PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Gồm có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức 1 7 A = 3,5 : +7,5 2.84.27 4.69 b) Rút gọn biểu thức B= 7 40.94 2 c) Tìm đa thức M biết : M x xy 6 x xy y Tính giá trị M 2018 x, y thỏa mãn x y Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết 2020 0 15 x x 12 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2 x 1)(2 x 1) 99 a) c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x y biết tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210;12 x y z t y z t z t x t x y x y z x y y z z t tx r»ng biÓu thøc P z t tx x y yz b) Cho chøng minh 3 cã giá trị nguyên c) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a b 2 c 8d Chứng minh a + b + c + d chia hết cho Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE = 50o ; MEB = 25o Tính HEM BME Câu (1,0 điểm): Cho B = 15 24 2499 Chứng tỏ B số nguyên 16 25 2500 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn - Lớp Câu Nội dung 1 7 25 15 15 +7,5 = : + 7 2 35 85 15 35 42 15 49 15 157 : = = = + = 42 85 17 34 2 a) A = 3,5 : 4 2. 23 33 22.29.39 213.36 211.39 2.84.27 4.69 b) B = 7 = = 27.40.94 27.27.37 27.23.5 32 214.37 210.38.5 = (4.0đ) 211.36. 22 33 3.5 10 = 0.5 1.0 0.5 c) M x xy 6 x xy y M 6 x xy y x xy M 6 x xy y x xy x 11xy y x 2018 0 2018 2020 Ta cã : x y 4 0 2020 0 y Mµ x 2018 y 2020 0 x 2018 y 2020 0 x 2018 0 2020 0 y 5 x Thay vào ta y 4 2 3 M = + 11 . 2 25 110 16 1159 4 = = 36 15 6 x x x x 12 5 13 49 13 130 130 , Vậy x ( )x x x 14 20 14 343 343 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2 x 1)(2 x 1) 99 a) (4.0đ) Điểm 0.5 1 1 1 1 49 2 3 5 2x 2x 99 1 49 98 1 1 1 2x 99 2x 99 2x 1 99 2x + = 99 2x = 98 x = 49 Vậy x = 49 c) 2xy – x – y = 4xy - 2x - 2y = 2x(2y - 1) - 2y +1 = (2y -1) ( 2x -1) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5đ 0.5đ 0.25 0.75 0.5 0.75 HS xét trường hợp tìm ( x,y) = 0.75 a) Do tổng, hiệu tích x y tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12 Ta có ( x + y).35 = ( x - y) 210 = 12 xy 0,5 x y x y x y x y 2x 2y 210 35 210 35 245 175 Từ ( x + y).35 = ( x - y) 210 0,5 x y 7y thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12 xy ta x y - 5y = y(y – 5) = y 0;5 mà y > nên y = Với y = x = b) (6.0đ) 0,5 0,5 y z t z t x t x y x y z x y z t y z t z t x txy xyz 1 1 1 1 x y z t x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t x y z t y z t z t x t x y x y z 0,75 0,5 Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t x = y = z = t P = Vậy P nguyên 0,75 3 3 3 3 3 c) Ta có a b 2 c 8d a b c d 3c 15d Mà 3c 15d 3 nên a b c d 3 (1) Dư phép chia a cho 0; 1 suy dư phép chia a3 cho 0; 1 hay a a3 mod3 0.75 0.5 3 Tương tự ta có b b mod3 ; c c mod3 ; d d mod3 a b c d a b3 c d mod3 (2) 0.75 Từ (1) (2) suy a + b + c + d chia hết cho Vẽ hình ; ghi GT-KL A 0,5 I (5,0đ) M B C H K E a) X a) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) Vì AMC = EMB MAC = MEB nà góc vị trí so le Suy AC // BE b) Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) 1,0 0,5 = MEK ( AMC EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) AMI = EMK o Mà AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) o EMK + IME = 180 Ba điểm I;M;K thẳng hàng o 1,0 0,5 o = 90 ) có HBE c) Trong tam giác vng BHE ( H = 50 o o o o = 90 - HBE = 90 - 50 = 40 HEM = HEB - MEB = 40o - 25o =15o HBE góc ngồi đỉnh M HEM BME = HEM + MHE =15o + 90o = 105o BME 1,0 0,5 15 24 2499 16 25 2500 15 24 2499 1 B= 49 16 25 2500 1 1 B= 49 - = 49 - M 50 2 1 1 Trong M = 50 2 b) Ta có: B = (1,0đ) Áp dụng tính chất 0.5 Ta có: M< =1- 0.5 M> >0 Từ suy 0< M