Hsg thcs nguyễn chích 2017 2018 (2)

PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Gồm có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức   1 7   A =   3,5  :     +7,5   2.84.27  4.69 b) Rút gọn biểu thức B= 7  40.94 2 c) Tìm đa thức M biết : M  x  xy  6 x  xy  y Tính giá trị M 2018 x, y thỏa mãn  x     y   Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết 2020 0 15 x  x 12 1 1 49      b) 1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x 1) 99 a)  c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210;12 x y z t    y  z t z t  x t  x  y x  y  z x  y y  z z t tx    r»ng biÓu thøc P  z t tx x y yz b) Cho chøng minh 3  cã giá trị nguyên c) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a  b 2 c  8d Chứng minh a + b + c + d chia hết cho Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE = 50o ; MEB = 25o Tính HEM BME Câu (1,0 điểm): Cho B = 15 24 2499      Chứng tỏ B số nguyên 16 25 2500 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn - Lớp Câu Nội dung 1   7   25 15  15   +7,5 =    :     + 7   2   35  85 15 35  42 15  49 15 157 :   = = = + = 42 85 17 34 2     a) A =   3,5  :   4 2. 23   33   22.29.39 213.36  211.39 2.84.27  4.69 b) B = 7 = =  27.40.94 27.27.37  27.23.5  32  214.37  210.38.5 = (4.0đ) 211.36. 22  33    3.5  10 = 0.5 1.0 0.5 c) M   x  xy  6 x  xy  y  M 6 x  xy  y   x  xy   M 6 x  xy  y  x  xy x  11xy  y  x   2018 0 2018 2020 Ta cã :    x     y  4 0 2020 0  y   Mµ  x   2018   y   2020 0   x   2018   y   2020 0  x   2018 0    2020 0  y   5   x  Thay vào ta   y    4 2  3   M =   + 11 .   2 25 110 16  1159   4 =   = 36   15 6  x x   x  x 12 5 13 49 13 130 130 , Vậy x   (  )x    x x 14 20 14 343 343 1 1 49      b) 1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x 1) 99 a)  (4.0đ) Điểm 0.5 1 1 1 1  49         2 3 5 2x  2x   99 1  49 98 1  1       1  2x   99 2x  99 2x 1 99  2x + = 99  2x = 98  x = 49 Vậy x = 49 c) 2xy – x – y =  4xy - 2x - 2y =  2x(2y - 1) - 2y +1 =  (2y -1) ( 2x -1) =    1;3 ;  3;1 ;   2;0  ;  0;    Vậy ( x,y) =   1;3 ;  3;1 ;   2;0  ;  0;    0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5đ 0.5đ 0.25 0.75 0.5 0.75 HS xét trường hợp tìm ( x,y) = 0.75 a) Do tổng, hiệu tích x y tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12 Ta có ( x + y).35 = ( x - y) 210 = 12 xy 0,5 x y x y x y x y 2x 2y      210 35 210 35 245 175 Từ ( x + y).35 = ( x - y) 210  0,5 x y 7y thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12 xy ta   x  y - 5y =  y(y – 5) =  y   0;5 mà y > nên y = Với y = x =  b) (6.0đ) 0,5 0,5 y  z t z t  x t  x  y x  y  z    x y z t y  z t z t  x txy xyz 1  1  1  1  x y z t x  y  z t z t  x  y t  x  y  z x  y  z t     x y z t x y z t     y  z t z t  x t  x  y x  y  z 0,75 0,5 Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t  x = y = z = t  P = Vậy P nguyên  0,75  3 3 3 3 3 c) Ta có a  b 2 c  8d  a  b  c  d 3c  15d Mà 3c  15d 3 nên a  b  c  d 3 (1) Dư phép chia a cho  0; 1 suy dư phép chia a3 cho  0; 1 hay a a3  mod3 0.75 0.5 3 Tương tự ta có b b  mod3 ; c c  mod3 ; d d  mod3  a  b  c  d a  b3  c  d  mod3 (2) 0.75 Từ (1) (2) suy a + b + c + d chia hết cho Vẽ hình ; ghi GT-KL A 0,5 I (5,0đ) M B C H K E a) X a) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB  (đối đỉnh ) BM = MC (gt )  AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB ( Hai cạnh tương ứng)   Vì AMC = EMB  MAC = MEB nà góc vị trí so le Suy AC // BE b) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) 1,0 0,5   = MEK ( AMC EMB ) MAI AI = EK (gt )  Nên AMI EMK ( c.g.c )  AMI = EMK o  Mà AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) o    EMK + IME = 180  Ba điểm I;M;K thẳng hàng o 1,0 0,5 o  = 90 ) có HBE  c) Trong tam giác vng BHE ( H = 50 o o o o      = 90 - HBE = 90 - 50 = 40  HEM = HEB - MEB = 40o - 25o =15o  HBE  góc ngồi đỉnh M HEM BME    = HEM + MHE =15o + 90o = 105o  BME 1,0 0,5 15 24 2499      16 25 2500 15 24 2499   1     B= 49         16 25 2500     1 1 B= 49 -        = 49 - M 50  2   1 1 Trong M =        50  2 b) Ta có: B = (1,0đ) Áp dụng tính chất 0.5 Ta có: M< =1- 0.5 M> >0 Từ suy 0< M