LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại công nghiệp hóa, hiện đại hóa hiện nay nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí. Vì vậy phải có chiến lược nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Vậy dạy toán ở trường Trung học cơ sở ngoài mục đích cung cấp tri thức cho học sinh, điều đặc biệt là dạy cho học sinh cách phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức. Với mục tiêu trên, việc lên lớp và truyền thụ kiến thức cho học sinh vô cùng quan trọng. Vì vậy, tôi đặt ra cho mình mục tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ năng cơ bản và sử dụng phương pháp linh hoạt, phát triển năng lực trí tuệ, khả năng tư duy, quan sát, dự đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc. Hình thành cho hoc sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học và phát huy năng lực học tập của học sinh tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ” trong chương trình toán Trung học cơ sở. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Đề tài tập trung nghiên cứu về một số bài toán liên quan đến tìm cực trị của biểu thức là đa thức, phân thức và một số bài về căn thức và phát huy hiệu quả của phương pháp giải toán cụ thể trong chương trình toán 8,9. Đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8; 9 và học sinh ôn thi vào lớp 10 Trung học phổ thông và Trung học phổ thông chuyên. III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 1. Mục tiêu nghiên cứu. Đề tài chú trọng nghiên cứu các bài toán liên quan đến cực trị của biểu thức. Qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải toán cực trị của biểu thức qua việc phân tích, nghiên cứu, tìm tòi tìm ra mối quan hệ giữa các kiến thức liên quan trong bài toán, để tìm ra phương pháp giải phù hợp. Từ đó đào sâu khai thác phát triển bài toán và làm công cụ cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, gạt bỏ dần tư tưởng e ngại của học sinh khi gặp bài toán cực trị. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2021 2022 3 Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo về bài toán cực trị. Tiến hành điều tra tìm hiểu thực tiễn của học sinh về việc giải các bài toán tìm cực trị của biểu thức. Xác định các biện pháp sư phạm để áp dụng phương pháp dạy học phù hợp. Thực hiện sư phạm để kiểm định tính khả thi của đề tài. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu. Phương pháp phân loại các bài toán Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp. Phương pháp điều tra thực tế. Phương pháp thực nghiệm giáo dục để kiểm định tính khả thi của đề tài. Phương pháp thống kê, tổng hợp. V. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI. Trong thực tiễn có rất nhiều tài liệu liên quan đến cực trị của biểu thức. Nhưng thông qua đề tài này học sinh có được cách nhìn tổng quan, hiểu sâu bản chất và có phương pháp vận dụng tốt hơn để giải toán. Nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Đề tài không những là nguồn tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên đang giảng dạy trực tiếp và bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng mà còn là tài liệu bổ ích cho hs khối 8, 9 và học sinh thi vào lớp 10 Trung học phổ thông và Trung học phổ thông chuyên
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Đối tượng phạm vi nghiên cứu III Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu IV.Phương pháp nghiên cứu 2 2 3 V Những đóng góp đề tài B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở khoa học Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn II Thực trạng vấn đề Thuận lợi Hạn chế III.Hướng dẫn học sinh giải dạng toán bất đẳng thức với khoảng giá trị biến chương trình tốn Trung học sở Khái niệm Hằng đẳng thức Chú ý giải Một số toán Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến 4 4 4 5 5 6 11 18 Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến IV Kết đạt C KẾT LUẬN I Những học kinh nghiệm II Ý nghĩa sáng kiến III Khả ứng dụng khai triển 19 19 19 20 21 IV Kiến nghị, đề xuất Danh mục tài liệu tham khảo Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học đời gắn liền với người lịch sử phát triển xã hội, có ý nghĩa lý luận thực tiễn vô lớn lao quan trọng Trong thời đại công nghiệp hóa, đại hóa thiết phải đặt tảng dân trí Vì phải có chiến lược nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài lĩnh vực Sự phát triển khoa học tự nhiên lại đặt tảng khoa học toán học Vậy dạy toán trường Trung học sở ngồi mục đích cung cấp tri thức cho học sinh, điều đặc biệt dạy cho học sinh cách phân tích, nghiên cứu, tìm tịi đào sâu khai thác, phát triển tốn để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức Với mục tiêu trên, việc lên lớp truyền thụ kiến thức cho học sinh vơ quan trọng Vì vậy, tơi đặt cho mục tiêu giáo dục nhằm hình thành phát triển kỹ sử dụng phương pháp linh hoạt, phát triển lực trí tuệ, khả tư duy, quan sát, dự đốn tưởng tượng, tư lơgíc Hình thành cho hoc sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao khả phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học phát huy lực học tập học sinh tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp phân tích bình phương để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức ” chương trình toán Trung học sở II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đề tài tập trung nghiên cứu số tốn liên quan đến tìm cực trị biểu thức đa thức, phân thức số thức phát huy hiệu phương pháp giải tốn cụ thể chương trình toán 8,9 Đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 8; học sinh ôn thi vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thông chuyên III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục tiêu nghiên cứu Đề tài trọng nghiên cứu toán liên quan đến cực trị biểu thức Qua giúp học sinh nắm phương pháp giải toán cực trị biểu thức qua việc phân tích, nghiên cứu, tìm tịi tìm mối quan hệ kiến thức liên quan tốn, để tìm phương pháp giải phù hợp Từ đào sâu khai thác phát triển tốn làm cơng cụ cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, gạt bỏ dần tư tưởng e ngại học sinh gặp toán cực trị Nhiệm vụ nghiên cứu Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo tốn cực trị - Tiến hành điều tra tìm hiểu thực tiễn học sinh việc giải toán tìm cực trị biểu thức - Xác định biện pháp sư phạm để áp dụng phương pháp dạy học phù hợp - Thực sư phạm để kiểm định tính khả thi đề tài IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực đề tài này, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp phân loại tốn - Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp - Phương pháp điều tra thực tế - Phương pháp thực nghiệm giáo dục để kiểm định tính khả thi đề tài - Phương pháp thống kê, tổng hợp V NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiễn có nhiều tài liệu liên quan đến cực trị biểu thức Nhưng thông qua đề tài học sinh có cách nhìn tổng quan, hiểu sâu chất có phương pháp vận dụng tốt để giải toán Nhằm nâng cao chất lượng học tập học sinh Đề tài nguồn tài liệu tham khảo cho đội ngũ giáo viên giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng mà tài liệu bổ ích cho hs khối 8, học sinh thi vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thông chuyên Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận Toán học có vai trị vị trí quan trọng khoa học kỷ thuật đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng môn khoa học khác có hiệu Thơng qua việc học tốn học sinh nắm vững nội dung tốn học phương pháp giải tốn Từ vận dụng vào môn khoa học khác môn khoa học tự nhiên Hơn toán học cở sở nghành khoa học Chính tốn học có vai trị quan trọng trường học phổ thơng, đòi hỏi người giáo viên lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học giúp học sinh học giải tốn Vậy làm để thơng qua học toán để giúp em nắm kiến thức rèn luyện phương pháp giải Qua hình thành cho em tư duy, tích cực độc lập sáng tạo, nâng cao khả phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng vào thực tiễn đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Cơ sở thực tiễn Các tốn tìm cực trị biểu thức dạng tốn khó, đa dạng thường xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi toán lớp 8, lớp 9, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thông chuyên Mặc dù q trình học tập học sinh, có tài liệu để hỗ trợ, gặp dạng toán học sinh thường lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải Là giáo viên trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tơi tìm hướng giải có hiệu cho thân, cho học sinh triển khai chun đề dạng tốn tìm cực trị Qua tơi nhận thấy học sinh tiếp thu làm dạng tập liên quan thật hào hứng Đồng thời thơng qua giúp em biết phân tích, tìm tịi, phát triển tốn ban đầu nhiều toán khác II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thuận lợi Hiện nay, điều kiện học tập học sinh điều kiện dạy học giáo viên cải thiện rõ rệt Cùng với phát triển chung xã hội, người giáo viên học sinh có điều kiện tiếp thu với nhiều nguồn thông tin, nhiều nguồn tư liệu phong phú phương tiện dạy - học đại, Sự quan tâm cấp, nghành tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy - học giáo viên học sinh Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm Nhiều giáo viên tâm huyết với cơng tác dạy học, tích cực đổi phương pháp dạy học để không ngừng nâng cao chất lượng môn Hạn chế Trên thực tế tài liệu viết “Tốn tìm cực trị biểu thức” nhiều cụ thể viết phương pháp giải dạng toán cực trị phương pháp phân tích bình phương, hầu hết tập dạng đơn lẻ, nhiều giáo viên gặp khó khăn gặp dạng tốn để dạy cho học sinh cách có hệ thống Đối với học sinh + Không nắm phần lí thuyết học nắm nội dung học cách thụ động, nên trình làm tập cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng + Khơng phân tích tốn theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng hết kiện tốn + Khơng biết vận dụng vận dụng chưa thành thạo phương pháp suy luận giải tốn, khơng biết sử dụng tốn giải mẫu áp dụng phương pháp giải cách thụ động + Khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác cho toán hay mở rộng lời giải tìm cho tốn khác, hạn chế việc rèn luyện lực giải toán + Việc đầu tư cho thời gian tự đọc sách tham khảo em học sinh hạn chế III HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC Khái niệm 1.1 Cho biểu thức f(x, y ) Ta nói M giá trị lớn biểu thức f(x, y ), kí hiệu maxf = M, hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y để f(x, y ) xác định f(x, y ) M (M số) - Tồn x0 , y0 cho f( x0 , y0 ) = M 1.2 Cho biểu thức f(x, y ) Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm Ta nói m giá trị nhỏ biểu thức f(x, y ), kí hiệu f = m, hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y để f(x, y ) xác định f(x, y ) m (m số) - Tồn x0 , y0 cho f( x0 , y0 ) = m Hằng đẳng thức ( A + B ) = A2 + 2AB + B 2 ( A − B ) = A2 − 2AB + B 2 Chú ý giải Dựa vào đẳng thức : ( A + B ) = A2 + 2AB + B ( A − B ) = A2 − 2AB + B để đưa biểu thức dạng: a) T = a + f ( x) với a số, f(x) biểu thức có chứa biến x Vì f ( x) với x nên T a Khi giá trị nhỏ T a f ( x) = (ta phải tìm x để f ( x) = ) b) T = b − f ( x) với b số, f(x) biểu thức có chứa biến x Vì − f ( x) với x nên T b Khi giá trị lớn T b f ( x) = (ta phải tìm x để f ( x) = ) 4.Một số tốn Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến Bài (Bài 19a, b Sách tập Toán tập 1) Tìm giá trị nhỏ đa thức a) P= x − 2x + b) Q= 2x − 6x Phân tích tốn Bài 1a) áp dụng ý (3a) học sinh dễ dàng thực Còn 1b số em cịn lúng túng hệ số hạng tử x khơng số phương, vấn đề biến đổi 2x − 6x = 2(x − 3x) đưa toán 1a Lời giải a) P = x − 2x + = (x − 2x+1) + = (x −1)2 + Vì (x −1)2 với x nên P = (x −1)2 + với x Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm Suy giá trị nhỏ P x −1 = hay x = 2 3 3 3 b) Q = 2x − 6x = 2(x − 3x) = x − 2x + − = x − − 2 2 2 2 3 9 Vì x − với x nên Q = x − − − với x 2 2 3 Suy giá trị nhỏ Q − x − = hay x = 2 2 Bài (Bài 20 Sách tập Toán tập 1) Tìm giá trị lớn đa thức a) A= 4x − x2 + b) C = 2x − 2x − Phân tích tốn Với toán 2a) áp dụng ý (3b) học sinh dễ dàng thực được, với 2b) khó khăn hệ số hạng tử x khơng phải số phương (khơng kể dấu) Vấn đề biết biến đổi ( ) 2x − 2x − = −2 x − x − Sau áp dụng ý (3b) toán giải Lời giải a) A= 4x − x + = − ( x − 4x + ) + + = − ( x − ) + Vì − ( x − ) với x nên A = − ( x − ) + với x 2 Suy giá trị lớn A x − = hay x = b) 2 1 1 1 2x − 2x − = −2 x − x − = −2 x − 2.x + + − = −2 x − − 2 2 ( ) 2 1 9 Vì −2 x − với x nên B = −2 x − − − với x 2 2 1 Suy giá trị lớn B − x − = hay x = 2 Khai thác toán Bài toán tổng quát Cho tam thức bậc hai P = ax + bx + c a) Tìm giá trị nhỏ P a b) Tìm giá trị lớn P a Lời giải Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm b b b2 P = ax + bx + c = a x + x + c = a x + + c − a 2a 4a b2 Đặt c − = k Do 4a b x + với x nên: 2a b a) Nếu a a x + với x, P k ; 2a Suy giá trị nhỏ P k x = − b 2a b b) Nếu a a x + với x, P k ; 2a Suy giá trị lớn P k x = − b 2a Bài tốn 1a) 2b) phát biểu dạng khác sau Bài 1.1 a) Chứng minh biểu thức sau dương với giá trị biến x − 2x + b) Chứng minh biểu thức sau âm với giá trị biến 2x − 2x − 3.Từ cách giải toán dễ dàng làm tốn sau Bài 1.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = ( x + 3) + ( x − 1) ; b) N = x + x c) P = x − 2x + ; d) Q = x − x − 2 Bài 1.3 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = + 2x − x + ; b) B = x + − x Hướng dẫn a) A = + 2x − x + = + − ( x − 1) + = 2 9 b) B = x + − x = − − x − 2 Bài 1.4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x − x − + ( x ) ; b) B = x2 + 4x − 2x + − x − ; 2 c) C = 3x − 12x + 16 + x − 8x + 17 ; c) D = x +6x + 10 + 2x +12x + 27 + x − 18x + 82 Hướng dẫn Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm a) A = x − x − + = ( x − − 1) + ( x ) 2 b) B = x + 4x − 2x + − = ( x + 1) + ( 2x + − 1) − −8 x − c) C = 3x − 12x + 16 + x − 8x + 17 = ( x − ) + + (x 2 ) − +1 + = d) D = x +6x + 10 + 2x +12x + 27 + x − 18x + 82 = ( x + 3) ( ) + + ( x + 3) + + x − + + 2 Từ 1b ta có Q= 2x − 6x = x + (x − 6x + 9) − = x + ( x − 3)2 − = x + y − (đặt y = x − ) Thêm điều kiên toán x − y = Ta có tốn sau Bài 1.5 Cho x − y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x2 + y2 − Bài toán tương tự Bài 1.6 Cho x + y = a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y (Đề thi thử kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2012 - 2013) b) Tìm giá trị lớn biểu thức: A = xy Từ 1a) P = (x −1)2 + nên 1 1 (theo tính chất a b với a, b P a b dấu) chuyển tốn dạng sau Bài 1.7 a) Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x − 2x + b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= 2+ 2x − x + với x 1 − 2,1 + 2 3x + 6x + 10 Bài 1.8 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + 2x + (Đề thi HSG Toán huyện Lâm Thao - Phú Thọ, năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn: P = 3x + 6x + 10 1 = 3+ 3+ 2 x + 2x + ( x + 1) + Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = ( x + 5x + ) ( x + )( x + 3) Năm học: 2021 - 2022 Sáng kiến kinh nghiệm b) B = x ( x − 3)( x − )( x − ) Phân tích toán Đối với 3a) nhân đa thức với đa thức đa thức bậc nên khó thực hiện, ý ( x + )( x + 3) = x + 5x + Hai đa thức x2 + 5x + x2 + 5x + có chung x2 + 5x Do ta đặt x + 5x + 4+6 = y , đưa toán dạng A = ( y − 1)( y + 1) = y − Bài toán giải Còn 3b) nhiều học sinh lúng túng ý phát đặc điểm x ( x − ) = x − 7x ( x − 3)( x − ) = x − 7x + 12 , đưa biểu thức dạng 3a) Lời giải a) A = ( x + 5x + ) ( x + )( x + 3) = ( x + 5x + )( x + 5x + ) Đặt x + 5x + = y A = ( y − )( y + ) = y − 25 −25 với y Dấu đẳng thức xẩy 2 5 5 5 5 y = x + 5x + = x + 2.x + − + = x + = 2 2 5 −5 x + = x = 2 5 − −5 x + = − x = 2 Vậy giá trị nhỏ A -25 x = − −5 −5 x = 2 b) B = x ( x − 3)( x − )( x − ) = ( x − 7x )( x − 7x + 12 ) Đặt y= x2 − 7x+6 A= ( y − )( y + ) = y − 36 −36 Dấu đẳng thức xẩy 2 2 7 7 7 5 y = x − 7x + = x − 2.x + − + = x − = 2 2 x − = x = x = x − = − 2 Năm học: 2021 - 2022 10 Sáng kiến kinh nghiệm Vậy giá trị nhỏ B – 36 x = x = Khai thác toán Bài toán tổng quát Cho a, b, c, d, m số, a + d = b + c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) + m Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x + 2) + ( x − 4) 4 Phân tích tốn Ta có ( a + b ) = a + 4a 3b + 6a 2b + 4ab3 + b (a − b) = a − 4a 3b + 6a 2b − 4ab3 + b Do ( a + b ) + ( a − b ) = ( a + 6a 2b + b ) nên đặt x + 4 ( 2−4 = t hay x = t + ta có ) A = ( t + 3) + ( t − 3) = t + 6.t 32 + 34 = 2t + 108t + 162 162 4 Lời giải Đặt x = t + ta có ( ) A = ( t + 3) + ( t − 3) = t + 6.t 32 + 34 = 2t + 108t + 162 162 , t R 4 Dấu đẳng thức xẩy t = x = Vậy giá trị nhỏ A 162 x = Khai thác toán Bài toán tổng quát Cho a,b số cho trước Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: (a + b) + (a − b) 4 Bài Tìm giá trị nhỏ A= 3x − 8x + x − 2x + Phân tích tốn Ta thấy mẫu thức có dạng x − 2x + 1= ( x − 1) nghĩ đến việc đặt ẩn phụ 3y2 − y +1 = 3− + x − = y x = y + Khi A = y y y Đặt = z A = − 2z+z = ( z − 1) + ( biến đổi tương tự 1) y Năm học: 2021 - 2022 11 Sáng kiến kinh nghiệm Lời giải ĐK: x Đặt x − = y ( y ) x = y + Ta có: ( y + 1) − ( y + 1) + A= Đặt y2 == 3y2 − y +1 = 3− + y y y = z A = − 2z+z = ( z − 1) + y Giá trị nhỏ A z = y = =1 x = x −1 Khai thác toán Bài toán tương tự Bài 4.1 Cho x Tìm giá trị lớn biểu thức A= Bài 4.2 Tìm x để hàm số y = x ( x + 2000 ) x ( x + 2004 ) có giá trị lớn (Đề thi học sinh giỏi quận Hoàn Kiếm - Hà Nội năm 2003 – 2004) Bài 4.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 2x + 2001 x2 (Đề thi tuyển sinh khối Trung học phổ thơng chun Tốn – Tin Trường Đại học Vinh năm 2003) Bài 4.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x − 2x + 2008 x2 (Đề thi OLympic Toán - Trường Trung học sở Nguyễn Trãi - năm 2007 – 2008) Dạng Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa nhiều biến Bài (Bài 19c Sách tập Tốn tập 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x2 + y − x + y + 10 Phân tích tốn Nhóm biểu thức M thành nhóm M = ( x2 − x) + ( y + y) + 10 Áp dụng phương pháp làm Lời giải 1 M = x + y − x + y + 10 = ( x − x) + ( y + y ) + 10 = ( x − x + ) + ( y + y + 9) + 4 1 = x − + ( y + 3) + 2 Năm học: 2021 - 2022 12 Sáng kiến kinh nghiệm 2 Vì x − với x ( y + 3) với y nên 2 1 3 M = x − + ( y + 3) + với x; y 2 4 x− =0 x = Dấu “=” xẩy y + = y = −3 x = Vậy giá trị nhỏ A y = −3 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x2 − 2xy + y + 2x −10y + 17 b) B = x + xy + y − 3x − y c) C = 2x + 2xy + y − 8x − 22 y Phân tích tốn Đối với sử dụng cách tách không thực Vấn đề đặt phải làm Ta coi y tham số áp dụng ý (3a) biến đổi biểu thức có chứa bình phương biểu thức chứa biến x a) A= x2 − 2xy + y + 2x −10y + 17 = ( x2 − 2xy + 2x) + y −10y + 17 Tiếp tục biến đổi 2 x − 2xy + 2x = x − 2x ( y − 1) + ( y − 1) − ( y − 1) = ( x − y + 1) − y + y − A = ( x − y + 1) − y + y − + y − 10y + 17 = ( x − y + 1) + y − y + 16 = ( x − y + 1) + ( y − ) 2 2 b) B = x + xy + y − 3x − y = ( x + xy − 3x ) + y − y y −3 y −3 y −3 y − y2 − y + Biến đổi x + xy − 3x=x + x + − =x+ − 2 2 2 y − 3y2 − y − Khi B = x + + y − y − 3( y − y + 1) − 12 = = ( y − 1) − Tiếp tục biến đổi 4 y −3 B =x+ + ( y − 1) − −3 c) C = 2x + 2xy + y − 8x − 22 y = ( 2x + 2xy − 8x ) + y − 22 y Biến đổi 2 2 y−4 y−4 y−4 y − y − y + 16 2x + 2xy − 8x= x + x + − = x + − 2 y − y − 36 y − 16 Khi C = x + Tiếp tục biến đổi + Năm học: 2021 - 2022 13 Sáng kiến kinh nghiệm y − 36 y − 16 = ( y − ) − 26 2 y−4 C = 2 x + + ( y − ) − 26 −26 Lời giải a) Ta có A = x − 2xy + y + 2x − 10y + 17 = ( x − 2xy + 2x) + y − 10y + 17 2 = x − 2x ( y − 1) + ( y − 1) − ( y − 1) + y − 10y + 17 = ( x − y + 1) + y − y + 16 = ( x − y + 1) + ( y − ) 2 Vì ( x − y + 1) với x; y ( y − ) với x nên 2 A = ( x − y + 1) + ( y − ) với x; y 2 x − y +1 = x = y − = y = Dấu “=” xẩy x = y = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A b) B = x + xy + y − 3x − y = ( x + xy − 3x ) + y − y 2 y −3 y −3 y −3 y − y2 − y + = x2 + 2x + − + y − y = x + + y2 − 3y − 2 y −3 =x+ + ( y − 1) − y −3 Vì x + với x; y ( y − 1) với y nên y −3 B =x+ + ( y − 1) − −3 với x; y y −3 =0 x = x + Dấu “=” xẩy y =1 y − = Vậy giá trị nhỏ B -3 x = y = c) C = 2x + 2xy + y − 8x − 22 y = ( 2x + 2xy − 8x ) + y − 22 y 2 y−4 y−4 y−4 = x + 2x + − 2 + y − 22 y y − y − y + 16 = 2 x + + y − 22 y − y−4 = 2 x + + ( y − ) − 26 Năm học: 2021 - 2022 14 Sáng kiến kinh nghiệm y−4 Vì x + với x; y ( y − ) với y y−4 C = 2 x + + ( y − ) − 26 −26 với x; y y−4 x+ =0 x = Dấu “=” xẩy y = y − = Giá trị nhỏ C -26 x = y = Khai thác toán Bài toán tương tự Bài 6.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x + 2xy + y − 2x + y + số thực x, y thay đổi (Đề thi HSG Toán năm học 2013 -2014 ) Bài 6.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x − x y + x + y − y + với y (Đề 3, Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thơng chun) Bài 6.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x − 3xy + y + 2x − 3y + (Đề kiểm tra khảo sát chất lượng Toán năm học 2013 -2014) Bài 6.4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a) A = 2x + y + y − 2x+2y + ; b) B = 2x + y − 2xy − 2x + c) C = x + y − xy − 2x − 2y ; d) D = x − y ( x − y ) + x − 6x + 10 e) E = x + x ( x + y ) + x + y + 26 Hướng dẫn d) D = x − y ( x − y ) + x − 6x + 10 = ( x − y ) + ( x − 3) + 2 e) E = x + x ( x + y ) + x + y + 26 = ( x3 + 1) + ( x + y ) + 25 25 2 Bài 6.5 Tìm giá trị lớn biểu thức : b) B = 2015 − x − y +2xy −10x+14y a) A = −x − y +2xy + 2x+ 10y + c) C = 17x − x − y ( x + y ) − 76 Hướng dẫn c) C = 17x − x − y ( x + y ) − 76 = − ( x + y ) − ( x − ) 2 Theo tính chất a b với a, b dấu) thay đổi yêu cầu, a b chuyển tốn dạng sau Bài 6.6 Tìm giá trị lớn biểu thức : Năm học: 2021 - 2022 15 Sáng kiến kinh nghiệm a) A = 1000 ; x + y − 20(x + y) +2215 b) B = 2014 x + ( x − y ) − ( x − y ) − 4x +2021 2 3.Từ 6b) ta có y −3 B = x + xy + y − 3x − y = x + + ( y − 1) − Nếu B = 2 y −3 y −3 2 x+ + ( y − 1) − = x + = − ( y − 1) + 12 2 Do ta phát biểu tốn dạng sau Bài Tìm x, để y đạt giá trị lớn thỏa mãn x + xy + y − 3x − y = Lời giải y −3 Ta có: x + xy + y − 3x − y = x + + ( y − 1) − = 2 y −3 2 x+ = − ( y − 1) + ( y − 1) 12 y − y −1 y +1 Dấu “=” xẩy x = − Vậy giá trị lớn y + x = − Khai thác tốn Bài tập tương tự Bài 7.1 Tìm x, để y đạt giá trị lớn thỏa mãn x + xy + y − 8x − y = (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông - năm 2010 - 2011) Từ toán 6) đặt T = x + y , từ giả thiết x + xy + y − 3x − y = x − xT + T + 3T = Chuyển toán dạng sau Bài Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x + xy + y − 3x − y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T = x + y Lời giải T = x + y y = T − x Từ giả thiết x + xy + y − 3x − y = x + x(T − x) + (T − x) − 3t = x + xT − x + T − 2Tx + x − 3t = x − xT + T + 3T = T x − = − (T + ) + 12 2 4 (T + ) 12 T + −2 − T −2 + T= −2 − x = − − y = − − T= −2 + x = −1 y = − Năm học: 2021 - 2022 16 Sáng kiến kinh nghiệm Vậy giá trị lớn T −2 + x = −1 y = − Giá trị nhỏ T −2 − x = − − y = − − Khai thác toán Bài 8.1 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x + 6( x + y) + 2xy + y + = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x + y (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông – năm học 2008 - 2009) Bài 8.2 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện: ( x+y ) + 7( x + y) + y + 10 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x + y Bài 8.3 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x − 4xy + y + z + 5x − 10 y + 2z − = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x + y Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 −10x3 + 26x −10x + 30 Phân tích tốn Đây đa thức bậc nhiều học sinh gặp khó khăn, ý đặt y = x2 ta có P = y −10xy + 26x −10x + 30 Đưa toán dạng Lời giải Đặt y = x2 ( y ) ta có P = y − 10xy + 26x − 10x + 30 ( ) 2 = y − 10xy + 26x − 10x + 30 = y − 2.y.5x + ( 5x ) − ( 5x ) + 26x − 10x + 30 ( = ( y − 5x ) + ( x − ) + = x − 5x ( ) ) + ( x − 5) 2 +5 = ( x − 5) x2 + + Do x2 + x ; ( x − ) x ( x − 5) ( x + 1) + x 2 Nên giá trị nhỏ P x = Khai thác toán Bài tốn tương tự Bài 9.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x4 − 4x3 + 5x − 4x + 14 ; b) B = 4x4 − 24x3 + 37x − 6x + 29 ; Bài 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + x2 + (Đề thi tuyển sinh khối Trung học phổ thông chuyên Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2000 – 2001.) Năm học: 2021 - 2022 17 Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích tốn 2x + 1 = với 2x + x2 + t t ( 2x + 1) = x + x − 2tx − t +2=0 (1) Đặt ẩn phụ P = Đưa tốn tìm x để t đạt giá trị lớn giá trị nhỏ thỏa mãn (1).(Dạng 7) Lời giải * Nếu 2x + = x = − P = * Nếu 2x + 2x + 1 = t ( 2x + 1) = x + x − 2tx − t +2=0 x +2 t 2 t 1 x − 2tx + t = t + + − ( x − t ) = t + − 2 t 1 t + t + 2 2 t −2 −1 P 1 Do Vậy giá trị lớn P x = −1 giá trị nhỏ P x = −2 Đặt P = Khai thác toán Bài toán tương tự Bài 10.1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: x + 2x + x2 + x + y − 4xy Bài 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = 2 x +y a) A = x + 4x ; x2 + 2x + b) B = 2x + ; x2 + x + c) B = Phân tích toán A= 3− x y x y − 4xy − 4t = = ( Với y t = ) 2 x +y t +1 y x y +1 Đưa toán dạng Lời giải * Nếu y = A = * Nếu y A= 3− x y y − 4xy − 4t x = = , với t = 2 x +y t +1 y x y +1 Năm học: 2021 - 2022 18 Sáng kiến kinh nghiệm Đặt A = ta có k ( − 4t ) = t + t + 4kt + 4k = 4k + 3k − k 2 25 25 ( t + 2k ) = 2k + − 2k + 2k + 16 16 4 2k + k 2k + − k −1 4 Do −1 A Vậy giá trị nhỏ A -1 chẳng hạn x = y = Giá trị lớn A chẳng hạn x = −1 y = Khai thác toán Bài toán tương tự Bài 11.1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = y2 3x + 3xy + y (Đề thi tuyển sinh khối Trung học phổ thơng chun Tốn – Tin Trường Đại học Vinh năm 2002) Bài 11.2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = x - xy + y x + xy + y Bài 11.3 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x +6xy ) x + 2xy + y 2 Bài 12 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = − 2x + − x + 4x Phân tích tốn Điều kiện xác định: −1 x Ta có A = − 2x + − x + 4x A + 2x − = − x + 4x ( A + 2x − 3) = − x + 4x với A + 2x − A2 + 5x + Ax − 6A −16x + = Đưa tốn dạng: Tìm số thực x thỏa mãn điều kiện −1 x để A đạt giá trị lớn cho A2 + 5x + Ax − 6A −16x + = A + 2x − (Dạng 8) Lời giải Điều kiện xác định: −1 x Ta có A = − 2x + − x + 4x A + 2x − = − x + 4x (1) Điều kiện A + 2x − Do (1) ( A + 2x − 3) = − x + 4x Năm học: 2021 - 2022 19 Sáng kiến kinh nghiệm ( ) A2 + 5x + Ax − 6A − 16x + = A2 + 2A+1 − 45 = − ( x + 2A − ) ( A+1) A+1 −3 − A − Vậy giá trị lớn A − x = − Khai thác toán Bài tốn tương tự Bài 11.1 Tìm giá trị nhỏ A tìm giá trị lớn B 3x + − x + 2x b) A = 2x + − x − 4x a) A = IV KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Khi chưa áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy Tôi tiến hành khảo sát học sinh lớp 8A năm học 202020 - 202021, đa số học sinh lúng túng, ngại gặp dạng toán Cụ thể kết khảo sát chất lượng thu trước thực chuyên đề sau: Lớp Tổng số hs Giỏi Khá Trung bình Yếu 8A 28 (11%) (32%) (32%) (25%) Sau áp dụng chuyên đề, thấy việc hoạt động học sinh tương đối tốt, em khơng cịn cảm giác lúng túng mà tự tin hơn, bước đầu hình thành cho thói quen giải tốn cho có hiệu quả, số em biết khai thác từ toán bất đẳng thức ban đầu thành toán tương tự toán Số học sinh giỏi tăng, số học sinh trung bình giảm Kết khảo sát chất lượng thu sau Lớp Tổng số hs Giỏi Khá Trung bình Yếu 8A 28 (29%) 11 (38%) (18%) (15%) Năm học: 2021 - 2022 20 Sáng kiến kinh nghiệm C KẾT LUẬN I BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, đúc rút số kinh nghiệm sau Toán cực trị dạng toán phức tạp, học sinh cần có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết linh hoạt, hiểu sâu hiểu rộng vấn đề Bởi trình truyền đạt kiến thức cho học sinh thân giáo viên phải trang bị thật chu đáo, tỷ mĩ rõ ràng đơn vị kiến thức bản, thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất vận dụng tốt để giải toán Xây dựng cho em niềm đam mê hứng thú học tập Trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu sáng tạo nhỏ em để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích hứng thú học tập khả tự nghiên cứu tìm tịi em Giáo viên thường xun kiểm tra đánh giá kết học tập em qua kiểm tra, bổ sung thiếu sót, sai lầm, lệch lạc kiến thức để em rút kinh nghiệm Học sinh cần tập trung cao q trình học tập khơng để cảm giác “lo lắng q” q trình học tập để biết tích hợp, liên hệ kiến thức cũ mới, câu trước câu sau cách linh hoạt Đặc biệt phải rèn kỹ phân tích giả thiết, kết luận toán theo sơ đồ hai chiều sơ đồ Để làm tốt điều yêu cầu em phải nắm chắc, hiểu sâu sắc lý thuyết trọng tâm, lý thuyết bổ sung phần, mục, điểm nhấn, ý giáo viên lý thuyết bổ sung, phương pháp để áp dụng vào giải tập II Ý NGHĨA CỦA SÁNG KIẾN Khi dạy theo chuyên đề trên, thấy em khơng cịn cảm giác lúng túng, ngại mà say mê hơn, hào hứng Loại toán giúp em phát triển tư lôgic, khả phân tích tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt làm tốn Qua hình thành cho học sinh thói quen giải tốn để có hiệu Nghiên cứu dạng tốn “Tìm cực trị biểu thức” tơi hy vọng sở, động lực giúp cho thân có thêm hiểu biết Đồng thời tài liệu tham khảo giúp bạn đồng nghiệp, em học sinh yêu thích tự tin gặp tốn có liên quan đến cực trị biểu thức có nhiều kinh nghiệm để nâng cao chất lượng dạy học môn III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ KHAI TRIỂN Chuyên đề tùy theo mức độ, yêu cầu, đối tượng học sinh lớp 8, lớp Còn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, hs ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thơng chun đề có ý nghĩa quan trọng sát thực Năm học: 2021 - 2022 21 Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cực trị biểu thức dạng tốn khó, đa dạng Đó vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trình giảng dạy, để đưa nhiều phương pháp giải dạng toán ứng dụng cách giải vào giải toán giải phương trình, phương trình nghiệm ngun, phương trình vơ tỉ IV NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT Là giáo viên tâm huyết với nghề dạy học với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học môn, kính đề nghị: Hằng năm nhà trường cần tăng cường bổ sung loại sách tham khảo, loại tài liệu đổi phương pháp dạy học, để giáo viên học sinh có điều kiện thuận lợi trình thu thập kiến thức nhằm phục vụ tốt cơng tác dạy học Phịng Giáo dục Đào tạo huyện cần tăng cường tổ chức tập huấn chuyên đề chuyên sâu đổi phương pháp dạy học, hội thảo chuyên môn trao đổi kinh nghiệm để giáo viên có hội chia kinh nghiệm, tháo gỡ khó khăn q trình dạy học, phổ biến sáng kiến xếp bậc xuất sắc huyện, tỉnh để giáo viên có điều kiện học hỏi, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ Trên đúc rút kinh nghiệm thực tiễn thân qua toán gặp qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, trăn trở chọn đề tài viết để đồng nghiệp tham khảo Trong trình thực hiện, khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp chân thành Quý thầy cô đồng nghiệp để kinh nghiệm tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Thành phố Vinh, tháng năm 2022 Giản Thị Hải Năm học: 2021 - 2022 22 Sáng kiến kinh nghiệm Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Toán – Nhà xuất Giáo dục Sách tập Toán - Nhà xuất Giáo dục Toán nâng cao phát triển Toán (tập 1) - Tác giả Vũ Hữu Bình – Nhà xuất Giáo dục Tốn nâng cao phát triển Toán (tập 2) - Tác giả Vũ Hữu Bình – Nhà xuất Giáo dục Ôn luyện kiến luyện kỹ Đại số - Tác giả Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Vũ Quốc Lương, Bùi Văn Tuyên – Nhà xuất Giáo dục Bộ đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thông chuyên - Tác giả Nhà giáo nhân dân Nguyễn Trí Hiệp – Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội – 2011 Tạp chí Tốn tuổi thơ – Trung học sở - Nhà xuất Giáo dục Đề thi Olympic mơn tốn Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh toán Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trung học phổ thông Trung học phổ thông chuyên Năm học: 2021 - 2022 23