PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn; Lớp: Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/5/2014 (Đề thi có 01 trang, gồm 06 câu) Số báo danh Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 16 x x 2x 3x x : A = x 2 x x x3 x x x 4 a) Rút gọn A b) Tìm x để A Câu 2: (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x - 7) - 36x b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n chia hết cho 210 với n Z Câu : (4 điểm) a) Giải phương trình sau : x x x 10 x 24 x x 18 b) Cho ba số x,y,z≠ thỏa mãn + + = 0.Tính giá trị biểu thức: P= xy yz zx x y z 2013 Câu : (4 điểm) Cho ABC đều,H trực tâm, đường cao AD M điểm bất kì cạnh BC Gọi E,F hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM; ID cắt EF K a)Chứng minh: DEIF hình thoi b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AN = CM.Gọi K giao điểm AN CM CMR: KD tia phân giác góc AKC Câu (3 điểm) a) Cho x > ;y> 0.CMR: + b) Cho số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= + + + Hết Cán coi thi khơng giải thich thêm HƯỚNG DẪN CHẤM Toán Câu ý a (2đ) Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x≠ 2; x≠ ;x ≠ 16 x x x x 2 3x x 2 x x A= : x 2 x 2 x x 2 x x x 2 = x x 2 x 2 x x x = x x 3x 3x = x 1 x 3x Vậy A = x Điểm 0.25đ 0.5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A 0 Kết hợp với đk x ≠ thì với < x < thì A Có thể xét dấu b (2đ) 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x x 36 x x x x 36 x x x x x . x x x x x x a (2đ) 3 0.5đ x 6 x x x x x x x 1 x x 1 6 x 1 x x 1 6 x x 1 x x x 1 x x x x 1 ( x 2)( x 3)( x 1)( x 2)( x 3) b (1đ) Ta có: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n Theo câu a ta có: B = n3 n 2 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 Do đó: B tích số nguyên liên tiếp B 2; B 3 ; B 5 ;B 7 Mà số 2;3;5;7 đôi nguyên tố B (2.3.5.7) hay B 210 Với n Z 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3 a (2đ) x 1 x 4 x 4 x 6 0,25đ x 3 x 1 1 x 1 x x x x x x 1 x 3 x 3 4 x 1 x 3 3 x 1 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 x x 0 x x 0 x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = 1 1 1 0 x y z x y z b (2đ) yz xz xy 3 x2 y z P 2013 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 1 1 1 z x y 1 1 1 x y xy x y z 1 1 x y xy z z 1 3 3 x y z xyz 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ 12013 1 Ta có: xy yz zx P z x y 2013 1 1 xyz 2 y z x xyz 2 xyz 2013 1 1 a (2đ) 0.5đ 2013 2013 EMA vng E có EI đường trung tuyến EI=IM=IA= AM IAE cân I = (Góc ngồi tam giác) Tương tự: = DI = AM 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ A N I E B Suy ra: CMTT ta có: F H K M C D 0.25đ EI = DI = 600 IED EI=ED=ID IDF ID=DF=IF DEIF hình thoi 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ Vì DEIF hình thoi K trung điểm EF ID Gọi N trung điểm AH b (2đ) Do ABC có H trực tâm H trọng tâm AN=NH=HD MH KH 0,25đ 0.25đ CM : NI //MH theo tiên đề Ơclit NI // KH hay: M,H,K thẳng hàng 0.5đ 0.5đ 0,25đ (2đ) A M l B K J D N C Kẻ DI AK ; DJ CK Ta có: SAND = AN.DI = SABCD (1) (do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N ) SCDM = CM.DJ = SABCD (2) (do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M ) Từ (1) (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK = KD tia phân giác 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ Ta có: a (1đ) + Vậy (*) (x+y) 4xy (vì x > ; y > 0) (x-y) (Đúng) + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Từ (*) 0,5đ Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: 1 1 2 ab a ab b ab a b 1 2ab a b a ab b ab 2ab 4 10 10 2 a b a b a b a b Dấu xảy a b Vậy Min M = 10 a b M b (2đ) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Chú ý:- HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Bài hình học mà học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm hinh đó