Tối ưu hoá - Đại học Thuỷ lợi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI TỐI ƯU HÓA [Tài liệu giảng dạy bậc đại học] Nguyễn Thị Vinh HÀ NỘI 2010 MỤC LỤC CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ưu VÀ CÁC KHÁI NIỆM 1.1 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ VIỆC PHÂN LOẠI 1.1.1 Bài toán tối ưu tổng quát số thuật ngữ 1.1.2 Phân loại toán tối ưu 1.1.3 Bậc phương pháp giải toán tối ưu > Xấp xỉ bậc hai Xấp xỉ sở toán học ấn sau phần lớn phương pháp tối ưu Nó dựa khai triển Taylor hàm f(x) lân cận điểm Xo chuỗi luỹ thừa: 1.2 Một số khái niệm giải tích lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 1.3 Bài tập chương 1: CHƯƠNG 2: QUI HOẠCH TUYỂN TÍNH (QHTT) 10 2.1 Các tốn điển hình QHTT 10 2.1.1 Bài toán chế độ dinh dưỡng 10 2.1.2 Bài toán sử dụng nguyên vật liệu .11 2.1.3 Bài toán vận tải (tĩnh) 11 2.1.4 Bài toán trồng 12 2.2 Một số ví dụ cách thiết lập toán QHTT 12 2.2.1 Bài toán ăn kiêng: 12 Chất dinh 13 dường 13 Nhu cầu tối 13 thiểu hàng ngày 13 2.2.2 Bài toán sản xuất: 13 2.3 Phương pháp hình học giải tốn QHTT 14 2.3.1 Ví dụ 1: Minh hoạ phương pháp hình học 14 2.3.2 Ví dụ 2: Minh hoạ phương pháp hình học 15 2.4 Bài toán QHTT dạng chuẩn khái niệm 16 2.4.1 Bài toán QHTT dạng chuẩn việc chuẩn hóa tốn QHTT 16 2.4.2 Ví dụ minh họa 17 2.4.3 Các phương án toán QHTT chuẩn 18 2.4.4 Điều kiện tồn nghiệm tối ưu 19 2.5 Phương pháp đơn hình (PPĐH) giải toán QHTT chuẩn 20 2.5.1 Đường lối chung sở thuật toán 20 2.5.2 Tìm hiểu PPĐH qua việc giải toán sản xuất 20 2.5.3 Thuật tốn đơn hình 22 2.5.4 Ví dụ 23 2.5.5 Một số vấn đề thường gập 25 2.5.6 Sơ đồ khối chương trình tính 31 2.6 Bài tập chương 2: 36 CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TOÁN KHÁC CỦA QHTT 38 3.1 Bài toán đối ngẫu (BTĐN) .38 3.1.1 Khái niệm BTĐN 38 3.1.2 Định nghĩa: 39 3.1.3 Các tính chất hai BTĐN 40 3.2 Bài toán vận tải 42 3.2.1 Bài toán vận tải (BTVT) tồn nghiệm tối ưu 42 3.2.3 BTVT không cân bằng: đưa BTVT cân giải 47 3.2.4 Sơ đồ khối chương trình tính 47 3.3 Qui hoạch tham số tuyến tính (QHTSTT) 49 3.3.1 Trường họp hàm mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số 50 3.3.3 Vài mở rộng cùa toán QHTSTT 56 3.4 Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính (QHNTT) 56 3.4.1 Bài toán QHNTT tổng quát 56 3.4.2 Phương pháp nhánh cận giải toán QHNTT 57 3.5 Bài tập chương 3: 61 CHƯƠNG4: GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUI HOẠCH ĐỘNG (QHD) .64 4.1 Bài tốn tìm đường (lộ trình) ngắn dài 64 4.2 Các nguyên tắc QHĐ 65 4.3 Thiết lập toán theo QHĐ phương trình truy hồi Bellmann 66 4.3.1 Thiết lập toán theo QHĐ 66 4.3.2 Các phương trìnhtruy hồi R.Bellmann 67 4.4 Phương pháp thực hành QHĐ 70 4.5 Một số ví dụ 70 4.6 Bài tập chương 4: 76 4.7 77 4.8 Phương án 77 4.8.1 77 CHƯƠNG 5: QUY HOẠCH PHI TUYẾN (QHPT) 78 5.1 Phương pháp dò tìm cực trị địa phương hàm biến 78 5.1.1 Nội dung phương pháp lát cắt vàng (phương pháp bậc khơng) 78 5.1.2 Thuật tốn 79 5.1.3 Ví dụ: Định vị điểm cực tỉểu hàm f(x) = X - X biết = 0,15 79 5.2 Các phương pháp tụt dốc dị tìm cực trị địa phương tốn QHPT không ràng buộc nhiều chiều 82 5.2.1 Đặt vấn đề: 82 5.2.2 Phương pháp đường dốc (Steepest Descents) 82 5.3 Phương pháp gradient dị tìm cực trị địa phương toán QHPT ràng buộc nhiều chiều 88 5.3.1 Một số khái niệm 88 5.3.2 Phương pháp Gradient 91 5.4 Bài tập chương 5: 94 CHƯƠNG 6: HƯƠNG DẪN sử DỤNG CÔNG cụ SOLVER TRONG MSEXCEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI Ưu 95 6.1 Giói thiệu cơng cụ SOLVER chuẩn MS-EXCEL 95 6.1.1 Một số khái niệm SOLVER chuẩn 95 6.1.2 Xây dựng mơ hình SOLVER 97 6.2 Ví dụ: 97 CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ưu VÀ CÁC KHÁI NIỆM 1.1 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ VIỆC PHÂN LOẠI 1.1.1 Bài toán tối ưu tong quát số thuật ngữ > Bài toán tối ưu tổng quát: Tìm giá trị lớn (hay giá trị nhỏ nhất) hàm đơn trị f(x) thoả mãn điều kiện: (1.1) gi(x) >(( Một số thuật ngữ - Bài toán tối ưu tống quát gọi tốn tối ưu khơng ràng buộc khơng có hạn chế mien X (khơng có hệ ràng buộc (2) hay D = X) - Giá trị f(x*) nghiệm tối ưu X*G D gọi cực trị tuyệt đoi (hay tồn cục) tốn (1), (2), (3) Neu có phương án X G D: f(x) giá trị tối ưu lân cận X f(x) gọi cực trị tương đối (hay địa phương) Vậy để tìm giá trị tối ưu hàm mục tiêu f(x) miền, người ta thường tìm cực trị tương đối, sau so sánh với giá trị biên để xác định giá trị tối ưu > Một số tính chất quan trọng cực trị hàm trơn - dr Đối với hàm biến điểm cực trị (tương đối) X G D, ta có -^-(x) = 0, dx hàm nhiều biến, véctơ gradientf hàm mục tiêu f(x) không, tức ' dĩ ỔXj gf ỡx2 (1.5) gradientf (x) = ổf Những điểm X D thoả mãn điều kiện (5) gọi điểm dừng Hình cho ta điếm dừng hàm biến y = f(x) global maximum f(x) local maxim minima global minimum in this range fix) > ffx,,) for aD [x-xj < ô X- Đối với hàm biến, điểm cực đại, độ cong đường y = f(x) d2f z x Z1 * sô âm, tức T-(x) 0) Vx e D, Vy G Rn Hình trịn cho ta diêm dừng cua hãm hai biên f(X|, X’) Dây hình vẽ chu tuyến, nhùng diêm có giá trị dược nối với bơi đường cong Trong hình cịn có dicm n ngựa (saddle points) 1.1.2 Phàn loại cảc toán tối mi Dựa tính chât cùa thành phân tốn tịi ưu (1) (2) (3) người ta phân tốn tói ưu thành loại sau: Qui hoạch tuyên tinh (Q1ITT): hàm mục tiêu hãm ràng buộc đêu hàm luyến linh Qui hoạch tham số: hệ số cùa hàm mục liêu hàm ràng buộc phụ thuộc vào tham sò Qui hoạch động: đối tưựng xét lối ưu cảc q trình có nhiều giai đoạn (phát triên theo thời gian) Qui hoạch phi tuyến: neu hàm mục tiêu có hàm ràng buộc phi tuyên cà hai trưởng hợp xáy Qui hoạch rời rạc (trường họp riêng qui hoạch nguyên): miền ràng buộc ròi rạc (hay nguyên) Qui hoạch da mục tiêu: xét nhiều hàm mục tiêu trẽn mien ràng buộc 1.1.3 Bậc cùa phương pháp giãi toán tối ưu > Cách thuận tiện dê phân loại phương pháp tòi ưu bậc cua phương pháp giãi Dó lã bậc cao nhắt cùa đạo hàm hãm mục tiêu mã phương pháp sư dụng a- Phương pháp bậc không: chi cằn đến giá tri cùa hàm mục liêu Chảng hạn phương pháp don hình giái bãi tốn QHTT phương pháp bậc không b- Phương pháp bậc nhât: địi cã giá trị hâm vcctơ dạo hàm (riêng) Ví dụ cùa phương pháp bậc nhât lã phương pháp gradient lien help c- Phương pháp bậc hai: đôi hôi giá tri cua hàm lần véctơ đạo hàm (riêng) câp ma trận dạo hàm riêng câp hai Ví dụ phương pháp bậc hai phương pháp Newton > Xấp xi bậc hai Xâp xi lã sớ toán học ân sau phân lớn phương pháp tơi ưu Nó dựa khai triên Taylor cua hàm fix) lân cận điềm X|| chuồi luỹ thừa: f(xộ + Ax) = f(x0) 4- Ax (x„) 4- ~ (x„) 4- Hoàn toàn tương tự khai tricn Taylor mở rộng cho hâm nhiêu biên: f(X0 Ax) = f(X (,) ♦ Ax ’ gradientf(X0) 4- Ax1 H.Ax(X„) 4- (1.8) đạo hàm bậc thay gradientf(x0) đạo hãm bậc hai thay thè bơi ma trận Hessian H(x(Ệ) Nêu Xfl diêm cực trị hàm f(x) thi (8) trở thành: f(x„ + Ax) = f(x„) + ~ AxT.HưXx(x„) + O(Ax’) (1.9) đạo hàm (ricng) bậc điểm cực trị đcu bảng không, số hạng O(Ax3) ấn định sai sổ bậc Ax ’ Do Ax -* 0, số hạng sẻ trớ nên nhó so với số hạng bậc hai Vậy hàm kha vi bậc hai bât ki luôn xàp xi dược bới khai tricn Taylor den cấp hai cùa Diêu dần đến hộ hầu hết phương pháp cối ưu thiết ke đè tim giá trị CHI cúa hàm bậc hai Trong thực hành, hiem ta gặp toán tối ưu mà hàm mục tiêu hàm bậc hai Tuy nhiên chương trinh tinh hội tụ đến giá trị ưu mặt cong y = f(x) sè dân vê mặt bậc hai Đicu có nghía lã thuật tốn xấp xi hội tụ tốt chi hội tụ mặt bậc hai Đỏ sở toán học cùa phương pháp Newton 1.2 Một số khái niệm giãi tích lồi 1.2.1 Tập lồi > Tổ họp lồi: Cho m vcctơ { X| e R„ n }; vcctơ X e R„ gọi tồ hợp tồi cua vectơ neu : I =1 I i=í \ i=í ) Lưu ý: X gọi tố họp lỗi thụt cua {xj ràng buộc ta có ơịG |0.11 > Tập họp lồi: + s e Rn tập lồi { V X G s , y e s , À e |0.11 => À X + (1-À) y G s } Như ScRj lã tập lồi nó chửa trọn đoạn thăng nồi hai điểm bàt kì Ví dụ tập hợp lồi: Đoạn thăng Mặt phãng Siêu phảng ix=(X| ,Xn)'-RT1: £a,Xi =b.Va,.beR! Nưa không gian ix (X| X„)-Rn: £aỂxt hoạc)bVa,.b€R} > Đinh cực hiên : Cho điểm x*gS (với s tập lồi): X|, x2 €s de X* = Ằ X| +( -À )x2; X €(0.1 ] Khi X* lả đính cục biên s > Đa diện lồi : Là tập lồi s với số đinh cực biên hừu hạn Vi dụ đa diện lồi R: da giác lồi Định lí I: Các tập lồi đóng phép giao, phép cộng, phép nhân với sò phép lây tỏ hợp tuyên tinh, tức lả nêu A B lã hai tập lòi R„ lập hợp sau lồi: AnB-{x:x G A.xgB} XA + 0B = ịx = Xa + pb:a e A.b€ B.À.pe R! Hệ quà 1: Miền chứa nghiệm cùa hộ phương trình đại số luyến tinh lã đa diện lôi 1.2.2 Hàm lồi > Định nghĩa: - Hàm sô f(x) xác định tập lôi Sc Rn gọi lã hám lòi s nêu Vx y G s < À < ta cỏ: f(Xx +(1 - X)y) < XlỴx) + (1 - X)f(y) - Hàm số fix) gọi lồi chặt s Vx y e s < X < I ta có: «Xx +(1 - X)y) < Xf(x) + (I -X)f(y) - Hàm sô f(x) gợi lõm (chặt) tập lôi s nêu hâm -f(x) lã lịi (chặt) s > Cốc tính chất cúa hàm lồi - Điều kiện đê hãm kha vi lơi Định lí 2: Cho hàm f: X—• R hàm khà vi trcn tập lôi mờ X Dicu kiện cần đù để f hàm lồi X f(x) + gradientf(x) (y-x) < f(y) Vx y e X Ncu í’ vi hai lân điêu kiện cân đũ đê f lôi X ma trận I ỉessian H(x) cùa f(x) xác định không âm X, tức yTH(x)y>0 VxeX,VyGRn - Tinh chát bân vê cực trị cùa hàm lôi Định lí 3: Bất kì cực tiểu địa phương cùa hàm lồi tập lồi lả cực tiêu tuyệt đơi Hộ q 2: Bất kì cục đại địa phương cùa hàm lòm lập lồi cục đại tuyệt đói Dịnh lí 4: Cực đại cùa hàm lồi (nếu có) lặp lồi có điểm cục biên dạt diêm cực biên 1.3 Bài tập chương 1: 1> Xác định miền mà trẽn hàm sau lồi (lõm): y = x2 y = c' y= x y = sìn 2> Võ miền giới hạn bời ràng buộc sau xél xem mien miền lồi Ị X.2 - X| + < Ixi+x2-5 -3x -2y > -12 X, y>0 (x 4)"‘ »- (y 4)* Bang trực quan hình hục ta thấy rằng: Dối với tốn cực tri ’ự thi tâm (4, 4) diêm cục tiêu Cmin = Đơi với tốn cực trị với ràng buộc dạng dăng thức, chằng hợn 3x + 2y =12, ta có thề sir dụng phương pháp nhàn lư Lagrange dưa vê tốn tìm cực trị tự hâm bicn C(x.y(x))= (x - 4)2 + (y - 4)2 vói y(x) = -|x + (28 36Ì tìm điểm cục tiều (x* y") = TT- TT • U3 13) ,, _ _ 64 dó Cm.n = 13 Doi với toán trên, hàm mục tiêu phi tuyến nên thay dị tìm giá trị nhơ cũa C(x, y) miền ràng buộc bang cách di chuyển đường thắng song 88 song đơi với tốn QHTT ta xét họ đường trịn đóng tâm lien quan den hàm C(x, y) Vịng trịn có bán kính nho tiếp xúc với biên cua miền ràng buộc diem (x* y*>= I 77 • 77 I năm trẽn đường biên diet! kiện ràng buôc thứ hai Vậy giá trị cực tiếu cùa toán Cmln = c' —, — V 64 113’13 I 13 Nhận xét: i> Diều kiện đe tìm vịng trịn có bán kính nho nhất, tiếp xúc với biên nói tiếp tuyến cùa vịng trơn đỏ tiếp điềm phai có độ nghiêng (hệ số góc) độ nghiêng cua dường biên 3x + 2y = 12 (bảng -|) (5.10) Đè tính độ nghiêng cũa tiêp tuyên với họ vòng tròn trên, ta sứ dụng còng thức đạo hàm cua hàm ân y theo doi x cùa F(x y) = (x - 4)2 + (y - 4)2 - c (ở dây c hàng số) dy _ x-4 _ _ (5.11) _>dx = õĩ/dy~ y-4" Giãi hệ (5.10) (5.11) ta nhận điếm cục lieu I yj’p I rá’ ’rên ii> Nghiệm toi ưu cua tốn khơng năm đinh cực biên mà năm phân biên miên châp nhận dược úng với rủng buộc nhâl định > Bải toán QHPT có ràng buộc tồng quát: Tim (hoặc max) cùa hàm RX), X thoá mãn ràng buộc sau: gi(Xl)>0( Hướng dị tìm chấp nhận Cho X’ diêm thuộc miên ràng buộc Q = {XgR,: gi(X)S0,i = Em) (miên châp nhận dược) Hướng D gọi hướng chấp nhận X" Ihoã điều kiện Dl.Vgj(X*)>0,Vi = i7m (5.14) Điều kiện (5.14) thực hàm ràng buộc thoà mân dicti kiện sau: - Các hãm ràng buộc tuyến tính - Các hâm ràng buộc lịi tơn diem X: g,(X) Hàm Lagrange diêu kiện cân cực trị dịa phương - Định nghĩa: Hàm L(X,Y) - f(X)4-^yigj(X)cùa bải loan (5.12), (5.13) gọi lã Í=I hàm Lagrange cua bãi tốn Iren - Điều kiện cần (bậc nhất) cũa cực trị địa phương phái biếu dạng điều kiện Kuhn-Tuckcr sau: Cho t(X) g,(X) hàm vi X Í2 lã điếm cực Irị toán (5.12) (5.13) dị tìm theo hướng chàp nhận Khi dó lịn lại vcclơ nhàn tir >'2 ỠXj cùa hàm Lagrange L(X, Y) cho cL ? X ằOvà X|T~ = Vj = l,n (bài toán min) ‘ex, (5.15) y, >0vảyt-^—= Vi = l,m Ò1, ổy> ^■0và X|-ỵ—— = Vj=l.n (bài loan max) ex J VA I (5.15) y,20vày.^ = Vi = Lrn ^y Y nghĩa cùa diêu kiện Kuhn-Tucker: dó chinh diêu kiện cân cùa hàm Lagrange việc giai toán cực trị ràng buộc bang phưong pháp giái lích cồ dicn Đổi với ví dụ trên, diều kiện Kuhn-Tucker viết cho hàm Lagrange L(X Y) = (x- 4)2 4- (y - 4)2 + z [6 - 2x - 3y] +1 [-12 4- 3x + 2y] lã bốn diều kiện biên điều kiện không âm cua biền ban đẩu cãc biền phụ trội (các nhân tử Lagrange) = 2(x-4)-2z + 3tè0 ỡx ^=2(y-4)-3z+2tỉ>0 ổy Ếk = 6-2x-3y0 90 |thôa hệ với (z* t*) = De thấy nghiệm (x* y*) 48 321 13'13 J Nhận xét: Tuỳ vào đặc điểm cua bãi toán mà điều kiện Kuhn-Tucker có thề trờ thành điêu kiện cân đu 5.3.2 Phương pháp Gradient > Nội dung phưoĩig pháp Phương pháp phụ thuộc vào gradient cua hãm ràng buộc gradient cùa hàm mục lieu cã hai hưởng dị tim có ti lệ biến đối lớn đề tồi ưu hóa hãm mục lieu Già sử băng phép thử, la tìm dược diem xuât phát thuộc miên ràng buộc Việc dỏ tìm tiến hành theo hướng dốc nhát cua hàm mục tiêu với bước di chuyển X dược xác định trước cho đèn có ràng buộc g, > bị vi phạm giá trị cua hàm mục tiêu tồi đi, ta phái quay lại miền £2 để thiện giá trị cùa hàm ràng buộc hay hàm mục tiêu tương ứng Nêu giá trị hàm mục tiêu di vcctơ đôi gradient cùa hàm mục tiêu điềm dò tim thành còng cuối củng dược lay làm hướng dò tim với bước dịch chuyền X Nếu có it ráng buộc bị vi phạm, ta phái di chuyên vê diêm miên châp nhận dược gân biên tơt Khi dó hướng dịch chuyến không cỏn theo qui tác đường dốc nừa mà vng góc với chu tun cùa ràng buộc bị vi phạm với bước dịch chuycn s cho gi > Khi diêm dị tìm đă nằm mien chấp nhận được, việc dỏ tim theo hướng dốc lọi tiền hành Việc dò tim kct thúc diêm dò tim chạm vào phân bicn g, = miên £2 vcctơ VI' Vg, tụi song song với nhau, tức ' =1 mi (5.16) > Thuật toán Bước 1: Chọn điểm X| bẩt ki miền ràng buộc £2, gán i 1, X| ■ 0.5 Bước 2: Tinh Vf(Xị),nếu Vf(Xj)| = dimg X, lả nghiệm, ngược lại Di = - '^^1' lả hướng dỏ tim |Vf(X,)| Bước 3: Tinh Xi+I = Xi +x, D, Bước 4: Kiểm tra xctn x,.| có nằm mien buộc £2 hay không - Neu X; thuộc miên £2 hàm mục tiêu giám, quay lại bước dê lập lại việc dò tim với X,-| tăng lên - Neu X, I chạm vào phân biên £2 ứng với ràng buộc gk(X,.]) = thi kiêm tra xem hai vectơ Vf vả Vgk X, I có song song không + Nếu thi trinh tim kiếm dừng, X.-I lã nghiệm + Neu không, ta lùi lại mien £2 theo hướng Vgk(XjH) tim Xi.! mói = x:ll + sVgk(Xị+|) với s chọn cho gkíX,,!mớ() > rỗi lặp lại bước với x,t) giám di 91 - Neu X|t I năm mien £2 ứng với ràng buộc thú k gk > bị vi phạm, ta lùi lại mien £2 theo hướng Vg,íX(,|) tim x,.| mơ, = xri + sVgk(X|41) với s chọn cho gk(Xj.| mưi) > ròi lặp lại bước với Àin giám di > Ví dụ Giai lại toán dã nêu phân dâu bãng phương pháp gradient với sai sô E = 0,05 Viết lai toán dạng tỏng quát: Tim cực tiểu hãm f(x, y) = (x-4)2 + (y - 4)* thỏa mãn ràng buộc sau: 2x +3y -6 > (!’) -3x -2y +12 > (2’) x.y>0 Bước 1: Chọn điểm X| miền ràng buộc £2 —• f(X|) = 10, Z]=0.5 Bước 2: Tinh Vf(X,) = _ J->|Vf(X,)| = 2-v'l0 = 6.32 >s chỌnD1=-S= =ra |Vf(Xt)( Ự/7ĨÕJ lo,l6j Bước 3: Tinh x2 = X| +Ầ| D| = f 'ì + o.sf= [’,481 to,16j (3.08,1 «X.) - «Xi+XDt) - R1.48, 3.08) - 7.2 Vậy f(X2) < «X)) Bước 4: Kiểm tra thấy X £2 g.(X.) = 1.4 > — Quay lại bước 2: tinh Vf(XJ=^|'^]-»|Vf(X,)| = ỹ28.79 = 5,37 >E ị,L5í7ì = í^ì _ChỌnD2= |Vf(X,)| Ụ.84/5,37/ ^0,34j Tinh x3 = x2 +x2 D với 12 = 1.2X| = 0.6 X f(X|) = 4,36 < f(X>) Kiểm tra thấy x3 £2 g’(Xi) = - 0.7 < —» Phái mien £2 theo hướng ^gi(X3) vng góc với ràng buộc bị vi phạm g Y = Y, -.Vg2 |Vgi(X3)| b,2sj V 2/3.611 U.28-0.55s; với s chọn cho g?(X-, mlll) > —» s > 0.195, chọn s ■ 0.20 _ X = X, Hi Vg>(Xj = í2104 ■ °’83s1 = íU87ì ÍĨX x’"" ■ x’ s |Vg,(x' ỉ I 3,28 - 0.55sJ [3.17 } f(x’ = 5.23 - 523 Kiêm tra thấy XjnMnằm phần biên gj mien £2 g2(X? mói) - 0,05 ~ 92 -Tinh Vf(X,_)=^ I>1 = 72091= 4,57>E Vg,=^ì.|Vg,| = ^Ĩ3 = 3.6IVXen Còn |Vf|.|Vg2| 4,57.3,61 16,5 Vậy Vf Vg2đồng phương, dừng trinh lặp vã dược nghiệm tối ưu lã (X* y’) = (1,87; 3.17) fm' = 5,23 Các kct qua dò lim dược ghi lại báng sau: i X y gỉ 3 1.48 3.08 1,1 2.04 3,28 0.7 1.87 E&a 0,05 Igil < « N N N Y s f 10 7.2 0.2 5.23 |vr| V |vf|■ 0.5 0.6 9Ỉ 5.4 Bài tập chưong 5: 1> Dùng phương pháp lát căt vàng Dũng phương pháp đường dốc lim diem (x, y) cho hãm mục tiêu 4x + y > — + '-> X y với độ chinh xác £ = 0,1 (X|; y i) = (1; 3) 3> Dùng phương pháp hình học tìm cực tiêu cùa hàm t{x y) - 4(x - a)' 5(y - b)2 cho điêu kiện sau dày thoã mãn: X + y > I, X y>0 (vói a b hãng sơ đà cho) 4> Dũng phương pháp hình hục tim cục đại cúa hãm «X, y) = 2x + y cho điều kiện sau thoã mãn: Rx.y) -X2 +4x-y0 5> Dũng phương pháp gradient dị tìm diem cục tiều cùa hàm f(x y) = 3x2 - 2x - 5y2 + lOy thoa điều kiện sau 2x + 3yầ9 ' 3x + 2y>6 x.y >0 với độ chinh xác £ = 0,1 vả điềm xuất phát (Xj; yi) = (l; 2) CHƯƠNG 6: HƯỚNG DẤN sử DỤNG CÔNG cụ SOLVER TRONG MS- EXCEL GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỎI ưu SOLVER kì cơng cụ phân giãi tồn tịi ưu Frontline Systems Inc (USA) phải triển SOLVER chuồn dược cài đật sẵn Microsoft Excel theo thoá thuận Microsof Corporation Frontline Systems, Inc Với SOL VER người dùng có thê giãi tồn sau đáy thơng qua báng tinh EXCEL • Giãi hệ phương trình tun tinh, phi tun, phương trình dụi sơ bậc cao siêu việt, hãm mù • Tim tham sơ cùa hàm giãi tích xâp xi tập liệu thõng kê quan sát nhằm phục vụ cho việc tính tồn dự báo • Giãi tốn tối ưu: QIITT QHPT QHN Giới thiệu hộ công cụ SOLVER chuẩn MS-EXCEL 6.1 6.1.1 Một sô khái niệm SOLVER chuân > SOLVER chuẩn giài tốn tối ưu SOLVER chn gơm nhùng cõng cụ bán phương pháp đơn hình giãi loan QHTT, phương pháp nhánh & cận giai loan QHN phương pháp GRG (Generalized Reduced Gradient) giãi tóan ỌHPT trơn SOLVER chuẩn giới hạn cho toán đèn 200 biên diêu khiên (BĐK) cộng thêm 100 ràng buộc bãi tốn QHPT Trong SOLVER chuẩn có ba loại báo cáo: báo cáo lời giãi, bão cáo dộ nhạy báo cáo giới hạn > Những định nghỉa CO' bân mơ hình SOLVER Mục đích chinh cùa SOLVER tim nghiệm, nghía tim giá trị cho bicn mà SOLVER đặt tên "Changing Cells" mô hỉnh Các giá trị thoá ràng buộc (constraints) lãm cực dại cực tiêu hãm mục lieu (objective function) mà SOLVER dặt tên "Set Target Cell" Mô hĩnh thiết lập đe dùng với SOLVER không khác gi so với mị hình bâng tinh EXCEL nghĩa gơm có giá trị dâu vào "input", cơng thức dề tính tốn dựa input, định dạng (formatting) Biến diều khiển tham số (Decision Variables and Parameters) Một so giá trị đầu vào có the lã số khơng thay đồi q trình tìm nghiệm, chãng hạn lãi suât, giá sân phàm Ta gọi giá trị lả tham sô mô hình Những giá trị đầu vào khác có thê thay đồi ta muốn điều khiên thay đồi trinh tim nghiệm gọi BĐK hay "Changing Cells" SOLVER tim giá trị tối ưu cho biên Hàm mục tiêu (Objective Function): Hãm mục tiêu (HMT) công thức nầm ỏ ta muốn cực dại cực tiêu Ô dược chi định khung Set Cell 95 cua hộp thoại "Solver Parameters” Hàm mục tiêu có thê lợi nhuận nhiêu nhât (tim max) hay chi phi (tim min) Có cá mơ hình SOLVER khơng có HMT đê tìm cực trị Khi đô khung Set Target Cell hộp thoại "Solver Parameters" tham chiếu đến ỏ có cơng thức -0 Trong trường hợp SOLVER chi đưn giàn tìm nghiệm Ihỗ mùn ràng buộc Ràng buộc (Constraints) Ràng buộc quan hệ hạn AI >= Một ràng buộc thoá diêu kiện qui dinh dũng phạm vi sai sô nhỏ cỏ khác biệt nho đánh giá số học vả công thức logic TRUE EALSE la đưa vào ô Trong thí dụ neu A1 -0.0000001, cịng thức logic đánh giá lã FALSE, với độ chinh xác mộc định cua Solver (default SOLVER Precision setting), ràng buộc sẻ thoá mân Trong SOLVER, ràng buộc định rõ băng cách cho ô ô tham chiêu ve trái ví dụ AI AI :A5, dấu quan hệ (=) biêu thức ve phái Mặc dù SOLVER cho phép đưa biểu thức số học vào vế phái ta chi nên đưa vào hãng so tham chiêu t/én có giã trị hăng so Một giá trị hãng sô SOLVER giá trị không phụ thuộc vảo BDK Ví dụ: - Một ràng buộc AI: A5