(Skkn 2023) phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc khai thác toán xác suất thực tế ” Lĩnh vực : Toán học Người thực : Đậu Phi Quân Tổ : Toán – Tin Điện thoại : 0974982106 Năm thực hiện: 2022 - 2023 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Tính đề tài 1.3 Khả ứng dụng triển khai đề tài 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận 2.1.2 Cơ sở thực tiễn 2.2 Một số kiến thức chuẩn bị 2.2.1 Một số kiến thức giải tích tổ hợp 2.2.2 Định nghĩa cách tính xác suất 2.2.3 Khai thác phát triển số toán xác suất thực tế 2.3 Thực nghiệm sư phạm 30 2.4.1 Mục đích thực nghiệm 29 2.4.2 Nội dung thực nghiệm 29 2.4.3 Tổ chức thực nghiệm 30 2.4.3.1 Đối tượng thực nghiệm 30 2.4.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm 30 2.4.3.3 Tổ chức thực 30 2.4.3.4 Kết thực nghiệm 30 PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 33 Kết luận 33 Kiến nghị 34 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Điều 7, khoản 2, Luật Giáo dục ghi: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học hợp tác, khả thực hành, lịng say mê học tập ý chí vươn lên” Yêu cầu đổi phương pháp dạy học tích cực theo định hướng phát triển lực yêu cầu cần thiết giáo viên Trong trình dạy học mơn tốn trường trung học phổ thông, nhận thấy tầm quan trọng việc rèn luyện, phát triển tư cho học sinh thông qua toán xác suất Và đặc biệt chương trình tốn học phổ thơng 2018 xác định toán xác suất cổ điển thống kê ba mạch kiến thức Đây nội dung quan trọng thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi đề thi tốt nghiệp THPT Tuy nhiên với thực tế giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh giải toán xác suất cịn gặp nhiều khó khăn việc tư duy, định hướng giải toán Các em cịn tư máy móc, rập khn chưa có nhìn nhìn mở với tốn xác suất Vì vậy, tơi tiến hành nghiên cứu đề tài “Phát triển lực tư cho học sinh thơng qua việc khai thác tốn xác suất thực tế” nhằm giúp học sinh hiểu sâu toán xác suất gắn liền với thực tế phát triển lực tư cho học sinh 1.2 Tính đề tài - Thứ nhất, đề tài trình sở lý luận sở thực tiễn vấn đề phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc khai thác toán xác suất thực tế - Thứ hai, đề tài khai thác tài toán xác suất gắn liền với thực tiễn tạo gần gũi, hứng thú cho học sinh để từ phát triển lên toán tương tự mở rộng nhằm phát triển rèn luyện lực tư cho học sinh - Thứ ba, đề tài xây dựng hệ thống tập đưa phân tích nhận xét thể tốn mơ hình toán 1.3 Khả ứng dụng triển khai đề tài - Đề tài có khả áp dụng triển khai cho học sinh trung học phổ thông: học sinh khá, học sinh giỏi, học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT thầy/cơ giáo dạy tốn THPT tham khảo 1.4 1.5 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 10, 11 12 trường THPT Hoàng Mai Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích; phương pháp thực nghiệm - Các toán xác suất cổ điển chương trình Tốn phổ thơng PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận Tư phạm trù triết học dùng để hoạt động tinh thần, đem cảm giác người ta sửa đổi cải tạo giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận tức đắn vật ứng xử tích cực với Tư phản ánh tích cực thực khách quan dạng khái niệm, phán đoán, lý luận,… Phát triển lực tư hình thành rèn luyện cho học sinh yếu tố tư gắn liền với việc hình thành phát triển cho học sinh thao tác tư duy, phẩm chất tư duy, kỹ tư Từ tốn phương pháp tính góc hai mặt phẳng, học sinh tự tìm tịi lời giải phù hợp cao khai thlác phát biểu thành toán 2.1.2 Cơ sở thực tiễn Qua thực tiễn, thấy: - Học sinh cịn yếu mơn Tốn kiến thức thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Chuyên đề xác suất chun đề khó phải vận dụng nhiều kiến thức, địi hỏi học sinh phải phát huy tính tích cực, chủ động địi hỏi tính tư logic cao Nhiều học sinh quan tâm đến kết quả, thường hài lịng với lời giải mà tìm tịi lời giải khác đồng thời mở rộng khai thác toán vừa giải 2.2 Một số kiến thức chuẩn bị 2.2.1 Một số kiến thức giải tích tổ hợp 2.2.1.1 Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo k phương án khác Phương án thứ có n1 cách thực hiện, phương án thứ hai có n2 cách thực hiện,…, phương án thứ k có nk cách thực Khi số cách thực cơng việc là: n1 + n2 + n3 +…+ nk (cách) 2.2.1.2 Quy tắc nhân Nếu công việc phải hồn thành qua k bước thực liên tiếp, bước thứ có m1 cách thực hiện, bước thứ hai có m2 cách thực hiện,… bước thứ k có mk cách thực Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc là: m1 m2 m3 … mk (cách) 2.2.1.3 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp  Hoán vị: Mỗi cách xếp n phần tử cho trước theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu số hốn vị n phần tử cho Pn  Số hoán vị n phần tử Pn = n!  Chỉnh hợp: Mỗi xếp thứ tự gồm k phần tử khác nhau, lấy từ n phần tử cho gọi chỉnh hợp chập k n phần tử (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) Kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử 𝐴𝑘𝑛 𝑛!  Số chỉnh hợp chập k n phần tử 𝐴𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!  Tổ hợp: Mỗi tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho gọi tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) Kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử 𝐶𝑛𝑘  Số tổ hợp chập k n phần tử 𝐶𝑛𝑘 = 𝐴𝑘 𝑛 𝑘! = 𝑛! 𝑘!.(𝑛−𝑘)! 2.2.2 Định nghĩa cách tính chất xác suất 2.2.2.1 Biến cố phép thử ngẫu nhiên  Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết , biết tập hợp kết xẩy phép thử  Khơng gian mẫu phép thử tập hợp kết xẩy phép thử kí hiệu Ω  Biến cố tập không gian mẫu Thường kí hiệu chữ in hoa A,B,C,…và cho dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt lời dạng mệnh đề xác định tập  Tập  gọi biến cố ( gọi tắt biến cố không )  Tập Ω gọi biến cố chắn  Phép toán biến cố  Tập Ω\A gọi biến cố đối biến cố A Kí hiệu A  Tập A  B gọi hợp biến cố A B  Tập A  B gọi giao biến cố A B, viết tắt A.B  Nếu A  B   ta nói A B hai biến cố xung khắc  Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố 2.2.2.2 Định nghĩa xác suất  Định nghĩa xác suất dạng cổ điển: Giả sử phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn kết đồng khả xẩy A biến cố liên quan đến phép thử Khi đó, xác suất biến cố A 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝜔) ; n(A) số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A; n() số biến cố sơ cấp không gian biến cố sơ cấp  Định nghĩa xác suất theo hình học: Xét phép thử có khơng gian biến cố sơ cấp miền hình học W (đoạn thẳng, hình phẳng, khối khơng gian,…) có số đo ( độ dài, diện tích, thể tích,…) hữu hạn khác khơng Giả sử xét điểm rơi ngẫu nhiên vào miền W Xét miền A W Khi xác suất để điểm rơi vào miền A là: 𝑃(𝐴) = 𝑆ố 𝑚𝑖ề𝑛 𝐴 𝑆ố đ𝑜 𝑚𝑖ề𝑛 𝑊 2.2.2.3 Tính chất xác suất Giả sử A B biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Khi đó, 𝑃(∅) = 0; 𝑃(Ω) = ⩽ 𝑃(𝐴) ⩽ Nếu 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴‾) = − 𝑃(𝐴) Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) Do 𝑃(𝐴) ⩽ 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 2.2.2.4 Xác suất có điều kiện Định nghĩa: Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện B số đo khả xẩy biến cố A biến cố B xẩy ra, kí hiệu ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) xác ℙ(𝐴𝐵) định công thức: ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) = , ℙ(𝐵) > ℙ(𝐵) Định lý: Giả sủ 𝐴, 𝐵 biến cố, ℙ(𝐵) > Khi đó, ta có khẳng định sau: (1) ⩽ ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) ⩽ (2) Nếu 𝐵 ⊂ 𝐴 ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) = Đặ biẹt ℙ(Ω ∣ 𝐵) = (3) Nếu (𝐴𝑛 ) dãy biến cố đồi xung ∞ khắc ℙ(∪∞ 𝑛=1 𝐴𝑛 ∣ 𝐵) = ∑   ℙ(𝐴𝑛 ∣ 𝐵) 𝑛=1 (4) ℙ(𝐴‾ ∣ 𝐵) = − ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) 2.2.2.5 Công thức nhân xác suất Cho 𝐴 𝐵 hai biến cố phép thử Ta ln có: ℙ(AB) = ℙ(A) × ℙ(B ∣ A) = ℙ(B) × ℙ(A ∣ B)  Nếu 𝐴 𝐵 độc lập ta có: ℙ(AB) = ℙ(A) × ℙ(B)  Mở rộng: Giả sử 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 biến cố với ℙ(A1 ⋅ A2 … An ) > Khi đó, ℙ(A1 ⋅ A2 … An ) = ℙ(A1 ) ⋅ ℙ(A2 ∣ A1 ) ℙ(A3 ∣ A1 A2 ) … ℙ(An ∣ A1 … An−1 )  Nhóm biến cố độc lập toàn phần: 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 gọi độc lập toàn phần khi: ℙ(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = ℙ(𝐴1 ) × ℙ(𝐴2 ) × … × ℙ(𝐴𝑛 ) 2.2.3 Khai thác phát triển số toán xác suất thực tế Bài tốn 1: (Phiên tịa giả định) Trường THPT Hồng Mai tổ chức chương trình phiên tịa giả định để tuyên truyền, phổ biến pháp luật đến toàn thể học sinh nhà trường Và để em học sinh hiểu rõ pháp luật nên hội đồng định mời em học sinh xuất sắc trường Diệp, Ánh, Trang tham gia vào bồi thẩm đoàn người Bồi thẩm đoàn nguời đưa định cách suy lý cách độc lập với xác suất đưa định Diệp, Ánh, Trang 0,8; 0,7 0,5 Tính xác suất đưa định bồi thẩm đoàn, biết bồi thẩm đoàn làm việc theo ngun tắc đa số Phân tích tốn: Nhận thấy bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số nên xét trường hợp để có người đưa định Lời giải Gọi A biến cố “bồi thẩm đoàn đưa định đúng” Trường hợp 1: Diệp Ánh đưa định Suy xác suất đưa định bồi thẩm đồn là: 0,8 × 0,7 = 0,56 Trường hợp 2: Diệp Trang đưa định đúng, Ánh đưa định sai Suy xác suất đưa định bồi thẩm đoàn là: 0,8 × 0,5 × 0,3 = 0,12 Trường hợp 3: Trang Ánh đưa định đúng, Diệp đưa định sai Suy xác suất đưa định bồi thẩm đoàn là: 0,7 × 0,5 × 0,2 = 0,07 Vậy xác suất đưa định bồi thẩm đoàn là: 𝑃(𝐴) = 0,56 + 0,12 + 0,07 = 0,75 Hình ảnh minh họa cho bồi thẩm đồn người Phát triển tốn số Bồi thẩm đồn gồm người có hai thành viên phán xét nghiêm túc đưa định suy lý cách độc lập với xác suất đưa định người 𝑝1 , 𝑝2 Người thứ đưa định dựa vào kết tung đồng xu cân đối đồng chất Bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số Tính xác suất định “Bồi thẩm đoàn” Lời giải Gọi 𝐴𝑖 biến cố "Bồi thẩm viên nghiêm túc thứ 𝑖 định đúng" Khi đó, ℙ(𝐴1 ) = 𝑝1 , ℙ(𝐴2 ) = 𝑝2 Gọi 𝐴3 biến cố "Bồi thẩm viên thú định đúng" Khi đó, ℙ(𝐴3 ) = Gọi 𝐴 biến cố "Bồi thẩm đoàn người định đúng" Ta có ℙ(𝐴) ̅̅̅1 𝐴2 𝐴3 ) = ℙ(𝐴1 𝐴2 ) + ℙ(𝐴1 ̅̅̅ 𝐴2 𝐴3 ) + ℙ(𝐴 ̅̅̅2 )ℙ(𝐴3 ) + ℙ(𝐴 ̅̅̅1 )ℙ(𝐴2 )ℙ(𝐴3 ) = ℙ(𝐴1 )ℙ(𝐴2 ) + 𝑃(𝐴1 )ℙ(𝐴 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝1 𝑝2 + [𝑝1 (1 − 𝑝2 ) + (1 − 𝑝1 )𝑝2 ] = 2 Vậy xác suất Bồi thẩm đoàn đưa định 𝑝1 +𝑝2 Nhận xét:  Nếu 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 xác suất định Bồi thẩm đoàn người xác suất định Bồi thẩm viên nghiêm túc  Chúng ta xây dựng mơ hình tốn tương tự xác suất định Bồi thẩm viên thứ 𝑝3 ∈ (0,1) Bài tốn số 2: (Bầu - Cua – Tơm - Cá) Trị chơi bầu cua tơm cá trị chơi đánh bạc chơi phổ biến nước ta Người chơi đặt cược vào ô “Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà” Ba viên xúc xắc tung lên Nếu hình người chơi đặt cược với một, hai ba hình xuất viên xúc xắc, người nhận một, hai ba lần tiền cược ban đầu cộng với số tiền Nếu số người chơi đặt cược khơng với số viên xúc xắc tiền đặt cọc Mức lỗ dự kiến người chơi đơn vị tiền cược bao nhiêu? (Trên thực tế, người chơi chia tiền đặt cược thành nhiều phần khác nhau, số tiền đặt cược coi phần đặt cược riêng biệt.) Phân tích toán: Ở toán thấy số tiền thắng cược đơn vị tiền cược lần chơi phụ thuộc vào số lần xuất hình vật xúc xắc Vì ta định hướng xét tới khả xảy xúc xắc để giải toán Lời giải: Giả sử người chơi đặt vào đơn vị tiền Khi đó, +) Nếu xúc xắc có hình xuất giống người chơi bị thua lỗ đơn vị tiền đơn vị tiên đặt cược +) Nếu xúc xắc có hình xuất giống người chơi bị thua lỗ đơn vị tiền đơn vị tiên đặt cược +) Nếu xúc xắc có hình xuất khác người chơi bị thua lỗ đơn vị tiền đơn vị tiên đặt cược Dễ thấy xác suất để +) xúc xắc có hình xuất giống là: = × × 36 +) xúc xắc có hình xuất khác là: 6×5×4 = 6×6×6 +) xúc xắc có có hình giống là: 1−( 5 + )= 36 12 Suy mức lỗ dự kiến người chơi tổng số đơn vị tiền cược là: 5 1 17 𝔼𝑋 = × + × + × = ≈ 0,08 12 36 216 Vì vậy, mức lỗ dự kiến người chơi 8% tổng đơn vị tiền cược Nhận xét:  Với mơ hình tốn thay đổi tỉ lệ tiền thắng cược để được toán  Chúng ta tổng qt lên cho mơ hình tốn nhà điều chỉnh tỉ lệ cách hợp lí với tỉ lệ tổng qt cho trị chơi x, 2x, 3x Từ đưa tỉ lệ tiền thắng phù hợp với tính tốn để có lợi nhuận hợp lí Hình ảnh minh họa cho trò chơi “ Bầu – Cua - Tơm - Cá” Phát triển tốn số 2: Trị chơi bầu cua tơm cá trị chơi đánh bạc chơi phổ biến nước ta Người chơi đặt cược vào ô “Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà” Ba viên xúc xắc tung lên Nếu hình người chơi đặt cược với một, hai ba hình xuất viên xúc xắc, người nhận một, hai ba lần tiền cược ban đầu cộng với số tiền Nếu số người chơi đặt cược khơng Vì nhà vơ địch chơi tốt cha Yến nên khả Yến thắng cha lớn khả Yến thắng nhà vô địch ván đấu tức là: f  c   f   c  fc(2  f )  fc(2  c) Do Yến nên chọn kịch thứ để xác suất nhận giải thưởng cao Nhận xét:  Vì phải thắng trận liên tiếp nên bắt buộc phải thắng trận đấu thứ loạt trận đấu Do đó, với suy đốn Yến chọn kịch thứ có hội dành chiến thắng chung cao Và với lời giải điều Bài toán số 6: ( Thử nghiệm thành công ) Thực gieo xúc xắc cân đối đồng chất cách độc lập Tính trung bình số lần tung xuất mặt chấm Lời giải Gọi 𝑝 xác suất tung xúc xắc mặt chấm lần thử nghiệm Khi đó, Thử nghiệm Xác suất thành công 𝑝 𝑞𝑝 𝑞2𝑝 ⋮ ⋮ 𝑞 = − 𝑝 Ta có 𝑝 + 𝑞𝑝 + 𝑞 𝑝 + ⋯ = 𝑝(1 + 𝑞 + 𝑞 + ⋯ ) Áp dụng cơng thức tính tổng dãy cấp số nhân ta có 19 (1) 𝑛 𝑞𝑛 − 𝑆𝑛 = ∑   𝑞 = 𝑞−1 𝑖 𝑖=0 Do 𝑞 ∈ (0,1) nên cho 𝑛 → ∞, ta 𝑆𝑛 → hay 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ = 1−𝑞 Kết hợp điều (1), ta có, 1−𝑞 𝑝 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 + ⋯ = 𝑝 ⋅ (1 + 𝑞 + 𝑞 + ⋯ ) = 𝑝 ⋅ Gọi m trung bình số phép thử Khi ta có 1 = 𝑝 ⋅ = 1−𝑞 𝑝 𝑚 = 𝑝 + 2𝑝𝑞 + 3𝑝𝑞 + 4𝑝𝑞 + ⋯ (2) (3) Suy ra, 𝑞𝑚 = 𝑝𝑞 + 2𝑝𝑞 + 3𝑝𝑞 + 4𝑝𝑞 + ⋯ (4) Trừ vế (4) cho (3) ta 𝑚 − 𝑞𝑚 = 𝑝 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 + ⋯ (5) Kết hợp (2) (5) ta 𝑚(1 − 𝑞) = hay 𝑚𝑝 = ⇒ 𝑚 = (∗) 𝑝 Ở tốn này, ta có 𝑝 = nên suy 𝑚 = 6 Vậy trung bình ta phải tung xúc sắc cân đối đồng chất lần để nhận mặt chấm Nhận xét: Chúng ta mở rộng tốn cho mơ hình tương tự dựa toán sau: “Thực phép thử ngẫu nhiên độc lập xuất thành cơng dùng lại Biết xác suất thành công phép thử nhau, tính số lần thưc phép thử trung bình để xuất phép thử thành cơng.” Phát triển toán số 6: Trong hộp ngũ cốc có phiếu thưởng phiếu đánh số từ đến , để giải thưởng phải thu thập đủ số Vậy trung bình phải có hộp để tạo thành hoàn chỉnh? Lời giải Chúng ta nhận số hộp 20 Bây hội nhận số từ hộp Sử dụng kết (*) toán số ta có: Trung bình số hộp cần mở để có số thứ là: = 4 Tương tự ta có Trung bình số hộp cần mở để có số thứ là: = 3 Trung bình số hộp cần mở để có số thứ là: = 2 Trung bình số hộp cần mở để có số thứ là: = 1 Do trung bình số hộp cần mở để tạo thành hoàn chỉnh là: 5 5 + + + + ≈ 11,42 Nhận xét Ở tốn tổng quát lên với trường hợp n phiếu Và hoàn toàn giải tương tự với kết (*) toán số Bài toán số ( Câu hỏi giải lao ) Vào lúc nghỉ nhóm bạn gồm Của, Thiên, Dương, Lập ngồi chém gió với tốn xác suất Bỗng nhiên Của nói “ Mấy gà dăm ba tốn dễ ẹc mà khơng biết, có khó hỏi anh” Nghe Dương liền nói “Bạn ghê rồi, bạn Vậy bạn giải đáp giúp câu hỏi xem nào” So sánh xác suất xuất mặt chấm tung xúc xắc cân đối đồng chất lần xác suất xuất mặt chấm tung xúc xắc cân đối đồng chất 12 lần Nghe xong câu hỏi Dương Của cười nói “ Q dễ, chưa cần tính biết rồi” Hãy kiểm tra xem kết mà Của nói có xác khơng? Phân tích tốn : Đầu tiên ta thấy bạn Của tự tin câu trả lời khơng biết bị nhầm lẫn tính tốn Việc Của nghĩ xác suất lần xuất chấm tung xúc xắc lần lần 21 tung xúc xắc 12 lần giống hồn tồn sai lầm Và để điều phân tích cụ thể tốn sau: Lời giải a) Tung xúc xắc cân đối đồng chất lần ta có số phần tử không gian mẫu: 𝑛(Ω) = 66 Gọi 𝐴 biến cố "Tung xúc xắc lần mà không xuất mặt chấm" Suy 𝐴‾ biến cố "Tung xúc xắc lần mà có mặt chấm xuất hiện" Tung xúc sắc khơng xuất mặt chấm có khả xuất Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐴 là: 𝑛(𝐴) = 56 Xác suất tung xúc xắc lần mà mặt chấm là: 𝑛(𝐴) 56 ℙ(𝐴) = = 𝑛(Ω) 66 Suy xác suất tung xúc xắc lần có xuất mặt chấm là: 56 ≈ 0,665 66 b) Tung xúc xắc cân đối đồng chất 12 lần ta có số phần tử không gian mẫu: 𝑛(Ω) = 612 ℙ(𝐴‾) = − ℙ(𝐴) = − Gọi 𝐵1 biến cố "Tung xúc xắc 12 lần mà không xuất mặt chấm" Tung xúc sắc khơng xuất mặt chấm có khả xuất Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐵1 là: 𝑛(𝐵1 ) = 512 Gọi 𝐵2 biến cố "Tung xúc xắc 12 lần có lần xuất mặt chấm" Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐵2 là: 𝑛(𝐵2 ) = 𝐶12 ⋅ 511 Gọi B biến cố "Tung xúc xắc 12 lần có nhiều lần xuất mặt chấm" Suy 𝐵‾ biến cố "Tung xúc xắc 12 lần có lần xuất mặt chấm" Ta có, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐵 là: 𝑛(𝐵) = 𝑛(𝐵1 ) + 𝑛(𝐵2 ) = 512 + 𝐶12 ⋅ 511 Xác suất tung xúc xắc 12 lần có nhiều lần xuất mặt chấm là: 512 + 𝐶12 ⋅ 511 ℙ(𝐵) = 612 22 Suy xác suất tung xúc xắc 12 lần có xuất mặt chấm là: ℙ(𝐵‾) = − ℙ(𝐵) = − 512 + 𝐶12 ⋅ 511 ≈ 0,619 612  Nhận xét: Với mơ hình tốn phát triển mở rộng tốn với trường hợp có n mặt chấm tung 6n lần Phát triển tốn số 7: Tính xác suất xuất n mặt chấm tung 6n lần Lời giải Gọi 𝐴𝑖 biến cố “tung xúc xắc 6n lần xuất 𝑖 lần mặt 6”, 𝑖 = {0,1,2, … ,6} Gọi 𝐵 biến cố “Có n mặt chấm tung 6n lần” Khi tung xúc xắc 6𝑛 lần ta có số phần tử khơng gian mẫu là: n(Ω) = 66𝑛 Khi tung xúc xắc 6𝑛 lần mà khơng có mặt ta có số khả xảy là: 56𝑛 Xác suất tung xúc xắc 6𝑛 lần mà khơng có mặt 56𝑛 66𝑛 Xác suất tung xúc xắc 6𝑛 lần mà xuất lần mặt là: 𝑃(𝐴0 ) = 𝐶6𝑛 ⋅ 56𝑛−1 𝑃(𝐴1 ) = 66𝑛 Xác suất tung xúc xắc 6𝑛 lần mà xuất lần mặt là: 𝐶6n ⋅ 56𝑛−2 𝑃(𝐴2 ) = 66𝑛 Xác suất tung xúc xắc 6𝑛 lần mà xuất 𝑖 lần mặt (𝑖 = 𝑛 − 1): 𝑖 𝑛−1 𝐶6𝑛 ⋅ 56𝑛−𝑖 𝐶6𝑛 ⋅ 55𝑛+1 𝑃(𝐴𝑖 ) = = 66𝑛 66𝑛 Suy xác suất có n mặt chấm tung n lần là: 𝑛−1 ∑𝑛𝑖=0    𝐶6𝑛 ⋅ 55𝑛+1 𝑃(𝐵) = − 66𝑛 23 Bài toán số 8: ( Đồng xu hình vng ) Trong trị chơi, người chơi tung đồng xu từ khoảng cách khoảng feet bề mặt bàn hình vng có keo dính cạnh inch Nếu đồng xu có đường kính inch rơi hồn tồn vào bên hình vng, người chơi nhận xu khơng lấy lại xu mình, khơng xu Xác suất giành chiến thắng anh bao nhiêu? Phân tích toán : Chúng ta thấy để dành chiến thắng đồng xu phải nằm hồn tồn hình tập hợp tất điểm mà tâm đồng xu rơi xuống để dành chiến thắng tạo nên hình vng Và từ tính diện tích hình vng áp dụng định nghĩa xác suất hình học để giải tốn Lời giải Minh họa trị chơi biểu diễn hình vẽ sau: Gọi A biến cố “Đồng xu rơi nằm gọn mặt bàn” Vì đồng xu có bán kính inch nên khoảng cách từ tâm đồng xu đến cạnh hình vuông phải lớn inch người chơi muốn thắng Xét hình vng 𝐻1 có cạnh inch có tâm trùng với tâm mặt bàn Khi để đồng xu nằm gọn mặt bàn tâm đồng xu rơi xuống phải nằm hình vng 𝐻1 Trường hợp thuận lợi biến cố A hình vng tơ đậm biểu diễn hình vẽ Do đó, áp dụng định nghĩa xác suất phương pháp hình học, xác suất để người chơi chiến thắng trò chơi là: ℙ(𝐴) = ( ) = 16 Nhận xét:  Với mơ hình tốn thay đổi kích thước, hình dạng đồng xu hay bề mặt bàn để trở thành toán  Chúng ta tổng quát lên tốn với kích thước a,b,… giải tương tự để tính xác suất theo a b Phát triển tốn số 8: Trong trị chơi, người chơi tung đồng xu từ khoảng cách khoảng feet bề mặt bàn hình vng có cạnh 𝑛 inch 𝑎 Nếu đồng xu có đường kính inch rơi hồn tồn vào bên hình 𝑏 vng, người chơi nhận xu khơng lấy lại xu mình; khơng xu Nếu đồng xu rơi vào bàn, xác suất giành chiến thắng 𝑎 bao nhiêu, với < 𝑛? 𝑏 24 Lời giải Vì đồng xu có bán kính 𝑎 2𝑏 inch nên khoảng cách từ tâm đồng xu đến cạnh 𝑎 hình vng phải lớn inch người chơi muốn thắng 2𝑏 Hạn chế tạo hình vng có cạnh 𝑛 𝑎 𝑎 × ( − ) = 𝑛 − ( inch ) 2𝑏 𝑏 Và để dành chiến thắng tâm đồng xu rơi xuống phải nằm hình vng Vì xác suất tỉ lệ thuận với diện tích nên ta có: 𝑎 Xác suất chiến thắng trò chơi là: (𝑛 − ) 𝑏 Bài toán số 9: (Hạt giống số có phải Á qn khơng?) Một giải đấu quần vợt có người chơi Con số mà người chơi rút từ mũ định vị trí tham gia người chơi giải đấu (Xem sơ đồ) Giả sử hạt giống số đánh bại tất người chơi hạt giống số đánh bại tất người lại Đội thua trận chung kết nhận cúp Á quân Cơ hội để hạt giống số đoạt cúp quân bao nhiêu? Phân tích toán: Chúng ta biết hạt giống số ln đánh bại tất người chơi để hạt giống số đoạt qn hạt giống số phải khác bảng với hạt giống số Từ xét trường hợp để hạt giống số nằm khác bảng với hạt giống số để giải toán Lời giải Ta có sơ đồ cho giải đấu quần vợt với người chơi sau: 25 Đầu tiên ta xét: Số vị trí mà hạt giống số bốc thăm 𝐶81 ( vị trí ) Vì hạt giống số vào chung kết không nhánh đấu với hạt giống số Do vị trí hạt giống số phải nằm nhánh đấu cịn lại Suy ta có 𝐶41 ( vị trí ) Gọi 𝐴 biến cố "Hạt giống số vào chung kết." Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐴 : |𝐴| = 𝐶81 × 𝐶41 Bốc thăm ngẫu nhiên để xếp bảng đấu ta có số phần tử khơng gian mẫu là: |Ω| = 𝐶81 × 𝐶71 Xác suất để hạt giống số vào chung kết 𝐶81 × 𝐶41 ℙ(𝐴) = = 𝐶8 × 𝐶71 Nhận xét:  Với mơ hình tốn thay 16, 32, 64 … để tốn tương tự  Chúng ta tổng qt lên cho mơ hình tốn thay 2𝑛 cách chứng minh tương tự tính xác suất để hạt giống số vào vòng chung kết 26 Phát triển toán số 9: Một giải đấu quần vợt có 2𝑛 người chơi, 𝑛 ≥ Con số mà người chơi rút từ mũ định vị trí tham gia người chơi giải đấu (Xem sơ đồ) Giả sử hạt giống số đánh bại tất người chơi hạt giống số đánh bại tất người lại Đội thua trận chung kết nhận cúp Á quân Cơ hội để hạt giống số đoạt cúp quân bao nhiêu? Lời giải Đầu tiên ta xét: Số vị trí mà hạt giống số bốc thăm 𝐶21𝑛 ( vị trí ) Trong giải đấu gồm 2𝑛 người chơi ta có 2𝑛−1 vị trí khơng nháy đấu với hạt giống số Gọi 𝐴 biến cố "Hạt giống số vào chung kết." Khi đó, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho 𝐴 : |𝐴| = 𝐶21𝑛 × 𝐶21𝑛−1 Bốc thăm ngẫu nhiên để xếp bảng đấu ta có số phần tử khơng gian mẫu là: |Ω| = 𝐶21𝑛 × 𝐶21𝑛 −1 Xác suất để hạt giống số vào chung kết 𝐶21𝑛 × 𝐶21𝑛−1 2𝑛−1 ℙ(𝐴) = = 𝐶2𝑛 × 𝐶21𝑛−1 2𝑛 − Bài tốn số 10: ( Tình tiến thối lưỡng nan tù nhân ) Ba tù nhân A, B C có thành tích cải tạo tốt nộp đơn xin ân xá Hội đồng ân xá định trả tự cho hai ba người, tù nhân biết điều người Chỉ người giám sát biết ân xá Vì tù nhân A dự định hỏi người giám sát xem ba người ân xá Tuy nhiên nghĩ trước hỏi, hội ân xá Anh ta nghĩ người giám sát nói “ hai người thả ”, hội giảm xuống Vì A định không hỏi để tránh việc giảm hội ân xá Tuy nhiên A nhầm lẫn tính tốn Giải thích sao? Phân tích tốn: Nhầm lẫn tù nhân 𝐴 không liệt kê hết trường hợp xảy cách xác Tù nhân tính người giám sát trả lời người khác thả hội thả cịn chưa tính đến khả người giám sát trả lời là người thả Sau tính xác suất để ân xá thực hỏi người giám sát Lời giải 27 Gọi 𝐻1 biến cố "Nguời giám sát trả lời ân xá"; H2 biến cố "Người giám sát trả lời hai người đươc ân xá" Ta có 𝐻1 , 𝐻2 lập thành họ đầy đủ biến cố ℙ(𝐻1 ) = ; ℙ(𝐻2 ) = 3 Gọi 𝐴 biến cố "Tù nhân 𝐴 ân xá" Khi ta có, ℙ(𝐴) = ℙ(𝐻1 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻1 ) + ℙ(𝐻2 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻2 ), ℙ(𝐴 ∣ 𝐻1 ) = 1; ℙ(𝐴 ∣ 𝐻2 ) = Thay số vào ta có ℙ(𝐴) = 2 ×1+ × = 3 Nhận xét:  Việc tù nhân A hỏi hay không hỏi quản ngục không ảnh hưởng đến xác suất tù nhân A thả Phát triển toán số 10: Một tù nhân A tham gia trò chơi quản ngục dành chiến thắng Vì quản ngục cho tù nhân A hội sau: Tù nhân A rút ba Trong có trắng đỏ, tù nhân A rút đỏ tù rút trắng phải lại tù Khi tù nhân A rút ngẫu nhiên người quản ngục lại thử thách tù nhân A cách ông ta mở trắng cịn lại Và sau quản ngục cho tù nhân A hội lựa chọn lần giữ nguyên tay đổi quản ngục Tù nhân A nghĩ xác suất sau chọn lần là cao nên lựa chọn đổi Cách suy luận tù nhân A hay sai? Lời giải Trường hợp người chơi giữ nguyên lựa chọn ban đầu Trường hợp Lá Lá Lá Giải thưởng Đỏ Trăng Trắng (mở) Đỏ Trắng Đỏ Trắng (mở) Trắng 28 Trăng Trắng (mở) Đỏ Trắng Ta thấy xác suất để mở đỏ Trường hợp người chơi thay đổi lựa chọn ban đầu Trường hợp Lá Lá Lá Giải thưởng Đỏ Trắng Trắng (mở) Trắng Trắng Đỏ Trắng (mở) Đỏ Trắng Trắng (mở) Đỏ Đỏ Ta thấy xác suất để mở đỏ Vì suy luận tù nhân 𝐴 sai nghĩ xác suất Nhận xét:  Tù nhân A bị nhầm lẫn tính tốn Đây sai lầm thường gặp việc tính tốn mà khơng có khơng gian mẫu xác  Việc lựa chọn thay đổi đưa hội thả tù nhân A nâng cao gấp đơi 2.3 Thực nghiệm sư phạm 2.3.1 Mục đích thực nghiệm Kiểm tra tính hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.3.2 Nội dung thực nghiệm Thực theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm 29 2.3.3 Tổ chức thực nghiệm 2.3.3.1 Đối tượng thực nghiệm Chúng chọn đối tượng thực nghiệm học sinh lớp 11A3 (năm học 20222023), 11A8 (năm học 2022-2022) trường THPT Hoàng Mai Chúng tơi tìm hiểu kỹ nhận thấy trình độ chung mơn tốn lớp tương đương Trên sở đó, lấy lớp 11A3, 11A8 (20212022) làm lớp đối chứng 2.3.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm tiến hành từ ngày 14/11/2021 đến 25/12/2021 với số tiết dạy tiết/ lớp, có kiểm tra Phần lớn số tiết giảng dạy tiết luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp THPT 2.3.3.3 Tổ chức thực Ở lớp dạy thực nghiệm: - Dạy theo nội dung sáng kiến luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi - Quan sát hoạt động học tập học sinh xem em có phát huy tính tích cực, tự giác có phát triển tư sáng tạo hay không - Tiến hành kiểm tra sau thực nghiệm - Cho em giải toán tính xác suất đề thi thức đề thi thử tốt nghiệp THPT đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh thành phố nước Ở lớp đối chứng: - Giáo viên thực quan sát hoạt động học tập học sinh lớp đối chứng Giáo viên giảng dạy tập nội dung sáng kiến kinh nghiệm không theo hướng sáng kiến - Tiến hành đề kiểm tra lớp thực nghiệm 2.3.3.4 Kết thực nghiệm Khi trình thực nghiệm bắt đầu, nhìn chung có nhiều em học sinh cịn e ngại tốn xác suất, đặc biệt toán mức độ vận dụng, vận dụng cao Quan sát chất lượng trả lời câu hỏi, giải tập dừng lại mức độ nhận biết thơng hiểu, số giải tốn vận dụng Qua trình giảng dạy quan sát diễn biến tiết học thực nghiệm đối chứng lớp học, nhận thấy rằng, lớp thực nghiệm, nhìn chung em tích cực, chủ động hơn, học tập sơi nổi, có linh hoạt hơn, có định hướng việc phân tích tìm lời giải cho tốn xác suất 30 Còn lớp đối chứng, hoạt động học tập cịn bị động, chưa tích cực, việc tìm lời giải cho tốn cịn gặp nhiều khó khăn Nhiều em lớp thực nghiệm giải nhiều tốn xác suất đề thi thức đề thi thử THPT Quốc gia, vài em làm đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, thành phố nước sau em học theo nội dung sáng kiến Đa số học sinh có hứng thú với toán xác suất, đặc biệt tốn liên quan đề trị chơi phổ biến Khi so sánh tối thấy kết thực nghiệm tốt nhiều so với đối chứng, cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi tăng lên tỉ lệ yếu trung bình giảm xuống Kết Giỏi (%) Khá (%) Trung bình (%) Yếu (%) Đối chứng ( 4.76%) 10 (23.81%) 25 (59.52%) (11.91%) Thực nghiệm 4(9.52%) 18 (42.85%) 20 (47.63%) (0%) Giỏi (%) Khá (%) Trung bình (%) Yếu (%) Đối chứng ( 6.52%) 14 (30.43%) 26 (56.52%) (6.53%) Thực nghiệm 7(15.21%) 24 (52.17%) 15 (32.8%) (0%) Lớp 11A3 Kết Lớp 11A3 Qua kì thi kiểm tra đánh giá cuối kỳ 1, em lớp 11A3 lớp 11A8 bồi dưỡng theo nội dung sáng kiến có tiến rõ rệt, có nhiều em giải toán xác xuất thống kê mức độ vận dụng vận dụng cao, nhiều em đạt kết có em cao đạt kết 8,9 Căn vào kết thực nghiệm trên, bước đầu thấy kết khả quan áp dụng đề tài vào dạy học 31 PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trong trình nghiên cứu, tơi ln trăn trở tìm cách để rèn luyện cho học sinh có định hướng giải loại tốn từ phát triển mở rộng lên thành toán tương tự, mở rộng Bên cạnh đó, chúng tơi ln tìm tịi phương pháp cố gắng đưa phân tích, định hướng phù hợp Chúng tham khảo nhiều nguồn tài liệu khác nhau, đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố, đề thi thử THPT, sách, báo, kênh thông tin từ đồng nghiệp, từ mạng internet,… để nghiên cứu, hình thành hồn thiện đề tài Qua việc nghiên cứu đề tài, nhận thấy: - Đối với thân: Bản thân phần rèn luyện lực chuyên môn, nắm vững phương pháp để giải toán xác suất Xây dựng chuyên đề dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh phát triển tư duy, định hướng rèn luyện cho học sinh kỹ tư làm toán xác suất - Đối với học sinh: Việc học theo định hướng giúp cho học sinh có hứng thú với tốn xác suất Các em rèn luyện lực giải vấn đề Tốn học thơng qua việc biết phân tích, tư để tìm hướng giải tốn Có nhìn thực tế tốn học để tạo hứng thú học tập Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt đặc biệt góp phần phát triển lực tư sáng tạo cho em, nhiệm vụ quan trọng việc dạy học mơn tốn trường phổ thông Kiến nghị Đề tài có khả áp dụng cho học sinh khối 10, 11 12 trường THPT Đặc biệt trình dạy chủ đề xác suất thống kê Tôi xin cam đoan nội dung đề tài tác giả thực báo cáo Dù có nhiều cố gắng, song đề tài tơi khơng tránh khỏi thiếu sót mang sắc thái chủ quan tác giả Để đề tài hoàn thiện thực có giá trị, ứng dụng rộng rãi thực tiễn dạy học, mong nhận góp ý, chia sẻ thầy cô đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Đại Số Và Giải Tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 [2] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Bài tập Đại Số Và Giải Tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 [3] Sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2022 [4] F Mosteller, (1987), Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions, Dover, New York [5] Đề thi Học sinh giỏi cấp tỉnh tỉnh thành nước [6] Đề thi minh họa đề thi thức kỳ thi TNTHPT Quốc gia từ năm 2018 đến [7] Đề thi thử TNTHPT Quốc gia nước từ năm 2018 đến [8] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [9] Các nhóm diễn đàn giáo viên mơn Tốn Internet 33