Phòng GD&ĐT huyệnYênThành Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. (2điểm) Cho biểu thức P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x x x x + ữ ữ ữ + + a, Rút gọn P. b, Chứng minh rằng, nếu 0 < x < 1 thì P > 0 c, Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 2. (2điểm) Cho phơng trình 3 1 4 x x x a+ + + + = (a là tham số) a, Tìm điều kiện của x để phơng trình có nghĩa. b, Với giá trị nào của a thì phơng trình trên có nghiệm? Tính x theo a. Bài 3. (2điểm) a, Với hai bộ số (a 1 , a 2 ) và (b 1 , b 2 ) bất kỳ. Chứng minh rằng (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a 1 2 + a 2 2 )(b 1 2 + b 2 2 ). b, Cho x, y 0 và x 2 + y 2 = 1. Chứng minh rằng 1 2 x 3 + y 3 1 Bài 4. (2,5điểm) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Từ A và B ta vẽ hai dây AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M (C, D là các tiếp điểm). Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC. a, Chứng minh PN vuông góc với AB. b, Chứng minh P, M, N thẳng hàng. Câu 5. (1,5 điểm) Tìm tất cả các hàm số bậc nhất f(x) và hàm số g(x) thoả mãn các điều kiện: ( ) [ ] xxgf = và ( ) ( ) xxgxf 2=+ . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010 Hớng dẫn chấm toán 9- Câu Nội dung Điểm 1 (2đ) a, Rút gọn P P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x x x x + ữ ữ ữ + + Không có ĐK 0.25 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 . 2 1 1 1 x x x x x x + ữ ữ + ữ + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x + + + = ( ) 1x x b, Với 0 < x < 1 thì 0x > và 1x < => 1 0x > Do đó P = ( ) 1x x > 0 c, Ta có P = 2 1 1 1 2 4 4 x x x + = + ữ Nên P max = 1 1 4 2 x = hay 1 4 x = 1 0.25 0.25 0.25 0.25 2 (2đ) a, Phơng trình có nghĩa khi và chỉ khi 2 3 3 0 4 4 3 4 3 1 3 0 1 0 4 2 4 x x x x x x + + + + + + ữ ữ b, 3 1 4 x x x a+ + + + = 2 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 1 4 2 2 x x a x x a x a + + + = ữ ữ + + + = + + = + ữ ữ Do 3 1 1 3 1 1 1 ; 4 2 2 4 2 4 4 x x a a+ + + Khi đó: 0.5 0.25 0.25 0.25 2 2 3 1 1 4 2 2 3 1 1 4 2 2 3 1 1 4 2 2 1 1 3 2 2 4 2 2(2 1) 2 x a x a x a x a a a x + + = + ữ ữ + + = + + = + = + ữ ữ + = 0.25 0.25 0.25 3 (2đ) a, Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki b, Vì hai số x, y không âm và thoả mãn x 2 + y 2 = 1 nên x 1 và y 1 Vì vậy x 3 x 2 và y 3 y 2 Suy ra x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 1 áp dung BĐT Bunhiacôpxki, ta đợc x + y = 1.x + 1.y 2 2 2 2 (1 1 )( ) 2x y + + = (x + y)(x 3 + y 3 ) = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1x y x y x y + + + = ữ Suy ra x 3 + y 3 1 1 2 x y + 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 3 (2,5đ) a, Trong tam giác APB có: AC BP; BD AP N là trực tâm của tam giác APB PN AB (ĐPCM) b, Gọi I là trung điểm của PN. Trong tam giác vuông PCN thì CI là trung tuyến CI = IP = IN IPC cân IPC = ICP Mặt khác ACO cân CAO = ACO Hơn nữa CAB = HBP (cùng phụ với APB) PCI = ACO. Nhng MCP = ACO (cùng phụ với MCN) I MC 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 N O P M y x A B C D H I Chứng minh tơng tự I MP Vậy I MC MP M I hay P, M, N thẳng hàng. 0.25 0.25 4 (1.5đ) Giả sử f(x) = ax +b (a 0 ) Vì ( ) [ ] xxgf = nên a.g(x) + b = x. Suy ra g(x) = a b x a 1 . Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) + +=++=+= a b bx a a a b x a baxxgxfx 11 2 . Do đó 0;2 1 ==+ a b b a a Suy ra ( ) 01,012 2 ==+ abaa Vậy a = 1, b tuỳ ý. Hai hàm số cần tìm là f(x) = x + b ; g(x) = x- b, b R. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa . Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 20 09 - 2010 Môn: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. (2điểm) Cho biểu thức P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 20 09 - 2010 Hớng dẫn chấm toán 9- Câu Nội dung Điểm 1 (2đ) a, Rút gọn P P = 2 2 2 1 . 1 2 1 2 x x x x x x +