DE DA HSG Quan Binh Thanh 20142015

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG Ta coù:.. Vaäy Ta coù:.[r]

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUAÄN BÌNH THAÏNH – (2014-2015) Thời gian: 150 phút  x   x 3 x 2 9x  Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P       :  với x  0;x   x     x  x x  x    a) Ruùt goïn b) Tìm x  Z để x  P  Z Baøi 2: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình: a) x 1   x  b) x2  4x  2x   c)  6x  5 3x   x  1  35 Baøi 3: (4 ñieåm) a) Chứng minh: a2  b2  c2  d2   a  c   b  d  2 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: x2   x2  2x  b) Cho ba soá a, b, c döông thoûa a  b  c  Chứng minh:  1 a a b b c a c 1 b 1 c       62 2     a  b a c b c a b c   Baøi 4: (2 ñieåm) a) Cho a  b  c  Chứng minh: a3  b3  c3  3abc yz xz xy 1 b) Cho x,y,z  vaø    Tính:   x y z x y z Baøi 5: (3,5 ñieåm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) OA cắt BC H Vẽ đường kính BD, AD cắt (O) E (E khác D) và cắt BC I a) Chứng minh: AHE  ADO b) Chứng minh: HE  CE Bài 6: (1,5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC F và E Hai tia BE, CF cắt H Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC taïi P, Q a) Chứng minh: AHQ ∽ BIH b) Chứng minh: H là trung điểm đoạn thẳng PQ   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 ĐỀ THI HSG LỚP QUAÄN BÌNH THAÏNH – (2014-2015) HƯỚNG DẪN  x   x 3 x 2 9x  Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P       :  với x  0;x     2 x 3 x x x 6  x      a) Ruùt goïn  x   x 3 x 2 9x  P  1     :   x     x  x x  x     x   x   x  x 2 9x  P   :    x   x 2 x 3 x 2 x 3         x     x  2    :   :   x    x   x    x         P :  x 3     x 3 x 3   x 2 9  x  x 3     P  b) Tìm x  Z để         x  3  x 2   x 3    x  2 x 3 x 2 x  P Z Ñaët M  x  P TH1: x laø soá nguyeân Để M  Z thì    x 2    x   1;1; 3  x   Ö 3  vì x   2   x  1; 3; 5  x  1; 9; 25 x laø soá voâ tæ TH2: Khi đó: M  x  P  x  M   x 2  x 2 x 3 x 2 x 2  x 2 x 3  M x  2M  x  x    M   x  x  2M  x  2M   Q  voâ lí  M2  M  2  x  2M    x     x  Neáu M  2 thì Trang x Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG Thử lại, x = vào M  x  M  2  7   2 x 2 2  2014 -2015 , ta được:  2   7     2  Z  nhaän x = Vaäy x  1;7;9;25 thì x  P  Z Baø 2: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình: a) x 1   x  x 1   x    x 1   x   x  1    x   3 x   x   2 3  x    x    3 x   x.2  x    x  1  x 13  x     7  x  x  Vaäy S  1;7 b) x2  4x  2x   Ñieàu kieän: x   x2  4x  2x    x  2x    2x    2x      x  1   x     x  1  nhaän   2x    c)   2x    Vaäy S  1  6x  5 3x   x  1  35  6x  5 3x   x  1  35   6x    6x   6x    420 2     36x  60x  25 36x  60x  24  420 Đặt t  36x  60x  24 , phương trình trở thành:  t  1 t  420  t2  t  420   t2  21t  20t  210    t  21 t  20   TH1: t  21   36x2  60x  24  21   36x2  60x  45   12x2  20x   (voânghieäm) TH2: t  20   36x2  60x  24  20   36x2  60x    9x2  15x    5  21 x    5  21 5  21   ;  Vaäy S     6 5  21     x   Baøi 3: (4 ñieåm) a) Chứng minh: a2  b2  c2  d2   a  c   b  d  2 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa: x2   x2  2x  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG Ta coù:  a  c   b  d  a2  b2  c2  d2    a2  b2  c2  d2    a  c   b  d  2 2014 -2015 (1)  a2  b2  a2  b2 c2  d2  c2  d2  a2  2ac  c2  b2  2bd  d2 2   a2  b2 c2  d2  ac  bd TH1: ac  bd < thì (2) luôn đúng  (1) đúng TH2: ac  bd  , đó (2) trở thành: a2 c2  a2 d2  b2 c2  b2 d2  a2 c2  2adbc  b2d2  a2 d2  b2 c2  2adbc   ad  bc   bất đẳng thức đúng  Vaäy Ta coù:  a  c   b  d  a2  b2  c2  d2  x2   x2  2x   x2  12  Daáu ‘’=’’ xaûy ad = bc 1  x   22 Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:  2  x 1   1  x     x  12    x  12  2 2      x   x   1    2 1  x   2     1  x   2  10  x   x  2x   10 x2   x2  2x  laø 10 Daáu ‘’=’’ xaûy 2x  11  x   x  Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa b) Cho ba soá a, b, c döông thoûa a  b  c  Chứng minh:  1 a a b b c a c 1 b 1 c       62 2     a b a c b c a b c   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta có:  b c   b c bc           2 a  a a   a a  a c a c  a c            2 b  b b  b b    b  a     b  a    2 b  a    c c  c  c c   bc a b b c a c a c ba        6  2     b a c b c a a b c   Maø a + b + c = Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG Neân 2014 -2015  1 a a b b c a c 1 b 1 c       62 2     a  b a c b c a b c   Baøi 4: (2 ñieåm) a) Cho a  b  c  Chứng minh: a3  b3  c3  3abc Ta coù: a  b  c   a  b  c   a  b   c  a3  b3  3ab  a  b  c3 3  a3  b3  3ab c  c3  a3  b3  c3  3abc b) Cho x,y,z  vaø yz xz xy 1    Tính:   x y z x y z  3      yz xz xy xyz xyz xyz       xyz          x2 y z2 x y z  x   y   z   3 1 1 1  1 1 1 Áp dụng câu a) ta có:              với    x y z x y z x y z 1 1 yz xz xy Do đó:    xyz.3      x y z x y z Baøi 5: (3,5 ñieåm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) OA cắt BC H Vẽ đường kính BD, AD cắt (O) E (E khác D) và cắt BC I a) Chứng minh: AHE  ADO  AH AE AB  AH.AO  HTL Ta coù :   AH.AO  AE.AD   AD AO AB  AE.AD HTL     HAE  DAO  goùc chung   Xeùt AHE vaø ADO, ta coù:  AH AE    cmt  AD AO B O  AHE ∽ ADO  c  g  c  AHE  ADO A H E I D C b) Chứng minh: HE  CE CID  EIB  góc đối đỉnh   ICD ∽ IEB  g  g  Xeùt ICD vaø IEB, ta coù:  ICD  IEB  90   IC ID IC IE   tsñd     IE IB ID IB  Trang  Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 CIE  BID  góc đối đỉnh  Xeùt ICE vaø IDB, ta coù:  IC IE  ICE ∽ IDB  g  g   cmt     ID IB  ICE = IDB  HCE = ADO maø AHE  ADO (cm caâu a) neân AHE  HCE Maët khaùc: AHE  CHE  900   neân HCE  CHE  900 ,  HEC  90  HE  CE Bài 6: (1,5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC F và E Hai tia BE, CF cắt H Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC taïi P, Q b) Chứng minh: AHQ ∽ BIH EHQ  QHI  IHB  180  Ta coù:   EHQ  IHB  90 0  QHI  90  PQ  HI taïi H maø EHQ  EQH  900  EHQ vuoâng taïi E neân EQH  BHI  AQH  BHI Xeùt AHQ vaø BIH , ta coù: AQH  BHI  cmt   AHQ ∽ BIH  g  g   HAQ  HBI cuøng phuï ACB    c) Chứng minh: H là trung điểm đoạn thẳng PQ Ta coù: AHP  AHQ  180  goùc keà buø    HIC  HIB  180  goùc keà buø   AHP  HIC  AHQ  HIB AHQ ∽ BIH  Xeùt AHP vaø CIH , ta coù: AHP  HIC cmt   AHP ∽ CIH  g  g   HAP  HCI cuøng phuï ABC   HP AH   AHP ∽ CIH  HP HQ B  CI IH    Ta coù:  HQ AH CI BI  AHQ ∽ BIH    BI IH maø CI = BI neân HP = HQ Suy H laø trung ñieåm cuûa PQ (vì P, H, Q thaúng haøng)   A E F Q H P I   HEÁT   Trang Học Sinh Giỏi Lớp – Quận BÌNH THẠNH (14-15) C