Bài giảng xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm vũ thị huệ

Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Vũ Thị Huệ (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2020 (1) Email: hue.hnue@gmail.com Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Nội dung Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Giải tích kết hợp Sự kiện phép toán Phép thử kiện Quan hệ phép toán kiện Các định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Cơng thức Bayes Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhân: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện cơng cộng: bus, taxi, xe ơm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, không bồ chở) Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhân: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện công cộng: bus, taxi, xe ơm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, khơng bồ chở) Có cách phương tiện cá nhân cách phương tiện cơng cộng Có + = cách Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Có + + = 13 cách Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Chú ý 1.1 Một công việc chia làm k trường hợp: trường hợp thứ có n1 cách giải quyết, trường hợp thứ có n2 cách giải quyết, trường hợp thứ k có nk cách giải Khi có n1 + n2 + + nk cách giải công việc Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng không phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Để theo cách ta chia làm bước thực hiện: Bước 1: HN ⇒ HK: có cách chọn, Bước 2: HK ⇒ LĐ: có cách chọn, Số cách là: 2.4 = Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Một người có áo,4 quần đơi giày Hỏi người có cách mặc đồ (gồm áo, quần đôi giày) Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 / 71 Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức Bernoulli Cơng thức Bernoulli Ví dụ 31 Một người chơi đánh đề 10 ngày, ngày chơi số Tính xác suất người trúng đề: ngày ngày Đáp án P (A) = P10 (2) = C10 0, 052 0, 9510 = 0, 0746 P (B) = − P (B) = − 0, 9510 = 0, 4013 Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 60 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Nội dung Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Giải tích kết hợp Sự kiện phép toán Phép thử kiện Quan hệ phép toán kiện Các định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 61 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Mục tiêu: Tính xác suất xảy kết H sau công đoạn Khó khăn: Kết cơng đoạn phụ thuộc vào kết công đoạn Các kết công đoạn chia làm n tập Ai , tập gồm số kết có ảnh hưởng giống đến khả xảy H Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 62 / 71 Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Định nghĩa 5.1 Nhóm kiện A1 , A2 , , An (n ≥ 2) phép thử gọi nhóm đầy đủ thỏa mãn điều kiện: Ai Aj = ∅ ∀i 6= j; A1 + A2 + · · · An = Ω Tính chất: P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) = Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 63 / 71 Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Định nghĩa 5.1 Nhóm kiện A1 , A2 , , An (n ≥ 2) phép thử gọi nhóm đầy đủ thỏa mãn điều kiện: Ai Aj = ∅ ∀i 6= j; A1 + A2 + · · · An = Ω Tính chất: P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) = Chú ý 5.1  Đối với kiện A ta có nhóm đầy đủ A, A  Đối với kiện A B,một nhóm đầy đủ: AB, AB, AB, A.B Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 63 / 71 Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Khái niệm nhóm đầy đủ Ví dụ 32 Xét phép thử gieo xúc xắc lần Gọi Ai : “Gieo mặt i chấm” với i = 1, 2, , Ta có nhóm đầy đủ A1 , A2 , , A6 Gọi A: “Gieo mặt chẵn” B: “Gieo mặt chấm chấm” C: “Gieo mặt chấm” Khi A, B, C nhóm đầy đủ Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 64 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giả sử A1 , A2 , , An nhóm đầy đủ kiện Xét kiện H cho H xảy kiện A1 , A2 , , An xảy Nói cách khác H xảy kiện Ai xảy Khi ta có cơng thức xác suất đầy đủ P (H) = n X (5.9) P (Ai ) P (H|Ai ) i=1 Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 65 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 33 Xét lơ sản phẩm có số lượng lớn số sản phẩm phân xưởng I sản xuất chiếm 20%, phân xưởng II sản xuất chiếm 30%, phân xưởng III sản xuất chiếm 50% Xác suất phế phẩm phân xưởng I 0.001; phân xưởng II 0.005; phân xưởng III 0.006 Lấy ngẫu nhiên sản phẩm lô hàng Tìm xác suất để sản phẩm phế phẩm Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 66 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Giải Gọi H: “Sản phẩm lấy phế phẩm”; Ai : “Sản phẩm phân xưởng i sản xuất” i = 1, 2, Ta có {A1 , A2 , A3 } nhóm đầy đủ P (A1 ) = 0.2; P (A2 ) = 0.3; P (A3 ) = 0.5 P (H|A1 ) = 0.001; P (H|A2 ) = 0.005; P (H|A3 ) = 0.006 Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có P (H) = P (A1 ) P (H|A1 ) + P (A2 ) P (H|A2 ) + P (A3 ) P (H|A3 ) = 0.2 × 0.001 + 0.3 × 0.005 + 0.5 × 0.006 = 0.0047 Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 67 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 34 Có hai chuồng thỏ Chuồng thỏ thứ có thỏ trắng thỏ nâu Chuồng thỏ thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ bỏ vào chuồng thứ hai sau bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ hai Tính xác suất bắt thỏ nâu từ chuồng thứ hai Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 68 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức xác suất đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 34 Có hai chuồng thỏ Chuồng thỏ thứ có thỏ trắng thỏ nâu Chuồng thỏ thứ hai có thỏ trắng thỏ nâu Bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ bỏ vào chuồng thứ hai sau bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng thứ hai Tính xác suất bắt thỏ nâu từ chuồng thứ hai Giải Gọi Ai : “Trong thỏ bắt từ chuồng có i thỏ nâu” , i = 0, 1, Ta có A0 , A1 , A2 lập thành nhóm đầy đủ Gọi H: “Bắt thỏ nâu từ chuồng hai” Ta có C1C1 C2 C32 = ; P (A1 ) = 3 = ; P (A2 ) = 32 = C6 C6 C6 5 P (H|A0 ) = = ; P (H|A1 ) = ; P (H|A2 ) = = 12 12 12 P (A0 ) = Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P (H) = X Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) i=0 1 1 + + = 5 12 12 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 P (Ai ) P (H|Ai ) = 68 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Trong công thức xác suất đầy đủ, H kiện kết quả, kiện Ai i = 1, n kiện nguyên nhân Nếu biết nguyên nhân xảy ta xác định xác suất xảy H Bây ngược lại, người ta biết kết xảy H, muốn tính xác suất để nguyên nhân thứ i xảy bao nhiêu, tức tính P (Ai |H) P (Ai ) gọi xác suất tiên nghiệm, P (Ai |H) gọi xác suất hậu nghiệm Ta có cơng thức Bayes: P (Ai )P (H|Ai ) , i = 1, 2, , n P (Ai |H) = Pn j=1 P (Aj ).P (H|Aj ) Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 (5.10) 69 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Chứng minh Theo công thức xác suất có điều kiện ta có: P (Ai |H) = P (Ai H) P (Ai ).P (H|Ai ) = P (H) P (H) Mặt khác theo công thức xác suất đầy đủ: P (H) = n P P (Aj ).P (H|Aj ) Thay vào công j=1 thức ta có đpcm Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 70 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Cơng thức Bayes Cơng thức Bayes Ví dụ 35 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn tốt 90% Trước xuất thị trường, bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra khơng tuyệt đối hồn tồn nên bóng đèn tốt có xác suất 0.9 cơng nhận tốt, cịn bóng đèn hỏng có xác suất 0.95 bị loại bỏ Tính tỷ lệ bóng qua kiểm tra chất lượng Tính tỷ lệ bóng hỏng qua kiểm tra chất lượng Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 71 / 71 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Công thức Bayes Công thức Bayes Ví dụ 35 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn tốt 90% Trước xuất thị trường, bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra khơng tuyệt đối hồn tồn nên bóng đèn tốt có xác suất 0.9 cơng nhận tốt, cịn bóng đèn hỏng có xác suất 0.95 bị loại bỏ Tính tỷ lệ bóng qua kiểm tra chất lượng Tính tỷ lệ bóng hỏng qua kiểm tra chất lượng Giải Gọi A: “Bóng đèn thuộc loại tốt”; B: “Bóng đèn thuộc loại hỏng” Ta có A, B nhóm đầy đủ P (A) = 0.9; P (B) = 0.1 Gọi H: "Bóng qua kiểm tra chất lượng", ta có P (H|A) = 0.9; P (H|B) = 0.05 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có P (H) = P (A).P (H|A) + P (B).P (H|B) = 0.9 × 0.9 + 0.1 × 0.05 = 0.815 Ta có P (B|H) = Vũ Thị Huệ (SAMI-HUST) P (B).P (H|B) 0.1 × 0.05 = = 0.0061 P (H) 0.815 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2020 71 / 71