Hsg l4

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 4,0 điểm) a Tìm x, y biết: x y 4x 7 y y = x + y = 22 2x  3y  4z z b Cho   Tính M = 3x  y  z c.Tính giá trị đa thức sau, biÕt x + y – = M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006 a b c a 3b 2c1930 = = a + b + c  Tính b c a a1935 d Cho Bài 2: ( 3,0 điểm) Thực tính: a P =  (1  2)  (1   3)  (1    4)   1 (1     16) 16 1      b Tính : A    1                1986  c Cho dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d a b b c c d d a    Tính M  c d d a a b b c Bài 3: ( 4,0 điểm) Tìm x biết: a 30 31 2 x 10 12 62 64 b 45  45  45  45 65  65  65  65  65  65 2 x 35  35  35 25  25 c Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + = 117 d Tìm x Z để A Z tìm giá trị A =  2x x 3 Bài 4: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a Chứng minh BEH = ACB b Chứng minh DH = DC = DA c Lấy B’ cho H trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân d Chứng minh AE = HC Bài 5(2đ) : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2012 a) P = x  x  2013 a 2012  2013 b) Q = 2012 a  2011 Bài (4Đ) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm)  28  x = 28  y x y x y 47 x y 22    2  x 8; y 14 11 x y x y y z y z x y z    ;       15 20 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x  3y  4z    (1)  30 60 96 30  60  96 3x y 5z 3x  y  z    (1)  45 80 120 45  80  120 x  y  z 3x  y  z  : = 2x : 3x 30  60  96 45  80  120 30 45    2x  3y  4z 245 2x  3y  4z (1) 186 1  M    186 3x  y  z x  y  z 245 c Biến đổi đa thức theo hớng làm xuÊt hiÖn thõa sè x + y – M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + = x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008 =x2.0 – y.0 + + 2008 = 2008 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực tính: 2S = 2011  2010  2009  2  2S-S = 2011  2010  2010  2009  2009  2  2    S = 2011  2.2 2010  S 2 2011  2011  1 2.3 3.4 4.5 16.17     2 16 2 17       2 2  1     17  1  17.18     1 76 2  P = 1 + Hướng dẫn giải : n  n  1 )  1     A    1                  1986             1  1          1     1   1986  1986  1                  1987.1986  10 27 1987.1986     ;(1)  1       2.3   3.4   1986.1987  10 1987.1986 12 20 1987.1986  - Ta có : ( nhớ     n  Mặt khác : 1986.1987 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) (2) ta có : A 4.1 5.2 6.3 1988.1985  4.5.6 1988 (1.2.3 1985)  2.3 3.4 4.5 1986.1987 (2.3.4 1986) (3.4.5 1987) 1987.1988 1.2 1988 994    2.3 1986.1987 1986.3 2979 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1  1 1 Suy : a b c d a b c  d a b c  d a b c d a b c  d     a b c d  Nếu a + b + c + d = a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) a b b c c d d a  M     = -4 c d d a a b b c a b b c c d d a    Nếu a + b + c + d 0  a = b = c = d  M  =4 c d d a a b b c HD : Từ Bài 3: ( 2,0 điểm) 30 31 2 x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 1.2.3.4 30.31 2 x 30 1.2.3.4 30.31.2 2 x 36 x  36 4.4 6.6 2 x 3.35 2.2 46 66 2 x 6  6  4 x     2  3  2 212 2 x  x 12 HD: A =  x x 3 =  2( x  3)   2 x 3 x 3 Bài 4: ( 4,0 điểm) Câu a: 0,75 điểm BEH cân B nên E = H1 ABC = E + H1 = E ABC = C  BEH = ACB Câu b: 1,25 điểm Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH DAH có: DAH = 900 - C DHA = 900 - H2 =900 - C  DAH cân D nên DA = DH Câu c: 1,0 điểm ABB’ cân A nên B’ = B = 2C B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C Hình vẽ: 0,25 0,25 A 0,25 D 0,50 B 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 E H B’ C  C = A1 AB’C cân B’ Câu d: 1,0 điểm AB = AB’ = CB’ BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H  AE = HC Bài 0,25 0,25 0,50 *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 A a) Để cm ∆ ADE cân A  cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) K I E D b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do AHC 900 nên HC B H C tia phân giác ngồi đỉnh H Các tia phân giác góc đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có