SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN (Dành cho lớp chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có trang, câu Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + parabol (P): y = - x2 a Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm (1; 2); b Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A(x 1; y1), B(x2; y2) Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25 Câu (2 điểm) 2y 3x x −1 − y +1 = a Giải hệ phương trình ; 2x 3y + = 10 x − y + b Tìm x, y thỏa mãn x – y + = x − y − x − Câu (2 điểm) a Cho tam giác ABC vuông A, điểm M di động cạnh BC, gọi D, E hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ b Với x số thực Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 3x + x2 + Câu (3 điểm) Cho đường trịn đường kính AB; C điểm đường tròn (C khác A, B) Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC, tia AI, CI cắt đường tròn D, E a Chứng minh tam giác EAI cân; b Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c Giả sử biết BI = a, AC = b Tính AB theo a, b Câu (1 điểm) Chứng minh số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013 ĐÁP ÁN Câu Ý Câu a điểm b Câu a Nội dung trình bày Điểm Đường thẳng (d) qua điểm (1; 2) = 2.1 – m + Vậy: m = Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt x2 + 2x – m+1=0 có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = m > Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + => y1 – y2 = 2(x1 – x2) Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = => – 4(- m + 1) = => m = 5/4 (t/m) x y Đặt u = x − ; v = y + Khi có hệ: x b 0,25 0,25 0,25 0,25 y 0,25 Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25 Ta có: x – y + = x − y − x − ⇔ x − y + − x − y + x − = 0,25 ( Suy ra: ) x − y −1 + x − = 0,25 ( 0,25 ) x − y −1 = x − = ⇔ x − y −1 = x − = Vì có: x = 2; y = 0,25 · · · Do: ADM = AEM = DAE = 900 nên ADME 0,25 hình chữ nhật 0,25 Nên : DE = AM DE nhỏ AM nhỏ a điểm 0,25 AM ⊥ BC Vì : M chân đường cao hạ từ A b 0,25 Từ: x − = ⇒ x = 2; y + = ⇒ y = −2 Hay: Câu 0,5 0,25 3u − 2v = 9u − 6v = u = ⇔ ⇔ 2u + 3v = 10 4u + 6v = 20 v = 2 điểm 0,5 A= 3x + ⇔ A(x + 1) = 3x + ⇔ Ax − 3x + A − = , (*) có nghiệm x x +1 Nếu A = từ (*) có : x = -4/3 Nếu A ≠ có : ∆ = − 4A(A − 4) = −4(A − 2) + 25 ≥ ⇔ 0,25 0,25 0,25 −1 ≤A≤ 2 0,25 Vậy : A = −1 −b x = = −3; max A = x = 2a 0,25 Vẽ hình để chứng minh a a Câu 0,25 Do AD, CE đường phân giác nên : 0,25 điểm » = DB, » » = EA » DC EB » + EA » = DB » + EB » Do đó: DC · · Suy ra: AIE = IAE Vậy: tam giác EAI cân E b · · Ta có: AIE (đối đỉnh) = CID 0,25 Do : ∆ICD : ∆IAE c 0,25 0,25 · · (cùng chắn cung DE) EAI = DCI Suy ra: 0,25 0,25 IC ID = ⇒ IC.IE = IA.ID IA IE 0,25 AC cắt BD F Do AD vừa đường phân giác vừa đường cao nên ∆ ABF cân Do AF = AB = x > 0,25 · · · Do: DIB = IBA + IAB = 450 nên ∆ BID vuông cân suy ra: DB = a/ => BF = a 0,25 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ACB BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - bx 0,25 - a2 = 2 Có: x = b − b + 4a (loại), 2 x = b + b + 4a Vậy AB = b + b + 4a 2 Câu điểm 0,25 Ta xét 2014 số khác có dạng 20142014…2014 = a n, có n 2014 n ∈ N* 0,25 Trong 2014 số có hai số chia cho 2013 có số dư Giả sử số , aj (j > i) Khi aj – M2013 20142014 2014 4 − 20142014 2014 4 4 = 20142014 2014 44 4 43 0000 0000 4 M2013 hay: 4j sô22014 i sô 2014 j−í sơ 2014 4i sơ Số có dạng 20142014…2014 104i 2013 Vì UCLN(10, 2013) = nên UCLN(10n, 2013) = với n ∈ N* Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25 0,25 0,25 ... M2013 hay: 4j sơ22014 i sơ 2014 j−í sơ 2014 4i sơ Số có dạng 20142014…2014 104 i 2013 Vì UCLN (10, 2013) = nên UCLN(10n, 2013) = với n ∈ N* Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25... x − = ⇒ x = 2; y + = ⇒ y = −2 Hay: Câu 0,5 0,25 3u − 2v = 9u − 6v = u = ⇔ ⇔ 2u + 3v = 10 4u + 6v = 20 v = 2 điểm 0,5 A= 3x + ⇔ A(x + 1) = 3x + ⇔ Ax − 3x + A − = , (*) có nghiệm x x