(Luận văn) phương pháp diện tích và thể tích trong hình học sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THANH THỦY lu an PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP n va p ie gh tn to nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THANH THỦY lu an n va PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP p ie gh tn to nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu va Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp 60 46 01 13 ll u nf Mã số: oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si iii Mục lục lu an n va iv Chương Phương pháp diện tích 1.1 Định lý Pythagore 1.1.1 Tam giác vuông 1.1.2 Hệ tọa độ Descarte vng góc 1.2 Định lý Stewart 1.3 Phương pháp diện tích 1.3.1 Phương pháp diện tích 1.3.2 Định lý Ptolemy mở rộng 1.3.3 Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner 1.4 Định lý Ceva Định lý Menelaus 1.5 Bất đẳng thc Erdăos-Mordell cho a giỏc 2 13 13 15 22 24 29 35 35 35 36 42 p ie gh tn to Mở đầu nl w d oa Chương Phương pháp thể tích 2.1 Phương pháp thể tích 2.1.1 Phương pháp thể tích 2.1.2 Thể tích qua định thức 2.2 Quan hệ bán kính mặt cầu ngoại-nội tiếp ll u nf va an lu 46 Tài liệu tham khảo 56 z at nh Kết luận oi m Chương Vận dụng giải thi học sinh giỏi 57 z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Mở đầu Hình học phân nhánh Toán học xuất sớm nhân loại Nhiệm vụ hình học mơ tả ngắn gọn trả lời cho câu hỏi hình dạng, kích thước, vị trí tương đối hình khối, tính lu chất khơng gian an Các phương pháp giải tốn hình học sơ cấp vốn vô phong phú đa va n dạng Điều hồn tồn dễ hiểu hình học môn học truyền thống tn to nhà trường phổ thông trường đại học sư phạm Dưới hướng dẫn gh PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, tác giả luận văn có mục đích trình bày phương p ie pháp diện tích thể tích hình học thảo luận thi học sinh w giỏi, nhằm làm phong phú lý thuyết vừa trình bày tạo nhìn đa chiều nhiều oa nl khía cạnh cho giải tốn hình học d Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Chỉ mục, nội dung va an lu luận văn trình bày ba chương: u nf • Chương Phương pháp diện tích Chương trình bày kết ll phương pháp diện tích ứng dụng vào giải tốn hình học sơ cấp Các oi m chủ đề thảo luận Định lý Pythagore, Định lý Stewart, Ceva, z at nh Menelaus Bất đẳng thức Erdăos-Mordell cho a giỏc z ã Chng Phng phỏp thể tích Chương dành để trình bày phương @ pháp thể tích hình học, đặc biệt lưu ý đến thể tích qua định thức l gm quan hệ liên quan đến bán kính mặt cầu nội ngoại tiếp m co • Chương Vận dụng giải thi học sinh giỏi Chương trình bày lời pháp diện tích thể tích Chương Chương an Lu giải số thi học sinh giỏi điển hình liên quan đến phương n va ac th si v Tác giả hi vọng rằng, luận văn làm tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm đến Hình học sơ cấp ứng dụng Nó có ích việc bồi dưỡng giáo viên, học sinh giỏi, quan tâm đến toán sơ cấp muốn mở rộng nhãn quan nói chung Luận văn tác giả đầu tư nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ nhiều lí do, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận nhiều đóng góp quý Thầy Cô, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh lu Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 an Tác giả n va gh tn to p ie Phạm Thị Thanh Thủy d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phương pháp diện tích Hình học sơ cấp phát triển dựa nhiều kết tốn học cao cấp lu Ví dụ đơn giản để đo độ dài đoạn thẳng hay diện tích hình vng an theo đoạn thẳng chọn làm đơn vị đo ta phải sử dụng kết giới va n hạn, liên tục tích phân xác định Vấn đề lý giải trình hình thành kết tn to qua toán cao cấp cần thiết thường sử dụng tỷ số đoạn thẳng ie gh diện tích chứng minh Từ ta phát nhiều kết p 1.1 Tam giác vuông d oa nl 1.1.1 w Định lý Pythagore an lu Dựa vào tiên đề số đo độ dài đoạn thẳng nhiều kết lý thuyết ll u nf a va giới hạn ta sử dụng mệnh đề để tính diện tích hình vng cạnh z at nh a2 đơn vị diện tích oi m Mệnh đề 1.1.1 Diện tích hình vng ABCD với độ dài cạnh AB = a (đơn vị dài) Chứng minh Dựng hệ tọa độ Axy : A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a) Khi a a dx = ax = a2 l gm @ z SABCD = Za m co Như vậy, diện tích hình vuông ABCD cạnh a a2 đơn vị diện tích an Lu Mệnh đề 1.1.2 Tam giác vng ABC có độ dài cạnh a = BC, b = CA, c = AB ∠BAC = 900 Hạ đường cao AH ⊥ BC Đặt h = AH diện tích tam giác qua S n va Khi ta có đồng thức ac th si (1) a2 = b2 + c2 [Pythagore] (2) b2 = a.BH c2 = a.CH 1 = + h2 b2 c (3) a.h = b.c, h2 = BH.CH (4) 2S = a.h = b.c Chứng minh Dựng hình vng ABCD với cạnh AB = a Dựng vào bên hình vng ABCD bốn tam giác vng ABA1 , BCB1 , CDC1 DAD1 tam giác vng ABA1 Khi ta có hình vuông A1 B1C1 D1 với A1 B1 = |b − c| Ta có SABCD tổng diện tích bốn tam giác vuông ABA1 , BCB1 , CDC1 , DAD1 lu hình vng A1 B1C1 D1 Vậy, ta có hệ thức an va n a2 = b.c + (b − c)2 = b2 + c2 p ie gh tn to Các kết lại hiển nhiên d oa nl w ll u nf va an lu oi m có z at nh Hệ 1.1.1 Với biểu diễn b = a sin B, c = a cos B tam giác vuông ABC ta z sin2 B + cos2 B = @ m co l hệ thức sin2 B + cos2 B = gm Chứng minh Từ a2 = b2 + c2 = a2 (sin2 B + cos2 B) theo Định lý 1.1.2 ta nhận Hệ 1.1.2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d d ′ Lấy A, B thuộc d an Lu C, D thc d ′ Khi d ⊥ d ′ AC2 + BD2 = AD2 + BC2 n va Chứng minh Kết suy từ Định lý Pythagore ac th si y1 y2 y3 √ Ta nhận bất đẳng thức n(r) 2π r2 Vì π số siêu việt n số nguyên √ dương nên n(r) < 2π r2 √ Nhận xét 1.3.2 Kết yếu n(r) < π r2 [Iran MO 1999] w Ví dụ 1.3.4 Cho tam giác ABC với trọng tâm G Với điểm S bất kỳ, gọi I trung d oa nl điểm SG đường thẳng tùy ý d qua I cắt SA, SB, SC A1 , B1 ,C1 , tương ứng, SB SC SA + + = khác S Chứng minh SA1 SB1 SC1 an lu va Bài giải Gọi M trung điểm BC kéo dài AM phía M lấy điểm N cho SN SA SG + =2 = SN1 SA1 SI oi m z at nh Vậy SN SG SM + =2 , SN1 SI SM1 ll SB SC SM + =2 , SB1 SC1 SM1 u nf M trung điểm GN Gọi giao điểm SM, SN với d M1 , N1 Khi SB SC SA + + = SA1 SB1 SC1 z @ m co l Chứng minh Do SABM + SACM = SABC nên sin ∠BAM sin ∠CAM sin ∠BAC + = AC AB AM gm Mệnh đề 1.3.6 Với ∆ABC M ∈ BC ta có an Lu sin ∠BAM sin ∠CAM sin ∠BAC + = AC AB AM n va ac th si 20 Ví dụ 1.3.5 Với tứ giác lồi ABCD, K = AD × BC, L = AB × CD, F = BD × KL, 1 G = AC × KL, ta ln ln có hệ thức = + KL KF KG lu an n va p ie gh tn to w oa nl Bài giải Đặt α = ∠CKA β = ∠CKL Theo Mệnh đề 1.3.6 ta ln có hệ thức d sau: lu ll u nf va an sin(α + β ) sin α sin β sin(α + β ) sin α sin β = + , = + KB KL KA KC KL KD sin(α + β ) sin α sin β sin(α + β ) sin α sin β = + , = + KB KF KD KC KG KA m oi có kết z at nh sin α sin β sin α sin β sin α sin β sin α sin β + + + = + + + KL KA KL KD KF KD KG KA gm @ 1 = + KL KF KG z hay hệ thức m co ℓa , ℓb , ℓc ta ln có hệ thức l Ví dụ 1.3.6 Với tam giác ABC, độ dài cạnh a, b, c độ dài đường phân giác an Lu n va ∠B ∠C ∠A cos cos + + = + + ℓa ℓb ℓc a b c cos ac th si 21 Bài giải Theo Mệnh đề 1.3.6 ta có ∠A = + 1, ℓa b c cos ∠B = + 1, ℓb c a ∠C = + ℓc a b cos cos Từ ta có hệ thức ∠A ∠B ∠C cos cos + + = + + ℓa ℓb ℓc a b c cos Ta có điều phải chứng minh lu Ví dụ 1.3.7 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử M, N ∈ AB P, Q ∈ CD cho an AM = NB CP = QD Chứng minh rằng, SAMQD = SBNPC AB k CD va n Bài giải Giả sử AB CD cắt O Dựng hệ tọa độ Oxy cho tn to M(u + a, 0), A(u, 0), gh Q(z + b, k(z + b)), B(v + a, 0), P(t, kt), C(t + b, k(t + b)) p ie D(z, kz), N(v, 0), w với < u < v, < z < t, k 6= 0, a, b > 0, AM = NB DQ = PC Giả thiết d oa nl SAMQD = SBNPC Tính u + a − u − z + b − u − a k(z + b) −