Đề thi và đáp án tuyển sinh lớp 10 THPT Lạng Sơn năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán (dành cho lớp chuyên)51211

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN (Dành cho lớp chun) Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có trang, câu Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + parabol (P): y = - x2 a Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm (1; 2); b Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25 Câu (2 điểm) 2y  3x  x 1  y 1   a Giải hệ phương trình  ; 2x 3y    10  x  y  b Tìm x, y thỏa mãn x – y + = x  y  x  Câu (2 điểm) a Cho tam giác ABC vuông A, điểm M di động cạnh BC, gọi D, E hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ 3x  b Với x số thực Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x 1 Câu (3 điểm) Cho đường trịn đường kính AB; C điểm đường tròn (C khác A, B) Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC, tia AI, CI cắt đường tròn D, E a Chứng minh tam giác EAI cân; b Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c Giả sử biết BI = a, AC = b Tính AB theo a, b Câu (1 điểm) Chứng minh số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013 - Hết DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN (Dành cho lớp chuyên) HDC CHÍNH THỨC Chú ý: Hướng dẫn chấm gồm có trang - Học sinh giải theo cách khác nhau, giám khảo cho điểm tối đa ứng với phần đó; - Đối với hình học: Nếu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai hẳn, khơng cho điểm; - Điểm thi khơng làm trịn, để lẻ đến 0,25 điểm Câu Nội dung trình bày Ý Câu a điểm b Câu a điểm Điểm Đường thẳng (d) qua điểm (1; 2) = 2.1 – m + 0,5 Vậy: m = 0,5 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt x2 + 2x – m + = có hai nghiệm phân biệt  '  m  0,25 Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 0,25 Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + => y1 – y2 = 2(x1 – x2) Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 0,25 Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = => – 4(- m + 1) = => m = 5/4 (t/m) 0,25 Đặt u  x y ; v x 1 y 1 0,25  3u  2v   9u  6v  u  Khi có hệ:    2u  3v  10 4u  6v  20 v  x y   x  2;   y  2 x 1 y 1 Từ: 0,25 0,25 Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25 Ta có: x – y + = x  y  x   x  y   x  y  x   0,25 b Hay:  Suy ra:  x  y 1  x   0,25  0,25  x  y 1  x    x  y 1  x   Vì có: x = 2; y = Câu 0,25 ฀ ฀ ฀ Do: ADM  AEM  DAE  900 nên ADME hình 0,25 chữ nhật Nên : DE = AM 0,25 DE nhỏ AM nhỏ AM  BC 0,25 A a D điểm B E M C Vì : M chân đường cao hạ từ A DeThiMau.vn 0,25 b 3x   A(x  1)  3x   Ax  3x  A   , (*) có nghiệm x x 1 Nếu A = từ (*) có : x = -4/3 A= Nếu A  có :    4A(A  4)  4(A  2)  25   Vậy : A  a 1 A 2 1 b x   3; max A  x  2a F Vẽ hình để chứng minh a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C Câu I điểm A O Do AD, CE đường phân giác nên : ฀  DB, ฀ EB ฀  EA ฀ DC D ฀  EA ฀  DB ฀  EB ฀ Do đó: DC ฀  IAE ฀ Suy ra: AIE B Vậy: tam giác EAI cân E 0,25 0,25 0,25 E b ฀  CID ฀ (đối đỉnh) Ta có: AIE 0,25 ฀  DCI ฀ EAI (cùng chắn cung DE) 0,25 Do : ICD ฀ IAE Suy ra: c 0,25 IC ID   IC.IE  IA.ID IA IE 0,25 AC cắt BD F Do AD vừa đường phân giác vừa đường cao nên  ABF cân Do AF = AB = x > ฀  IBA ฀  IAB ฀  450 nên  BID vuông cân Do: DIB 0,25 0,25 suy ra: DB = a/ => BF = a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ACB BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - bx - a2 = b  b  4a b  b  4a b  b  4a (loại), x = Vậy AB = 2 Ta xét 2014 số khác có dạng 20142014…2014 = an, có n 2014 n  N* Trong 2014 số có hai số chia cho 2013 có số dư Giả sử số , aj (j > i) Khi aj –  2013 hay: 20142014 2014   20142014 2014   20142014 2014    0000 0000   2013 Có: x = Câu điểm j sơ 2014 i sơ 2014 jí sơ 2014 Hết - DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 4i sơ Số có dạng 20142014…2014 104i  2013 Vì UCLN(10, 2013) = nên UCLN(10n, 2013) = với n  N* Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25 0,25 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN (Dành cho lớp chun) HDC CHÍNH THỨC Chú ý: Hướng dẫn chấm gồm có trang - Học sinh giải theo cách... N* Trong 2014 số có hai số chia cho 2013 có số dư Giả sử số , aj (j > i) Khi aj –  2013 hay: 20142 014 2014   20142 014 2014   20142 014 2014    0000 0000   2013 Có:... điểm j sơ 2014 i sơ 2014 jí sơ 2014 Hết - DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 4i sô Số có dạng 20142 014? ?2014 104 i  2013 Vì UCLN (10, 2013) = nên UCLN(10n, 2013) =