PHÒNG GD & ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THCS BẢO SƠN HUYỆN MƠN: Tốn (Thời gian làm : 150 phút) Câu ( điểm) 1) Thực phép tính : 9.69.120 46.96 A 13 12 ; B 10 10 10 10 10 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 2) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn : a b c b c a a c b Hãy tính giá c a b b a c trị biểu thức B a c b 3) Tính giá trị đa thức f ( x ) x 2018 x 2016 x 2018 x 2016 x 2017 x = 2017 Câu ( điểm) 1) Cho 3x y z x y 3z 2) Tìm x, y, z biết: x x y Chứng minh : z y x xz Câu (5 diểm) 1) Tìm cặp số tự nhiên (x; y) cho: 49 - y =12(x - 2001)2 2) Cho 2019 x1 2018 y1 2019 x2 2018 y2 2019 x2018 2018 y2018 0 Chứng minh x1 x2 x3 x2018 2018 y1 y2 y3 y2018 2019 3) Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải 186m, giá tiền mét vải ba cuộn Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ hai, cuộn thứ nhất, 3 cuộn thứ ba Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; Tính xem ngày cửa hàng bán mét vải cuộn Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME Câu (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Câu Nội dung 9.6 120 3 23.3.5 212.312 A 12 12 212.313 212.312 312.212.5 212.312 312.212 (5 1) 12 12 12 12 (3 1) 6 Điểm 0,5 5 2 Vậy A= 10 10 10 10 10 B 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 5 5 2.( ) 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 1 1 1 1 1 ) = 2( 12 12 17 17 22 2012 2017 2017 2022 Câu 1 2022 2015 ) 2 = 2( 2022 2022.7 7077 điểm 2015 Vậy B 7077 2) +Nếu a+b+c 0 0.5 0.5 0.5 0,5 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = =1 a b c c a b 0,5 mà a b c bc a ca b 1 1 1 = c a b 0,25 a b b c c a => =2 c a b b a 0,25 c ba ca bc )( )( ) =8 Vậy B = ( a c b a c b +Nếu a+b+c = 0,5 Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = =0 a b c c a b mà a b c b c a ca b 1 1 1 = c a b => a b b c c a =1 c a b Vậy B = 0,5 b a c b a c a b c ( )( )( ) =1 a c b a c b 0,25 3)Tính giá trị đa thức f ( x) x5 2018 x 2016 x3 2018x 2016 x 2017 x = 2017 2018 x 1 Ta có x 2017 2016 x Khi ta có: f (2017) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x x x5 x5 x x x3 x3 x x x x 0 0,5 Vậy f(2017) =0 0,5 1) Theo ta có: 3x y z x y 3z Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Câu điểm 12 x y z 12 x y 6z 12 x y z 12 x y z 0 16 16 12 x y 0 12 x 8 y 12 x 8 y 6 z y z 8 y 6 z 0,5 0,5 12 x y z x y z 24 24 24 (đpcm) 0,5 0,25 2) Áp dụng tính chất A x 0 x 0 2 y 0 y 0 3 x xz 0 x x z 0 x 2 y z x Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 1) Xét đẳng thức: 49 - y2 = 12 x - 2001 Vế phải mộ số chẵn không âm nên y số lẻ không lớn Câu điểm 1,0 0,25 0,5 0,5 Khi y = x = 2003 x = 1999 Khi y = khơng có giá trị x N 0,5 Khi y = khơng có giá trị x N Khi y = x = 2011 Vậy cặp (x; y) cần tìm (2003; 1); (1999; 1); (2001; 7) 2) Ta có 2019 x1 2018 y1 0 2019 x2 2018 y2 0 … 2019 x2018 2018 y2018 0 (2017 x1 2016 y1 )2 (2017 x2 2016 y2 ) (2017 x2016 2016 y2016 ) 0 Theo ta có: 2019 x1 2018 y1 2019 x2 2018 y2 2019 x2018 2018 y2018 0 Suy ra: 0,5 2019 x1 2018 y1 0 2019 x2 2018 y2 0 2019 x2018 2018 y2018 0 2019 x1 2018 y1 2019 x 2018 y x x x 2018 2 2018 y1 y2 y2018 2019 2019 x2018 2018 y18 0,5 (1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x x x x2018 x1 x2 2018 (2) y1 y2 y2018 y1 y2 y2018 0,5 x1 x2 x3 x2018 2018 (đpcm) y1 y2 y3 y2018 2019 3) Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z Từ (1) (2) suy 0,25 (m) ĐK: 0< x, y, z < 186 +) Tổng chiều dài ba cuộn vải 186m => x + y + z = 186 + Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, 0,5 3 cuộn thứ ba => Trong ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba x y 2z , , (mét) 3 +) Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; giá tiền mét vải ba cuộn => Số mét vải bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; => x y 2z 2x y 2z : : 2:3: => 3 12 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: 0,5 x y z x y z 186 6 12 10 12 10 31 0,5 x 72 => y 54 ( Thỏa mãn điều kiện ) z 60 0,25 Vậy ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba : 24; 36; 24 (mét) A Câu điểm I M B C H K 1) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) E AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC Nên : (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) 0,75 AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB 0,5 Mà MAC MEB góc có vị trí so le 0,5 Suy AC // BE 2) Xét AMI EMK có : 0,25 AM = EM (gt ) = MEK ( AMC EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) 0,5 EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng (đpcm) 0,5 = 90o ) có HBE 3) Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HBE 0,5 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o HEM góc ngồi đỉnh M HEM BME 0,5 Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) Khơng tính tổng qt toán giả sử x y z 0,5 0,25 Vì x, y, z số tự nhiên khác x y z Ta có x y z xyz * 1 1 yz xz xy 1 1 x2 x2 x2 x2 Câu x 3 x 1 điểm Thay vào (*) ta 0,25 1+y+z = yz y 1 z 1 2 y 1 z 2 y 2 z 3 x, y,z 1;2;3 Vì vai trị x, y, z nên số (x,y,z) thoả mãn toán : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1 0,25 0,25