Hsg thcs cảnh hóa 2017 2018

PHỊNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học 2017-2018 Thời gian:150 phút(không kể thời gian giao đề) Bài (1,0 điểm) 5 27   13  8 a Tính hợp lý biểu thức sau: b Tìm x biết: 32: 2x  = 21 22 Bài (1,0 điểm) Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z và 3x-7y+5z=30 Bài (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K là trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA a) Chứng minh: CD // AB b) Gọi H là trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c) Chứng minh:  HMN cân Bài 4: (4,5 điểm) a) Chứng minh số có dạng abcabc chia hết cho 11 b) Chứng minh : n 2 n 2 n n Với số nguyên dương n :    chia hết cho 10 c) T×m sè nguyên tố cho tích chúng gấp lần tỉng cđa chóng Bài (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x  x Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA Bài Bài (1,0đ) ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2017 -2018 Mơn:Tốn Lớp: Nội dung 5 1 35 a ) 27   13   (27  13 ) 14  8 4 b Nếu x Ta có: (vì x = ½ 2x – = 0) 21 22 : (2x – 1) = 21 2x – = : 22 = Nếu x (1,0đ ) Bài 7 22 11  x 21 = 14 :2= > 0,5đ Ta có: : (1 - 2x) = Vậy x = Bài2 Điểm 1,0đ 21 22 x = x =  : (-2) =   0,5đ x y x y    (1) 21 14 x z x z 5x 7z     (2) 21 15 x y z   Từ (1) và (2)  21 14 15 3x 7y 5z 3x  7y  5z 30       63 98 75 63  98  75 40 x 63    x 21 4 z 45 y 21   z   y ; 15 4 14 63 21 45 Vậy x  , y  ,z  4 Ta có 2x 3y  0.5đ 0.5đ D B (2,5đ) K A 0.25đ N M H C a/ Chứng minh CD song song với AB Xét tam giác: ABK và DCK có: BK = CK (gt) (đối đỉnh) ˆ A CK ˆD BK AK = DK (gt) 0,5đ  ABK = DCK (c-g-c) ; mà ˆ B 90  AC ˆ D AC ˆ B  BC ˆ D 90 ˆ C  AC AB  ˆ K DB ˆK DC  ˆ D 90 BA ˆC AC AB // CD (AB  AC và CD  AC) 0,25đ b Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét tam giác vng: ABH và CDH có: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) 0,5đ  ABH = CDH (c-g-c) c Chứng minh:  HMN cân Xét tam giác vng: ABC và CDA có: ˆ C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c) AB = CD; ACˆD 90 BA  0,5đ ˆ B CA ˆD AC mà: AH = CH (gt) và ˆ A  NH ˆC MH (vì ABH = CDH)  AMH = CNH (g-c-g)  MH = NH Vậy HMN cân H Bài (4,5đ) a) Ta có: abcabc 0,5đ = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) = 11.91( a.10 + b.10 + c) Vậy 11 abcabc 11 b 3n 2  2n 2  3n  2n = 3n 2  3n  2n 2  2n = 3n (32  1)  2n (2  1) = 3n 10  2n 5 3n 10  2n 10 = 10( 3n -2n-1) n 2 n2 n n Vậy     10 với n là số nguyờn dng c Gọi số nguyên tố phải tìm lµ; a, b, c ta cã: a.b.c = 5(a+b+c) => abc Vì a, b, c có vai trò bình đẳng Giả sử: a 5, a P => a = 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Khi ®ã: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = b(c-1) – (c-1) = (c-1)(b-1) = Do vËy: b-1 = => b = Vµ c-1 = vµ c=7 b-1 = => b = (loại c =  P) vµ c-1 = vµ c=4 Vai trò a, b, c, bình đẳng Vậy số (a ;b ;c) cần tìm (2 ;5 ;7) 0,25 0,25đ 0,25đ Bài (1đ) Với x Với Vì 2 x  0  x   x  thay vào B, ta tính 2 2 x  x  0  x   x  thay vào B, ta tính B = x  3 3 x nên 2x  Suy Từ (1) và (2) suy B  2x     6 Vậy B < Do đó: max B = B= x (1) 0,25đ (2) 0.25đ 0,5đ - HẾT -