Hsg thcs thạch đồng 2017 2018

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi :03/2018 (Thời gian làm bài: 120 phút) THCS THẠCH ĐỒNG ĐỀ HSG TOÁN Bài (4,0 điểm) 13 19  23   0,5      :1 15  15 60  24 20 100 b) So sánh: 16 a) Tính: A = Bài (3,0 điểm) 1 a) Tìm x biết: x   1 2 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 1.3n  4.3n 13.35 Bài (4,5 điểm) 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d a b bc c d d a biết Q = c  d  d  a  a  b  b  c a) Cho dãy tỉ số nhau: Tính giá trị biểu thức Q, x y z t    với x, y, z, t số x  y  z x  y t y  z t x  z t tự nhiên khác Chứng minh M 10  1025 b) Cho biểu thức M  Bài (6,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, D điểm thuộc đoạn BM (D khác B M) Kẻ đường thẳng BH, CI vng góc với đường thẳng AD H I Chứng minh rằng:   a) BAM BH = AI = ACM b) Tam giác MHI vuông cân 2) Cho tam giác ABC có góc  = 90 Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác góc HAC cắt cạnh BC điểm D tia phân giác góc HAB cắt cạnh BC E Chứng minh AB + AC = BC + DE Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z =   x 1 ,   y 1 ,   z 1 Chứng minh đa thức x  y  z có giá trị khơng lớn -Hết Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay làm HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Bài a) 2,0 đ b) 2,0 đ Nội dung 47 47 : + Biến đổi: A   60 24 =  5 =1 + Biến đổi: 1620 24.20 280 0,50 + Có 280  2100 (1 < ; 80 < 100) 1,0 Vậy 1620  2100 0,5 1,0 0,50 0,5 Bài 3,0 đ 1 1 => x  1 2 a) 2,0 đ => x  1 x   => x 4 x 3 Vậy x 4 x 3 + Biến đổi 3n.(3  4) 13.35 => 3n 36 b) 1,0 đ => n = KL: Vậy n = + Ta có x   Bài b) (2,0 đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 4,5 đ 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    + Biến đổi: a b c d a) (2,5 đ) Điểm 4,0 đ 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d  1  1  1 1 a b c d a b c  d a b c  d a b c  d a b c d    a b c d + Nếu a + b + c + d  a = b = c = d => Q = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d = a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - + KL : Vậy Q = a + b + c + d  Q = - a + b + c + d = 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 x x + Ta có: x  y  z  x  y y y  x  y t x  y 0,1 z z  y  z t z t t t  x  z t z t  M< ( 10 x y z t  )(  ) xy xy zt zt + Có M < 10 => M < 0,25 10 (Vì M > 0) mà = 1024 < 1025 0,5 Vậy M10 < 1025 0,25 A I Bài 0,25 D B C M H 1.a/ 2,75 đ 1.b/ 2,0 đ  * Chứng minh: BAM  ACM + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)   + Lập luận được: BAM CAM 450 + Tính ACM 450  => BAM  ACM 0,25 * Chứng minh: BH = AI   + Chỉ ra: BAH )  ACI (cùng phụ DAC + Chứng minh AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) => BH = AI (2 cạnh tương ứng) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,75 0,25 b) Tam giác MHI vuông cân + Chứng minh AM  BC + Chứng minh AM = MC   + Chứng minh HAM ICM + Chứng minh HAM = ICM (c-g-c) => HM = MI (*)      + Do HAM = ICM => HMA IMC => HMB (do AMB  AMC 900 IMA  + Lập luận được: HMI (**) 900 Từ (*) (**) => MHI vuông cân 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A 2) 0,25 1,5đ B E H D C + Chứng minh : AEC  ABC  BAE         HAD  DAC  BAE EAH  HAD  DAC EAC   HAC  (Vì B phụ với BAH ) Bài 2,0 đ Suy tam giác AEC cân C =>AC = CE (*) + Tương tự chứng minh AB = BD (**) + Từ (*) (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC +) Trong ba số x, y, z có hai số dấu Giả sử x; y 0 => z = - x - y 0 +) Vì   x 1 ,   y 1 ,   z 1 = > x  y  z  x  y  z => x  y  z  x  y  z => x  y  z  z +)   z 1 z 0 => x  y  z 2 KL: Vậy x  y  z 2 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25