PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề ) Câu 1: ( điểm ) a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: b a a b c b c a c a b Hãy tính giá c a b c trị biểu thức: B a c b a c b) Cho tỉ lệ thức với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d b d a b Chứng minh: c d 2013 a 2013 b 2013 c 2013 d 2013 Câu 2: ( điểm ) a) Cho x y z t y z t z t x t x y x y z Chứng minh rằng: Biểu thức sau có giá trị nguyên A x y y z z t t x z t t x x y y z b) Tìm x biết: x x 0 c) Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A Câu 3: ( điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 2013 x 3014 x 2015 Câu 4: ( điểm ) Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16 Câu 5: ( điểm ) Cho tam giác ABC vng A, có góc C 300 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD HB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD tam giác b) AH CE c) HE song song với AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLIMPIC Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Lớp Câu Câu (5 điểm) Nội dung a) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: Điểm a b c b c a c a b c a b b a c Hãy tính giá trị biểu thức: B a c b Vì a, b,c số dương nên a b c 0 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b a b c 1đ a b c b c a c a b 1 1 2 Nên: c a b a b b c c a 2 c a b b a c 1đ Mà: B a c b a b c a b c B 8 a c b Vậy: B 8 b) Cho tỉ lệ thức a c với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d b d a b Chứng minh: c d 2013 a 2013 b 2013 2013 c d 2013 a c a c a Ta có: b d b d b a Mà: b 2013 c d 2013 2013 c d 2013 a c b d a 2013 c 2013 a 2013 c 2013 b 2013 d 2013 b 2013 d 2013 a b Từ (1) (2) c d 1đ 2013 a 2013 b 2013 c 2013 d 2013 2013 (1) (2) (đpcm) 0,75 đ 0,75 đ 0, đ Câu (6 điểm) a) Cho x y z t y z t z t x t x y x y z Chứng minh rằng: Biểu thức sau có giá trị nguyên A x y y z z t t x z t t x x y y z x y z t x y z t Ta có: y z t z t x t x y x y z x y z t 3x y z t ; 3y z t x ; 3z t x y ; 3t x y z x y z t ; y z t x ; z t x y ; t x y z A x y y z z t t x 1 4 Z z t t x x y y z 0, đ 0, đ (1đ) Vậy biểu thức A có giá trị nguyên (đpcm) b) Tìm x biết: x x 0 Ta có: x x x 0 0, đ x 3x x x x 3 x 3 x 0 x 3 x x 0 x 3 x 2 0, đ Vậy: x 2 x 3 c) Số A chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : Biết tổng 1đ bình phương ba số 24309 Tìm số A Gọi ba phần chia là: a, b, c 0, đ a b c 24309 Theo ta có: a : b : c : : Ta có: a : b : c : : 24 : 45 10 a b c 24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 24309 9 24 45 10 576 2025 100 576 2025 100 2701 a 576.9 5184 a 72 b 2025.9 18225 b 135 c 100.9 900 c 30 0, đ Vì: a b c a, b, c dấu 24 45 10 A 72 135 30 237 1đ A 72 135 30 235 Vậy: A 135 A 135 0, đ 0, đ Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 2013 x 3014 x 2015 Ta có: x 2015 2015 x A x 2013 2015 x x 3014 A x 2013 2015 x x 2014 A 2 x 2014 0, đ Mà: x 3014 0 A 0 2013 x 2014 x 2013 2015 x x 2014 x 2014 Dấu sảy x 2014 Vậy GTNN A x 2014 Câu (2 điểm) 0, đ 0, đ 0, đ Tìm hai số dương biết tổng hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 Gọi hai số dương cần tìm x , y Theo ta có: 30 x y 120 x y 16 xy x y x y xy k 15 0, đ 0, đ x y 8k ; x y 2k ; xy 15k x 5k ; y 3k xy 5k 3k 15k 15k 15k k 1 0, đ x y 8; x y 2 x 5; y 3 0, đ Vậy hai số dương cần tìm Câu (5 điểm) Vẽ hình ghi GT – KL a) ABD có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ABD cân A C 900 (Hai góc nhọn tam giác vng) Ta có: B 0, đ 900 300 600 B Nên ABD tam giác (đpcm) b) Ta có: EAC BAC ABD 900 600 300 AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn) Do AH = CE (đpcm) 1đ c) (2,5 điểm) AHC CEA (cmt) nên HC = EA (1) 2đ ADC cân D có ADC DCA 30 DAC cân D Suy : DA = DC (2) 0, đ Từ (1) (2) DH DE DHE cân D Hai tam giác cân ADC DEH có: Hai tam giác cân: ACD cân D DHE cân D có: ADC HDE (đđ) DHE ADC vị trí so le EH / / AC (đpcm) 1đ