PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP HUYỆN VĨNH LỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 11/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) 1 a) Tính giá trị biểu thức A 3,5 : 7,5 7 b) Rút gọn biểu thức: B 2.84.272 4.69 27.67 27.40.94 2 c) Tìm đa thức M biết : M x xy 6 x xy y Tính giá trị M x, y thỏa mãn x 2012 y 4 2014 0 Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x : 1 x b) Tìm x, y, z biết: x 3 y; y 5 z x y z 11 c) Tìm x, biết : x n 1 x n 11 (Với n số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm độ dài cạnh tam giác có chu vi 13cm Biết độ dài đường cao tương ứng 2cm, 3cm, 4cm b) Tìm x, y nguyên biết : xy – x – y 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 60 ) Hai phân giác AD CE ABC cắt I, từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AI H, cắt AB P, cắt AC K a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK 6cm, AH 4cm c) Chứng minh IDE cân Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh 10 số vô tỉ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN : TỐN Nội dung Câu a: (1 điểm) 1 7 25 22 15 + A = 3,5 : +7,5 = : = 7 3 2 15 35 43 245 15 490 645 155 : + = + = + = 42 43 86 86 86 Câu b: ( điểm) B= 8 27 6 213 36 211 39 = 6 40 9 214 37 210 38 5 211 36 2 33 = 10 3 5 = Câu c: (2 điểm) Bài (4,0đ) M x xy 6 x xy y M 6 x xy y x xy => M 6 x xy y x xy x 11xy y Ta có x 2012 y 4 2014 0 x 2012 0 2012 2014 x y 4 0 Ta có : 2014 0 y Mà x 2012 y 4 2014 0 => x x x 2012 0 => Vậy 2014 0 y 1 y Vậy M = (1,0đ) 5 2 1 x 2012 3y 4 2014 0 x y 1 2 25 110 16 1159 11 - + = = 3 36 x 1 x = TH1: x+ 1 = => x = 30 TH2: x+ 1 1 11 ==> x = - ==5 6 30 Vậy x= - 11 ;x=30 30 x y x y hay 15 10 Ta có : 2x = 3y suy 4y = 5z suy b (1,5đ) Vậy y z y z hay 10 x y z 15 10 Theo tính chất dãy tỉ số x y z x yz 11 = = = 15 10 15 10 33 Suy x = 5, y = 10 ,z= 3 ( x +2)n+1 = ( x +2)n+11 ( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0 (x+2) c 1,5 điểm n+1 x 10 =0 TH 1: (x+2)n+1 = suy x = -2 TH2: - (x +2)10 = (x +2)10 = x + = suy x = -1 x + = -1 suy x = -3 Vậy x = -2; x=-1; x=-3 Gọi độ dài ba cạnh tam giác x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) Theo ta có : x +y + z = 13 2x= 3y =4z = SABC Bài (4.0đ) a Suy x y z (2.0đ) Áp dụng tính chất dãy tỷ số x y z x y z 13 = 1 6 13 suy x = 6, y = ; z = KL: b (2,0đ) 2xy – x – y = 4xy - 2x -2y =4 2x(2y-1) - 2y + = (2y -1) ( 2x -1) =5 HS xét trường hợp tìm ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; ( Mỗi trường hợp cho 0.25 đ) Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; Bài A (6.0đ) F E I B K D H C M P a/ Ta có ABC = 600 suy BAC + BCA = 1200 (2.0đ) AD phân giác BAC suy IAC = BAC CE phân giác ACB suy ICA = BCA Suy IAC + ICA = 1200 = 600 Vây AIC = 1200 b/ Xét AHP AHK có PAH = KAH ( AH phân giác BAC) AH chung (2đ) PHA = KHA = 900 Suy AHP = AHK (g-c-g) suy PH = KH ( cạnh tương ứng) Vậy HK= 3cm Vì AHK vng H theo định lý Pitago ta có AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 c Suy AK = cm Vì AIC = 1200 (2.0đ) Do AIE = DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF = AE Xét EAI FAI có AE = AF EAI = FAI AI chung Vậy EAI = FAI (c-g-c) suy IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) AIE = AIF = 600 suy FIC = AIC - AIF = 600 Xét DIC FIC có DIC = FIC = 600 Cạnh IC chung DIC = FCI Suy DIC = FIC( g-c-g) Suy ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Bài (2,0đ) Từ (1) (2) suy IDE cân I Giả sử 10 số hữu tỷ 10 = a ( a,b số tự nhiên , b khác ; (a;b) = ) b a2 = 10 b2 Suy a2 = 10b2 a a2 10b2 b2 b Vậy ( a;b) Nên 10 số vô tỷ