(Luận văn) phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi fourier với biểu trưng tăng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN lu an n va PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN lu an PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG n va gh tn to p ie Ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGÂN z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực lu an chưa cơng bố hình thức trước n va Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác tn to giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát ie gh gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn p Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 d oa nl w Tác giả an lu nf va Lăng Thị An z at nh oi lm ul Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn z co l gm @ m TS Nguyễn Thị Ngân an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Trong q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Nguyễn Thị Ngân lu Tôi muốn gửi lời cảm ơn môn Giải tích, Khoa Tốn, tạo an va điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hoàn thành tốt n luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận gh tn to văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cơ, bạn ie p Tôi xin chân thành cảm ơn! oa nl w Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 d nf va an lu Tác giả lm ul z at nh oi Lăng Thị An z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i lu an Lời cảm ơn ii Mục lục iv va n Lời mở đầu tn to Biến đổi Fourier 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm p ie 1.1 w gh Một số kiến thức chuẩn bị oa nl 1.1.2 lu Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev 1.2.1.2 Không gian Sobolev H k (Q) 1.2.1.3 Vết hàm mặt 1.2.1.4 Không gian Hok (Q) nf va z at nh oi lm ul Không gian Sobolev cấp thực 1.2.2.1 Không gian H s (Rn ) 1.2.2.2 Không gian Hos (Ω) không gian H s (Ω) 12 1.2.2.3 Các không gian đối ngẫu z 1.2.2 an 1.2 Biến đổi Fourier tích chập d 1.1.3 m co l gm @ 13 Toán tử giả vi phân 16 1.4 Các đa thức Chebyshev 20 an Lu 1.3 n va ac th iii si 1.4.1 Đa thức Chebyshev loại 20 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại hai 22 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng 25 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 2.1 2.1.1 2.1.2 26 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 26 Ví dụ 29 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 2.2 lu 2.2.1 an va n 2.2.2 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 Ví dụ 35 tn to 38 p ie gh Kết luận d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iv si Lời mở đầu Phương trình cặp tích phân xuất giải số tốn biên hỗn hợp phương trình vật lý toán Các toán liên quan đến lý thuyết đàn hồi, vết nứt, dị tật mơi trường , đưa đến việc giải lu an phương trình cặp khác Tính giải phương trình cặp tích n va phân nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đến Nguyễn tn to Văn Ngọc, G Ia Popov, Với mong muốn nghiên cứu vấn đề này, gh chọn đề tài "Phương trình cặp tích phân phép biến đổi p ie Fourier với biểu trưng tăng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ w liệu tham khảo d oa nl Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài lu nf va an Chương 1: Trình bày số kiến thức sở biến đổi Fourier,khơng gian Sobolev, tốn tử giả vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức lm ul chebyshev loại trưng tăng z at nh oi Chương 2: Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu Trong chương trình bày tính giải phương trình cặp z gm @ tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) |ξ|2m+1 A(ξ) co l Trong trường hợp có nêu ví dụ minh họa m Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 an Lu Tác giả n va ac th si Lăng Thị An lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu Chương trình bày kiến thức biến đổi Fourier, khơng an gian Sobolev, tốn tử giả vi phân đa thức Chebysev Những kiến thức va n tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4] gh tn to Biến đổi Fourier p ie 1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh oa nl w 1.1.1 d Vì hàm S hàm khả tổng Rn , nên biến lu nf va an đổi Fourier xác định theo công thức Z F [ϕ](ξ) = ϕ(x)eix.ξ dx, lm ul ϕ ∈ S Rn z at nh oi Sau tính chất quan trọng biến đổi Fourier S 1) Có thể lấy đạo hàm số lần tùy ý dấu tích phân Fourier z l gm @ Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix)α ϕ](ξ) 2) Biến đổi Fourier đạo hàm m co an Lu F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ) n va ac th si 3) Đẳng thức Paserval Giả sử f ∈ L1 (Rn ) Khi F [f ] hàm liên tục bị chặn Rn nên hàm suy rộng quy S Khi ta có đẳng thức Z Z F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ = f (x)F [ϕ](x)dx Rn (1.1) Rn 4) Công thức biến đổi Fourier ngược ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]], F [ϕ(ξ)](x) (2π)n F −1 [ϕ(ξ)](x) = Định lý 1.1.1 Biến đổi Fourier F từ S sang S tương ứng một-một lu an liên tục vào nó, nghĩa đẳng cấu tuyến tính n va Rn p ie gh tn to Chứng minh Theo tính chất 1) 2), ta có Z b Dα ϕ(ξ) = eix.ξ (i)|α| xα ϕ(x)dx Z |β| β eixξ Dβ ψ(x)dx b (−i) ξ ψ(ξ) = (1.2) nl w Rn d oa b Trong (1.2) thay ψb = Dα ϕ(ξ) vận dụng tính chất 1), ta Z |α|+|β| β α b (−i) ξ Dξ ϕ(ξ) = eixξ Dxβ (xα ϕ(x))dx (1.3) an lu nf va Rn |β|=0 α=0 Rn z at nh oi lm ul Sử dụng công thức (1.1), ta Z m X m Z X b m6 ||ϕ|| |Dβ (xα ϕ(x))|dx Rn Cm ||ϕ||m+n+1 dx = C ||ϕ||m+n+1 m (1 + |x|)n+1 z b thuộc S , theo (1.1), Như vậy, ϕ ∈ S , ϕ gm @ bi → ϕ b S Làm tương tự toán tử F −1 , ϕi → ϕ S , ϕ l ta có kết tốn tử F ánh xạ đơn trị liên tục từ S vào S m co Định lý chứng minh an Lu n va ac th si Chương Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng lu an va n Trong chương này, chúng tơi trình bày tính giải phương gh tn to trình cặp tích phân với biểu trưng tăng Những kiến thức tham p ie khảo từ tài liệu [5], [6], [7] oa nl w Ta xét phương trình cặp tích phân có dạng sau    F −1 [|ξ|p A(ξ)u b(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), (2.1) d lu   F −1 [u b(ξ)](x) = 0, nf va an x ∈ R\(a, b), lm ul b ∈ S (R) ∩ C ∞ (R) hàm chưa biết, f (x) hàm cho trong u H −p/2 (a, b),p ≥ số nguyên Đối với hàm A(ξ)ta có giả thiết: z at nh oi i) A(ξ) ∈ C ∞ (R), ReA(ξ) ≥ 0, A(−ξ) = A(ξ), ii) L(ξ) = − A(ξ) = O(|ξ|−q ), |ξ| → ∞, ∀ξ ∈ (R), q > z gm @ co l Định lý 2.0.1 Nếu f (x) ∈ H −p/2 (a, b) giả thiết i) ii) thỏa m b] ∈ mãn phương trình cặp tích phân có nghiệm u = F −1 [u an Lu p/2 Ho (a, b) n va ac th 25 si 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2mA(ξ) 2.1.1 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) Trong phần xét phương trình cặp tích phân (2.1) cho trường hợp p = 2m, m số không âm Sử dụng công thức b](x) = Dxk F −1 [u b](x) F −1 [(−iξ)k u |ξ|2m = (−1)m (−iξ)2m , lu an n va gh tn to Ta biến đổi (2.1) dạng    Dm F −1 [(−iξ)m A(ξ)u b(ξ)](x) = (−1)m f (x), (2.2) x∈ / (a, b) p ie   u(x) := F −1 [u b](x) = 0, x ∈ (a, b), nl w b] tương Định lý 2.1.1 Phương trình cặp (2.2) Hom (a, b) với u = F −1 [u d oa đương với phương trình tích phân Fredholm Rb ϕ(x) − a K(x, t)ϕ(t)dt = h(x), x ∈ (a, b) với ϕ(x) ∈ L2 (a, b) Nếu an lu nf va DJ−m [(−1)m f ](x) ∈ L2 (a, b) phương trình cặp tích phân (2.2) Chứng minh z at nh oi lm ul Hom (a, b) có nghiệm xác định bởi: Z b ϕ(t)(x − t)m−1 sign(x − t)dt, u(x) = 2Γ(m) a ϕ ∈ Om (a, b) z gm @ Ta có phương trình (2.2) với f ∈ H −m (a, b) có nghiệm u = l b m (a, b) Theo Định b] ∈ Hom (a, b) Từ Định lý nhúng, có u ∈ C F −1 [u o m co lý 1.3.4, hàm u(x) biểu diễn công thức (1.35): Z b o ϕ(t)(x − t)m−1 sign(x − t)dt, ϕ ∈ Om (a, b) u(x) = 2Γ(m) a an Lu n va ac th 26 si biến đổi Fourier có dạng Z b 1 b(ξ) = F [u](ξ) = u F [ϕ](ξ) eiξt ϕ(t)dt = m (−iξ) a (−iξ)m (2.3) Chúng ta tìm hàm ϕ(t) khơng gian Ho0 (a, b) Không gian Ho0 (a, b) bao gồm hàm thuộc không gian L2 (R), theo Định lý 1.2.1, thấy rằng, ϕ(t) ∈ Ho0 (a, b) ∩ Om (a, b), hàm u(x) xác định công thức (1.35) thuộc không gian Hom (a, b) lu Để thuận tiện, ta viết điều kiện (1.30) dạng Z b ϕ(x)Pk [ξ(x)]dx = 0, (k = 0, 1, 2, , m − 1), (2.4) an a va n Pk (ξ) đa thức Legendre bậc k tn to 2x − (a + b) b−a (2.5) p ie gh ξ(x) = b nl w Z Ta có oa Pm [ξ(x)]Pn [ξ(x)]dx = (m 6= n), Z a b Pm2 [ξ(x)]dx = a b−a (2.6) 2m + d an lu b(ξ)](x) Vì f ∈ H −m (a, b) nên tồn DJ−m f Hàm F −1 [(−iξ)m A(ξ)u nf va thuộc khơng gian L2 (a, b), thác triển thuộc khơng gian S (R) lm ul [a, +∞] Đặt J = (a, b) tốn tử Dm coi tốn tử DJm z at nh oi Thay toán tử DJ−m vào hai vế phương trình đầu (2.2), sử dụng công thức (1.28) ta thu z m m + m−1 X aj Pj [ξ(x)], (2.7) j=0 l gm b(ξ)](x) = (−1) [(−iξ) A(ξ)u DJ−m f (x) @ F −1 m co aj số tùy ý, Pj (ξ) đa thức Legendre hàm ξ(x) cách sử dụng công thức L(ξ) = − A(ξ) = O(|ξ|−q ), an Lu b(ξ) xác định theo công thức (2.5) Trong (2.7) ta thay A(ξ) u |ξ| → ∞, q>1 n va ac th 27 si công thức (2.3) Sau biến đổi, ta thu phương trình tích phân sau b Z ϕ(x) − l(x − t)ϕ(t)dt = g(x) + a m−1 X aj Pj [ξ(x)], (2.8) j=0 l(x) = π ∞ Z L(ξ)cos(xξ)dξ, g(x) = DJ−m [(−1)m f ](x) lu Sử dụng (2.8) (2.5), điều kiện (2.4) có Z Z b Z b  2j +  b aj = − g(y)Pj [ξ(y)]dy + ϕ(t)dt l(y − t)Pj [ξ(y)]dy b−a a a a (2.9) an n va gh tn to Từ (2.8) (2.9) có phương trình tích phân sau Z b K(x, t)ϕ(t)dt = h(x), x ∈ (a, b), ϕ(x) − (2.10) a p ie nl w oa h(x) = g(x) − m−1 X d j=0 m−1 X an lu b Z 2j + b−a j=0  g(y)Pj [ξ(y)]dy Pj [ξ(x)], (2.11) a Z nf va K(x, t) = l(x − t) − 2j + b−a b  l(y − t)Pj [ξ(y)]dy Pj [ξ(x)] (2.12) a lm ul Bây kiểm tra lại nghiệm ϕ phương trình tích phân z at nh oi (2.10) thỏa mãn điều kiện (2.4) Thật từ (2.10)-(2.12) cho k = 0, 1, , m − 1, nhận z m co l gm @ an Lu n va ac th 28 si b Z Z ϕ(x)Pk [ξ(x)]dx − b a b + ϕ(t)dt a m−1 X j=0 = a 2j + b−a Z g(x)Pk [ξ(x)]dx− a j−0 b l(y − t)Pj [ξ(y)]dy Z a m−1 X b Z l(x − t)Pk [ξ(x)]dx+ ϕ(t)dt a Z b Z b Pj [ξ(x)]Pk [ξ(x)]dx a 2j + b−a b Z Z b g(y)Pj [ξ(y)]dy Pj [ξ(x)]Pk [ξ(x)]dx a a (2.13) lu Sử dụng (2.6) (2.13) có Z b ϕ(x)Pk [ξ(x)]dx = (k = 0, 1, 2, , m − 1), an n va a tn to tức điều kiện (2.4) thỏa mãn p ie gh Khi định lý chứng minh Ví dụ oa nl w 2.1.2 Trong ví dụ sau, ta chọn A(ξ) ≡ d lu nf va an Ví dụ 2.1.2 Cho J = (−1, 1), |ξ|2m A(ξ) ≡ |ξ|4 , f (x) = QδJ (x), Q = const, δJ (x) giới hạn hàm δ J Trong trường hợp này, lm ul phương trình cặp tích phân (2.2) tương đương với tốn biên z at nh oi d4 u(x) = QδJ (x), dx4 (2.14) z x∈ / (−1, 1) (2.15) gm @ u(x) = u0 (x) = 0, (−1 < x < 1), co l Chúng ta giải toán (2.14)-(2.15) không gian Ho2 (−1, 1) m Ta biết δ ∈ H −1/2−ε (R) ⊂ H −2 (R), ∀ε > 0, δJ ∈ H −2 (−1, 1) an Lu hàm δ(x) phần thác triển hàm δJ (x) Hơn nữa, DJ−2 [δJ ] ∈ L2 (−1, 1) n va ac th 29 si Theo (1.35) (2.10), có  R    x ϕ(t)(x − t)dt, −1 u(x) =   0, |x| ≥ 1, |x| < 1, (2.16)   −Q Qt   − , −2 ϕ(t) = QDJ [δJ (t)] + a0 + a1 t =  −Q Qt   + , −1 < t < 0, (2.17) t < lu Thay (2.17) vào (2.16), sau vài biến đổi, có   Q   (−2x3 − 3x2 + 1), −1 < x 0, u(x) = 24  Q   (2x3 − 3x2 + 1), x < 24 an n va (2.18) gh tn to p ie Dễ kiểm tra hàm u(x) định nghĩa theo công thức (2.18) Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có d an lu 2.2 oa nl w thỏa mãn phương trình vi phân (2.14) điều kiện biên (2.15) nf va dạng |ξ|2m+1A(ξ) lm ul 2.2.1 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu z at nh oi trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) Với trường hợp p = 2m + phương trình cặp (2.1) viết z @ an Lu   u(x) := F −1 [u b](x) = 0, x ∈ / (a, b) x ∈ (a, b), m co l gm dạng sau    Dm F −1 [(−iξ)m+1 isign(ξ)A(ξ)u b(ξ)](x) = (−1)m f (x), (2.19) n va ac th 30 si Theo Định lý (2.1.1) phương trình cặp (2.19) với f ∈ H −(m+1/2) có m+1/2 b] ∈ Ho nghiệm u = F −1 [u (a, b) Theo Định lý nhúng, chúng b m+1 (a, b) Theo Định lý 1.3.4, hàm biểu diễn ta có u(x) ∈ C o dạng u(x) = 2Γ(m + 1) Z b ϕ(t)(x − t)m sign(x − t)dt, (2.20) a ϕ(t) ∈ Om+1 (a + b) Để thuận tiện thay điều kiện (1.29) dạng lu Z b an ϕ(x)Tk [ξ(x)]dx = 0, (k = 0, 1, , m), (2.21) n va a tn to Tk (ξ) đa thức Chebyshev bậc hàm ξ(x) định nghĩa gh b(ξ) hàm theo công thức (2.5) Như biết, biến đổi Fourier u p ie u(x) xác định theo công thức Z b 1 iξt b(ξ) = u ϕ(t)e dt = F [ϕ](ξ) (−iξ)m+1 a (−iξ)m+1 oa nl w (2.22) d Chúng ta tìm hàm ϕ(t) không gian L2ρ (a, b), p ρ(x) = (x − a)(b − x) Sử dụng Bổ đề 1.3 cơng thức (2.22) có nf va an lu m+1/2 lm ul thể hàm u(x) thuộc không gian Ho (a, b) Với đối z at nh oi số phần trước, áp dụng tốn tử DJ−m , J = (a, b) cho đẳng thức (2.19) nhận được: m+1 [(−iξ) b(ξ)](ξ) = g(x) + isign(ξ)A(ξ)u z F −1 m−1 X cj Uj [ξ(x)], x ∈ (a, b), gm @ j=0 (2.23) l m co cj = const, g(x) = (−1)m DJ−m f (x), Uj (ξ) đa thức Cheby- an Lu b(ξ) cách shev loại hai Bây (2.23) thay A(ξ) u sử dụng điều kiện ii) phần công thức (2.22) tương ứng Sử dụng n va ac th 31 si công thức F −1 [sign(ξ)F [ϕ](ξ)](x) = πi b Z ϕ(t)dt , x−t a ϕ ∈ L2ρ±1 (a, b), Sau vài biến đổi có π b Z a dt =− ϕ(t) t−x π b Z ϕ(τ )k(x − τ )dτ − g(x) − a m−1 X cj Uj [ξ(x)], (2.24) j=0 +∞ Z +∞ Z k(x) = [1 − A(ξ)]sin(xξ)dξ L(ξ)sin(xξ)dξ = 0 lu an Áp dụng cơng thức (1.41) vào phương trình (2.24), có phương va n trình tích phân thứ hai sau Z p ie gh tn to ϕ(x) = π ρ(x) b Z ϕ(τ )dτ a m−1 X πρ(x) a dt ρ(t)k(t − τ ) + t − x πρ(x) b Z ρ(t)Uj [ξ(t)] cj a j=0 dt C + , t − x ρ(x) Z b ρ(t)g(t) a dt t−x a < x < b, (2.25) oa nl w + b d C số tùy ý Sử dụng điều kiện Z b Z b ϕ(t)T0 [ξ(t)]dt = ϕ(t)dt = a lm ul công thức nf va an lu a Z b từ (2.25) ta thu C =0 (j = 0.1, , m − 1) sử dụng z @ Để xác định hệ số cj , z at nh oi a dt =0 ρ(t) t − x l gm công thức sau cách thay biến tương ứng Z b dt b−a ρ(t)Uj [ξ(t)] =− Tj+1 [ξ(x)], π a t−x Z b Tj [ξ(x)]dx =− Uj−1 [ξ(t)], π a ρ(x)(t − x) b−a m co (2.26) an Lu n va ac th 32 (2.27) si π b Z Tk [ξ)(x)]Tj [ξ(x)] a (σ0 = 1, σk = , k = 1, 2, ), (2.28) dx = σk δkj , ρ(x) δkj kí hiệu Kronecker Như từ (2.25) (2.26) có ϕ(x) = π ρ(x) Z b b Z ϕ(τ )dτ a − b−a 2πρ(x) a m X dt ρ(t)k(t − τ ) + t − x πρ(x) c∗j Tj [ξ(x)], c∗j = cj−1 , Z b ρ(t)g(t) a dt t−x a < x < b (2.29) j=1 Để xác định hệ số c∗j (2.29) sử dụng điều lu an n va p ie gh tn to kiện (2.21) công thức (2.22) có Z b Z b ∗ cj = − ϕ(τ )dτ ρ(t)k(t − τ )Uj−1 [ξ(t)]dt (b − a)2 π a a Z b − ρ(t)g(t)Uj−1 [ξ(t)]dt, (j = 1, 2, , m) (2.30) (b − a)2 a p Từ (2.29) (2.30) ta có phương trình tích phân với ρ(x)ϕ(x) ∈ w d oa nl L2 (a, b) : Z b q q ρ(x)ϕ(x) − H(x, τ ) ρ(τ )ϕ(τ )dτ = h(x), lu a < x < b, (2.31) an a nf va m n o X ρ(t)k(t−τ ) + Tj [ξ(x)]Uj−1 [ξ(t)] dt, t − x b − a j=1 a (2.32) m n o X ρ(t)g(t) + Tj [ξ(x)]Uj−1 [ξ(t)] dt t − x b − a j−1 z a b b z at nh oi h(x) = p ρ(x)π Z Z lm ul p H(x, τ ) = p ρ(x) ρ(τ )π Lưu ý L(ξ) = − A(ξ) = O(|ξ|−q ), q > cho hàm A(ξ), Theo Định lý 1.3 Từ (2.32) m co |ξ| → ∞, l gm @ (2.33) an Lu có H(x, τ ) ∈ L2 ((a, b) × (a, b)) Tương tự, g(x) = (−1)m Dj−m f (x) ∈ n ac th 33 va L2ρ (a, b) hàm h(x) cho cơng thức (2.33) L2 (a, b) si Định lý 2.2.1 Phương trình cặp (2.19) b](x) ∈ Hom+1/2 (a, b) u(x) = F [u tương đương với phương trình tích phân (2.31) p ρ(x)ϕ(x) ∈ L2 (a, b) Nếu (−1)m DJ−m f (x) ∈ L2ρ (a, b) phương trình (2.31) có nghiệm b](x) ∈ L2 (a, b) Trong trường hợp này, nghiệm u(x) = F [u m+1/2 (a, b) phương trình cặp (2.19) cho công thức Z b (x − t)m sign(x − t)ϕ(t)dt, x ∈ R u(x) = 2Γ(m + 1) a Ho (2.34) lu an Chứng minh Bây kiểm tra nghiệm ϕ phương trình va n tích phân (2.31) thỏa mãn điều kiện (2.21 ) Thật vậy, từ (2.31)-(2.33) cho gh tn to k = 0, 1, , m, cho b Z ie Z p ϕ(x)Tk [ξ(x)]dx = b Z ϕ(τ )dτ a a q dx H(x, τ ) ρ(τ )Tk [ξ(x)] p ρ(x) Z b dx h(x)Tk [ξ(x)] p (2.35) = ρ(x) a d oa nl w a b b nf va an lu Vì (2.28)-(2.29), có z at nh oi lm ul q dx H(x, τ ) ρ(τ )Tk [ξ(x)] p ρ(x) a Z b nZ b T [ξ(x)]dx k k(t − τ )ρ(t)dt = π a a ρ(x)(t − x) Z m b X dx o + Uj−1 [ξ(t)] Tj [ξ(x)]Tk [ξ(x)] b − a j=1 ρ(x) a Z n 2π πo b k(t − τ )ρ(t)dt − Uk−1 [ξ(t)] + Uk−1 [ξ(t)] ≡ = π a b−a b−a Z z l gm @ m co (2.36) an Lu n va ac th 34 si Tương tự, có Z b Z nZ b T [ξ(x)dx] dx b k h(x)Tk [ξ(x)] p = ρ(t)g(t)dt ρ(x) π a a ρ(x)(t − x) Z b m X dx o + Uj−1 [ξ(t)] Tj [ξ(x)]Tk [ξ(x)] b − a j=1 ρ(x) a a = (2.37) Từ (2.35)-(2.37), điều kiện (2.21) thỏa mãn Định lý chứng minh lu an 2.2.2 Ví dụ va n Ví dụ 2.2.2 Ta xét phương trình cặp sau tn to p ie gh    F −1 [|ξ|3 u b(ξ)](x) = f0 = const, x∈ / (−1, 1) nl w   u(x) := F −1 [u b(ξ)](x) = 0, x ∈ (−1, 1), d oa Phương trình viết dạng     d F −1 [(−iξ)2 i.sign(ξ)u b(ξ)](x) = −f0 , x ∈ (−1, 1), dx   u(x) = 0, x ∈ / (−1, 1) lu nf va an (2.38) lm ul z at nh oi Trong trường hợp có  R    x (x − t)ϕ(t)dt, −1 u(x) =   0, |x| > 1, |x| < 1, (2.39) z p 1− n o +2T1 (x)Uo (t) dt, (t+1)] t−x −1 < x < l −1 t2 [−f gm Z @ ϕ(x) = √ − x2 T1 (x) = x, n ac th 35 T2 (x) = 2x2 − 1, va To (x) = 1, an Lu Sử dụng công thức (2.26), (2.27) có tính đến m co (2.40) si Uo (x) = 1, U2 (x) = 4x2 − U1 (x) = 2x, Chúng ta đưa cơng thức (2.40) công thức sau p f0 ϕ(x) = √ − f0 − x2 , |x| < 2 1−x Thay (2.41) vào (2.40), có     f0 (1 − x2 )3/2 , |x| < u(x) =   0, |x| > (2.41) (2.42) Đặt ϕ(x) = |x| > 1, có cơng thức sau cho biến đổi lu Fourier ϕ(x) u(x) [3]: an πf0 J2 (ξ), b(ξ) = F [u](ξ) = F [u](ξ) = u n va b ϕ(ξ) = F [ϕ](ξ) = − tn to πf0 J2 (ξ) , ξ2 (2.43) p ie gh Jn (ξ) hàm Bessel thứ nhất: ∞  ξ n X (−1)k  ξ 2k Jn (ξ) = k!(n + k)! k=0 w oa nl Từ (2.43), rõ ràng d b(ξ) = u (2.44) an lu b ϕ(ξ) (−iξ)2 nf va Sử dụng tiệm cận hàm Bessel   Jn (ξ) = O p , |ξ| z at nh oi lm ul ξ→∞ 3/2 Chúng ta u(x) ∈ Ho (−1, 1) Bây ta kiểm tra việc thực phương trình cặp (2.38) Thay z @ (2.43) vào (2.38) có tính đến (2.44), có m co l gm d −1 d −1 b(ξ)isign(ξ)](x) = b F [(−iξ)2 u F [ϕ(ξ)i sign(ξ)](x) dx dx Z ∞ f0 d =− J2 (ξ)sin(xξ)dξ dx Z ∞h i f0 d 2J1 (ξ) =− − J0 (ξ) sin(xξ)dξ dx ξ an Lu n va ac th 36 si Sử dụng đồng thức ∞ Z J0 (ξ)sin(xξ)dξ = Z ∞    0, ±1   , √ x2 −    0, J1 (ξ) sin(xξ)dξ =  ξ   |x| 1, ±x > 1, |x| < 1, ±1 √ , |x| + x2 − ±x > 1, Khi |x| < có lu d −1 b(ξ)isign(ξ)](x) = F −1 [|ξ|3 u b(ξ)](x) = −f0 , F [(−iξ)2 u dx |x| < an va n Vì phương trình cặp cho có nghiệm p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 37 si Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày tổng quan số kết sau: Hệ thống khái niệm biến đổi Fourier, khơng gian lu an Sobolev, tốn tử giả vi phân đa thức Chebysev loại 1, đa thức Chebysev va n loại to gh tn Trình bày tính giải phương trình cặp tích phân với biểu p ie trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) d oa nl w Đã ví dụ minh họa cho trường hợp nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 38 si Tài liệu tham khảo [1] V A Alecsandrov and E V Kovalenko, Stamp motion on the surface of a thin covering on a hydraulic foundation, J Appl Math Mech 45 (1981) (4), 734-744(in Rusian) lu an n va [2] B I A vilkin and E.V Kovalenko, On a dynamic contact problem for 847-856 ie gh tn to a compound foun-dation, (Russian) J Appl Math Mech 46 (1983) (5), p [3] R Duduchava, Integral Equations with Fixed singularities, Teubner Ver- oa nl w lagsgesellschaft, Leipzig, 1979 d [4] N V Ngoc and G Ia Popov, On the dual integral equations connected an lu with Fourier transforms, Ukrain Math Zh 38 (2) (1986), 188-195 (in nf va Russian) lm ul z at nh oi [5] N V Ngoc, On the solvability of dual integral equations involving Fourier transform, Acta Math Vietnam 13 (2) (1988), 21-30 z [6] N V Ngoc, Dual integral equations involving Fourier transform, Meth- @ l gm ods of complex and Clifford Analysis, SAS Int Publ Deli (2004), 153160 m co an Lu [7] N V Ngoc, Dual integral equations involving Fourier transforms with increasing symbols, Acta Math.Vietnam 34 (3) (2009), 305-318 n va ac th 39 si