Hsg huyện thiệu hóa 2016 2017 unprotected

PHỊNG GD&ĐT THIỆU HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Đề thức Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 15 tháng năm 2017 Câu 1: (4,0 ®iĨm) Tính hợp lí  18 19      25 25 23 23 b) 12     19 11 19 11 19 c) (-25) 125 (-8) (-17) d) 10     35 19 35 19 35 a) Câu 2: (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a b 1      A  1          2 1.3   2.4   3.5   2015.2017  B = 2x2 – 3x + với x  c C =  2015  x  y  13x y  x  y   15 y x  x y    , biết  2016    x – y = Câu 3: (4,0 điểm) Tìm x, y biết: 1   x    y  12 0 6  Tìm x, y, z biết: 3x  y z  x y  3z   x + y + z = 18 Câu 4: (3,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – = Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 Tính f(100) Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh rằng: ADC = ABE b) Chứng minh rằng: DIB = 600 c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB= 3cm, AC=4 cm Điểm I nằm tam giác cách cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC Tính MB Hết - PHÒNG GD&ĐT THIỆU HĨA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Câu Câu 4đ Điểm Nội dung a 1®  18 19     = =  25 25 23 23   18 19  25 23 5 (  )(  )        25 25 23 23 25 23 7 7 12 b)     = = 19 11 19 11 19 12 12 12 (    )   (  )    1 19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19 a) b 1đ c) (-25) 125 (-8) (-17) = (-25) 4.125.(-8) (-17) = (-100).(-1000).(-17) = -1700000 10 7 10 (  )    d) 35 19  35 19  35 = = 35 19 19 35 35 35 35 a 1      A  1          2 1.3   2.4   3.5   2015.2017   2   3   4   2016 2016                  2015 2017   2   3   4   2016 2016  2016                 2015 2017  2017 (3,0đ) 0,5 1 nên x = x = 2 1 Với x = B = 2.( )2 – + = 2 1 Với x = - B = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy B = với x = B = với x = - 2 0,25 0,5 0,25  2015  x  y  13x y  x  y   15 y x  x y     2016  2 x  y   13x y  x  y   15 xy  x  y   1 (vì x  c C = (4,0đ) Vì 1   x   0 6  với  x;  y  12 0 d 1đ 0,5 b Vì x  c 1đ – y = 0) với  y, đó: 10 0,5 1   x    y  12 0 6  1   x    y  12 0 6  x  0 với  x, y Theo đề Từ suy ra: y  12 0  x 12 0,25 1   x    y  12 0 6  y   Vậy x 12 Khi y   Ta có: 0,5 0,75 3x  y z  x y  3z   Suy ra: 4 x  y  3 z  x  2 y  z  12 x  y  z  12 x  y  z    0 16 29 0,5 Do đó: Từ (1) 3x  y x y 0  x  y   2z  4x x z 0  z  x   x y z (2) suy   (1) 0,25 (2) 0,25 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x  y  z 18      2 234 (3,0đ) Suy ra: x = 4; y = 6; z = 0,5 0,25 Ta có: x – 2xy + y – =  2x – 4xy + 2y – =  2x – 4xy + 2y – =  2x(1 – 2y) – (1 – 2y) =  (2x – 1)(1 – 2y) = Lập bảng : 2x – 1 -1 -5 – 2y -5 -1 x -2 y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy  x; y    1; ,  3;0,  0;3,   2;1 Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101 = x 9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + … + x(x – 100) – (x – 101) Suy f(100) = 0,75 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 E A D Câu a 0,5 K I B Câu 4.b C   Ta có: AD = AB; DAC AC = AE BAE Suy ADC = ABE (c.g.c)   Từ ADC = ABE (câu a)  ABE , ADC   mà BKI (đối đỉnh) AKD   Khi xét BIK DAK suy BIK = 600 (đpcm) DAK 0,75 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ E A D N J Câu c K B Câu d Câu M I C   Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN ACM AEN   ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN CAM EAN   = 600 Do AMN MAN CAE Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB  BIJ  BJ = BI  DBA    = 600 suy IBA , kết hợp BA = BD JBI JBD    IBA = JBD (c.g.c)  AIB = 1200 mà BID = 600 DJB  = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE  DIA Vì I nằm tam giác ABC cách cạnh nên I giao đường phân giác tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên tính BC=5 cm CM CEI CMI  CM CE Chứng minh tương tự:AE=AD, BD=BM Suy MB = (BC+AB-AC)/2 = 0,5 đ 0,5 đ 0.25 0.25 0,25 0,25