Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 239 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
239
Dung lượng
4,77 MB
Nội dung
1 Website:tailieumontoan.com CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ THI VÀO TOÁN CÁC TỈNH 2022 CHỦ ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC BẬC HAI Bài ( Đề vào lớp 10 Bắc Giang 2022-2023) x x − Rút gọn biểu = thức A với x > x ≠ : x −2 x−2 x x −2 Lời giải x x = A − : x −2 x−2 x x −2 x −2 x = − A x x ( x − 2) x −2 A= x x ( x − 2) x −2 x x Bài ( Đề vào lớp 10 Bạc Lưu 2022-2023) Rút gọn biểu thức A= a) A = + 20 + 45 1 b) B = − a a + a , với a > a +1 a ( ) Lời giải a) A = + 20 + 45 Ta có A = + 20 + 45 = + 4⋅5 + 9⋅5 = +2 +3 =6 1 b) B = − a a + a , với a > a +1 a ( ) Ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 2 Website:tailieumontoan.com 1 B = − a a +a a +1 a ( a +1− a a a +a = a a +1 ( = a a +a a = ) a ( a ( ( ) ) ) a +1 ) a +1 ( ) a +1 = a Bài ( Đề vào lớp 10 Bắc Ninh 2022-2023) x x Rút gọn biểu thức M = + − 1 , với x ≥ 0, x ≠ : x −1 x −1 x −1 Lời giải x x M = + − 1 , với x ≥ 0, x ≠ : x −1 x −1 x −1 x x x −1 : = + − x −1 x − x −1 x +1 x −1 x +1 x : x − x +1 = + x −1 x −1 x +1 x −1 x +1 ( ) ( )( )( ) ( x −1 x +1 = x −1 x +1 ( = )( ) x +1 x +1 Vậy M = )( (2 ( x +1 x +1 ) x + 1) ( x − 1) x − 1)( x + 1) , với x ≥ 0, x ≠ Bài ( Đề vào lớp 10 Bến Tre 2022-2023) 1 + với a, b > a ≠ b a a+ b a− b Rút gọn= biểu thức: A Lời giải Với a, b > a ≠ b ta có: = A A= 1 + a a+ b a− b a ( a− b+ a+ b )( a+ b a− b ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Website:tailieumontoan.com a a a−b A= A= a−b Vậy với a, b > a ≠ b A = a−b Bài ( Đề vào lớp 10 Bình Định 2022-2023) x +2 x − x +1 Cho biểu thức: = − ; x > 0, x ≠ Q x − x x + x +1 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên lớn Lời giải a) Với x > 0, x ≠ 1, ta có x +2 x −2 x +1 x +2 x −2 x +1 Q= − = − ( ) ) x −1 x + x +1 x x ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) = ( x + 2)( x − 1) − ( x + 1)( x − 2) ( x − 1)( x + 1) x +1 x x +1 x 2 = = x ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x − = với x > 0, x ≠ 1, x −1 b) Theo u cầu tốn x ∈ Z Q ∈ Z nên Vậy Q= x − ∈ U(2) ⇒ x − ∈ { − 2; −1;1; 2} ⇒ x ∈ { − 1;0; 2;3} Kết hợp với điều kiện suy x ∈ {2,3} -Với x =2 ⇒ Q =2 -Với x =3 ⇒ Q =1 Vậy số nguyên x thỏa mãn đê Q đạt giá trị lớn x = Bài ( Đề vào lớp 10 Bình Phước 2022-2023) 1.Tính giá trị biểu thức sau: = A ( 64 − 16 2.Cho biểu = thức P B = 2+ x−2 x x −2 ) − − với x ≥ 0, x ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x = 49 Lời giải Ta có: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 Website:tailieumontoan.com ( B = 2+ 64 − 16 = A = 8−4 = ) − =2 + − = 2 a) Với x ≥ 0, x ≠ , ta có : x−2 x = P = = x −2 x ( x −2 x −2 −2 ) −2 x − b) Thay x = 49 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P sau rút gọn ta có P = 49 − = − = Vậy x = 49 P = Bài ( Đề vào lớp 10 Bình Thuận 2022-2023) Rút gọn biểu thức sau: a) A = ( 12 − 7) + 84 x + x x +1 = +1 : b) B , với x ≥ x +1 Lời giải a) A = ( 12 − 7) + 84 = (2 − 7) +2 21 = − 21 + 21 = x + x x +1 b) B = x +1 +1 : , với x ≥ x + x x +1 x ( x + 1) x +1 B= x +1 +1 : = +1 : = = 4 x x x + + + 1 ( ) Bài ( Đề vào lớp 10 Cà Mau 2022-2023) a) Tính giá trị biểu thức:A = 40 12 − 75 − 48 x x+6 x +9 b) Rút gọn biểu thức: Q = + − 9− x x −3 x x +3 ; x ≥ 0, x ≠ Lời giải a) A= 40 12 − 75 − 48= 40.2 − − 5.4 = 2.4 − − 3.2 = − − = Vậy A = b) Rút gọn biểu thức Q Với x ≥ , x ≠ ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 5 Website:tailieumontoan.com x+6 x +9 x Q= + − 9− x x −3 x x +3 x+6 x +9 x = − − x − ( x − 3)( x + 3) = = = x ( x + 3) ( x − 3)( x + 3) − x x +3 x+6 x +9 ( x − 3)( x + 3) − x ( x − 3) ( x + 3)( x − 3) 2x + x − x − x − − x + x ( x − 3)( x + 3) x −9 3( x − 3) = = ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x + 3) Vậy với x ≥ , x ≠ Q = ( x + 3) Bài ( Đề vào lớp 10 Cần Thơ 2022-2023) Rút gọn biểu = thức P 3−2 − −4 2− Lời giải −4 3+ 2 − = P= 3−2 2− 32 − 2 ( ) − (4 )( )= 3+ − ( 2) −4 2+ 22 2 −2 = Bài 10 ( Đề vào lớp 10 Cao Bằng 2022-2023) Thức phép tính: − 36 Lời giải − 36 = 32 − 62 = 5.3 − =9 Bài 11 ( Đề vào lớp 10 Đà Nẵng 2022-2023) a Tính A = + 16 + 2 − x b Rút gọn biểu thức B = + x +1 x +1 với x ≥ x ≠ : x − x − 1 Lời giải a Ta có: A = + 16 + 2 − A = 32 + 42 + 2 − 22.2 A = 3+ 4+ 2 −2 = b Với x ≥ x ≠ , ta có: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 6 Website:tailieumontoan.com x B = + x + = B B= ( x ( x +1 : x − x − 1 ) x −1 )( x +1 + ) ( x −1 : x +1 x −1 x −1 x +1 )( x +1 ) x − x + x +1 x −1 x +1 x −1 x +1 ( )( ) x +1 x −1 = x −1 x +1 Vậy B = với x ≥ x ≠ = B Bài 12 ( Đề vào lớp 10 Đăk Nơng 2022-2023) a) Tính giá trị biểu thức: A = − 2 + 18 x2 − x2 − x b) Rút gọn biểu thức: P= + ( x ≠ 2; x ≠ 1) x−2 x −1 Lời giải a) Tính giá trị biểu thức: A = − 2 + 18 A = − 2 + 18 = 22.2 − 2 + 32.2 =2 − 2 + =3 x2 − x2 − x + x−2 x −1 b) Rút gọn biểu thức: P= ( x ≠ 2; x ≠ 1) Với x ≠ 2; x ≠ , ta có: x − x − x ( x − )( x + ) x ( x − 1) P= + = + = x + + x = 2x + x−2 x −1 x−2 x −1 Bài 13 ( Đề vào lớp 10 Điện Biên 2022-2023) Cho biểu thức: = B + x −3 x với x ≥ 0; x ≠ x +3 x + 1 Rút gọn biểu thức B Tìm x để B > Lời giải Với x ≥ 0; x ≠ ta có: = B + x −3 B B= ( ( x x +3 x + x +3 x −3 )( ) x +3 ( x −3 )( x +3 ) + ) ( x + 15 + x − x x +3 x +2 x −3 x −3 )( ) x x +2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 7 Website:tailieumontoan.com B= B= B= ( x + 12 x −3 ( ( ( )( x +3 x +2 x −3 )( ) x +3 6x x −3 )( x +3 ) ) ) x x +2 x x +2 Vậy với x ≥ 0; x ≠ biểu thức B = Với x ≥ 0; x ≠ , để B > ⇔ 6x ( x −3 )( 6x ( x −3 )( x +3 ⇔ 6x −1 > x−9 ⇔ 6x − x + >0 x−9 x +3 ) ) >1 5x + >0 x−9 ⇔ x + x − dấu ⇔ Mà với x ≥ 0; x ≠ ⇒ x ≥ ⇒ x + > Do đó: x − > ⇔ x > Kết hợp với điều kiện suy ra: x > Vậy với x > B > Bài 14 ( Đề vào lớp 10 Đồng Tháp 2022-2023) a) Tính giá trị biểu thức= A 16 + 25 b) Cho x ≥ −1, x ≠ 0, rút gọn biểu thức B = ( )( x +1 −1 ) x +1 +1 x Lời giải a) A = 16 + 25 = + = b) B = ( )( x +1 −1 ) ( x +1 +1 = x Vậy với x ≥ −1, x ≠ 0, B = ) x +1 −1 x +1−1 = = x x Bài 15 ( Đề vào lớp 10 Gia Lai 2022-2023) Cho= A = B 1+ + 3+ + 5+ + + 2021 + 2023 2023 − 2022 + − + 20 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 8 Website:tailieumontoan.com Khơng sử dụng máy tính cầm tay chứng tỏ A > B Lời giải = A 1+ + 3+ + 5+ + + 2021 + 2023 −1 5− 7− 2023 − 2021 + + + + 2 2 = = B 2023 − 2023 − 2022 + − + 20 2022 − + − + = 2022 − ) ( ⇒ A > B Bài 16 ( Đề vào lớp 10 Hà Nam 2022-2023) Cho biểu thức P = a+6 a +9 a +3 + a−9 (với a ≥ 0; a ≠ ) a −3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P = a 19 − 10 Lời giải a) Ta có: P = a+6 a +9 a +3 a−9 = + a −3 ( a +3 ) +( a +3 a +3 )( a −3 a −3 )= a +3+ a +3 = a + ( b) Khi a =− 19 10 =10 − ) đó: a= ( ) Thay vào biểu thức P , ta có:= P 10 − 3= 10 − 10 − = + 10 Bài 17 ( Đề vào lớp 10 Hà Tĩnh 2022-2023) Rút gọn biểu thức sau a)= A − 18 1 b)= với x > 0, x ≠ B + : x 3− x 3− x Lời giải a) A = − 32.2 = − = 2 b) Với x > 0, x ≠ 1 = B + : x 3− x 3− x Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 9 Website:tailieumontoan.com 3− x + = x 3− x = − x x 3− x x ( ) = 3− x ( x 3− x ) ( ( ) ( ) ) x Bài 18 ( Đề vào lớp 10 Hải Dương 2022-2023) = Rút gọn biểu thức P ( x −2 )( ) x +1 + x +1 + 2− x với x ≥ x ≠ Lời giải = P = = = = ( x −2 )( ( x −2 )( ) x +1 + + ) ( x +1 x +1 ( x −2 + 2− x x −2 )( ) x +1 − ) ( x +1 x −2 )( ) x +1 + x − − x −1 ( ( x −2 ) )( x +1 x −2 x −2 )( ) x +1 x +1 Vậy với x ≥ x ≠ ta có P = x +1 Bài 19 ( Đề vào lớp 10 Khánh Hòa 2022-2023) Rút gọn biểu thức A = 12 + 27 − 75 Lời giải A = 4.3 + 9.3 − 25.3 A = + − 10 = Bài 20 ( Đề vào lớp 10 Kum Tum 2022-2023) A Tính giá trị biểu thức= 25 − x2 − 2.Rút gọn biểu thức = P − x , với x ≠ x −1 Lời giải Ta có: A = 25 − Ta có: P = 1 =5 − = 2 ( x + 1)( x − 1) x2 − −x= − x = x +1− x = x −1 x −1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com Tương tự ta có: ( 5b − 6bc + 5c ) ≥ b + c ; ( 6c − 8ca + 6a ) ≥ c + a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: P≥ a+b + b+ c + c+ a P≥ a+b+b+c+ c+ a P≥2 a+b+c P ≥ − 2022 P ≥ 4044 −2022 Bài ( Đề vào lớp 10 Bình Định 2022-2023) Cho số a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh GTNN P = 4044 a= b= c= a b c + + ≥ b+c−a a+c−b a+b−c Lời giải a b c + + Đặt A = b+c−a a+c−b a+b−c Khi A= b + c − a = x > a + c − b = y > ⇒ a = y + z , b = x + z , c = x + y a + b − c = z > y+z x+z x+ y y x x z y z + + = [( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + + 2)= 2x 2y 2z x y z x z y y x x z y z Dấu “=” xảy = ,= ,= ⇒= x = y z⇒= a = b c x y z x z y Vậy A ≥ dấu “=” xảy a= b= c tức tam giác cho tam giác Bài ( Đề vào lớp 10 Đăk Nông 2022-2023) Cho P = x 4044 + x 2022 + Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ x 2022 + Lời giải Đặt = y x 2022 ≥ Khi đó: y2 + y + ( y + y + 4) − ( y + 2) + = P = y+2 y+2 ( y + 2) − ( y + 2) + = y+2 = ( y + 2) + = ( y + 2) + −7 y+2 + 3( y + 2) − y+2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 225 Website:tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương y + Ta có: ( y + ) + ≥2 y+2 Dấu “=” xảy y + = ( y + 2) (vì y ≥ ) y+2 = y+2 ⇔ ( y + 2) = ⇔ y + = ⇔ y = ( y ≥ 0) y+2 +) y ≥ ⇔ y + ≥ Dấu “=” xảy y = Khi đó: P ≥ + 3.2 − = Vậy P đạt giá trị nhỏ y = ⇔ x 2022 = ⇔ x = Bài ( Đề vào lớp 10 Hà Nam 2022-2023) Cho hai số a, b thỏa mãn a + b ≥ a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = T 20a + b + 4b 4a Lời giải Cách 1: 4a − a + ( a + b ) 20a + b 4a − a + = + ( 2b − 1) + ( a + b ) − ≥ +3 + 4b 4a 4a 4a Ta có: T = =a + 11 11 15 + ≥ a + = 4a 4 4a Vậy Tmin = 15 Dấu xảy a= b= Cách 2: Theo ta có: a + b ≥ ⇒ b ≥ − a TH1: − a thì: T = 20a − a + ( a + b ) 4a 20a − a + 20a − a + + 4b ≥ + 4b > 4a 4a 19 19 + > 4a TH2: − a ≥ b ≥ − a ⇒ b ≥ (1 − a ) Do đó: T ≥ 1 15 20a + − a − + 4a − 8a + = 4a − 3a + + + (1 − a ) = 5a + 4a 4a 4a = ( 2a − 1) + 2 ( 2a − 1) 4a + 15 15 15 ≥ ⇒T ≥ 4 So sánh hai trường hợp ta có Tmin = Dấu xảy a= b= Vậy Tmin = Dấu xảy a= b= Bài ( Đề vào lớp 10 Hà Tĩnh 2022-2023) Cho a, b số thực thỏa mãn a ≥ 1; b ≥ a + b + = ab Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 226 Website:tailieumontoan.com Tìm GTLN biểu thức F = a2 − b2 − 1 + + a b a + b2 Lời giải Ta có ab = a + b + ≥ ab + ⇒ ( ab + 1) ⇒ ab − ≥ ( ( ) ab − ≥ ab + > ) ⇒ ab ≥ ⇒ a + b ≥ 1 ≤ ≤ 2ab 18 a +b 1 a + b ab − 3 + = = = 1− ≥ 1− = a b ab ab ab Ta có 2 a2 − a − b2 − b2 − + − 2 + ≤ 2 + = a b b b a a 2 32 1 1 2 ≤ 4− + ≤ 4− = a b 3 a2 − b2 − + ≤ a b ⇒ a2 − b2 − 1 1 + 24 + + ≤ += a b 18 18 a +b Dấu xảy ⇔ a = b = Do đó= F + 24 a= b= 18 Bài ( Đề vào lớp 10 Hải Dương 2022-2023) Vậy Fmax = Cho a ; b ; c số thực dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = ab bc ca + + = c a b a+ b+ c+ 2022 a+ b+ c Lời giải Ta có ab bc + ≥2 c a ab bc b = c a (1) Dấu xảy a = c TT: bc ca + ≥2 a b bc ca = c a b ca ab + ≥2 b c ca ab = a b c (2) (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3) Ta ab bc ca + + ≥ a+ b+ c c a b Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 227 Website:tailieumontoan.com Hay a + b + c ≤ Dấu xảy a=b=c Đặt t = T =t + a + b + c ⇒ T =+ t 2022 Với t ≤ t 2022 2013 =t + + t t t 2013 2013 ≥ Dấu xảy t =3 ≥ = 671 Dấu xảy t =3 t t Suy T ≥ + 671 = 677 Vậy T đạt GTNN 677 Dấu xảy a=b=c=1 Với t dương; t + Bài ( Đề vào lớp 10 Kum Tum 2022-2023) Cho x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x + y + xy + x + y + = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = x + y − Lời giải Ta có x + y + xy + x + y + = 2 ⇔ ( x + y ) + 6( x + y ) + y + = ⇔ ( x + y + 3) + y = Suy ( x + y + 3) ≤ Suy −1 ≤ x + y + ≤ ⇔ −5 ≤ x + y − ≤ −3 Vậy GTNN P -5 y = 0; x = -4 GTLN A -3 y = 0; x = -2 Bài ( Đề vào lớp 10 Lạng Sơn 2022-2023) Cho số thực dương a, b, c dương Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P= a ( a + b )( a + c ) + 2b ( b + c )( b + a ) + c ( c + a )( c + b ) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: a ( a + b )( a + c ) 2b ( b + c )( b + a ) c ( c + a )( c + b ) ≤ a a + a + b 4(a + c) ≤ b b + b+c b+a ≤ c c + (c + a) c + b Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 228 Website:tailieumontoan.com a ( a + b )( a + c ) ≤ + 2b ( b + c )( b + a ) + c ( c + a )( c + b ) a a b b c c + + + + + a + b (a + c) b + c b + a (c + a) c + b b b a c c a 1+ +1 = ⇔ P≤ + + + + + = 4 a + b b + a (a + c) (c + a) b + c b + c Dấu “=” xảy khi: a a a + b = 4(a + c) a + b= 4(a + c) = a c= a c b b b = ⇔ b + c = b + a ⇔ ⇔ ⇔a=c= a a + b 4.2= b a b + c b + a 4(c + a ) =c + b = c c 4(c + a ) = c + b b a= c= Bài 10 ( Đề vào lớp 10 Nam Định 2022-2023) Cho x, y, z số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức Vậy giá trị lớn P P= ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) − xyz Lời giải x ≥ y Vì x, y, z có vai trị nên khơng tính tổng qt ta giả sử x ≥ z x + y − z > Do z + x − y > +) Nếu y + z − x ≤ Khi ta có ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) ≤ ⇒ P < +) Nếu y + z − x > Khi ta có ( x + y − z )( y + z − x ) ≤ y ( z + x − y )( y + z − x ) ≤ z ⇒ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) ≤ xyz ( x + y − z )( z + x − y ) ≤ x ⇒ P ≤ Dấu " = " xảy x= y= z Vậy giá trị lớn biểu thức P x= y= z Bài 11 ( Đề vào lớp 10 Ninh Bình 2022-2023) Tìm tất số nguyên x cho x −1 số nguyên x2 + Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 229 Website:tailieumontoan.com Biết a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca Lời giải Đặt A = x −1 x2 + x2 − x2 + − 2 = =1 − 2 x +1 x +1 x +1 Vì x ∈ nên x + ∈ Khi A ∈ A.( x + 1) ∈ ⇒ A.( x + 1) = Ta có A.( x + 1) ∈ ⇔ − 2 ∈ ⇔ ∈ x +1 x +1 ⇔ 2 ( x + 1) ⇒ x + ∈ Ư ( ) , Ư ( ) =− { 1;1; −2; 2} Mà x + ≥ ∀x nên x + ∈ {1; 2} ⇒ x ∈ {0;1} +) Với x = ⇔ x = (t/m x ∈ ) x = +) Với x = 1⇔ (t/m x ∈ ) x = −1 Thử lại, x = 0; x = 1; x = −1 A ∈ Vậy x ∈ {0; 1; − 1} thỏa mãn đề Cách 1: a += b + c 1, a; b; c > ⇒ a = − (b + c) = − b − c ⇒ a + bc =1 − b − c + bc =(1 − b) − c(1 − b) =(1 − b)(1 − c) = ( a + b + c − b )( a + b + c − c ) = ( a + c )( a + b ) Chứng minh tương tự: b + ac = (b + a )(b + c) c + a b =( c + a )( c + b ) Do a + bc + b + ca + c + ab = (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a ) + (c + a )(c + b) Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxky có (a + b)(a + c) = ( a ) + ( b ) ( 2 a ) + ( c ) ≥ ( a⋅ a+ b⋅ c ) = (a + bc ) ⇒ (a + b)(a + c) ≥ a + bc (1) Chứng minh tương tự: (b + a )(b + c) ≥ b + ac (c + a )(c + b) ≥ c + ab 2 ( ) ( 3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 230 Website:tailieumontoan.com (a + b)(a + c) + (b + a )(b + c) + (c + a )(c + b) ≥ a + b + c + ab + bc + ca ⇔ a + bc + b + ac + c + ab ≥ + ab + bc + ca a c = a a a b = c b ⇔ a =b =c = Dấu “=” xảy c a = c b a + b + c = a, b, c > Cách 2: a, b, c > 0, a + b + c = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có b + c ≥ bc ⇔ a + b + c ≥ a + bc ⇔ ≥ a + bc ⇔ a ≥ a + 2a bc ⇔ a + bc ≥ a + 2a bc + bc = (a + bc ) ⇔ a + bc ≥ a + bc ( *) (**) Chứng minh tương tự: b + ac ≥ b + ac (***) c + ab ≥ c + ab Lấy vế cộng vế (*) ; (**) ; (***) ta có: a + bc + b + ac + c + ab ≥ a + b + c + ab + bc + ca ⇔ a + bc + b + ac + c + ab ≥ + ab + bc + ca (điều phải chứng minh) a= b= c Dấu “=” xảy a + b + c = ⇔ a =b =c = a , b, c > Vậy a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca Dấu “=” xảy a= b= c= Bài 12 ( Đề vào lớp 10 Quảng Nam 2022-2023) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q= 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Lời giải Ta có: 2a + bc= 2) (a + b + c)a + bc (Do a + b + c = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 231 Website:tailieumontoan.com = a + ab + bc + ac = (a + b)(a + c) ≤ ( a + b) + ( a + c ) (Áp dụng bất đẳng thức với hai số dương a + b a + c ) 2a + bc ≤ Vậy ta có: ( a + b) + ( a + c ) (1) Tương tự: (a + b) + (b + c) (2) (a + c) + (b + c) 2c + ab ≤ (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế ta được: Q ≤ 2(a + b + c) = 2b + ca ≤ Dấu “=” xảy a= b= c= Suy giá trị lớn Q a= b= c= Bài 13 ( Đề vào lớp 10 Ninh Thuận 2022-2023) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: −1 ≤ a ≤ 1; − ≤ b ≤ 1; − ≤ c ≤ a + b + c = Chứng minh a + b7 + c 2022 ≤ Lời giải Vì −1 ≤ a ≤ 1; − ≤ b ≤ 1; − ≤ c ≤ ⇒ ( a + 1)( b + 1)( c + 1) + (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≥ ⇒ − ( ab + bc + ca ) ≤ Mà ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) = ⇒ a + b2 + c2 = −2 ( ab + bc + ca ) ≤ a ≤ a ∀ − ≤ a ≤ Ta có: b ≤ b ∀ − ≤ b ≤ c 2022 ≤ c ∀ − ≤ c ≤ Do a + b + c 2022 ≤ a + b + c ≤ hay a + b + c 2022 ≤ Dấu đẳng thức xảy a = 1, b = −1, c = Bài 14 ( Đề vào lớp 10 Quảng Bình 2022-2023) Cho x, y > thỏa mãn x + y + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 232 10 Website:tailieumontoan.com x2 + ≥ 2x x2 + ≥ 2x Ta có : y + ≥ y = > y2 + ≥ y x + y ≥ xy 2 3 ( x + y ) ≥ xy = > 4( x + y ) + ≥ 2( x + y + xy ) 5) = > 4( x + y ) + ≥ 10 (vì x + y + xy = = > x + y ≥ Dấu “=” xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ P x= y= Bài 15 ( Đề vào lớp 10 Thái Bình 2022-2023) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2022 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= 2a + ab + 2b + 2b + bc + 2c + 2c + ca + 2a Lời giải Ta có : 5 ( a + b) + ( a − b) ≥ ( a + b) 4 ( a + b) ⇒ 2a + ab + 2b ≥ 2a + ab + 2b = 5 (b + c); 2c + ac + 2a ≥ (c + a ) 2 CMTT 2b + bc + 2c ≥ 5 ( a + b) + (b + c) + (c + a= ) 2 M ≥ 2022 ⇒M ≥ 5(a + b + c) Dấu " = " xảy ⇔ a = b = c = 674 Vậy M = 2022 ⇔ a = b = c = 674 Bài 16 ( Đề vào lớp 10 Trà Vinh 2022-2023) Cho biểu thức B = x − x − + 2022 (với x ≥ ) Với giá trị x B đạt giá trị nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ Lời giải Ta có: B = x − x − + 2022 B = x − − x − + + 2023 ( B= Vì ( ) x − − + 2023 ) x − −1 ≥ ∀x ≥ nên B = Dấu “=” xảy ( ) x − − + 2023 ≥ 2023, ∀x ≥ x − − = ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = 3( N ) Vậy GTNN B 2023 đạt x = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 233 11 Website:tailieumontoan.com Bài 17 ( Đề vào lớp 10 Tuyên Quang 2022-2023) Cho số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a + − 1 b + − 1 c + − 1 ≤ b c a Lời giải x y z với x > 0; y > 0; z > Thay vào bất đẳng thức (1) ta = ;b = ;c y z x bất đẳng thức tương đương +) Đặt= a x z y x z y + − 1 + − 1 + − 1 ≤ ⇔ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) ≤ xyz (2) y y z z x x +) Xét tổng ba thừa số vế trái: x + y − z + y + z − x + x + z − y = x + y + z > 0, nên có khả sau: TH1: Nếu có thừa số âm hai thừa số dương lúc bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) TH2: Nếu có thừa số âm thừa số dương (Điều vô lý) tổng thừa số bất kỳ, chẳng hạn: ( x + y − z ) + ( y + z − x ) = y > TH3: Nếu thừa số dương, lúc sử dụng bất đẳng thức cho hai số dương ta được: x+ y−z+ y+ z−x y2 ( x + y − z )( y + z − x ) ≤ = y+z−x+z+x− y z2 ( y + z − x )( z + x − y ) ≤ = z+x− y+x+ y−z x2 ( z + x − y )( x + y − z ) ≤ = Nhân theo vế ba bất đẳng thức ta ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) ≤ x y z ⇔ ( x + y − z )( y + z − x )( z + x − y ) ≤ xyz Bất đẳng thức (2) chứng minh suy bất đẳng thức (1) chứng minh Dấu đẳng thức xảy x= y= z suy a= b= c= Bài 18 ( Đề vào lớp 10 Vĩnh Phúc 2022-2023) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: yz zx xy 1 + + ≥ + + x + xyz y + xyz z + xyz x y z Lời giải Đặt A = yz zx xy + + x + xyz y + xyz z + xyz Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 234 12 Website:tailieumontoan.com Ta có: yz 1 1 1 = − = − = − x + yz x x + yz x x ( x + y + z ) + yz x ( x + y )( y + z ) Tương tự, ta có: 1 yz = − y + xyz y ( y + z )( y + x ) 1 xy = − z + xyz z ( z + x )( z + y ) Ta có: A= = 1 1 + + − + + x y z ( x + y )( x + z ) ( y + x )( y + z ) ( z + y )( z + x ) 1 + + − x y x ( x + y )( y + z )( z + x ) Mà ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ ( xy + yz + zx ) 8 ( x + y + z )( xy + yz + zx=) ( xy + yz + zx ) 9 (1) xyz ≥ xyz ( x + y + z ) = ⇒ ( xy + yz + zx ) ≥ xyz xy + yz + zx ( 2) xyz xyz Từ (1) (2) ta có: ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ = xy + yz + zx xy + yz + zx Suy A ≥ 1 xy + yz + zx 1 1 1 + + − = + + − + + = + + x y z xyz x y z x y z 4x y 4z Bài 19 ( Đề vào lớp 10 Đăk Lắc 2022-2023) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 12 Chứng minh rằng: Dấu “=” xảy x= y= z= a b c + + ≥ b + 16 c + 16 a + 16 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 235 13 Website:tailieumontoan.com a b c + + b + 16 c + 16 a + 16 16a 16b 16c A = + + 16 b + 16 c + 16 a + 16 A= 2 b ( c + 16 ) − bc c ( a + 16 ) − ca a ( b + 16 ) − ab A = + + 16 b + 16 c + 16 a + 16 ab bc ca A = +b− +c− a − 16 b + 16 c + 16 a + 16 A = bc ca 1 ab + + (a + b + c) − 16 16 b + 16 c + 16 a + 16 bc ca ab A= − + + 16 b + 16 c + 16 a + 16 Áp dụng bất đẳng thức Causi ta có: b + 16 ≥ 16b = 8b c + 16 ≥ 8c a + 16 ≥ 8a Do đó: A≥ ab bc ca − + + 64 2b 2c 2a (a + b + c) ⇔ A≥ − 64 12 ⇔ A≥ − 64 ⇔ A ≥ ( dpcm ) Dấu xảy a = b = c = Bài 20 ( Đề vào lớp 10 Quảng Ngãi 2022-2023) Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x + y = a) Chứng minh xy ≤ b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =xy + 16 x − x + + xy x2 Lời giải a) Ta có x + y =4 ⇔ ( x + y ) =16 ⇔ x + y + xy =16 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x + y ≥ x y = xy x + y + xy ≥ xy + xy = xy ⇒ 16 ≥ xy ⇔ xy ≤ (đpcm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 236 14 Website:tailieumontoan.com b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =xy + 16 x − x + + xy x2 Ta có: P =xy + 16 x − x + 16 x − x + + = + + − + xy 2 xy xy x2 x2 12 ( x − ) = xy + + + + xy xy 2x2 ≥ xy 12 21 ( xy ≤ 2) + = + xy 2 xy = xy xy = x = 2 Dấu xảy ⇔ ( x − ) =⇔ x= ⇔ y =1 x += x += 2y 2y 21 khi= x 2;= y Bài 21 ( Đề vào lớp 10 Hà Nội 2022-2023) Vậy giá trị nhỏ P Với số thực không âm x y thỏa mãn x + y = 4, tìm giá tri nhỏ biểu thức P= x + y Lời giải Vì x, y số thực khơng âm nên x, y ≥ 0 ≤ x ≤ ⇒ ≤ x, y ≤ (vì x, y ≥ 0) Khi : Từ điều kiện x + y = ⇒ 0 ≤ y ≤ 2 x ( x − ) ≤ x ≤ x ⇒ ⇒ 2x + y ≥ x2 + y = ⇒ x + y ≥ y ( y − ) ≤ y ≤ y Vì y ≥ ⇒ P = x + y ≥ x + y ≥ Vậy Min P = ⇔ x = 2, y = Bài 22 ( Đề vào lớp 10 Hải Phòng 2022-2023) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức : P= a a + a + bc + b b + b + ca + c c + c + ab Lời giải P= a a + a + bc + b b + b + ca + c c + c + ab Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 237 15 Website:tailieumontoan.com ( ) ( ) ( a a ( a + b + c ) + bc − a a a + bc − a a a.1 + bc − a a = = = a + bc − a a.1 + bc − a a ( a + b + c ) + bc − a a + a + bc ) ( ( a a + ab + ac + bc − a a ( a + b )( a + c ) − a = ab + bc + ca a + ab + ac + bc − a Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương, ta có : a ( ( a + b )( a + c ) − a ab + bc + ca Do a a + a + bc b b + b + ca ≤ ≤ ) ) ) a+b+a+c − a a ab + ca = ≤ ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca ab + ca (1) Tương tự ta có : ( ab + bc + ca ) c ca + bc bc + ab ≤ ( ) ( 3) ( ab + bc + ca ) c + c + ab ( ab + bc + ca ) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta P ≤ ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) Do P ≤ = a= b= c= 1 Dấu xảy ⇔ ⇔ a =b =c = a + b + c = Vậy giá trị lớn P a= b= c= Bài 23 ( Đề vào lớp 10 Hịa Bình 2022-2023) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2022 ( x + 1) Lời giải x + 2022 x + x + − x − + 2023 Ta có : P = = = ( x + 1) ( x + 1) P= 1− ( x + 1) − ( x + 1) + 2023 ( x + 1) 2 2023 + Đặt t = , ta có : x + ( x + 1) x +1 P =1 − 2t + 2023t =2023 t − t +1 2023 2 2023 = 2023 t − 2.t + − +1 2023 2023 2023 2022 2022 ≥ P = 2023 t − + 2023 2023 2023 2022 ⇒P≥ ⇔= ⇔= t x 2022 2023 2023 P Vậy Min= 2022 ⇔= x 2022 2023 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 238 16 Website:tailieumontoan.com Bài 24 ( Đề vào lớp 10 Thanh Hóa 2022-2023) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh : b a b +1 + c b c +1 + a c a +1 ≥ Lời giải Từ giả thiết a + b + c= abc ⇔ 1 + + = ab bc ca 1 , y= , z Khi : Đặt= x= a b c x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) y2 + = z2 + = Ta có : x ( y + z )( y + x ) ( z + x )( z + y ) + y z + = z +1 x +1 x + y ( z + x )( z + y ) 2( x + y + z) 2x 2y 2z ≥ + + ≥ x + y + z x + y + z x + y + z ( x + y + z )2 + xy + yz + zx 2( x + y + z) ≥ = (dfcm) 2 x + y + z ( ) ( x + y + z) + y +1 2 ( y + x )( y + z ) + z ( x + y )( x + z ) Dấu " = " xảy a= b= c= Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 239