Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 354 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BỘ ĐỀ VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 23 tháng năm 2023 Website:tailieumontoan.com KỲ THI TUYẾN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 Khóa ngày: 03/06/2023 Mơn thi: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (1,0 điểm) Thực phép tính:= A +1 3−2 − 14 −1 + − 2 Câu (1,0 điểm) x + y = 6−2 Giải hệ phương trình x+ y = Câu (1,0 điểm) Phương trình x + ax + b = (với a; b số nguyên) có nghiệm + 21 Tính nghiệm cịn lại Câu (1,0 điểm) Hình vẽ bên đồ thị hàm số f ( x ) = ax g ( x) = −ax + b (a; b số thực), điểm chung thứ có hồnh độ Tìm hồnh độ điểm chung thứ hai hai đồ thị Câu (1,5 điểm) Cho x3 + y = 189 270 ( x + y )( x + 1)( y + 1) = Tính x + y Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BH đường cao kẻ từ B ( H ∈ AC ) Gọi D, E trung điểm AB AC, F điểm đối xứng điểm H qua DE a Chứng minh tứ giác ABFH nội tiếp = EFH b Chứng minh FBA c Chứng minh BF qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Một nhà máy sản xuất ống thép xuất xưởng ống thép bó lại tạo thành khối gồm 37 ống hình vẽ Biết ống có dạng hình trụ đường kính đáy 10 cm Tính độ dài sơi dây đai để buột ống thép lại với Hết -Số báo danh: ; Phòng thi số: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LƯỢT GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH 10 AN GIANG Mơn: TỐN CHUN Năm học: 2023 – 2024 Đặng Lê Gia Khánh – Mai Anh Khoa Câu (1,0 điểm) Thực phép tính: +1 A = 3−2 − 14 −1 + − 2 Lời giải = A ( − 1) + ( )( − 1) 14 +1 =− 3−2 2 −1 ( +1 3−2 − 14 −1 )( −2 3−2 + − 2 ) (3 − 2) + 14 − 14 − − 14 + =− + 3−2 3−2 3−2 ( 9−6 3−3 = = 3−2 3−3 ) = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x + y = 6−2 x+ y = Lời giải − 3 (1) x + y = 2 ( ) x + y = Trừ (1) (2) theo vế ta được: ( ) −1 y = − = ( ) −1 ⇒ y = −1 ( − 1) = − Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (3 − 3; 3 − 1) Thay vào (2) x = − y = − Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (1,5 điểm) Phương trình x + ax + b = (với a; b số ngun) có nghiệm + 21 Tính nghiệm lại Lời giải Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x + ax + b = (1) Khơng tính tổng qt, giả sử x1= + 21 x2 nghiệm lại Thay x= x1= + 21 vào (1) ta được: (5 + 21 ) ( ) + a + 21 + b = ⇔ 46 + 10 21 + 5a + 21a + b = ⇔ ( a + 10 ) 21 + ( 5a + b + 46 ) = Vì a; b số nguyên nên ta có hệ: a= −10 −10 a = a + 10 = ⇔ ⇔ b =4 5a + b + 46 =0 b =−46 − 5a Suy phương trình (1) x − 10 x = 4= Theo hệ thức Vi-ét, ta được: ( ) x1 + x2 = 10 ⇒ + 21 + x2 = 10 ⇒ x2 = − 21 Vậy nghiệm lại x= − 21 Câu (1,0 điểm) Hình vẽ bên đồ thị hàm số f ( x ) = ax g ( x ) = −ax + b (a; b số thực), điểm chung thứ có hồnh độ Tìm hồnh độ điểm chung thứ hai hai đồ thị Lời giải Hình vẽ cho biết a > Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số nghiệm phương trình: ax =−ax + b ⇔ ax + ax − b =0 (*) Gọi nghiệm lại (*) x0 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: + x0 =− a =−1 ⇔ x0 =−2 a Vậy hoành độ điểm chung thứ hai x = −2 Câu (1,5 điểm) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho x3 + y = 189 ( x + y )( x + 1)( y + 1) = 270 Tính x + y Lời giải Ta có biến đổi: x3 + y = 189 ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) = 189 ( x + y )( x + 1)( y + 1)= 270 ⇔ ( x + y )( x + y + xy + 1)= 270 Đặt a =+ x y; b = xy , điều kiện toán trở thành: a − 3ab 189 a − 3ab 189 1 () = = ⇔ a + b + 1) 270 3ab + 3a 810 ( ) a (= 3a += Cộng (1) (2) theo vế, ta được: a + 3a + 3a = 999 ⇔ ( a + 1) = 1000 ⇔ a + = 10 ⇔ a = Vậy a + y = a = Câu 6, (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BH đường cao kẻ từ B ( H ∈ AC ) Gọi D, E trung điểm AB AC, F điểm đối xứng điểm H qua DE a Chứng minh tứ giác ABFH nội tiếp = EFH b Chứng minh FBA c Chứng minh BF qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải A H E D F O C B a) Xét ∆AHB vng cân H có D trung điểm AB ⇒ DA = DB = DH Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (1) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì F điểm đối xứng điểm H qua DE nên DH = DF (2) Từ (1) (2) ⇒ DA = DH = DB = DF Suy bốn điểm A, H, B, F thuộc trịn đường kính AB Vậy tứ giác ABFH nội tiếp = (3) b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a) ⇒ FBA FHE Vì F điểm đối xứng điểm H qua DE nên EH = EF = (4) Suy ∆EHF cân E ⇒ FHE EFH = Từ (3), (4) ⇒ FBA EFH c) Vì F điểm đối xứng điểm H qua DE nên = HDF ( ) FDE Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường trịn tâm D đường kính AB nên = HDF ( ) HAF = HAF = EAF Từ (5), (6) ⇒ FDE Suy tứ giác FDAE nội tiếp (7) Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp ∆ABC có = D trung điểm dây AB ⇒ ODA 900 = E trung điểm dây AC ⇒ OEA 900 Xét tứ giác ODAE có: + OEA = 1800 ODA Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường trịn đường kính AO Kết hợp (7), (8) (8) ⇒ A, D, , , F O E thuộc đường trịn đường kính AO ⇒ AFO = ADO = 900 (cùng chắn cung AO) Mặt khác: AFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) Suy ra: AFO + AFB = 1800 , nghĩa B, F, O thẳng hàng Vậy BF qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Câu (3,5 điểm) Một nhà máy sản xuất ống thép xuất xưởng ống thép bó lại tạo thành khối gồm 37 ống hình vẽ Biết ống có dạng hình trụ đường kính đáy 10 cm Tính độ dài sơi dây đai để buột ống thép lại với Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt d , r ( cm ) đường kính bán kính ống thép ⇒ d= 10cm; r= d / 2 5 = cm Ký hiệu điểm hình minh họa bên Trong đó: A, B, M, N, H tiếp điểm dây đai với ống thép HÌNH VẼ D, C, E, F, O tâm số ống thép Giả sử ống thép tiếp xúc khít dây đai buộc xác Dễ thấy ABCD hình chữ nhật ⇒ AB =CD =3d =3.10 =30 1 ( cm ) ( ) Nên hiển hiên điểm A, D, H, E thẳng hàng Xét ∆DEF có: DE= DH= OD − OH 2= ( 2r ) − r 2= 3r= 10 3 ( cm ) Tương tự tính DF = 10 3 ( cm ) EF = 10 3 ( cm ) = = EF = DF = 10 3 ( cm ) nên ∆DEF tam giác ⇒ EDF Như DE 600 Suy ADM = EDF = 600 (đối đỉnh) Chiều dài cung AM π 5.60 = π ( cm ) ( ) 180 Từ hình vẽ, kết hợp (1) (2) ta tính chiều dài dây đai là: l =6 π + 6.30 =180 + 10π ( cm ) Hết Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2023 – 2024 ……………… Đề thi mơn TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 07/06/2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU ………… ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3 điểm): x−3 x 2x 1− x , với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ − : x − x x x x − − − + a) Rút gọn = biểu thức: P x +8 b) Giải phương trình: x − x += y − x − xy − y + x = c) Giải hệ phương trình: x − y − + x + y = Câu (1,5 điểm): a) Tìm tất cặp số nguyên ( x , y ) thỏa mãn đẳng thức: x3 + x y − xy + x − y + y + = b) Cho 31 điểm nằm bên hình vng ABCD có độ dài cạnh 12 Chứng minh tồn hình trịn có bán kính nằm bên hình vng ABCD không chứa điểm 31 điểm cho Câu (2,0 điểm): a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện: b − 4c có ≥ Chứng minh phương trình ax + bx + c = a nghiệm âm b) Với số thực dương a, b, c thay đổi thoả mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a2 (1 + 8a )(1 + 8b ) 3 + b2 (1 + 8b )(1 + 8c ) 3 + c2 (1 + 8c )(1 + 8a ) 3 Câu (2,5 điểm): Cho đường tròn ( O ; R ) điểm A cho OA > R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB , AC (O) (B, C hai tiếp điểm) Vẽ dây cung CD (O) song song với AB Đường thẳng AD cắt (O) E khác A cắt BC G Qua G vẽ đường thẳng vng góc với OG cắt hai đường thẳng AB, AC M N a) Chứng minh tam giác OMN cân b) Gọi I trung điểm DE, OA cắt BC K Chứng minh: IE= IA ⋅ IG c) Tia BE cắt AC H Chứng minh CE qua trung điểm HG Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (1,0 điểm): Cho đường trịn (O) bán kính Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm đường tròn (O) cho điểm O nằm bên tam giác ABC Các đường thẳng OA, OB, OC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, OCA, OAB M, N, P khác O Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = OM + ON + OP …………………….HẾT ………………………… Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu (3 điểm): x−3 x 2x 1− x , với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ a) Rút gọn biểu thức: P = − : − x − − − + x x x x x3 + b) Giải phương trình: x − x += y − x − xy − y + x = c) Giải hệ phương trình: x − y − + x + y = Giải : −1 x ( x − 3) x ( x − 1) − x 2x − x a) P = − = : : ( x − 1)( x + 1) x − ( x + 1)( x − 3) x − ( x − 1) = ⇒P − x ( x + 1) = ⋅ (−( x − 1)) ( x − 1)( x + 1) x b) Điều kiện: x ≥ −2 Phương trình ⇔ ( x − x + ) + ( x + 2) − ( x + 2) ( x − x + ) = ⇔ ( x2 − 2x + − x + ) =0 ⇔ x − x + = x + x = ⇔ x − 3x + − ⇔ (thỏa mãn ĐK) x = Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S={1 ; 2} y − x − xy − y + x = (1) c) Điều kiện: x − y − ≥ Xét hệ pt: (2) x − y − + x + y = y = 2x ta có: (1) ⇔ ( y − x)( y + x − 1) = ⇔ y= 1− x * Trường hợp 1: với y = x thay vào (2), thu được: 1 x ≤ x ≤ ⇔ x − x − = − 3x ⇔ 3 2 x − x − =− 8 x − x + =0 6x + 9x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (vơ nghiệm) TÀI LIỆU TỐN HỌC ⇒ XD = XM ⇒ X trung điểm đoạn DM Website:tailieumontoan.com Vậy FN qua trung điểm đoạn DM Gọi a1 , , , a2 … a11 số kẹo 11 gói Đặt S= a1 + a2 + … + a11 Giả sử tổn a ≤ k , 11 l ≤ mà ak ≠ al Theo ra, ta suy S − a1 , , S − a2 …, S − a11 số chẵn ⇒ a1 , , a2 …, a11 chẵn lẻ Ta thực q trình sau: • Nếu a1 , , a2 …, a11 chẵn, ta thu số b2 … b11= ( b1 , , , ) VI a a1 a2 … 11 , , , • Nếu a1 , , a2 …, a11 lẻ, ta thu số b2= … b11 ) ( b1 , , , 1,0đ a11 − a1 − a2 − ; ; …; Ta thấy 11 gói kẹo với số kẹo b1 ; b2 ;…; b11 thoả mãn điều kiện đề Tiếp tục trình đến thu ( x1 ; x2 ;…; x11 ) mà tồn ≤ j; i ≤ 11 cho= xj 0;= xi Mà ( z1 ; z2 ;…; z11 ) thoả mãn điều kiện đề nên x1 ; x2 ;…; x11 tính chẵn lẻ (Mâu thuẫn) Điều giả sử sai Vậy a1 = a2 = … = a11 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC: 2023 – 2024 Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên Môn thi : Tốn (vịng 2) Câu : (3,5 điểm): 1) Giải phương trình 2x + + 4x2 + = x 5x − x2 2) Giải hệ phương trình 30 xy ( x + y ) = 3 x + y = 30 + x + y + 120 Câu (2.5 điểm): 1) Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn ( )( ) ( y x + + y + 7= 2x 3y + y + ) 2) Với x,y,z số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x14 − x + y14 − y + z14 − z + + + x y + zx + zy y z + xy + xz z x + yz + yx Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC nội tiếp đường trịn (O) có tiếp tuyến A (O) cắt BC T cho TB > BC Gọi P E trung điểm TA TC 1) Chứng minh tứ giác APEB nội tiếp 2) Gọi giao điểm thứ hai AE với (O) F Láy G thuộc (O) cho FG song song với AC Chửng minh ATG = TAF 3) Gọi H trực tâm tam giác ABC,D giao điểm AH BC M trung điểm BC K đối xứng với A qua BC N thuộc đường thẳng AM cho KN song song với HM Lấy S thuộc BC cho NS ⊥ NK Dựng R thuộc tia AK cho AR.AH = AD Q điểm cho PQ ⊥ AS SQ ⊥ AO Chứng minh điểm đối xứng A qua QR thuộc đường tròn đường kinh DN Câu (1 điểm) Viết 100 số nguyên dương 1,2, ,100 vào bảng vng kích thước 10 × 10 cách tuỳ ý cho ô vuông viết số Chứng minh tồn hai ô kề (hai có cạnh chung) mà hai số viết hai có hiệu lớn 10 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com PHẦN LỜI GIẢI Câu 1: (3,0 điểm): 1) Điều kiện: ≤ x < 5 Ta biến đổi phương trình thành x + x 4x + + 4x + = 4x + x − x + − x Sử dụng đẳng thức, ta thu ( x + x + 6) 2= (2 x + − x ) Suy x + x + 6= x + − x (do vế không âm), hay 4x + = x + 5− x Bình phương hai vế phương trình ta có 4x + = x + − x + x (5 − x ) Hay x= + x ( − x ) Tiếp tục hay Tiếp tục ta bình phương hai vế với điều kiện x + ≥ 0 (đã thoả mãn ) 16 x + x += 4x (5 − x ) x = Giải phương trình ta thu 1 x = (đều thoả mãn điều kiện) 10 = x Vậy, phương trình cho có hai nghiệm 1 = , x 10 2) Đặt S =+ x y, P = xy Ta có x + y = ( x + y )3 − xy ( x + y ) = S − 3SP Khi hệ phương trình trở thành SP = 30 S − 3SP =30 + S + 120 Thay SP = 30 vào phương trình thứ hai ta có S = 120 + S + 120 hay S + S = ( S + 120 ) + S + 120 Ta nhận thấy Nếu S > S + 120 120 , suy S3 > S + S + S > ( S + 120 ) + S + 120 loại Nếu S < S + 120 120 suy S3 < S + S + S < ( S + 120 ) + S + 120 loại Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Như ta có S = Website:tailieumontoan.com Giải phương trình ta thu S = S + 120, hay S − S − 120 30 = P 6 = Vậy ta có S x + y = xy = Theo Vi-ét đảo x,y hai nghiệm phương trình x2 − 5x + = Giải phương trình ta ( x, y ) = ( 2,3) , ( 3, ) Vậy hệ cho có hai nghiệm (x,y) ( 2,3) ( 3, ) Câu : (3,0 điểm): 1) Cách Ta có biến đổi phương trình sau ( )( ) ( y x + + y + 7= 2x 3y + y + ) ( y ⇔ 22 x − + + y + y + 21= 2x 3y + y + ( )( ) ) ⇔ x − y + y + − 2k =21y (1) ( ) Ta chứng minh UCLN x − 1;3x + y + − x = 1 .Thật vậy, UCLN( x − 1;3x + y + − x ) > gọi p ước nguyên tố chung x − 1,3x + y + − x Suy p | y + y ý y + y không chia hết cho 3, nên p ≠ 3, Lại có p| 21y nên p ∈ {3, 7} mâu thuẫn ( ) Vậy UCLN x − 1;3x + y + − x = 1 Ta xét hai trường hợp sau • Nếu x số chẵn x − chia hết cho 3x + y + − x chia dư Khi đó, từ phương trình (1) ta có 2x − = 3y x y x y 3 + + − =7 x Suy 2= y + ,Chi ý y ≡ 1,3 (mod 8) nên y + khơng chia hết cho Từ = x 2 = y Vậy (x, y) = (2, 1) • Nếu x số lẻ x − chia dư 3x + y + − x chia hết cho Khi đó, từ phương trình (1) ta có 2x − = 7y x y x y 3 + + − =3 x Suy 2= y + Về phải chia dư nên trái chia dư Từ = x 3k , k ∈ N * thay vào phương trình Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC (2 )( Website:tailieumontoan.com ) −1 + +1 = k 2k k y ) ( ( ) Vì UCLN 2k − 1; 22 k + 2k + ∈ {1,3} nên UCLN 2k − 1; 22 k + 2k + = 1. Vì 22 k + 2k + > 1 nên 2k − = x 3= k Vậy suy k = y = nên y = = ( x, y ) = ( 3,1) Vậy tất cặp số (x, y) thỏa mãn (2, 1), (3, 1) Cách Phương trình cho viết lại thành (2 x ) )( − y − 2x − 3y − = Tới giải giống hai trường hợp ( ) ( 3x 2) Ta có x14 − x + = 14 ) + − 3x6 + ≥ x6 − 3x6 + = x6 + theo bất đẳng thức AM-GM Lại có theo bất đẳng thức AM-GM, x6 + = (x ) ( ) ( ( ) + x6 + + x6 + x6 + + ≥ x4 + x4 + ≥ x4 + x2 ) Suy x4 x2 + 2∑ 2 M ≥∑ 2 x y + xz + yz x y + xz + yz áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu cho trái, ta có M≥ (x + y2 + z2 ) + 2( x + y + z ) x y + y z + z x + ( xy + yz + zx ) 2 2 2 ≥ ( ) x y + y z + z x + ( xy + yz + zx ) x y + y z + z x + ( xy + yz + zx ) 2 2 2 = Dấu xảy x = y = z = Giá trị nhỏ M Câu : (3,0 điểm) A P F O T E C B G Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1) Vì AT tiếp tuyến nên ta TA = TB.TC Như vậy, ta TP = TA = TA TB = TC TB.TE tứ giác APEB tứ giác nội tiếp 2 2) Vì EP đường trung bình ∆ TAC , ∆ FGC hình thang cân AT tiếp tuyến GAC Như (O) nên ta thu AEP = EAC = FAC = GCA = TAG = FCA = TAF = PAE AE AP = Lại ý AT = AP vậy, ta ∆ AEP ~ ∆ ACG (g-g) dẫn đến AC AG AE AE AP AT ta thu Kết hợp với AEP = TAG AC = EP , ta thu = = = EP AC AG AG ATG = TAF ∆ ~ AEP ∆ TAG (C.G.C) 3) ta xét bổ đề sau: ∆ABC, đường thẳng qua B vuông AC cắt AC,(ABC) F,D E thuộc (ABC) thoả DE//AC Đường thẳng qua E vuông EF cắt BF G, đg thẳng qua B vuông AG cắt đường thẳng qua C vuông AD H, L trung điểm AH CMR AEL = 90 Giải: BH giao EG J J thuộc (BFE) Mặt khác gọi K trung điểm BC F,K,J thẳng BFK = ABE = BEJ = BFJ Mà FK vuông AD vuông CH nên J trung điểm BH => JL // AB nên L thuộc EG => đpcm Quay lại tốn: Dựng hbh DKNG, DS' đg kính (ADG) KS'D = AS'D = AGD = DNK => S trùng S' NG giao BC F, NE vuông AD E Khi A,F,E,G thuộc đg trịn ( EF = DN = AG ) • Đường thẳng qua E vuông AF cắt đg thẳng qua T vng AS J Khi theo bổ đề, trung điểm Q' AJ thuộc SG ( để ý T thuộc (AFGE) ) Mà Q'P vuông AS => Q' trùng Q Hơn biến đổi tỉ số cho ta R trung điểm AE nên QR // JE vuông AF kết hợp thêm cho JE cắt AF A' A' thuộc (EF) hay A' thuộc (DN) nên ta có đpcm Câu 4: (1,0 điểm): Lời giải Cách Ta giải toán tổng quát: Điền số 1.2 n 2 với n > vào ô vuông bảng cỡn nn Khi tồn hai vuông kề (chung cạnh) chứa hai số x, y mà |x y| ≥ n Kí hiệu mk , M k tương ứng số nhỏ số lớn hàng thứ k với k = 1, , ,n Chú ý m1 , m2 , , mn , M , M , ……., M n đôi phân biệt Đặt m= max ( m1 , m2 , , mn ) M= ( M , M , ……., M n ) Xét hai trường hợp • Nếu m < M ta có mk ≤ m ≤ M k với k = 1, , ,n Điều suy với hàng k bất kỷ tồn hai số ak ≤ m < bk với hàng k ta chọn cặp ( ak , b k ) thuộc hai kề hàng k Vì b1 , b2 , … bn lớn m số b1 , b2 , … bn đôi phân biệt nên tồn k ∈ {1, 2, …., n} cho bk ≥ n + m bk − ak ≥ ( m + n ) − m = n Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC • Website:tailieumontoan.com Nếu m > M gọi i, j ∈ { 1, , ,n} số cho mi > M = M j Khi cột tồn số không vượt M (ví dụ số hàng j) số lớn M (ví dụ số hàng i) Khi với cột k tồn ak , b k cho ak ≤ M < bk ak , bk thuộc hai ô kề cột k Tương tự trường hợp ta có tồn k ∈ { 1, , ,n}mà bk ≥ M + n Suy bk − ak ≥ ( M + n ) − m = n Trong tình ta có điều phải chứng minh Cách Giả sử phản chứng, tồn cách điền để không tồn x,y Ta điền số vào bảng ô vuông, xét thời điểm mà n cột điền số Ta xét hai trường hợp sau: • • Nếu tồn cột phủ hồn tồn, ta đổi vai trò hàng cột (xét thời điểm n hàng có số) Nếu lại tồn hàng phủ hồn tồn, tức hai thời điểm xét trùng Điều khơng thể vừa thêm phải ô cuối hàng cột đó, xét thời điểm trước cho ta tất hàng điền Nếu không tồn cột phủ hồn tồn, cột có điền, ta chọn cột thứ i cặp ô Ai , B i mà Ai điền cịn Bi thì chưa Cần có Bi − Ai ≤ n − 1 kéo theo Bi ≤ max ( A1 , A2 , … , An ) + n -1, ∀i Mà số từ đến max( Ai ) đều điền nên Bi > max ( Ai ) , vô lý n số Bi phân biệt Các trường hợp cho ta giả sử sai ta có điều phải chứng minh Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI VỊNG MƠN TỐN TUYỂN SINH 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI 2023-2024 Câu 1) Chứng minh tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với bình phương số nguyên 2) Tìm cặp số nguyên (x, y) nghiệm hệ phương trình 10 xy − x = 12 x + y + xy = Câu a) Cho a, b số thực không âm, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức a − a + b − c= Chứng minh rằng: b+ c a + b − c= a+b−c b) Tìm tất số nguyên dương a, b cho số 3+ a số hữu tỷ 5+ b Câu Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Hai đường thẳng MG, NE cắt điểm P Chứng minh rằng: a) EG song song với MN b) Điểm P thuộc đường tròn (I) Câu Bảy lục giác xếp tô màu hai màu trắng, đen Hình Mỗi lần cho phép chọn lục giác đều, đổi màu lục giác tất lục giác chung cạnh với lục giác (trắng thành đen đen thành trắng) Chứng minh dù có thực cách làm lần nữa, nhận lục giác màu Hình Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI – VÒNG Câu 1: 1) Chứng minh tích bốn số nguyên liên tiếp cộng với bình phương số nguyên 10 xy − x = 2) Tìm cặp số nguyên (x, y) nghiệm hệ phương trình 12 x + y + xy = Lời giải 1) Gọi số nguyên liên tiếp a, a + , a + a + với a in mathbb Z Ta có biến đổi: a ( a + 1)( a + )( a + 3) + 1= (a )( ) + 3a a + 3a + + ( ) = (a + 3a ) + a + 3a + = (a + 3a + 1) Vì (a + 3a + 1) số phương nên toán chứng minh 2) Bằng phép biến đổi ta hệ phương trình sau 10 x ( y − 1) = 1 () 12 ( x + 1)( y + 1) = Vì 2, y nguyên nên x , 2y - nguyên 2y - ước lẻ 10 Ta xét trường hợp sau • 2y - = suy y = x = 10 thay vào (1) khơng thỏa mãn • 2y - = - suy y = x = - 10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn • 2y - = suy y = x = thay vào (1) ta thấy thỏa mãn • 2y - = - suy y = - x = - thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn Vậy cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn (x, y) = (2, 3) Câu 2: a) Cho a, b số thực không âm, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức 10 xy − x = ⇔ 12 x + y + xy = a − a + b − c= Chứng minh rằng: b+ c a + b − c= a+b−c b) Tìm tất số nguyên dương a, b cho số 3+ a 5+ b số hữu tỷ Lời giải a) Bằng phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b khơng âm c thực dương, ta có: a − a + b − c= ⇔ a − b = b+ c c + a+b−c ⇔ a + b − ab = a + b + c ( a + b − c ) ⇔ ab + c ( a + b − c ) = ab = ⇔ ( a + b − c ) = (*) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta cần chứng minh a + b − c= a + b − c Ta biến đổi tương đương đẳng thức kết hợp với a, b không âm c thực dương, ta có: 3 a + b − c= ⇔ a + b= ⇔ a+b+3 ⇔ ( ( 3 a+b−c c + a+b−c ) a b + ab = a + b + ) ( a b + ab = ( c ( a + b − c ) + c(a + b − c) c ( a + b − c ) + c(a + b − c) ) ) Đẳng thức cuối với điều kiện (*) nên đẳng thức đầu Bài toán chứng minh b) Lấy 𝛼𝛼 ∈ ℚsao cho √3 + √𝑎𝑎 = 𝛼𝛼 √5 + √𝑏𝑏 Viết lại phương trình dạng Bình phương vế ta có: a + α b − 2α ab = 5α − 2α 15 Từ suy √𝑎𝑎 − 𝛼𝛼√𝑏𝑏 = 𝛼𝛼√5 − √3 ab − 15 = β ∈ Bình phương vế đẳng thức ab − 15 + β ta ab =15 + β + β 15 ⇔ β 15 = ab − 15 − β Đẳng thức cuối xảy β = tức ab = 15 Xét tất khả xảy ra, ta +1 là1 số vô tỷ = + 15 5 3 • a = 3, b = tức là số vô tỷ = α = 5 3+ • a = 5, b = tức α = số hữu tỷ = 5+ 3 + 15 • a = 15 , b = ,= tức α = , số vô tỷ +1 Vậy tất cặp (a,b) thỏa mãn a = b = Các bạn tham khảo tốn gốc câu 26) sau Tìm tất số nguyên dương a, b cho số • a = , b = 15= tức α 2+ a 3+ b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com số hữu tỷ Câu Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, G.Hai đường thẳng DE , DG cắt đường phân giác ngồi góc BAC M , N Hai đường thẳng MG, NE cắt điểm P Chứng minh rằng: a) EG song song với MN b) Điểm P thuộc đường tròn (I) Lời giải M A N E P G I C B D AI phân giác góc A nên AI ⊥ AM mà GE // AI a) Vì AM phân giác BAC nên EG // AM hay GE // MN Bài toán chứng minh b) Gọi P1 giao NE đường trịn (I) từ EG // MN, ta có: ANP = ANE = P = PGA 1 EG Do tứ giác ANGP, nội tiếp kết hợp với tứ giác DG P1 E nội tiếp, ta có P = PGD = 180° − PGA EM = NAP 1 Suy tứ giác MA P1 E nội tiếp kết hợp với EG // MN tứ giác ANG P1 nội tiếp, ta có: + + GP AP1 M + APG = AEM + APG = DGE APG = GNA APG = 1 80° 1M = 1 1 Do ta điểm G, P1 , M thẳng hàng Vì nên P1 trùng P Nói cách khác MG, NE cắt điểm P nằm (I) Bài toán chứng minh Câu 4: Bảy lục giác xếp tô màu hai màu trắng, đen Hình Mỗi lần cho phép chọn lục giác đều, đổi màu lục giác tất lục giác chung cạnh với lục giác (trắng thành đen đen thành trắng) Chứng minh dù có thực cách làm lần nữa, nhận lục giác ô màu Hình Lời giải.: Cách Đánh số vào hình lục giác hình vẽ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta xét hình lục giác điền số thì ≡ bi (mod 2) bi tổng số điền hình lục giác chung cạnh với hình lục giác xét Do đó, đổi màu theo đề số dư phép chia cho tổng số hình lục giác tơ đen ln khơng đổi Đối với hình số dư 1, cịn hình số dư nên khơng thể có cách đổi màu biến hình thành hình Cách Xét ô 2,3,5,6 Mỗi bước ta đổi màu hai bốn nên số đen khơng thay đổi tính chẵn, lẻ Ban đầu bốn nói có hai đen nên khơng thể có trạng thái bốn có đen Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2023 Mơn thi: TỐN (Dùng cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Đại học Sư phạm) Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A= x2 + x x + x 16 − x với x > + + x−2 x +4 x x +2 b) Một khay nước có nhiệt độ 1250 F bắt đầu cho vào tủ đá.Ở tủ đá,cứ sau giờ, nhiệt độ khay nước lại giảm 20% Hỏi sau giờ, nhiệt độ khay nước 640 F ? Bài (3,0 điểm) a) Cho phương trình x − (2m − 1) x − (m + 1) = (1) ( m tham số) Chứng minh với giá trị m , phương trình (1) ln có nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 cho hệ thức khơng phụ thuộc vào m b) Cho parabol ( P) : y = ax (a ≠ 0) qua điểm A(−1; ) Tìm toạ độ điểm M parabol (P) cho khoảng cách từ điểm M đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm M đến trục hoành Bài (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có ABC = 1200 BC = AB Dựng đường trịn (O) có đường kính AC Gọi {E} = AB (O); {F } = AD (O) Gọi EF cắt BC, BD H , S Chứng minh rằng: a) ∆ABD tam giác vuông b) Tứ giác OBEH nội tiếp c) SC tiếp tuyến (O) Bài (1,0 điểm) Có hay khơng số ngun a, b cho (a + b 2023 ) = 2024 + 2023 2023 ? Bài (1,0 điểm) Trên bảng ta viết đa thức P( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) P ( x + 1) + P ( x − 1) xoá đa thức P (x) P ( x + 1) + P1 ( x − 1) Ta viết lên bảng đa thức P2 ( x) = xoá đa thức P1 ( x) Ta viết lên bảng đa thức P1 ( x) = Ta tiếp tục làm nhiều lần Chứng minh tiếp tục làm nhiều lần đến lúc ta nhận đa thức khơng có nghiệm Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………….SBD………………… Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHẦN LỜI GIẢI Bài 1: a) A = x2 + x x−2 x +4 = x ( ) + 2x + x x 16 − x + = x +2 ( ) x ( x3 + x−2 x +4 )+ ( x + + − x ) x + + x + + − x = x + Vậy A= x + b) Sau nhiệt độ khay nước 125o.80% = 100o Sau nhiệt độ khay nước 100o.80% = 80o Sau nhiệt độ khay nước 80o.80% = 64o Dễ thấy nhiệt độ khay nước giảm xuống thấp 64o F Vậy số cần tìm Bài 2: a) x − (2m + 1) x − (m + 1) = Các hệ số a = 1, b = −(2m + 1), c = −(m + 1) Vì ac = −(m + 1) < nên phương trình (1) ln có nghiệm Hệ thức liên hệ khơng phụ thuộc vào m cần tìm là: x1.x2 + b) Vì (P) y = ax qua điểm M (−1, ) nên a = ( x1 + x2 + 1) +1 = 2 Gọi toạ độ M ( x0 , y0 ) ⇒ y0 = x0 2 Theo giả thiết đề ta suy ra: x0 = y0 ⇒ x0 = x0 ⇒ x0 ∈ {0;±1} 2 Do toạ độ điểm M cần tìm (0,0); (1, ); (−1, ) Bài 3: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com = 600 a) Đặt AB = a, BC = 2a Vì ABC = 1200 ⇒ BAD Áp dụng định lí cosin vào ∆ABD ta có: BD = AB + AD − AB AD cos BAD = a + 4a − 2.2a.a cos 60 = 5a − 2a = 3a ⇒ BD + AB = AD Do ∆ABD tam giác vng theo định lí Pytago đảo b) Vì ∆ABD tam giác vuông nên OB ⊥ AE nên B trung điểm AE Mặt khác BH // AF nên theo tính chất đường trung bình ta có H trung điểm OBEH nội tiếp (ĐPCM) EF OHF = 90 = OBE = BHE Vì OBEH nội tiếp nên BHE c) Ta có: CHS = BOE = BOA = COS ⇒ OHCS nội tiếp ⇒ SCO = SHO = 900 Từ ta có SC tiếp tuyến (O) (ĐPCM) Bài 4: Giả sử tồn số nguyên a,b thoả mãn đề Khi (a + b 2023 ) = 2024 + 2023 2023 ⇒ a + 2ab 2023 + 2023b = 2024 + 2023 2023 ⇒ a + 2023b − 2024 = 2023 2023 − 2ab 2023 ⇒ a + 2023b − 2024 = 2023 (2023 − 2ab) 2 Vì a + 2023b − 2024 số hữu tỉ, 2023 ( 2023 − 2ab ) số vô tỉ nên 2ab = 2023 Điều vơ lí vế chẵn vế lẻ.Suy giả sử sai.Vậy không tồn số nguyên a,b thoả mãn đề Bài 5: Ta có: P1 ( x )= ax + bx + c + a P2 ( x )= ax + bx + c + 2a ………………………………… Pn ( x )= ax + bx + c + na với n thuộc N* Xét phương trình: ax + bx + c + na = ∆= b − 4a ( c + na ) Chọn số nguyên dương n cho n > b − 4ac 4a , ∆ < Do phương trình ax + bx + c + na = vô nghiệm.Vậy làm đến lúc ta nhận đa thức khơng có nghiệm Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC