PHỊNG GD&ĐT THIỆU HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Đề thức Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 15 tháng năm 2017 Câu 1: (4,0 ®iĨm) Tính hợp lí 18 19 25 25 23 23 b) 12 19 11 19 11 19 c) (-25) 125 (-8) (-17) d) 10 35 19 35 19 35 a) Câu 2: (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a b 1 A 1 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 B = 2x2 – 3x + với x c C = 2015 x y 13x y x y 15 y x x y , biết 2016 x – y = Câu 3: (4,0 điểm) Tìm x, y biết: 1 x y 12 0 6 Tìm x, y, z biết: 3x y z x y 3z x + y + z = 18 Câu 4: (3,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – = Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 Tính f(100) Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh rằng: ADC = ABE b) Chứng minh rằng: DIB = 600 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB= 3cm, AC=4 cm Điểm I nằm tam giác cách cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC Tính MB Hết - PHÒNG GD&ĐT THIỆU HĨA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Câu Câu 4đ Điểm Nội dung a 1® 18 19 = = 25 25 23 23 18 19 25 23 5 ( )( ) 25 25 23 23 25 23 7 7 12 b) = = 19 11 19 11 19 12 12 12 ( ) ( ) 1 19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19 a) b 1đ c) (-25) 125 (-8) (-17) = (-25) 4.125.(-8) (-17) = (-100).(-1000).(-17) = -1700000 10 7 10 ( ) d) 35 19 35 19 35 = = 35 19 19 35 35 35 35 a 1 A 1 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 2 3 4 2016 2016 2015 2017 2 3 4 2016 2016 2016 2015 2017 2017 (3,0đ) 0,5 1 nên x = x = 2 1 Với x = B = 2.( )2 – + = 2 1 Với x = - B = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy B = với x = B = với x = - 2 0,25 0,5 0,25 2015 x y 13x y x y 15 y x x y 2016 2 x y 13x y x y 15 xy x y 1 (vì x c C = (4,0đ) Vì 1 x 0 6 với x; y 12 0 d 1đ 0,5 b Vì x c 1đ – y = 0) với y, đó: 10 0,5 1 x y 12 0 6 1 x y 12 0 6 x 0 với x, y Theo đề Từ suy ra: y 12 0 x 12 0,25 1 x y 12 0 6 y Vậy x 12 Khi y Ta có: 0,5 0,75 3x y z x y 3z Suy ra: 4 x y 3 z x 2 y z 12 x y z 12 x y z 0 16 29 0,5 Do đó: Từ (1) 3x y x y 0 x y 2z 4x x z 0 z x x y z (2) suy (1) 0,25 (2) 0,25 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x y z 18 2 234 (3,0đ) Suy ra: x = 4; y = 6; z = 0,5 0,25 Ta có: x – 2xy + y – = 2x – 4xy + 2y – = 2x – 4xy + 2y – = 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = (2x – 1)(1 – 2y) = Lập bảng : 2x – 1 -1 -5 – 2y -5 -1 x -2 y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy x; y 1; , 3;0, 0;3, 2;1 Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101 = x 9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + … + x(x – 100) – (x – 101) Suy f(100) = 0,75 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 E A D Câu a 0,5 K I B Câu 4.b C Ta có: AD = AB; DAC AC = AE BAE Suy ADC = ABE (c.g.c) Từ ADC = ABE (câu a) ABE , ADC mà BKI (đối đỉnh) AKD Khi xét BIK DAK suy BIK = 600 (đpcm) DAK 0,75 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ E A D N J Câu c K B Câu d Câu M I C Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN ACM AEN ACM = AEN (c.g.c) AM = AN CAM EAN = 600 Do AMN MAN CAE Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB BIJ BJ = BI DBA = 600 suy IBA , kết hợp BA = BD JBI JBD IBA = JBD (c.g.c) AIB = 1200 mà BID = 600 DJB = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE DIA Vì I nằm tam giác ABC cách cạnh nên I giao đường phân giác tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên tính BC=5 cm CM CEI CMI CM CE Chứng minh tương tự:AE=AD, BD=BM Suy MB = (BC+AB-AC)/2 = 0,5 đ 0,5 đ 0.25 0.25 0,25 0,25