b  TOANMATH.com Trang Chọn C Ví dụ Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng đây? B  1;3 A  ; 1 C 1;   D  3;   Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x  x   x  x  3  y   x    x  x  3 x  x  3 y   x    x  ; y không xác định x  1; x  Ta có bảng biến thiên  x 1 y  y       0 Hàm số đồng biến khoảng  1;1  3;   Chọn D Chú ý: - Vì f  x   - Đạo hàm y  f  x  nên xét tính đơn điệu hàm số y  f  x f  x f  x f  x  để suy kết Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho hàm số y  f   x  Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f   x   giá trị làm cho f   x  khơng xác định Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f   x   x  x  1 Hàm số cho đồng biến khoảng Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp A 1;   B  ;0  ; 1;   đạo hàm C  0;1 D  ;1 Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số Hướng dẫn giải y  f  x  (chọn đáp án) x  Ta có f   x    x  x  1    x  Ta có bảng xét dấu x f  x TOANMATH.com      Trang Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;   Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  1   x  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A  1;1 B 1;  C  ; 1 D  2;   Hướng dẫn giải x  Ta có f   x      x  1 Bảng xét dấu  x 1 f  x      Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;  Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  0;3 có tính chất f   x   0, x   0;3 f   x   , x  1;  Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;  B Hàm số f  x  không đổi khoảng 1;  C Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;3 D Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;3 Hướng dẫn giải Vì f   x   , x  1;  nên f  x  hàm khoảng 1;  Trên khoảng  0;  , 1;3 ,  0;3 hàm số y  f  x  thỏa f  x   f   x   , x  1;  nên f  x  không đồng biến khoảng Chọn B Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho bảng biến thiên đồ thị Phương pháp giải Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng  a; b  f   x  mang dấu  Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: (dương) ta kết luận f  x  đồng biến  a; b  TOANMATH.com Trang - Trên khoảng  c; d  f   x  mang dấu  (âm): x ta kết luận f  x  nghịch biến  c; d  y   y Khi cho đồ thị: đồ thị đường lên từ trái sang phải  a; b  0     - Hàm số f  x  đồng biến  a; b  hàm số có 2  1  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng - Hàm số f  x  nghịch biến  a; b  hàm số đây? có đồ thị đường xuống từ trái sang phải A  ;  B  0;   a; b  D  2;   C  2;  - Trong trường hợp: Hàm số f  x  hàm  a; b  (không đổi) Hướng dẫn giải hàm số có đồ thị Dựa vào bảng biến thiên, ta có y  0, x   0;   đường song song trùng với trục Ox  a; b  hàm số đồng biến  0;  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau x  y y     f  2  Hỏi bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số hàm số đây? A y   x3  x  12 x B y  x3  x  12 x C y   x  x  x D y   x  x  Hướng dẫn giải Xét hàm số y   x3  x  12 x y  3 x  12 x  12  3  x    0, x   , thỏa mãn Xét hàm số y  x3  x  12 x y  3x  12 x  12   x    , x   , không thoả mãn Xét hàm số y   x3  x  x TOANMATH.com Trang 10  x y  3 x  x  4, y    không thoả mãn x   Xét hàm số y   x  x  y  2 x  4, y   x  nghiệm Hàm số đồng biến  ;  , nghịch biến  2;   không thoả mãn Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng nào? A  2;  B  0;  C  1;1 D 1;  Hướng dẫn giải - Xét đáp án A, khoảng  1;1   2;  đồ thị hướng xuống hay hàm nghịch biến khoảng - Xét đáp án B, khoảng  0;1   0;  đồ thị có đoạn hướng xuống hay hàm số nghịch biến - Xét đáp án C, khoảng  1;1 đồ thị có hướng xuống hay hàm số nghịch biến khoảng - Xét đáp án D, khoảng 1;  đồ thị có hướng lên hay hàm số đồng biến khoảng nên chọn Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  ax  b có đồ thị hình vẽ cx  d Khẳng định A Hàm số đồng biến  \ 1 B Hàm số đồng biến khoảng  ;  TOANMATH.com Trang 11 C Hàm số nghịch biến khoảng  1;   D Hàm số đồng biến khoảng  1;   Hướng dẫn giải Nhìn vào đồ thị cho, ta có khoảng  1;   đồ thị hàm số lên (theo chiều từ trái qua phải) nên hàm số đồng biến khoảng  1;   Chọn D Chú ý: Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng không viết dạng  \ 1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a; b  Phát biểu đúng? A Hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  f   x   , x   a; b  B Hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  f   x   , x   a; b  C Hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  f   x   , x   a; b  D Hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  f   x   , x   a; b  , f   x   hữu hạn giá trị x   a; b  Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu f   x   với x thuộc  a; b  hàm số f  x  nghịch biến  a; b  B Nếu hàm số f  x  đồng biến  a; b  f   x   với x thuộc  a; b  C Nếu hàm số f  x  đồng biến  a; b  f   x   với x thuộc  a; b  D Nếu f   x   với x thuộc  a; b  hàm số f  x  đồng biến  a; b  Câu 3: Cho hàm số f  x  đồng biến tập số thực  , mệnh đề sau đúng? A Với x1  x2    f  x1   f  x2  B Với x1 , x2    f  x1   f  x2  C Với x1 , x2    f  x1   f  x2  D Với x1  x2    f  x1   f  x2  Câu 4: Phát biểu sau đúng? A Nếu f   x   , x   a; b  hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  B Nếu f   x   , x   a; b  hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  C Hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  f   x   , x   a; b  D Hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  f   x   , x   a; b  Câu 5: Cho hàm số y  x3  x  x  Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 1;   TOANMATH.com 1  B Hàm số đồng biến khoảng  ;1 3  Trang 12 1  C Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 3  1  D Hàm số nghịch biến khoảng  ;  3  Câu 6: Cho hàm số y   x3  x  x  Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến  ;1 nghịch biến 1;   B Hàm số nghịch biến  C Hàm số đồng biến  D Hàm số đồng biến 1;   nghịch biến  ;1 Câu 7: Hàm số y   x  x  đồng biến khoảng đây? A 1;   B  ; 1 C  ;0  D  0;   Câu 8: Hàm số sau đồng biến khoảng  ;   ? A y  x  B y  x3  x Câu 9: Cho hàm số y  C y  x  D y  x3  x x2 Mệnh đề sau đúng? x3 A Hàm số nghịch biến khoảng  ;   B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng xác định D Hàm số đồng biến khoảng  ;   Câu 10: Hàm số y  x  x nghịch biến khoảng đây? A  ;1 B 1;  C 1;   D  0;1 Câu 11: Hàm số sau đồng biến  ? A y  x3  x  x  B y  x  C y  x3  x  x  D y  x 1 2x 1 Câu 12: Cho hàm số y  x  x Hàm số đồng biến khoảng nào?  3 A  0;   2 Câu 13: Hàm số y  A  ; 1 Câu 14: Hàm sổ y  B  0;3 3  C  ;3  2  x đồng biến khoảng sau đây? x 1 B  1;1 C  ;   D  0;    x2  x  nghịch biến khoảng x2 A  ; 5  1;   B  5; 2  C  ; 2   2;   D  2;1 TOANMATH.com 3  D  ;  2  Trang 13 Câu 15: Cho hàm số y  f  x  xác định tập  có f   x   x  x  Khẳng định sau đúng? A Hàm số cho nghịch biến khoảng 1;  B Hàm số cho nghịch biến khoảng  3;   C Hàm số cho đồng biến khoảng  ;3 D Hàm số cho đồng biến khoảng 1;  Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  , x   Mệnh đề đúng? A f  1  f 1 B f  1  f 1 C f  1  f 1 D f  1  f 1 Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1   x  x  3 Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  3; 1  2;   B Hàm số nghịch biến khoảng  3;  C Hàm số đồng biến khoảng  ; 3  2;   D Hàm số đồng biến khoảng  3;  Câu 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x    x   x  1 2018  x  2 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  ; 3 B Hàm số đồng biến khoảng 1;   2;   C Hàm số nghịch biến khoảng 1;  D Hàm số nghịch biến khoảng  2;  Câu 19: Cho hàm số y  f  x  xác định  \ 2 có bảng biến thiên hình vẽ x  f  x f  x  – –   Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau A f  x  nghịch biến khoảng  ;   2;   B f  x  đồng biến khoảng  ;   2;   C f  x  nghịch biến  D f  x  đồng biến  Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên Mệnh đề đúng? TOANMATH.com Trang 14 x  y  1 0      11  y 1  A Hàm số đồng biến  ; 1  1;   nghịch biến  1;    0;1 B Hàm số đồng biến  ; 1  11;   nghịch biến  1;11 C Hàm số đồng biến  ; 1  1;   nghịch biến  1;1 D Hàm số đồng biến  ; 1  1;   nghịch biến  1;0   0;1 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng sau đây? A  1;1 B  1;0  C  ;0  D  0;1 Câu 22: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A  0;1 B  ; 1 C  1;1 D  1;  Câu 23: Hàm số y  x  x nghịch biến khoảng đây? A  ;  TOANMATH.com B  ;0  ;  2;  C  2;   D  0;   Trang 15 Câu 24: Hàm số y  x3  x  đồng biến khoảng đây? A  ; 2  B  ; 2  ;  1;1 D  2; 1 1;   C  1;   Dạng 2: Các tốn chứa tham số Bài tốn Tìm tham số để hàm số đơn điệu khoảng xác định Bài tốn 1.1 Tìm tham số để hàm số y  ax  bx  cx  d đơn điệu  Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm giá trị m để hàm số Bước Tính y  3ax  2bx  c (1) y  x3   m   x   m  2m  1 x  m Bước Xét hai trường hợp đồng biến  Trường hợp 1: a  , thay trực tiếp vào (1) để xét Hướng dẫn giải Trường hợp 2: a  , tính   b  3ac Tập xác định D   a  Hàm số nghịch biến      b  3ac  Ta có y  x   m   x  m  2m  a  Hàm số đồng biến      b  3ac  Bước Kết luận (chọn đáp án) Hàm số đồng biến   3  a0  2   4  m     m  2m  1   m  10m  13   52  m  5 Vậy với m  5  3;5   hàm số đồng biến  Ví dụ mẫu Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20; 2 để hàm số y  x3  x  3mx  đồng biến  ? A 20 B C D 23 Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x  x  3m Hàm số đồng biến   3x  x  3m  với x         9m   m  30 Do m số nguyên thuộc đoạn  20; 2 nên có m  1; m  Chọn B TOANMATH.com Trang 16 Ví dụ Có giá trị ngun m để hàm số y   m  1 x3   m  1 x  x  nghịch biến khoảng  ;   A C B D Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y   m  1 x   m  1 x  Hàm số cho nghịch biến khoảng  ;    y  với x   Với m  ta có y  1  với x   nên hàm số nghịch biến khoảng  ;   Vậy m  giá trị cần tìm Với m  1 ta có y  4 x    x    m  1 không thỏa mãn m2   • Với m  1 ta có y  với x        m  m   1  m      m    m 1 Từ trường hợp ta   m  Do m    m  0;1 Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn D Dạng 1.2: Tìm tham số để hàm số để hàm số y  ax  b đơn điệu khoảng xác định cx  d Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm tập hợp tất giá trị nguyên dương  d Bước Tập xác định D   \    c m để hàm số y  Bước Tính y  ad  bc  cx  d  xm nghịch biến x2 khoảng xác định Hướng dẫn giải Hàm số đồng biến khoảng xác định Tập xác định D   \ 2  ad  bc  Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc  Ta có y  2m  x  2 Để hàm số nghịch biến khoảng xác định  m   m  2 Bước Kết luận TOANMATH.com Trang 17 Mặt khác m số nguyên dương nên không tồn giá trị m thỏa mãn u cầu đề Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ mẫu Ví dụ Các giá trị tham số m để hàm số y  A m  1 mx  đồng biến khoảng xác định x 1 B m  1 C m  D m  Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 1 Ta có y  mx  m 1  y  x 1  x  1 Xét m  , hàm số trở thành y  (hàm hằng) Xét m  , hàm số đồng biến khoảng xác định y  0, x  1  m    m  Chọn C Lưu ý: Với m  y  0, x   \ 1 Ví dụ Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  nghịch biến khoảng xác xm định A  ; 1 B  1;1 C 1;   D  ;1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   \  m Ta có y  m2   x  m Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y  m2   x  m 0  m    1  m  Chọn B Bài toán 1.3: Hàm số y  f  x  đơn điệu khoảng xác định Phương pháp giải Sử dụng kiến thức Điều kiện cần để y   x  a  Ví dụ: Tìm giá trị m m để hàm số m 1 g  x  m   không đổi dấu x qua a g  a   TOANMATH.com y  x3  x3  2mx  m  m   không đổi dấu qua x  Trang 18 Cho hàm số y  f  x  liên tục K Hướng dẫn giải Tập xác định D   f  x   A Đặt g  x   x3  2mx  m  m  K Khi bất phương trình f  x   m nghiệm Để hàm số không đổi dấu qua x  với x  K m  A Cho hàm số y  f  x  liên tục K  m  2 g     m2  m     m  max f  x   B Với m  2 y  x  x    , x   Khi bất phương trình f  x   m nghiệm  m  2 giá trị cần tìm K Với m  y  x  x   với x  K m  B Khi hàm số đổi dấu x qua  Vậy m  2 giá trị cần tìm Ví dụ mẫu Ví dụ Có giá trị tham số m để hàm số y  x9   3m  m  x   m3  3m  2m  x  2019 đồng biến  A B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x8   3m  m  x   m3  3m  2m  x3  y  x3 9 x5   3m  m  x   m3  3m  2m    x3 g  x  với g  x   x5   3m  m  x   m3  3m  2m  m  Nếu g      m  m   y đổi dấu qua điểm x   hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến Do để hàm số đồng biến  điều kiện cần g    m   m  m  3m      m  m   Thử lại: + Với m  có y  x8  , x   nên hàm số đồng biến  + Với m  có y  x  x  10   , x   nên hàm số đồng biến  TOANMATH.com Trang 19 + Với m  có y  x  x  50   , x   nên hàm số đồng biến  m  Vậy với  m  hàm số cho đồng biến  m   Chọn A Lưu ý: Nếu g    y ln đổi dấu x qua 0, g  x   vơ nghiệm thi ln có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Ví dụ Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số f  x   m x5  mx3   m  m  20  x  2019 nghịch biến  Tổng giá trị tất phần tử thuộc S A 4 C 1 B D Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có f   x   5m x  3mx   m  m  20  x  x  5m x  3mx   m  m  20    x.g  x  Để hàm số nghịch biến  f   x   , x   (*) Nếu x  nghiệm g  x  f   x  đổi dấu x qua x  , lúc điều kiện (*) khơng thỏa mãn Do điều kiện cần để hàm số đồng biến  x  nghiệm  m  4 g  x    m  m  20    m  Thử lại: + Với m  4 f   x   80 x  12 x  x 12  80 x  , m  4 khơng thỏa mãn + Với m  f   x   125 x  15 x   x 125 x  15   , x   m  thỏa mãn Vậy S  5 nên tổng phần tử S Chọn D Lưu ý: f   x  đổi dấu qua nghiệm phương trình 12  80 x  Ví dụ Có giá trị ngun tham số m   2018; 2018 để hàm số y  x   mx  đồng biến  ;   A 2018 TOANMATH.com B 2019 C 2020 D 2017 Trang 20 Hướng dẫn giải Tập xác định D   x Ta có y  x2  m Theo yêu cầu toán y  m x x 1 x x 1  m  , x   , x   Xét hàm số g  x   x x2  ; g  x  x x   x  1 0 Bảng biến thiên x  g x    g  x 1 Vậy m  1 mà m   2018; 2018 nên có 2018 giá trị ngun Chọn A Ví dụ Tìm tất giá trị m   để hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến  A   m  B   m  C m  D m  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  cos x  sin x  m Hàm đồng biến   y  0, x    cos x  sin x  m  0, x    sin x  cos x  m, x   Xét hàm f  x   sin x  cos x    Ta có sin x  cos x  sin  x      f  x   2, x    max f  x    4  Do f  x   m, x    max f  x   m  m   Chọn C Dạng 2: Xét tính đơn điệu hàm số khoảng  ;   cho trước Bài toán 2.1 Hàm số y  ax  bx  cx  d đơn điệu khoảng cho trước TOANMATH.com Trang 21 Phương pháp giải Sử dụng kiến thức Ví Giả sử phương trình y  ax  bx  c  a   có hai y  x  x  mx  nghịch biến đoạn  2;3 dụ: Tìm giá trị để m hàm số Hướng dẫn giải nghiệm x1 , x2 Khi Tập xác định D   x1    x2  af    Ta có y  x  x  m  x  x  2   x1  x2    x1    x2      y   x  x  m  (1) Để hàm số nghịch biến đoạn  2;3 phương  x  x  2 x1  x2      x1    x2     trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 Điều xảy af    x1      x2   af        1  3m    3 f     3 16  m    m  33 3 f  3  3  33  m     Vậy với m  33 hàm số cho nghịch biến đoạn  2;3 Ví dụ mẫu Vi dụ Các giá trị thực tham số m cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  đồng biến khoảng  2;   A m  B m  C m  D m  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x   2m  1 x  6m  m  1 Để hàm số cho đồng biến khoảng  2;   ta xét hai trường hợp - Trường hợp 1: Hàm số đồng biến   y  0, x        2m  1  4m  m  1    (vơ lí) - Trường hợp 2: Phương trình y  có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn    x1  x2   x1   x2     x1  x2    x1 x2   x1  x2     TOANMATH.com Trang 22 m   1      2m    m  m   ;1 m  m  1   2m  1    m   ;1   2;   Chọn B Lưu ý: - Hàm số đồng biến  đồng biến khoảng  2;   - Bảng biến thiên hàm số f  x   y phương trình y  có hai nghiệm x1 , x2  x y x1   x2  0  y Ví dụ Các giá trị thực tham số m để hàm số y   x3   m  1 x   m  3 x  10 đồng biến khoảng  0;3 A m  12 B m  12 C m   D m  12 Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y   x   m  1 x  m   g  x  Do y hàm số bậc ba với hệ số a  nên hàm số đồng biến  0;3  y  có hai nghiệm x1 , x2 1.g    thỏa mãn x1    x2   1.g  3    12 m3 m m  12  Chọn A Bài tốn 2.2: Tìm tham số m đề hàm số y  f  x; m   ax3  bx  cx  d đơn điệu đoạn có độ dài k Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Tính y  f   x; m   3ax  2bx  c Ví dụ: Tìm giá trị Bước Hàm số đơn điệu  x1 ; x2   y  có y   x3  x  2mx  đồng biến đoạn có độ  0 hai nghiệm phân biệt  a0 TOANMATH.com m để hàm số dài Hướng dẫn giải Trang 23 Tập xác định D   b   x1  x2  a Theo định lý Vi-ét  c  x1 x2  a  Ta có y  3 x  x  2m Vì a  3  nên hàm số cho đồng biến Bước Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài đoạn phương trình y  có hai k  x1  x2  k   x1  x2   x1 x2  k nghiệm phân biệt    Bước Giải điều kiện để suy giá trị m cần   6m   m   tìm   x1  x2  Theo định lý Vi-ét, ta có  2m  x1 x2    Để hàm số cho đồng biến đoạn có độ dài x1  x2    x1  x2   x1 x2   16 8m  4m Từ (1) (2) suy m  giá trị cần tìm Ví dụ mẫu Ví dụ Các giá trị thực tham số m để f  x    x3  x   m  1 x  2m  khoảng có độ dài lớn A m  B m  C   m  D m   Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có f   x   3 x  x  m  Hàm số đồng biến khoảng có độ dài lớn f   x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  Để f   x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2     3m    m  2  x1  x2   Theo định lý Vi-ét, ta có  1 m  x1 x2  Với x2  x1    x1  x2   x1 x2    4m    m   TOANMATH.com Trang 24 Kết hợp, ta m   Chọn D Ví dụ Các giá trị thực tham số m để hàm số y  x3   m  1 x   m   x  nghịch biến khoảng có độ dài lớn B m   0;  A m  D m  0; m  C m  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x   m  1 x   m    x  1 y    x   m Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài lớn  y  có haỉ nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho x1  x2  (1) 1   m m  m        m  m     m    Chọn D ax  b đơn điệu khoảng  ;   cho trước cx  d Bài toán 2.3: Hàm số y  Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm giá trị m nguyên để hàm số Bước Hàm số xác định  d  c   d  ;   ;           d c     c Bước Tính y  ad  bc  cx  d  Hàm số đồng biến khoảng xác định  ad  bc  y 3x  m nghịch biến khoảng  3;   xm Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ m Hàm số cho xác định khoảng  3;   m  (*) Ta có y  4m  x  m Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số nghịch biến khoảng  3;    ad  bc  4m   m  (* *) Bước Kết luận Từ (*) (* *) suy m   0;3 Mà m nguyên nên m  1; 2 Vậy m  1; 2;3 giá trị cần tìm TOANMATH.com Trang 25 Ví dụ mẫu Ví dụ Có tất giá trị nguyên m để hàm số y  x3 nghịch biến khoảng x  4m  2;   ? A B D C vô số Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 4m Để hàm số xác định  2;   4m   m   Ta có y  4m   x  4m  Hàm số nghịch biến khoảng  2;    y  0, x   2;    4m   x  4m   0, x   2;    4m    m  Vậy có số nguyên m  thỏa mãn Chọn A Ví dụ Có giá trị ngun tham số m để hàm số y  A B Vô số x2 khoảng  ; 10  ? x  5m C D Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 5m Ta có y  5m   x  5m   y  0, x   ; 10  Hàm số đồng biến khoảng  ; 10    5m   ; 10     5m   m    m2 5m  10 m  Do m   nên m  1; 2 Chọn A Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  mx  nghịch biến khoảng mx  3;1 ? TOANMATH.com Trang 26 A C B D Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ m Ta có y  m2  m  x m2   Hàm số nghịch biến khoảng  3;1   m   3;1 2  m      m  3   m    m  Do m   , nên m  Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn C Bài tốn 2.4: Tìm tham số để hàm số y  f  x  đơn điệu khoảng (đoạn) D Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Tìm giá trị nguyên âm tham số m Bước Tính y  f   x  để hàm số y  x  2mx  x nghịch biến đoạn Bước Chuyển tốn tìm tham số bất 1; 2 phương trình nghiệm với x  D Hướng dẫn giải Hàm số đồng biến D  f   x   0, x  D , Tập xác định D   dấu hữu hạn điểm Ta có y  x3  4mx  Hàm số nghịch biến D  f   x   0, x  D , Hàm số cho nghịch biến đoạn 1; 2 dấu hữu hạn điểm y  0, x  1; 2 Bước Kết luận (chọn đáp án)  x3  4mx   , x  1; 2 m x3  , x  1; 2 4x  33   m    x     1;2    4x  Mà m nguyên âm nên m  1; 2; 3; 4 Vậy giá trị m cần tìm m  1; 2; 3; 4 Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 27 Ví dụ Có giá trị ngun khơng âm tham số m cho hàm số y   x   2m  3 x  m nghịch biến đoạn 1; 2 ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  4 x   2m  3 x  x  4 x  4m   Hàm số nghịch biến đoạn 1; 2 y  0, x  1; 2  4 x  4m   ; x  1; 2  m  x  , x  1; 2 3   m   x    1;2  2 Kết hợp với m nguyên không âm suy m  0;1; 2 Vậy có ba giá trị ngun khơng âm m thỏa mãn u cầu tốn Chọn C Ví dụ Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y  đồng biến x  mx  2x khoảng  0;   ? A B C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định khoảng  0;   Hàm số y  x  mx  đồng biến  0;    y  0, x   0;   2x  x3  m  3  0, x   0;    x3   m, x   0;   (1) 2x 2x Xét hàm số f  x   x   0;   x2 3  x  1 ; f  x   x  f   x   3x   x x3 Bảng biến thiên x f  x f  x –  TOANMATH.com 5   Trang 28 1  m  5 m 2 Mà m số nguyên âm nên m  2; 1 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  8m3  1 x  x3   2m   x  12 x  2018 với m tham số Số giá trị  1 1  nguyên m thuộc đoạn  2018; 2018 để hàm số cho đồng biến  ;  2 4 A 2016 B 2019 C 2010 D 2015 Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y   8m3  1 x3  x   2m   x  12  1 1   1 1  Hàm số cho đồng biến  ;  y  0, x   ;  2 4 2 4  1 1    8m3  1 x3  x   2m   x  12  0, x   ;  2 4 3  1 1    2mx    2mx    x     x   (*), x   ;  2 4 Xét f  t   t  2t ; f   t   3t   0, t   Suy f  t  hàm đồng biến  x2  1 1   1 1  , x   ;  Từ (*) ta có 2mx  x  2, x   ;   m  2x 2 4 2 4  m   1 1  2;4   x2 m 2x Do m nguyên m   2018; 2018 nên có 2015 giá trị m thỏa mãn Chọn D Ví dụ Các giá trị thực tham số m để hàm số y  cos x  nghịch biến khoảng cos x  m A m   3;1   2;   B m   3;   C m   ; 3 D m   ; 3   2;      0;   3 Hướng dẫn giải   1  Đặt t  cos x , với x   0;   t   ;1  3 2  TOANMATH.com Trang 29 Khi y  f  t   2t  2t  m m D   \   2   Vì hàm số t  cos x nghịch biến x   0;  nên hàm số cho nghịch biến  3    0;  Khi  3 1  hàm số đồng biến khoảng  ;1 2  Hàm số y  f  t   2t  đồng biến khoảng 2t  m 1   ;1 và 2   2m  1   0, t   ;1  f  t   2m   m  3  2   2t  m     m   ; 3  m  1;  m  1;   m   ;1    Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  x3  mx  Gọi S tập hợp số tự nhiên m cho hàm số đồng biến 1;   Tổng phần tử S A B C D 10 Hướng dẫn giải Đặt g  x   x3  mx  Ta có lim g  x    Do hàm số y  g  x  đồng biến 1;   x  3 x  m  0, x  1;    g   x   0, x  1;      g  x   0, x  1;    x  mx   0, x  1;   m   x  , x  1;   m  x , x  1;   1;        1 m  x  x , x  1;   m   x   , x  1;   1;    x     m3  m   m  0;1; 2 m2 Chọn B Lưu ý: Vì y  g  x   g  x  nên ta chuyển tốn xét tính đơn điệu hàm số y  g  x - Tính đạo hàm y  TOANMATH.com g   x  g  x  g  x Trang 30 - Hàm số y  ax  bx  cx  d đồng biến  ;   y  với x   ;    g   x   0, x   ;   Trường hợp 1:   g     g   x   0, x   ;   Trường hợp 2:   g    Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y   x  mx   4m   x  với m tham số Có giá trị nguyên tham số m để hàm số nghịch biến  ? A B C D Câu 2: Tập hợp tất số thực m để hàm số y  x  x  4mx  đồng biến   25  A   ;    12   25  B   ;    12  25   C  ;   12   25   D  ;   12   Câu 3: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y   x3   m  1 x   4m   x  nghịch biến  ? A B C Vô số D Câu 4: Số giá trị m nguyên m   2018; 2018 để hàm số y   m  1 x3   m  1 x2  3x  đồng biến  A 4035 B 4037 Câu 5: Các giá trị tham số m để hàm số y  A m  B m  C 4036 D 4034 x2 khoảng xác định xm C m  D m  Câu 6: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  m2 đồng biến khoảng x4 xác định? A B C Câu 7: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  D 9x  m đồng biến khoảng mx  xác định? A B Vô số C D Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   m x   m   x  x   m  1 x Gọi S tập hợp 2 tất giá trị tham số m để hàm số đồng biến  Số phần tử tập S A B C D Câu 9: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để hàm số 1 f  x   m x5  mx3  10 x   m  m  20  x đồng biến  Tổng giá trị tất phần tử thuộc S TOANMATH.com Trang 31 A B 2 C D Câu 10: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y   m  1 sin x  3cos x  x nghịch biến  ? A Vô số B 10 C D Câu 11: Có giá trị nguyên tham số m khoảng  2018; 2018 để hàm số y   2m  1 x   3m   cos x nghịch biến  ? A B C 4014 Câu 12: Giá trị nguyên lớn tham số m để hàm số y  D 218 x 2019   mx  2018 đồng biến 2019 2017 x 2017 khoảng xác định A 2018 B C D 1 Câu 13: Các giá trị thực tham số m để hàm số y  x   m  1 x   2m  3 x  đồng biến 3 1;   A m  B m  C m  D m  Câu 14: Tập hợp giá trị m để hàm số y  mx  x  3x  m  đồng biến  3;0   1  A  ;   3   1  B  ;     1   C  ;      D   ;0    Câu 15: Tập hợp tất giác trị thực tham số m để hàm số y  x  mx  x  m nghịch biến khoảng 1;  11   A  ;   4  B  ; 1 C  1;   11   D  ;   4  Câu 16: Cho hàm số y  x3   m  3m  3 x   m  1 x  m  Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho hàm số đồng biến 1;   S tập hợp tập hợp đây? A  ;0  B  ;  C  1;   D  3;  1 Câu 17: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y  x  x  2mx  3m  nghịch biến đoạn có độ dài Tổng tất phần tử S A B 13 C 17 D Câu 18: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  mx  nghịch biến khoảng xm 1;   A B C Câu 19: Gọi S tập hợp số nguyên m để hàm số y  D x  2m  đồng biến khoảng  ; 14  x  3m  Tổng T phần tử S TOANMATH.com Trang 32 A T  6 B T  5 C T  9 D T  10 Câu 20: Gọi S tổng giá trị nguyên dương tham số m cho hàm số y  x  m2 đồng biến xm4 khoảng  2021;   Giá trị S A 2935144 B 2035145 C 2035146 D 2035143 Câu 21: Có giá tri nguyên tham số m để hàm số y  mx  10 nghịch biến khoảng 2x  m  0;  ? A B C D Câu 22: Các giá trị tham số m để hàm số y  x   m  1 x  m  đồng biến khoảng 1;5  A m  B  m  Câu 23: Các giá trị tham số m để hàm số y  C m  D  m  tan x  đồng biến tan x  m    0;   4 A m  B m   m  C  m  D m  Câu 24: Có giá trị nguyên tham số m   10;10  để hàm số y   2sin x đồng biến 2sin x  m   khoảng  ;   ? 2  A B C 10 D 18 Câu 25: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y   m  3 sin x  tan x nghịch biến     ; ?  2 A B C Câu 26: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  D m  sin x nghịch biến khoảng cos x    0;  ?  6 A B C D Vô số Câu 27: Cho hàm số y  x3  x   m Gọi S tập hợp tất số nguyên m   2019; 2020 cho hàm số đồng biến  3;   Số phần tử S A 2021 B 2022 C 2023 D 4040 Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến đồng biến nghịch biến hàm số Bài toán Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x , y  f u  x  , y  f  u  x    h  x  … biết bảng biến thiên hàm số m Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 33 Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y  f  u  x   , Ví dụ: Cho hàm số m xác định liên tục  , có đạo hàm f   x  thỏa mãn y  f u  x   h  x  … y  u   x  f   u  x   , y  u   x  f   u  x    h  x  Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm phương trình f   x   , nghiệm bất phương trình f   x   nghiệm bất phương trình f  x  f  x hàm y  f  x , số y  f u  x  ,    A  3;1 B  2;0  C  1;3 D 1;    Hướng dẫn giải y  f 1  x   y   f  1  x  Hàm y  f u  x   h  x  …  đây? y  0, y  1 Hàm số y  f 1  x  nghịch biến khoảng Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến  x số y  f 1  x  nghịch biến   f  1  x    f  1  x   1  x  x       x   1  x  Vậy hàm số y  f 1  x  có nghịch biến khoảng  ;0   0;1 , nên hàm số nghịch biến  2;  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau 2  x f  x  0     Hàm số y  f  x  x  đồng biến khoảng đây? A 1;   B  3; 2  C  0;1 D  2;  Hướng dẫn giải Đặt g  x   f  x  x  Ta có g   x   f   x  x   x   TOANMATH.com Trang 34  x  1  x  1  x  x  2  x   x  2 g  x       x x  x   x  x   x  Bảng xét dấu g   x  3  x 2 1 2x   f   x2  x     g x       0          Dựa vào bảng xét dấu g   x  suy hàm số g  x   f  x  x  đồng biến  ; 3 ,  2; 1  0;1 , nên hàm số đồng biến  0;1 Chọn C Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f   x   xác định nghiệm phương trình f   x   - Hàm số y  f  x  x  đồng biến  đánh giá y  với y   x   f   x  x  (giải bất phương trình tích) Chú ý: Nếu f  x    x  a f  u  x     u  x   a - Bảng xét dấu g   x  bảng xét dấu tích  x   f   x  x  Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  sau  x f  x 1       Hàm số y  g  x   f   x    x3  x  x  nghịch biến khoảng sau đây? A  2;1 B  2;   C  0;  D  ; 2  Hướng dẫn giải Ta có y  g   x   x  x   f    x  Hàm số y  g  x  nghịch biến y  g   x    x  x   f    x  (1) Nhận xét: • Xét  2;   Với x   1  12  f   1   loại TOANMATH.com Trang 35 • Xét  0;  Với x   1  1   f       loại  2 • Xét  ; 2  Với x  4  1   f      loại Xét  2;1 thỏa mãn (1)  x2  2x    3  x   x2  2x      3  x   f   x      x  1    x      1   x    3  x  Chọn A Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f   x   xác định nghiệm bất phương trình f   x   nghiệm bất phương trình f   x   - Hàm số y  g  x  nghịch biến  đánh giá y   f 2  x  Với dạng tốn cần tìm giá trị x cho   x  x   Dạng 2: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến hàm số y  f  x  , y  f  u  x   biết đồ thị hàm số y  f  x  Phương pháp giải Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y  f  u  x   , Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình y  u   x  f   u  x   bên Hàm số y   f  x  đồng biến khoảng Bước 2: Từ đồ thị hàm số y  f  x  xác định hàm số y  f  x  (nghiệm phương trình f   x   , nghiệm bất phương trình f   x   nghiệm bất phương trình f   x   ) Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y  0, y  Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến A 1;  B  2;3 hàm số y  f  x  , y  f  u  x   C  1;0  D  1;1 Hướng dẫn giải Hàm số y   f  x  có y   f   x  Hàm số y   f  x  đồng biến TOANMATH.com Trang 36 y   f   x   Dựa vào đồ thị ta có f   x   với x   0; 2 Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;  Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a , b, c , d    có đạo hàm  có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số y  g  x   f  x  1 Hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng A  1;  B  8; 1 C 1;  D  0;1 Hướng dẫn giải Cách 1: Hàm số y  g  x   f  x  1 có y  g   x   f   x  1 Hàm số nghịch biến y  f   x  1  1  x     x  Cách 2: Hàm số y  f  x  có dạng y  f  x   ax  bx  cx  d  a , b, c , d    Ta có f   x   3ax  2bx  c Theo đồ thị, hai điểm A  1;3 B 1; 1 hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  Ta có  f  1  a  b  c  d  a   f 1  1 a  b  c  d  1 b       3a  2b  c  c  3  f  1    a  b  c   d   f  1  Vậy f  x   x  x  y  g  x   f  x  1   x  1   x  1  ; y  g   x    x  1  TOANMATH.com Trang 37  x   1  x  g  x     2 x   x  Bảng xét dấu x  g x     Vậy hàm số y  g  x  nghịch biến  0;1 Chọn D Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y  f  x   xác định hàm y  f  x  hàm y  f  x  1  khảo sát tìm khoảng nghịch biến hàm số Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến  a; b  hàm số f  mx  n  : an bn ; Đồng biến   m  m   m bn an ; Nghịch biến   m  m   m Ví dụ Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a , b, c , d    có đồ thị hình bên Đặt y  g  x   f  x  x   Chọn khẳng định khẳng định sau A g  x  nghịch biến khoảng  0;  B g  x  đồng biến khoảng  1;0    C g  x  nghịch biến khoảng   ;0    D g  x  đồng biến khoảng  ; 1 Hướng dẫn giải Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d , có đồ thị hình vẽ Nhận xét A  0;  M  2;  hai điểm cực trị hàm số  f  0  d  a   f  2  8a  4b  2c  d  b  3    Ta có  3a  2b  c  c0  f   0    12 a  b  c   d   f     Tìm hàm số y  x3  x  Ta có y  g  x    x  x     x  x    TOANMATH.com Trang 38 y  g   x    x  1 3  x  x     x  x       x   g  x    x    x  1  Bảng xét dấu x  g x 1      0   1  Vậy y  g  x  nghịch biến khoảng  ;0    Chọn C Lưu ý: - Từ đồ thị hàm số y  f  x  xác định hàm y  f  x  hàm y  f  x  x    khảo sát tìm khoảng nghịch biến hàm số - Có thể sử dụng y   x  1 f   x  x   y  2 x      f  x  x  2  2 x     x2  x    x  x   Ví dụ Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax3  bx  cx  d y  g  x    f  mx  1 , m  có đồ thị hình vẽ Hàm số y  g  x  nghịch biến khoảngcó độ dài Giá trị m A B C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 39 Hàm số y  g  x    f  mx  1 nghịch biến khoảng có độ dài nên g   x    mf   mx  1   f   mx  1  khoảng có độ dài  x  mx     Ta có f   mx  1     mx   x   1 m m Bảng xét dấu f   mx  1 1 m  x f   mx  1   m    1 f   mx  1   x    ;   m m 1 1 Yêu cầu toán       m  m m Chọn C Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y  f  x   xác định hàm số y  f  x  y  g  x   f  mx  1 kết hợp với phần nhận xét ví dụ cho kết  1 1  ; - Hàm số f  x  đồng biến  0;   Hàm số y   f  mx  1 nghịch biến   có độ m   m dài 2 3 m m Bài tốn 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x , y  f u  x  , y  f  u  x    h  x  … biết đồ thị hàm số y  f   x  Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 40 Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số y  f  u  x   , Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  y  f u  x   h  x  … có đồ thị hình vẽ y  u   x  f   u  x   , y  u   x  f   u  x    h  x  Bước 2: Từ đồ thị hàm số y  f   x  xác định nghiệm phương trình f   x   , nghiệm bất phương trình f   x   nghiệm bất phương trình f   x   Bước 3: Đánh giá khoảng thỏa mãn y  0, y  Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x , y  f u  x   h  x  … y  f u  x  , Hàm số y  g  x   f  x  nghịch biến khoảng A  ; 1 B  1;0  C  0;1 D 1;3 Hướng dẫn giải Ta có g   x   x f   x   x   f  x    Để g nghịch biến g   x       x      f  x    x   x  2  1  x    x     1  x  1  x   x     x  1   x  Vậy hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  ; 2  ;  1;  1;  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số y  g  x   f   x  nghịch biến khoảng TOANMATH.com Trang 41 A  ; 1 B  2;   C  0;  D 1;3 Hướng dẫn giải  2  x  Từ đồ thị  C  : y  f   x  ; f   x     (1) x  Mà g   x   2 f    x  (2) 1 x  2   x  Từ (1) (2) ta có g   x    f    x      2  x  1 3  x   1 5 Vậy hàm số g  x  nghịch biến khoảng  ;   ; 1 2 2 Chọn A Lưu ý: Thông qua đồ thị hàm số y  f   x    2  x  f  x    5  x  x  2 f  x    2   x Hàm số y  f   x  nghịch biến  đánh giá y  2 f    x   Chú ý: Dựa vào giao điểm đồ thị hàm số y  f   x  với trục hoành  chọn hàm cụ thể thỏa mãn y  f   x    x   x   x    y  2 f    x  Lập bảng xét dấu  Kết luận Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  x  1  2019  2018 x khoảng đây? 2018 TOANMATH.com Trang 42 A  2;3 B  0;1 C  1;0  D 1;  Hướng dẫn giải Ta có g   x   f   x  1   x   1  x   Do y   f   x  1     x 1  x  Vậy hàm số đồng biến  1;0  Chọn C Nhận xét: Hàm số g  x  có g   x   f   x  1   x  1 Từ đồ thị hàm số y  f   x  , ta có f   x     x  f   x    1  x  Ví dụ Cho hai hàm số f  x  g  x  có đồ thị hình vẽ Biết hai hàm số f  x  1 g  ax  b  có khoảng nghịch biến  m; n  , m, n   Khi giá trị biểu thức  4a  b  A B 2 C 4 D Hướng dẫn giải Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng 1;3 TOANMATH.com Trang 43 Hàm số y  f  x  1 có y  f   x  1 Với y   f   x  1   f   x  1    x     x  Vậy hàm số y  f  x  1 nghịch biến khoảng 1;  Hàm số y  g  ax  b  có đạo hàm y  a.g   ax  b  b  x   a ax  b   y  a.g   ax  b      2b  ax  b  x  a  Nếu a    b 2b  a a b   2b   ;   (không thỏa mãn) Hàm số nghịch biến khoảng  ;   ;  a  a   Nếu a    b 2b  a a  2b b  ;  Hàm số nghịch biến khoảng  a  a 2 b 2  a   a  1 a  2 Do hàm số có khoảng nghịch biến 1;  nên    b b b4     2  a a  Vậy 4a  b  4 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  , dấu đạo hàm cho bảng Hàm số y  f  x   nghịch biến khoảng nào?  x f  x  A  1;1   B  2;    C 1;  D  ; 1 Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau  x f  x 2  1      Hàm số y  2 f  x   2019 nghịch biến khoảng khoảng đây? A  4;  B  1;  C  2; 1 D  2;  Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có bảng biến thiên sau TOANMATH.com Trang 44 x  y y      3  Hàm số y  f  x  x  nghịch biến khoảng đây? A  ;0  B  0;1 C  2;   D 1;  Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  bảng biến thiên y  f   x  sau  x 1 y     y  3 3  Hàm số g  x   f  x   x đồng biến khoảng nào? B  2019; 2  A  2; 2018  C 1;  D  1;1 Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau  x 2 f  x      1 Đặt y  g  x   f  x   x3  x Khẳng định đúng? A Hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  ;1 B Hàm số y  g  x  đồng biến khoảng 1;  C Hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  0;1 D Hàm số y  g  x  nghịch biến khoảng  2;1 Câu 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau  x 1 f  x      Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g  x   f  x  m  đồng biến khoảng  0;  ? A B C D Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng xét dấu sau x f  x  2  TOANMATH.com      Trang 45 Có giá trị nguyên m thuộc  0; 2020  để hàm số g  x   f  x  x  m  nghịch biến khoảng  1;0  ? A 2017 B 2018 C 2016 D 2015 Câu 8: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số f  x   nghịch biến khoảng  ;   Khi giá trị lớn    A B C D Câu 9: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị Đặt g  x   f  x2  x   Chọn khẳng định khẳng định sau? A g  x  nghịch biến khoảng  0;  B g  x  đồng biến khoảng  1;    C g  x  nghịch biến khoảng   ;0    D g  x  đồng biến khoảng  ; 1 Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình Hàm số y  2019 f  x  đồng biến khoảng A 1;  B  2;3 C  1;0  D  1;1 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  x  x  m  nghịch biến  0;1 A B C D TOANMATH.com Trang 46 Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có đồ thị hàm f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x  x  đồng biến khoảng nào? 1  A  ;1 2  B 1;  1  C  1;  2  D  ; 1 Câu 13: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f 1  x  nghịch biến khoảng đây?  3;   B   3; 1 C 1;  A D  0;1 Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục  Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f  x   nghịch biến khoảng khoảng sau đây? A  ; 3 B  5; 2  1 3 C  ;  2 2 D  2;   Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Biết đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Gọi S tập giá trị nguyên tham TOANMATH.com Trang 47 số m thoả mãn m   2019; 2019  cho hàm số g  x   f  x  m  đồng biến khoảng  2;  Số phần tử tập S A 2017 B 2019 C 2015 D 2021 Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  hình bên đồ thị đạo hàm y  f   x  Hàm số g  x   2 f   x   x nghịch biến khoảng A  3; 2  B  2; 1 C  1;0  D  0;  Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số y  f 1  x   x2 x nghịch biến khoảng 3  A  1;  2  B  2;0  C  3;1 D 1;3 Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thoả f  2   f    đồ thị hàm số y  f   x  có dạng hình bên Hàm số y   f  x   nghịch biến khoảng khoảng sau? 3  A  1;  2  B  1;1 C  2; 1 D 1;  TOANMATH.com Trang 48 Câu 19: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên f    f  2   Hàm số g  x    f   x   nghịch biến khoảng khoảng sau? A  2;  B 1;  C  2;5  D  5;   Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f    x  hình vẽ bên Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng sau đây? A  2;  B  1;3 C  2;1 D  0;1 Câu 21: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f   x   hình vẽ Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng nào? A  ;8    B   ;      4  C  ;   3 Câu 22: Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d D  8;10   a , b, c , d    có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến khoảng đây? A 1;   B  ; 2  C  1;   3 ; D     3  Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  hình vẽ TOANMATH.com Trang 49 Hỏi hàm số g  x   f  x  1  f   x   x  x  đồng biến khoảng cho đây? A  ;0  B  0;3 C 1;  D  3;   Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ bên Các giá trị m để hàm số y  f  x    m  1 x đồng biến khoảng  0;3 A m  B m  C m  D  m  Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ TOANMATH.com Trang 50 Đặt g  x   f  x  m    x  m  1  2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  5;  Tổng phần tử S A B 11 C 14 D 20 Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình Bài tốn Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc Ví dụ: Giải phương trình x3  x   x  1 x  nghịch biến) tập D, ta có Với u, v  D mà f  u   f  v   u  v Hướng dẫn giải Nhận xét: f  x   f  x0   x  x0 Do phương Điều kiện x  trình f  x   có nhiều nghiệm Ta có x3  x   x  1 x   x3  x    3x   3x  Xét hàm số f  t   t  t , t  Ta có f   t   3t   , t   hàm số f  t  đồng biến  0;   Do f  x   f   3x   x  3x    x2 x    x 1  x  x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Biết phương trình 27 x  23 x   26 x  có nghiệm thực dương x  a c  với b d b, c, d số nguyên tố Khẳng định A  a  d   b  c  B  a  d   b  c  C  a  d   b  c  D  a  d   b  c  Hướng dẫn giải Phương trình 27 x3  23 x   26 x    x   x   26 x  1  26 x  (1) TOANMATH.com Trang 51 Xét hàm số f  t   t  t  f   t   3t   , t    Hàm số đồng biến  Phương trình (1): f  x   f   26 x   3x  26 x   27 x  26 x    x  1  1 23  nghiệm có dạng cho 1 23  x   x   6   a  1, b  2, c  23, d    a  d   b  c 1 Chọn B Ví dụ Biết phương trình x3  12 x  10 x   10 x  1 10 x  có nghiệm thực dương x a b với a, b, c   a, c số nguyên tố c Khẳng định A  a  c   b  B  a  c   b  C  a  c   b  D  a  c   b  Hướng dẫn giải Nhận xét: - Vế trái đa thức bậc ba, vế phải chứa bậc hai nên ta biến đổi để xuất 10 x  1 10 x   10 x  1   10 x      10 x  Ta có 10 x   10 x  Khi phương trình có dạng  ax  b    ax  b   Điều kiện x     10 x   10 x  1 10 Phương trình cho   x  1   x  1    10 x   10 x  (1) Xét hàm số f  t   t  2t  f   t   3t   , t    Hàm số đồng biến  Phương trình 1  f  x  1  f  2 x   10 x   x   10 x     x  1  10 x     41 x   x 2 x  x   TOANMATH.com Trang 52  a  7, b  41, c    a  c   b  Chọn D Ví dụ Biết phương trình a b x 1  , với a, b, c   c số , có nghiệm thực x   2x 1  x  nguyên tố Khẳng định A 2ac  b  B ac  b  C 2ac  b  D ac  b  Hướng dẫn giải Điều kiện  x  13 x  1 Phương trình cho   x   x    x    x      x 1  x 1    2x   2x   f   x 1  f   x  (1) với f  t   t  t Xét hàm số f  t   t  t , có f   t   3t  , t    Hàm số đồng biến  2 x   Do 1  x   x     x      2x 1  1  x    x  x  x  x  1   a  1, b  5, c   2ac  b  1  x  x   Chọn C Bài toán 2: Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình Phương pháp giải Cho hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có f  x  , nghịch biến) tập D , ta có x   Tìm tất giá trị tham số m để Với u, v  D : f  u   f  v   u  v f  m  2m   f   Với u, v  D : f  u   f  v   u  v • Với u, Hướng dẫn giải Vì f   x   , x   nên hàm số cho đồng biến   f  m  2m   f  3 m  2m   m  2m    3  m  Vậy m   3;1 giá trị cần tìm thỏa mãn yêu TOANMATH.com Trang 53 cầu đề Ví dụ mẫu 1 Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có f   x   , x   Tất giá trị thực x để f    f    x  1 A x   0;   2 1  B x   ;0    ;   2  1  C x   ;  2   1 D x   ;0    0;   2 Hướng dẫn giải Ta có f   x   , x   nên hàm số y  f  x  nghịch biến  1 2x 1 1  Do f    f        x   ;0    ;   x x x     Chọn B Ví dụ Bất phương trình x3  x  x  16   x  có tập nghiệm  a; b  Tổng a  b có giá trị A 2 B C D Hướng dẫn giải Điều kiện: 2  x  Xét f  x   x3  x  x  16   x đoạn  2; 4 Có f   x    x  x  1 x  x  x  16  , x   2;  , hàm số đồng biến  2; 4 4 x Bất phương trình cho  f  x   f 1   x  So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S  1; 4  a  b  Chọn C Dạng 2: Bài tốn ứng dụng tính đơn điệu vào tốn tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm Phương pháp giải Nếu hàm f  x   A , D f  x  g  m y  f  x số max  B D có D  A  g  m  B nghiệm liên tục phương thuộc tập có Ví dụ: Cho hàm số f  x   x  x Có trình giá trị nguyên tham số m để phương trình hợp f  f  x    x  2m có nghiệm đoạn 1; 2 ? A B C D 10 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 54 Hàm số f  x   x3  x  f   x   x   , x    Hàm số f  x   x  x đồng biến  Ta có x  1; 2  f 1  f  x   f     f  x   10 Xét phương trình f  f  x    x  2m   f  x    f  x   x  2m   f  x    x3  2m (1) Xét x  1; 2 ; 23  13   f  x    x3  103  23    f  x    x3  1008 Phương trình cho có nghiệm  1 có nghiệm   2m  1008  24 2m  210  m  4;5;6; 7;8;9 Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho f  x   x3  x  2m Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình f  f  x    x có nghiệm đoạn 1; 4 A C 21 B D 22 Hướng dẫn giải t  f  x   f  t   t  f  x   x (1) Đặt t  f  x     f t   x Xét hàm số g  u   f  u   u  u  2u  2m có g   u   3u   , u   Do 1  t  x  f  x   x  x  2m (2) Phương trình f  f  x    x có nghiệm đoạn 1; 4    có nghiệm đoạn 1; 4  13  2m  43  m  0;1; 2;3; 4;5;6 Tổng giá trị 1        21 Chọn C TOANMATH.com Trang 55 Ví dụ Cho hàm số f  x   x5  x3  4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f  x   m  x  m có nghiệm đoạn 1; 2 ? A 15 B 16 C 17 D 18 Hướng dẫn giải Đặt t  f  x   m  f  x   t  m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình  f  t   x3  m  f  t   t  f  x   x (1)  f x t m      Xét hàm số g  u   f  u   u  u  4u  4m  g   u   5u  12u  0, u  1; 2  Hàm số đồng biến đoạn 1; 2 Do 1  t  x  f  x   x3  m  x  x3  3m (2) Với x  1; 2 ,3  x  x  48  Phương trình (2) có nghiệm đoạn 1; 2   3m  48   m  16 Chọn B Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m  m  2sin x  sin x có nghiệm thực? A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện sin x  Ta có m  m  2sin x  sin x  m  m  2sin x  sin x  m  2sin x  m  2sin x  sin x  2sin x (1) Xét hàm số f  t   t  2t f   t   2t   0, t   Hàm số f  t  đồng biến  0;   Phương trình 1  f   m  2sin x  f  sin x   m  2sin x  sin x  sin x  2sin x  m Đặt sin x  t  t   0;1 Phương trình cho có nghiệm phương trình t  2t  m có nghiệm  0;1 Xét hàm số g  t   t  2t , t   0;1 Ta có g   t   2t  2; g   t    t  Suy max g  t   0; g  t   1 0;1 TOANMATH.com 0;1 Trang 56 Do phương trình có nghiệm 1  m  Mà m   nên m  0; m  1 Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục  , có đồ thị hình vẽ Có giá trị tham số m để phương trình 9m3  m 3f  x   f  x   có nghiệm thực phân biệt? A B C D Hướng dẫn giải Phương trình  27m3  3m   f  x    f  x     3m   3m   g  3m   g    3 f  x   f  x   f  x   (1) Xét hàm số g  t   t  t  g   t   3t   0, t   nên hàm số đồng biến   9m  3m   f  x   2   Do 1  f  x    3m    9m   9m   f  x   f x    3     Dựa vào hình vẽ phương trình (3) vơ nghiệm (vì f  x   0, x ) Do để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt    có ba nghiệm phân biệt hay  9m   3  m     9m   1   m   35 11 Chọn B TOANMATH.com Trang 57 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Biết nghiệm nhỏ phương trình x3  x  x   3  a , b, c   *  , a c 16 x  x  có dạng x0  b a tối giản Giá trị biểu thức S  a  b3  c b A S  2428 B S  2432 C S  2418 D S  2453 Câu 2: Số nghiệm thực phương trình  x  3 x   x3  x  x  A B C D a b x2 2  có nghiệm dạng x   với a, c   b số c 2x   x  nguyên tố Tổng P  a  b  c Câu 3: Biết phương trình A B C D     Câu 4: Biết phương trình  x  1  x  x   x  x   có nghiệm a Khi A  a  B  a  Câu 5: Bất phương trình C 2  a  1 D 1  a  x  x   x  x  11   x  x  có tập nghiệm  a; b  Hiệu b  a có giá trị A B D 1 C   Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình  x  1 x   3 x   x  có dạng  a; b  Tổng a  b A B C D Câu 7: Có số nguyên thuộc đoạn  2020; 2020 thỏa mãn bất phương trình  x     x      1  x  A 4041   x2    ? B 2024 C 2026 D 2025 Câu 8: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho phương trình  x  1   m  3 3x  m có hai nghiệm thực Tổng phần tử tập S A B C D Câu 9: Tập giá trị m để phương trình x  x  m3 x    m  x  6mx  10  có hai 1  nghiệm phân biệt thuộc  ;  S   a; b  Giá trị biểu thức T  5a  8b 2  A T  18 B T  43 C T  30 D T  31 Câu 10: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x  6sin x  m3 sin x  15  3m  sin x  6m sin x  10  vô nghiệm? A TOANMATH.com B C D Vơ số Trang 58 Câu 11: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 2019m  2019m  x  x có nghiệm? A B C Vơ số Câu 12: Có giá trị âm tham số m để phương trình A B D m  3 m  3sin x  sin x có nghiệm? C D Câu 13: Cho hàm số y  f  x  liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình f  6sin x  8cos x   f  m  m  1  có nghiệm x   ? A B C D Câu 14: Cho phương trình sin x   cos x    2cos x  m  1 2cos x  m   2cos x  m  Có  2 giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm x  0;  A B C  ?  D Câu 15: Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Các giá trị tham số m để phương trình A m   37 B m  4m3  m 2f 2  x   f  x   có nghiệm phân biệt C m  37 D m   ĐÁP ÁN DẠNG Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số 1-D 2-C 3-D 4-B 5-C 6-B 7-B 8-D 9-C 10-B 11-A 12-A 13-B 14-A 15-A 16-D 17-D 18-D 19-A 20-D 21-B 22-D 23-B 24-D DẠNG Các toán chứa tham số TOANMATH.com Trang 59 1-C 2-D 3-A 4-A 5-D 6-C 7-A 8-D 9-C 10-D 11-A 12-C 13-D 14-A 15-D 16-A 17-A 18-D 19-D 20-D 21-C 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-C DẠNG Hàm ẩn liên quan đến đồng biến nghịch biến hàm số 1-C 2-B 3-B 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 9-C 10-A 11-B 12-C 13-C 14-C 15-C 16-C 17-B 18-D 19-C 20-D 21-A 22-B 23-C 24-C 25-C 9-C 10-A DẠNG Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình 1-B 2-C 3-C 4-D 5-A 11-A 12-A 13-D 14-C 15-C TOANMATH.com 6-D 7-D 8-C Trang 60