ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi :03/2018 (Thời gian làm bài: 120 phút) THCS THẠCH ĐỒNG ĐỀ HSG TOÁN Bài (4,0 điểm) 13 19 23 0,5 :1 15 15 60 24 20 100 b) So sánh: 16 a) Tính: A = Bài (3,0 điểm) 1 a) Tìm x biết: x 1 2 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 1.3n 4.3n 13.35 Bài (4,5 điểm) 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b bc c d d a biết Q = c d d a a b b c a) Cho dãy tỉ số nhau: Tính giá trị biểu thức Q, x y z t với x, y, z, t số x y z x y t y z t x z t tự nhiên khác Chứng minh M 10 1025 b) Cho biểu thức M Bài (6,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, D điểm thuộc đoạn BM (D khác B M) Kẻ đường thẳng BH, CI vng góc với đường thẳng AD H I Chứng minh rằng: a) BAM BH = AI = ACM b) Tam giác MHI vuông cân 2) Cho tam giác ABC có góc  = 90 Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác góc HAC cắt cạnh BC điểm D tia phân giác góc HAB cắt cạnh BC E Chứng minh AB + AC = BC + DE Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = x 1 , y 1 , z 1 Chứng minh đa thức x y z có giá trị khơng lớn -Hết Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay làm HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Bài a) 2,0 đ b) 2,0 đ Nội dung 47 47 : + Biến đổi: A 60 24 = 5 =1 + Biến đổi: 1620 24.20 280 0,50 + Có 280 2100 (1 < ; 80 < 100) 1,0 Vậy 1620 2100 0,5 1,0 0,50 0,5 Bài 3,0 đ 1 1 => x 1 2 a) 2,0 đ => x 1 x => x 4 x 3 Vậy x 4 x 3 + Biến đổi 3n.(3 4) 13.35 => 3n 36 b) 1,0 đ => n = KL: Vậy n = + Ta có x Bài b) (2,0 đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 4,5 đ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d + Biến đổi: a b c d a) (2,5 đ) Điểm 4,0 đ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d + Nếu a + b + c + d a = b = c = d => Q = + +1 +1 = + Nếu a + b + c + d = a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - + KL : Vậy Q = a + b + c + d Q = - a + b + c + d = 0,5 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 x x + Ta có: x y z x y y y x y t x y 0,1 z z y z t z t t t x z t z t M< ( 10 x y z t )( ) xy xy zt zt + Có M < 10 => M < 0,25 10 (Vì M > 0) mà = 1024 < 1025 0,5 Vậy M10 < 1025 0,25 A I Bài 0,25 D B C M H 1.a/ 2,75 đ 1.b/ 2,0 đ * Chứng minh: BAM ACM + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c) + Lập luận được: BAM CAM 450 + Tính ACM 450 => BAM ACM 0,25 * Chứng minh: BH = AI + Chỉ ra: BAH ) ACI (cùng phụ DAC + Chứng minh AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) => BH = AI (2 cạnh tương ứng) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,75 0,25 b) Tam giác MHI vuông cân + Chứng minh AM BC + Chứng minh AM = MC + Chứng minh HAM ICM + Chứng minh HAM = ICM (c-g-c) => HM = MI (*) + Do HAM = ICM => HMA IMC => HMB (do AMB AMC 900 IMA + Lập luận được: HMI (**) 900 Từ (*) (**) => MHI vuông cân 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A 2) 0,25 1,5đ B E H D C + Chứng minh : AEC ABC BAE HAD DAC BAE EAH HAD DAC EAC HAC (Vì B phụ với BAH ) Bài 2,0 đ Suy tam giác AEC cân C =>AC = CE (*) + Tương tự chứng minh AB = BD (**) + Từ (*) (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC +) Trong ba số x, y, z có hai số dấu Giả sử x; y 0 => z = - x - y 0 +) Vì x 1 , y 1 , z 1 = > x y z x y z => x y z x y z => x y z z +) z 1 z 0 => x y z 2 KL: Vậy x y z 2 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25