[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo HảI dơng
đề thức
K× thi chän häc sinh giỏi tỉnh Lớp thcs năm học 2007 2008
Môn: Toán
Thi gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29/3/2008
§Ị thi gồm có 01 trang Câu 1(2 điểm)
a) Chøng minh:
2
2 2
1 1 1
+ + = + - a 0;b 0;a + b
a b (a + b) a b a + b
b) T×m sè nguyên dơng k thỏa mÃn:
2
2 2 2
1 1 1 2009 -1
1+ + + 1+ + + + + + =
1 2 k (k +1) 2009
Câu 2(2 điểm)
Tìm tất hàm số f(x) thỏa mÃn:
f(x) + af(1 - x) = (a - 1)x víi giá trị x (a tham số) Câu 3(2 ®iĨm)
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
x4 + (3m – 1)x3 – (3m – 2)x2 + (3m – 1)x + = (m tham
số)
Câu 4(3 điểm)
Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) H trực tâm ABC Gọi M điểm cung BC không chứa A (M khác B, C) Gọi N, P lần lợt điểm đối xứng M qua đờng thẳng AB, AC a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp
b) Chứng minh điểm N, H, P thẳng hàng c) Tìm vị trí M để đoạn NP lớn Câu 5(1 điểm)
Cho a, b, c, d, e thay đổi thuộc 1;1 đồng thời thỏa mãn
a + b + c+ d + e = T×m giá trị lớn A = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ………… HÕt…………
Hä tên thí sinh:Số báo danh: Chữ ký giám thị 1:Chữ ký giám thị
Đáp án
Câu Đáp án Điểm
Câu a)
2
2 2
1 1 1
a b (a b) a b ab (a b)
(2)2 2
a b 1 1
ab ab (a b) a b a b
0,5
b)Theo c©u a) ta cã
2
1 1
1
n (n 1) n n
(n N*)
0,25
Yêu cầu toán trở thành tìm k: (1+1
1
) + (
1 1 1
1 ) (1 ) (1 )
2 3 k k
= 2009 2009 0,25
Hay: (k+1) -
2
1 2009
k 2009
= 2009 2009 0,25 (k 2008)
2009(k 1) = k2008
0,25
C©u
Vì: f(x) + af(1 – x) = (a – 1)x với x (1) Do thay x – x ta có
f(1 – x) + af(x) = (a – 1)(1 – x) với x (2)
0,25
Nhân hai vế (2) với a trừ (1) ta đợc (1 – a2)f(x) = (a – 1)x – a(a – 1)(1 – x)
(1 – a2)f(x) = a(1 – a) + (a2 – 1)x x(3)
0,25
+)NÕu a 1 th× f(x) =
a (a 1)x a
=
a x a (*)
Thö l¹i:
Tõ (*) suy f(1 – x) =
a
(1 x) a
Khi ta có
f(x) + af(1 – x) = a
x
a + a( a
(1 x)
a ) =
a a
x(a 1) a (a 1)x x
a (tho¶ m·n (1))
0,25
0,25
+)NÕu a = -1
(3) cã d¹ng: 0.f(x) = -2(x) (vô lí) Suy không tồn f(x)
0,25 +)NÕu a =
(1) cã d¹ng: f(x) + f(1 – x) = (x) (1’)
f(x) = - f(1 – x) (x)
f(x) =
1
2 f(x)-f(1-x) (x)
0,25
Suy f (x) cã d¹ng: f(x) =
g(x) g(1 x)
2 (x) (**)
(3)P
N
I H
K
O B
A
C
M
f (x) + f(1-x) =
1
g(x) g(1 x) g(1 x) g(x)
2 (x)
Tháa m·n (1’)
0,25
KÕt luËn:
* a 1th× f(x) =
a
x ( x) a
* a = th× f(x) =
g(x) g(1 x)
2
g(x) hàm số xác định với x * a = -1 khơng tồn f(x)
0,25
C©u
Ta thấy x = không nghiệm phơng trình Với x chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc
x2 +
1
(3m 1)(x ) (3m 2)
x x (1)
0,25 0,25
Đặt
1
x x
= t
Ta cã PT: x2 – tx + = 0(*)
PT(*) cã nghiÖm ∆ t2 0 t
0,25
PT (1) trë thµnh: t2 + (3m – 1)t – 3m= (2)
t1 = ; t2 = -3m
0,25 0,25 PT (1) cã nghiÖm PT(2) cã nghiÖm t 2 0,25 Ta thÊy t = kh«ng tháa m·n
Do để PT(1) có nghiệm
2 m
3
3m
2 m
3
§S: m
2
; m
3
0,25
0,25
(4)
a) Gäi giao ®iĨm cđa CH víi AB lµ I AH víi BC lµ K
ta cã tø gi¸c BIHK néi tiÕp 0,25
IBK KHI 1800
mµ KHI AHC IBK AHC 1800 (1)
l¹i cã IBK AMC (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)
AMCAPC (t/c đối xứng) IBKAPC(2)
tõ (1), (2) APC AHC 1800 tø gi¸c AHCP néi tiÕp
0,25 0,25 0,25 b), Tø gi¸c AHCP néi tiÕp AHPACP = ACM
l¹i cã ACM ABM 1800 AHP ABM 1800 mµ
ABM ABN AHP ABN 1800 (3)
0,25 0,25 Chứng minh tơng tự câu a) ta có tứ gi¸c AHBN néi tiÕp
ABN AHN (4)
tõ (3), (4) AHP AHN 1800 N, H, P thẳng hàng
0,25 0,25
c) MAN 2BAM MAP; 2MAC
NAP2(BAM MAC ) 2 BAC(<1800) không đổi
0,25
Cã AN=AM=AP , cÇn chøng minh NP = 2.AP.sinBAC
NP lín nhÊt AP lín nhÊt mµ AP = AM
AM lớn AM đờng kính đờng trịn (O)
Vậy NP lớn AM đờng kính đờng trịn
0,25 0,25 0,25
Câu 5 Điểm
* Nếu c¶ sè b»ng A =
*Nếu có số khác số âm số dơng (Vì số có tổng 0) Giả sử a > ; e < số b, c, d số cho khi
nhân với a số không âm (1) nhân với e số không âm (2) 0,25 Nếu có (1) , không tính tổng quát giả sử ab0 ac
(Nếu có (2) làm tơng tự)
2
a 1;1 a a a ( a 1)
; T¬ng tù ta cã:
A a b c d e a b c d e
(V× ab, ac0) = de d e 2( d e )4
(5)DÊu “=”x¶y
2 de
e d e 0;a ab 0, ac a b c d e a a ; b b ;
e d
b 1, c a 1,
b 0, c
0,25`
KL: Giá trị lớn A b»ng sè cã hai sè b»ng -1;
hai sè b»ng vµ mét sè b»ng 0,25
Sở giáo dục đào tạo HảI dơng
đề dự bị
K× thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lớp thcs năm học 2007 2008
Môn: Toán
Thi gian:150 phỳt (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29/3/2008
Đề thi gồm có 01 trang Câu 1(2 điểm)
Cho
3
0
x = + +
a) Tìm đa thức bậc với hệ số nguyên, nhận x0 nghiệm.
b) Tính giá trị biểu thức S =
6
0 1 +
x
Câu (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc:
2 2
P x2y 3 3xmy 3 m tham s
Câu (2 điểm)
(6)2
x 5x3m0 vµ x23xm0
b) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt:
4 2
x 8x (4m 15)x 14mx3m
Câu 4(3 điểm)
Cho hai ng trũn (O1;R1), (O2;R2) cắt hai điểm phân biệt A, B
Vẽ tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng khơng chứa điểm A, có bờ đờng thẳng O1O2( C(O )1 ;D(O )2 ) Dựng hình bình hành ACED
a) Chứng minh điểm B,C,E,D nằm đờng tròn b) Chứng minh điểm A,B,E thẳng hàng
c) Hãy so sánh độ dài BE v di R1+R2
Câu 5(1 điểm)
Cho a, b hai số dơng thay đổi thỏa mãn a2 + b2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña A =
2
a b
b a
HÕt
……
Họ tên thí sinh:.Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
ỏp ỏn d b
Câu Đáp án Đi
ểm Câu a)từ giả thiết suy
x0 – =
3
3 3 3
0
2 4 (x 1) 2 8( 2 4)
(x0 – 1)3 = +6(x0 – 1)
x03 -3x02 – 3x0 - = (1)
§S: x3 – 3x2 -3x - 1
b) Chia hai vế (1) cho x03 ta đợc
0 0
3
1
x x x
3
0 0
1 3
1
x x x
3
0
1
1
x
S=
6
0
1
1
x
C©u 2
NhËn thÊy P 0( x; y; m)
(7)2 (1)
3 (2)
x y x my
Tõ (1) vµ (2) cã (m – 6)y = -6 (3) *NÕu m 6
HÖ cã nghiÖm nhÊt (x =
3 6
;
6
m y
m m
)
*NÕu m =
Ta cã P = (x + 2y 3)2 + (3x + 3)2
Đặt x +2y – = t
Ta cã P = t2 + (3t + 6)2 = 10(t +
9 5)2 +
18 18 5
DÊu “=” x¶y t =
9
(x =
6
5 y;y R)
KL:
m MinP = (x =
3 6
;
6
m y
m m
)
m = MinP =
18
5 (x =
2
5 y;y R)
C©u 3
a) Gi¶ sư hai PT cã nghiƯm chung x0
Khi ta có: x02 +3x0+ m = (3)
x02+ 5x0 + 3m = (4)
Tõ (3), (4) suy x0 = -m
Thay vào (3) ta đợc: m2 – 2m = m = ; m= 2
*NÕu m =
Hai PT cho trở thành
x2 + 3x = PT cã hai nghiÖm x = 0; x = -3
x2 + 5x = PT cã hai nghiÖm x = ; x = -5
Hai PT cã nghiƯm chung lµ x = *NÕu m = hai PT trë thµnh
x2 + 3x + = PT cã hai nghiÖm x = -1; x = -2
x2 + 5x + = PT cã hai nghiÖm x = -2 ; x =- 3
Hai PT cã nghiÖm chung x = -2 KL: m = 0; m =
b) PT tơng đơng với
2
3m 2(2x 7x)m x 8x 15x
'm x (x 2)2
2
2 x 5x
m x 3x; m
3
x2 + 3x + m = (1) ; x2 + 5x + 3m = (2)
2
x + 3x + m = (2) x + 5x + 3m = (3)
PT cho có nghiệm phân biệt PT(1) PT(2) phơng trình có hai nghiệm phân biệt đồng thời chúng khơng có nghiệm chung
Theo c©u a) ta thÊy hai PT (1), (2) kh«ng cã nghiƯm chung m 0, m 2
(8)K
I H
E B A
D O1
C
O1
3
0
25
0 2
12
2 9
0
0 4
2
0 25
12
m
m m m
m
m m
m m
C©u 4
a)
;
DAB BDC BAC BCD
DEC DAC DAB BAC BDC BCD
1800
DEC DBC BDC BCD DBC
Suy tø gi¸c BCED néi tiÕp b)
Tø gi¸c BCED néi tiÕp
2
CBE CDE DCA sd ABC
Mµ
1( ) 1800
2
ABC sd AC ABC CBE sd ABC AC
Hay điểm A, B, E thẳng hàng
c) Ta có O1O2 đờng trung trực AB
Gọi H giao điểm O1O2 AB suy HA = HB
Gọi I giao điểm cđa BE vµ CD
2 2
BE AE AB AI AH IH
(1)
Gọi K trung điểm cña O1O2
Chøng minh IK =
1
2(R2 + R2)
(9)Tõ (1) vµ (2) suy BE R1 + R2 (dÊu b»ng x¶y
R1 = R2 )
C©u5 Ta cã
2 2 2
2 1 1 1
2(a b ) (a b )( ) a b a b a ( ) b ( )
b a a b b a a b b a a b =
2 2
1
( )(a b ) (a b ).a b
b a ab
(Dấu “=” xảy a = b) Khi 2A (a2 + b2)(
1 1 1
)
a b a b ab
DÊu “=” x¶y 2
0 2
2
a b
a b a b
Ta cã = a2 + b2
1
2ab 2P 2 P
ab
DÊu “=”x¶y a = b VËy Min A =
2
2
a b