Hsg bộ 20 đề trường thcs thanh oai

Trường THCS Mỹ Hưng Huyện Thanh Oai – HN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Tốn Thời gian làm 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu ( điểm ): a c  với a, b, c 0 Chứng minh rằng: c b a a2  c2 b  a b2  a   2 a) b) b b2  c a a c 25 Tổng ba phân số tối giản tử chúng tỉ lệ nghịch với 63 Cho 20; 4; Các mẫu chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; Tìm ba phân số Câu ( điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: y   x Câu ( điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên biết A x 1 x  x 0  Câu ( điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau A  x  2013  x  2014  x  2015 Câu ( điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân A có trung tuyến AM E điểm thuộc cạnh BC Kẻ BH, CK vng góc với AE ( H, K thuộc AE ) a) Chứng minh BH  AK b) Cho biết MHK tam giác gì? Tại sao? Trường THCS Mỹ Hưng Huyện Thanh Oai – HN HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Lớp Nội dung Điểm Câu 2 Câu a c a c a c       a, Từ: (6 c b c b  c  b điểm) a a2 c2 a2  c2  b  c2  b2  c  b2 0,5 đ  a a2  c2  (đpcm) b b2  c2 0,5 đ b, Áp dụng chứng minh phần a ta có: a c a a2  c2 b b2  c2 b b2  c2    2   2   1 2  c b b b c a a c a a c 2 2 b a b c a c b  a b  c2  a2  c2    2 2  a a a c a c a a2  c2 b  a b2  a2   2 (đpcm) a a c 1,0 đ 1,0 đ Gọi ba phân số cần tìm a, b, c Theo ta có: a  b  c 5 25 63 0,5 đ 1 1 1 a : b : c  20      21: 35 :12 20 12 35 0,5 đ 25 a b c a b c      63  21 35 12 21  35  12 68 63 5 25 20  a 21  ;  b 35  ;  c 12  63 63 63 21 25 20 Vậy: Ba phân số cần tìm ; 21 Câu (3 điểm) Từ: y y 1 y         x   y  40 x x x   y  ước lẻ 40 là: 1; 5 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ Lập bảng: 1-2y x y -5 -8 -1 -40 1 40 -2 1,0 đ Vậy ta có cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8; - 0,5 đ 2) Câu (3 Ta có: A  0,5 đ x 1 1  x x điểm) A Z  Z  x x   Ư(4)  1; 2; 4 1,0 đ Lập bảng: 49 1,0 đ A  x  2013  2015  x   x  2014 2  x  2014    A 2 x  2014 0  1,0 đ x x -4 / -2 -1 16 25 Vậy: x   1; 4;16; 25; 49 Câu (2 điểm) 0,5 đ A  x  2013  x  2014  x  2015 A  x  2013  x  2015   x  2014 Vì: x  2015  2015  x  A  x  2013  2015  x   x  2014 Mà: x  2013  2015  x  x  2013  2015  x 2  x  2013  2015  x  0 Dấu sảy    x  2014 0 2013  x 2015   x 2014 1,0 đ  x 2014 Vậy A đạt giá trị nhỏ x 2014 Câu (7 điểm) A H E a) Xét ABH CAK có: C B M AHB CKA  900 AB  AC ( ABC cân A) ABH CAE   ( Cùng phụ với BAH )  ABH CAK ( Cạnh huyền góc nhọn)  BH  AK ( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm) b) Ta có MA MB MC K ( Trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABC ) ABC cân A  vừa trung tuyến vừa đường cao  AM  BC  AMB AMC vuông cân M 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ   BAM  ACM 450 Ta có: ABH CAK (Theo chứng minh phần a)  BAH  ACK (Hai góc tương ứng) Mà:    BAH 450  MAH     MAH MCK ACK 450  MCK   Xét AMH CMK có: AMH CMK   (cùng phụ với HMC ) MA MC (Theo chứng minh trên)   (Chứng minh trên) MAH MCK 0,5 đ 0,5 đ     BAH BAM  MAH  ACK  ACM  MCK    AMH CMK  g c.g   MH MK  MHK cân M AMH  HMC  900       CMK  HMC HMK 90 AMH CMK    HMK vuông cân M THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP đ 1đ Năm học 2013 – 2014 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài (3đ) Tìm x  Z cho a, x  2 b, (x  20)(x  15)(x  10)(x  5)  Bài (4đ) Tìm tất cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn a, m  n 2048 b, 3m  4n  mn 16 Bài (4đ) 2 a, Cho x, y, z, t số khác thỏa mãn điều kiện sau: y xz, z yt y3  z  x x y  z  t 0 Chứng minh 3  y z t t 3 b, Cho x+y – z = a-b x-y+z=b-c -x+y + z = c – a Chứng minh : x+y+z=0 Bài (4đ) a, Cho đa thức f(x) x 2015  2000x 2014  2000x 2013  2000x 2012   2000x  Tính giá trị đa thức x=1999 b, Cho đa thức f(x) ax  bx  c chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0 13a  b  2c 0 Bài (5đ) a,Cho tam giác ABC, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác   vuông cân ABD, ACE ABD ACE 9O 1, Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vng góc với BK 2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy b, Cho điểm B C nằm đoạn thẳng AD cho AB=CD Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng Chứng minh rằng: MA  MD MB  MC - HẾT - ĐÁP ÁN Bài (3đ) a, - Chỉ rõ x    0,1,2 - Chỉ rõ trường hợp kết luận (0.25đ) x  0 (0.75đ) x  1 x  2 b, Lý luận để có (x  20)  (x  15)  (x  10)  (x  5) (0.25đ) Xét đủ trường hợp - Trường hợp có số âm tính x 4 (0.75đ) - Trường hợp có số âm tính x 3 (0.75đ) - Kết luận (0.25đ) Bài 2: Ta có  m 11 11  n 11 11  211 0 (0.75®)  211 (2 m  11  n  11  1) 0 (0.5®)  (2 m  11  n  11  1) 0 (0.25®) m 12 Lý luận tìm (0.5đ) n 11 b, Biến đổi (3  n)(m  4) 4 (1đ) Xác định tích số nguyên (6 trường hợp) (0.75đ) (m, n)  (8,2); (0,4); (5,  1); (3,7); (6,1); (2,5) Kết luận được: (0.25đ) Bài 3: Từ giả thiết suy x y z   y z t (0.5đ) Lập phương tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số để có x3  y3  z3 y3  z3  t (0.5đ) Mặt khác ta có x3 x x x x y z x    y3 y y y y z t t (0.75đ) Suy điều cần chứng minh (0.25đ) b, Cộng vế với vế suy điều cần chứng minh (2đ) Bài a,f(x) x 2015  (1999  1)x 2014  (1999  1)x 2013  (1999  1)x 2012   (1999  1)x  (0.75đ) Thay 1999=x ta f(x) x 2015  x 2015  x 2014  x 2014  x 2013  x 2013   x  x  (0.75đ) Tính kết kết luận f(1999) = 1998 b, Tính f( 2) f(3) f(3) (0.5đ)  f( 2)  f(3)=13a+b+2c (0.5đ)  f( 2)  f(3) (0.5đ) (0.5đ)  f(  2)f(3)=-f(3)f(3)=-  f(3) 0 (0.5đ) Bài (5đ) a, (2đ) 1, Vẽ hình chứng minh đến hết (1đ) 2, Chỉ AH, BE, CD đường cao BCK (1đ) b, (3đ) Xét trường hợp * Trường hợp điểm M  AD ta có MA  MD  MB  MC * Trường hợp M  AD (1đ) - Gọi I trung điểm BC (0.75đ) - Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IM=IN (0.5đ) IB IC AB CD Vì AB  IB IC  CD (0.25đ)  AI ID * Chứng minh IMA IND (c.g.c) (0.25đ)  MA ND - Điểm C nằm MDN chứng minh ND  MD  NC  MC (0.5đ) - Chứng minh IBM ICN (c.g.c) (0.25đ) - Suy MA  MD  MB  MC (0.5đ) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA MƠN TỐN Năm học 2013 – 2014 (Thời gian làm 120 phút, khơng kể giao đề) Đề thức Câu 1:( 5điểm): Cho a) a c  chứng minh rằng: c b a c c b  a c c b b) a2  c2 a  b2  c2 b b2  a b  a b) 2  a c a Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết: 1+3y 1+5y 1+7y   12 5x 4x Câu 3:(4 điểm) 1 1 1       a).Chứng minh : 6 100 b) Tìm số nguyên a để: 2a  5a  17 3a   số nguyên a 3 a 3 a 3 Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A x  1996  1997 Câu 5: (7 điểm) Cho tam giác ABC vng A, có góc C=30 0, đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD=HB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD tam giác b) AH = CE c) EH song song với AC Hết -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) PHỊNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học 2013 – 2014 Câu 1:( 5điểm) a) Từ a c a  c a c    c b c  b c b  (0,5điểm) a c c b  a c c b (0,5điểm) b) Từ a c  suy c a.b c b (0,5điểm) a  c a  a.b 2  b c b  a.b (0,5 điểm ) a ( a  b) a = b( a  b )  b (1 điểm) c) Theo câu b) ta có: a2  c2 a b2  c b    b2  c b a2  c2 a (0,5điểm) b2  c b b2  c2 b từ 2   2    a c a a c a 2 2 b c  a  c b a  hay 2 a c a (0,5điểm) b2  a b  a  a2  c2 a (0,5điểm) Câu 2: (2điểm)Tìm số x;y biết 1+3y 1+5y 1+7y   12 5x 4x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y  7y   5y 2y  5y   3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 (0,5điểm) (0,5điểm) => 2y 2y   x x  12 => -x = 5x -12 => x = Thay x= vào ta (0,5điểm) (0,5điểm 1 3y 2y   y ) 12  =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = (0,5điểm) Vậy x = 2, y = 1 thỏa bi 15 Cõu 3:(4 im) a) Đặt : A = 1 1     1002 Ta cã : * A< 1 1 1 1 1 1 =       =       4.5 5.6 6.7 99.100 5 99 100 100 (0,75điểm) * A> 1 1 1        5.6 6.7 99.100 100.101 101 (0,75điểm) 1 1 1       6 100 Vậy: (0, 5điểm) 2a  5a  17 3a 4a  26 = =   a 3 a 3 a 3 a 3 4a  12  14 4(a  3)  14 14 = số nguyên  4  a 3 a 3 a 3 b Ta cã : (1 điểm) Khi (a + 3) ước 14 mà Ư(14) = 1; 2; 7; 14 Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17 (1 điểm) Câu 4: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 10 1 15