PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Năm học 2016 - 2017 Thời gian làm bài: 120 phút (khơng tính thời gian giao đề) Họ tên: …………………………………….……… …… …SBD: … Câu (4 điểm) Tìm x: a/ x b/ x Câu (3 điểm) Tìm x, y, z biết x 5 c/ ( x 3) x 2 ( x 3) x 8 0 x y z x2 + y2 + z2 = 116 Câu (1 điểm) Trong vịng bán kết giải bóng đá trường THCS Phù Đổng có đội thi đấu, gọi A tập hợp cầu thủ; B tập hợp số áo thi đấu Quy tắc cầu thủ ứng với số áo họ có phải hàm số khơng? Vì sao? Câu (1.5 điểm) Tính giá trị đa thức P = x x y x xy y y x 2017 với x y 2 Câu (2 điểm) Cho : 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Chứng minh: 2 Câu (1.5 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 = 77 · Câu (2.5 điểm) Cho ABC, tia phân giác góc A cắt BC D Biết ADB 85 µC µ a/ Tính: B µ 5.C µ b/ Tính góc ABC 4.B Câu (4.5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vng góc AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vng góc AC a/ Chứng minh: BD = CE b/ Trên tia đối tia MA lấy N cho MN = MA Chứng minh: ADE = CAN c/ Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh: Chú ý: Học sinh khơng dùng máy tính cầm tay AD IE 1 DI2 AE PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016-2017 Hướng dẫn chấm Toán Câu Phần a Nội dung x 2 x 1 5 x x 2 5 x x 11 5 Vậy với x = x = - x 2x - = x - x = - x = - c (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) [1- (x - 3)] = 1đ 1.5đ x 3 x 4 x 2 = = = = = = =4 1.5đ b x 0 x 3 1 Điểm 1đ x y z x y z 4 2 16 Vậy (x; y; z) = (4; 6; 8) (x; y; z) = (-4; -6; -8) 1đ 1đ Quy tắc cầu thủ ứng với số áo họ không hàm số đại lượng cầu thủ khơng phải giá trị số (trả lời giải thích sai khơng có điểm) 1đ P = x + xy - 2x - xy - y + 3y + x + 2017 1.5đ = x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 2017 = 2x - 2x - 2y + 3y + x + 2017 = x + y + 2017 = 2019 Vậy với x + y = P = 2019 Hoặc nhóm để xuất x + y - = = 0,5 = = = =0 12x = 8y = 6z 12x 8y 6z 24 24 24 = = 0,5 0,5 0,5 2x + 3y = 77 3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77 y2 ≤ 77/3 y2 ≤ 25 0.5đ Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ 3y2 lẻ y2 lẻ y2 {1; 9; 25} + y2 = 2x2 = 77 - = 74 x2 = 37 số tự nhiên x + y2 = 2x2 = 77 - 27 = 50 x2 = 25 x = y = 2 1đ + y = 25 2x = 77 - 75 = x = x = y = Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x + 3y = 77 (x; y) = (5; A 3); (1; 5) a Học sinh thử chọn số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1, 2, để có KQ khơng điểm khơng thể lực tư số học · Xét ADC có ADB góc ngồi D · µ DAC · ADB = 85 C 1.5đ (1) · Xét ADB có ADC góc ngồi D 85° BAD ADC = 180 - 85 = 95 (2) B B C D Mà DAC (Vì AD tia phân giác góc A) BAD C 950 850 = 10 Từ (1) (2) B A b a C 100 mà B B C B C 100 = C Vì B 5 0 50 C 40 A µ 900 B Xét ABD ACE có: D B 1đ E P I C M AD = AC (gt) AE = AB (gt) Vẽ hình 0.5đ (Cùng phụ với BAC ) BAD CAE ABD = AEC (c.g.c) N 1đ BD = CE (Hai cạnh tương ứng) b) Xét ABM NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) AMB AMC (đối đỉnh) ABM = NCM (c.g.c) AB = CN (hai cạnh tương ứng) (Hai góc tương ứng) ABM NCM Ta có ACN ACB BCN ACB ABC 1800 BAC Lại có DAE DAC BAE BAC 1800 BAC DAE ACN 1.5đ Xét ADE ACN có CN = AE (cùng AB) AC = AD (gt) (cmt) DAE ACN ADE = CAN (c.g.c) c Vì ADE = CAN (cmt) NAC (Hai góc tương ứng) ADE Gọi P giao điểm DE AC Xét ADP vuông A ADE APD 900 NAC APD 900 AI DE Xét ADI vng I Theo ĐL Pytago ta có AD = DI + AI AI = AD DI 0.5đ Xét AIE vuông I Theo ĐL Pytago ta có AE = AI + IE AI = AE - IE AD - DI = AE - IE AD + IE = DI + AE = (đpcm) 0.5đ 0.5đ Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng