(Luận văn) phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp tách giải bài toán chấp nhận tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN lu an n va PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN tn to VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN p ie gh GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN lu an VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN n va GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH p ie gh tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 d oa nl w Mã số: nf va an lu lm ul z at nh oi TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si i Mục lục lu an ii Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 16 Một số bổ đề cần thiết 17 n va Danh sách ký hiệu p ie gh tn to Phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán d oa nl w 1.2 lu Phương pháp lặp ẩn 21 lm ul 2.1.1 Mô tả phương pháp 21 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp 22 Phương pháp lặp 26 2.2.1 Mô tả phương pháp 26 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp z at nh oi 2.2 nf va 2.1 21 an chấp nhận tách z @ l gm 38 m co Tài liệu tham khảo 26 an Lu n va ac th si ii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: lu an n va tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian tuyến tính to R tn tập đóng lồi H C gh tốn tử tuyến tính giới nội p ie A tích vơ hướng hai vectơ x y oa chuẩn vectơ x d kxk toán tử phi tuyến nl hx, yi w T lu xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu x F ix(T ) tập điểm bất động T I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu từ H lên C KM Krasnosel’skii-Mann nf va an xn → x z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu toán chấp nhận tách số phương pháp giải: Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert tương ứng H1 H2 Bài toán chấp nhận tách phát biểu: Tìm lu an điểm x∗ với tính chất va n x∗ ∈ C Ax∗ ∈ Q, tn to (1) ie gh A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính giới nội Bài tốn chấp nhận p tách không gian Hilbert hữu hạn chiều đề xuất Censor nl w Flfving để mơ hình hóa tốn ngược xuất khôi phục ảnh d oa y học Mới đây, người ta tìm thấy tốn dùng an lu để mơ hình hóa xạ lm ul phương trình bất động nf va Lưu ý toán chấp nhận tách (1) phát biểu dạng
PC I − γAT (I − PQ ) A x∗ = x∗ z at nh oi (2) đây, AT ánh xạ đối ngẫu A, PC PQ phép chiếu mêtric z tương ứng lên C Q Ta thấy, x∗ nghiệm toán chấp nhận tách (1)
x∗ điểm bất động PC I − γAT (I − PQ ) A Từ l gm @ co suy ta sử dụng phương pháp tìm điểm bất động giải m tốn chấp nhận tách Một thuật toán giải toán (1) thuật toán an Lu CQ Byrne Thuật toán sử dụng phương pháp chiếu gradient n va (GPM) tốn cực tiểu lồi Tiếp đó, Byrne áp dụng bước lặp cho ac th si thuật toán CQ Zhao sử dụng bước lặp cho thuật toán CQ nhiễu giải toán chấp nhận tách Chúng ta biết thuật toán CQ thuật toán KM cho tốn chấp nhận tách khơng thiết hội tụ mạnh không gian Hilbert vô hạn chiều Mới đây, Wang Xu đề xuất thuật toán CQ cải biên với hội tụ mạnh cách đưa vào đường cong xấp xỉ cho toán chấp nhận tách không gian Hilbert vô hạn chiều nhận nghiệm có chuẩn cực tiểu tốn chấp nhận tách giới hạn mạnh đường cong xấp xỉ lu Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học an Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường n va Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng to gh tn dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời p ie gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn oa nl w Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích d cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn lu nf va an sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường phịng chức Trường; lm ul Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, lãnh tập z at nh oi đạo đơn vị công tác quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học z Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y @ co l nhiều trình học tập, nghiên cứu gm (khóa 2015–2017), đồng nghiệp ln động viên giúp đỡ tác giả m Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè n va cứu an Lu động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên ac th si Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Hồng Nhân lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức Chương gồm mục: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực lu số tính chất khơng gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử an n va đơn điệu toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực Mục tn to 1.2 trình bày số bổ đề bổ trợ cho chương Các kiến thức p ie gh chương viết sở tổng hợp tài liệu [1], [2] Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert Không gian Hilbert d oa 1.1.1 nl w 1.1 lu nf va an a) Định nghĩa tính chất lm ul Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, z at nh oi ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: z @ l gm (1) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn); m co (2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); n va x ∈ X; an Lu (3) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với ac th si (4) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X; (5) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (6) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (7) (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (8) α(x + y) = αx + αy, với α ∈ R, với x, y ∈ X lu Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực an n va R Tích vơ hướng không gian H ánh xạ từ tích Descartes tn to H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: p ie gh (1) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H w (2) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H d oa nl (3) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R nf va an lu (4) hx, xi > x 6= hx, xi = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy lm ul z at nh oi (1) hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R; (2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H z Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H với tích vơ hướng l gm @ gọi khơng gian tiền Hilbert (1.1) n va |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi an Lu với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: m co Định lí 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong khơng gian tiền Hilbert H, ac th si Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi Từ suy ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với x, y ∈ H Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H Định lý chứng minh lu an Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y n va phụ thuộc tuyến tính to gh tn Định lí 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định p ie chuẩn với chuẩn xác định p kxk = hx, xi với nl w (1.2) x ∈ H d oa Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng p Hàm số kxk = hx, xi với x ∈ H chuẩn H nf va an lu Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (4) Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > lm ul x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (1) (3) z at nh oi Định nghĩa 1.1.2 ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có với x, y ∈ H (1.3) z m co hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi l Từ với x, y ∈ H ta có: gm @ |hx, yi| ≤ kxk.kyk an Lu
2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk n va Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H ac th si 0 lu an Dễ dàng thấy rằng, A tốn tử tuyến tính Do đó, A tốn tử n va tuyến tính liên tục gh tn to Ví dụ Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với p ie ηi = k X aij ξj (1.7) i = 1, 2, 3, , m, w j=1 d oa nl aij số Ma trận   a a1k  11        am1 · · · amk nf va an lu lm ul z at nh oi ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng qt tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho với z n i=1 ηi fi va y= m X an Lu m j=1 co ξj ej l x= k X gm @ x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm ) ∈ Rm : ac th si 15 với e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , ek = (0, 0, , 1), f1 = (1, 0, , 0), f2 = (0, 1, , 0), , fm = (0, 0, , 1) Vì A tốn tử tuyến tính nên Ax = k X ξj (Aej ) j=1 Đặt lu Ax = (η1 , η2 , , ηm ) an n va Aej = (a1j , a2j , , amj ) tn to ta có (1.7) ie gh Cho H không gian Hilbert thực, C tập H p Định nghĩa 1.1.21 Tập C ⊂ H tập lồi với x1 , x2 ∈ C nl w với số thực λ ∈ [0, 1] ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C d oa Từ định nghĩa ta thấy tập ∅ tập lồi lu nf va an Định nghĩa 1.1.22 Hàm f : C → R gọi là: (i) lồi C với λ ∈ [0, 1], với x, y ∈ C lm ul z at nh oi f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ; (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), với x, y ∈ C, x 6= y z gm @ f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) co l Định nghĩa 1.1.23 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không m gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi an Lu L-liên tục Lipschitz C, tồn số L > cho ∀x, y ∈ C n va kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ac th si 16 Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ khơng giãn Định nghĩa 1.1.24 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) đơn điệu C, hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C; (ii) η-đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho lu an hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C n va với x, y ∈ C demi-liên tục (demicontinuous) C từ gh tn to (iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) C A(x+ty) * Ax t → p ie xn → x suy Axn * Ax n → ∞ d oa nl w (iv) C hAx, xi = +∞, kxk→+∞ kxk x ∈ C lim nf va an lu 1.1.2 Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert lm ul Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert z at nh oi tương ứng H1 H2 Bài toán chấp nhận tách phát biểu: Tìm điểm x∗ với tính chất z (1.8) A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội co l gm @ x∗ ∈ C Ax∗ ∈ Q, m Lưu ý tốn chấp nhận tách (1.8) phát biểu dạng phương an Lu trình bất động (1.9) n va PC (I − γA∗ (I − PQ ) A) x∗ = x∗ , ac th si 17 đây, A∗ ánh xạ đối ngẫu A, PC PQ phép chiếu mêtric tương ứng lên C Q Ta thấy, x∗ nghiệm toán chấp nhận tách (1.8) x∗ điểm bất động PC (I − γA∗ (I − PQ ) A) Từ suy ta sử dụng phương pháp tìm điểm bất động giải toán chấp nhận tách  Thuật toán 1.1.25 Cho điểm xuất phát x0 , dãy lặp xk k≥0 tạo trình lặp (1.10)   xk+1 = (1 − βk ) xk + βk PC (1 − αk )U xk , k ≥ 0, lu an U = I − γA∗ (I − PQ ) A, {αk } {βk } hai dãy số thực n va [0,1] to tn Định lý 1.1.26 Cho {αk } {βk } hai số thực (0,1) thỏa mãn k→∞ P∞ k=0 αk = ∞, lim |αk − αk+1 | = 0, k→∞ oa nl w (C2) lim αk = (C1) p ie gh điều kiện sau < lim inf βk ≤ lim sup βk < k→∞  k k→∞ Khi đó, x tạo (1.10) hội tụ mạnh đến điểm C ∩ A−1 (Q) (C3) d nf va an lu Một số bổ đề cần thiết z at nh oi lm ul 1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng h., i chuẩn ||.|| tương ứng, cho K tập lồi đóng khác rỗng H Ta gọi z f : K → H κ − co tồn số κ ∈ [0, 1) cho gm @ co l ||f (x) − f (y)|| ≤ κ||x − y|| với x, y ∈ K m Một tốn tử tuyến tính giới nội B gọi dương mạnh H tồn ∀x ∈ H n va hBx, xi ≥ α||x||2 , an Lu số α > cho ac th si 18 Một ánh xạ F : C → H gọi đơn điệu hF x − F y, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân VI tìm điểm x∗ ∈ C với tính chất hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C Nhắc lại phép chiếu mêtric từ H lên K, kí hiệu PK định nghĩa sau, với x ∈ H, PK x phần tử K với tính chất lu an ||x − PK x|| = {||x − y|| : y ∈ K} n va hx − y, PK x − PK yi ≥ ||PK x − PK y||2 , ∀x, y ∈ H p ie gh tn to Ta biết PK thỏa mãn d oa nl w Hơn nữa, PK đặc trưng tính chất sau: (1.11) hx − PK x, y − PK xi ≤ 0, an lu nf va z at nh oi với x ∈ H y ∈ K lm ul ||x − y||2 ≥ ||x − PK x||2 + ||y − PK x||2 , Xét vài toán tử phi tuyến đưa Cho T : H → H toán tử phi tuyến z T không giãn ||T x − T y|| ≤ ||x − y|| với x, y ∈ H (b) T không giãn chặt ||2T − I|| không giãn Tương đương, l gm @ (a) x, y ∈ H n va ||T x − T y||2 ≤ hT x − T y, x − yi , an Lu không giãn chặt m co T = (I + S)/2, S : H → H không giãn Hay nói cách khác, T ac th si 19 (c) T tốn tử trung bình T = (1 − τ )I + τ S, τ ∈ (0, 1) S : H → H khơng giãn Trong trường hợp này, ta nói T τ trung bình Một ánh xạ khơng giãn chặt 12 − trung bình Ta biết PK I − PK tốn tử khơng giãn chặt Chúng tơi sử dụng số kí hiệu sau: • F ix(T ) đặt cho tập điểm bất động T ; • xn * x đặt cho hội tụ yếu {xn } đến x; lu • xn → x đặt cho hội tụ mạnh {xn } đến x an n va Bổ đề 1.2.1 Cho K tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert to gh tn thực H Cho T : K → K ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ Khi p ie T nửa đóng K, nghĩa xn * x ∈ K xn − T xn → 0, w x = T x oa nl Bổ đề 1.2.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert d thực H Giả sử ánh xạ F : C → H đơn ánh liên tục yếu an lu biến phân nf va đoạn (tức F (x + ty) * F (x) t → 0) Khi bất đẳng thức lm ul x∗ ∈ C, hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, x ∈ C z at nh oi tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu z x∗ ∈ C, hF x, x − x∗ i ≥ 0, x ∈ C gm @ m co X cho {βn } dãy [0,1] với l Bổ đề 1.2.3 Cho {xn } {zn } dãy bị chặn không gian Banach n→∞ n→∞ an Lu < lim inf βn ≤ lim sup βn < n va ac th si 20 Giả sử xn+1 = (1 − βn )zn + βn xn với số nguyên n ≥ lim sup(||zn+1 − zn || − ||xn+1 − xn ||) ≤ n→∞ lim ||zn − xn || = n→∞ Bổ đề 1.2.4 Giả sử {an } dãy số thực không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − γn )an + δn , lu an n va đây{γn } dãy (0,1) {δn } dãy thỏa mãn P∞ (1) n=1 γn = ∞; P (2) lim supn→∞ δn /γn ≤ ∞ n=1 |δn | < ∞ to gh tn Thì limn→∞ an = p ie Kết luận chương w Chương trình bày sơ lược không gian Hilbert trường số thực oa nl số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi tốn tử đơn d điệu Trong chương trình bày tốn chấp nhận tách lu nf va an số bổ đề cần thiết làm sở nghiên cứu cho chương z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 21 Chương Phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách lu an Chương gồm mục Trong mục 2.1, chúng tơi trình bày phương n va pháp lặp ẩn giải toán chấp nhận tách Mục 2.2 dành cho việc giới tn to thiệu phương pháp lặp cho toán Các tài liệu tham khảo p ie gh chương [3], [4] Phương pháp lặp ẩn 2.1.1 Mô tả phương pháp d oa nl w 2.1 an lu nf va Xét tốn chấp nhận tách (1.8) khơng gian Hilbert Tơi xin lm ul trình bày thuật tốn để xấp xỉ nghiệm (1.8) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert z at nh oi tương ứng H1 H2 Cho f : C → H1 κ − co A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội B : H1 → H1 toán tử tự liên hợp, dương chặt z với hệ số α > Lấy hai số σ γ cho < γ < 2/ρ (A∗ A) @ m Wt := PC [tσf + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A)] co xác định sau: l gm < σκ < α, ρ (A∗ A) bán kính phổ (A∗ A) Ánh xạ an Lu Ta thấy Wt ánh xạ từ C vào C Lưu ý PC , I − γA∗ (I − PQ ) A n va ac th si 22 không giãn ||I − tB|| ≤ − tα Ở đây, với x, y ∈ C, ta có: ||Wt x − Wt y|| = ||PC [tσf (x) + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A) x] − PC [tσf (y) + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A) y] || ≤ ||I − tB|| × || (I − γA∗ (I − PQ ) A) x − (I − γA∗ (I − PQ ) A) y|| + tσ||f (x) − f (y) || ≤ tσκ||x − y|| + (1 − tα) ||x − y|| lu = [1 − (α − σκ) t] ||x − y|| an n va
Vì vậy, Wt có điểm Theo Wt ánh xạ co t ∈ 0, α−σκ xt = PC [tσf (xt ) + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , (2.1) p ie gh tn to bất động thuộc C, ta kí hiệu xt , xác định bởi: Sự hội tụ phương pháp d 2.1.2 oa nl w
t ∈ 0, α−σκ an lu lm ul (2.1) nf va Sau đây, chúng tơi trình bày hội tụ lưới {xt } định nghĩa z at nh oi Định lí 2.1.1 Với t → 0+ lưới {xt } định nghĩa (2.1) hội tụ mạnh đến điểm x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) cho hσf (x∗ ) − Bx∗ , x˜ − x∗ i ≤ z (2.2) l gm @ ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) m co Chứng minh Lấy x˜ điểm thuộc C ∩ A−1 (Q) an Lu Xét tập U = I − γA∗ (I − PQ ) A Ta viết lại (2.1) sau:   xt = PC [tσf (xt ) + (I − tB) U xt ] , t ∈ 0, α − σκ n va ac th si 23 Theo ta có: ||xt − x˜|| = ||PC [tσf (xt ) + (I − tB) U xt ] − x˜|| ≤ ||tσ (f (xt ) − f (˜ x)) + (I − tB) (U xt − x˜) + t (σf (˜ x) − B x˜) || ≤ tσ||f (xt ) − f (˜ x) || + ||I − tB|| ||U xt − x˜|| + t||σf (˜ x) − B x˜|| ≤ tσκ||xt − x˜|| + (1 − tα) ||xt − x˜|| + t||σf (˜ x) − B x˜|| = [1 − (α − σκ) t] ||xt − x˜|| + t||σf (˜ x) − B x˜|| lu Do đó: an n va ||xt − x˜|| ≤ ||σf (˜ x) − B x˜|| α − σκ tn to Khi đó, {xt } giới nội {f (xt )} , {U xt } {BU xt } giới nội p ie gh Từ (2.1) ta có: ||xt − PC [U xt ]|| = ||PC [tσf (xt ) + (I − tB) U xt ] − PC [U xt ] || d oa nl w Dẫn đến: ≤ t||σf (xt ) − BU xt || an lu (2.3) lim ||xt − PC [U xt ] || t→0 nf va z at nh oi lm ul Tiếp theo, chúng tơi xin trình bày việc chứng minh {xt } compắc định
chuẩn tương đối t → 0+ Giả thiết {tn } ⊂ 0, α−σκ với tn → 0+ n → ∞ Đặt xn = xtn Từ (2.3) ta có (2.4) z lim ||xn − PC [U xn ] || = n→∞ @ m co x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) thì: l gm Đặt yt = tσf (xt ) + (I − tB) U xt , theo ta có xt = PC [yt ], với (2.5) n va + (I − tB) (U xt − x˜) + t (f (˜ x) − B x˜) an Lu xt − x˜ = xt − yt + yt − x˜ = xt − yt + tσ (f (xt ) − f (˜ x)) ac th si 24 Bằng cách sử dụng tính chất (1.11) phép chiếu mêtric, ta có: (2.6) hxt − yt , xt − x˜i ≤ Kết hợp (2.5) (2.6), ta ||xt − x˜|| = hxt − yt , xt − x˜i + tσ hf (xt ) − f (˜ x), xt − x˜i + h(I − tB) (U xt − x˜) , xt − x˜i ≤ tσ||f (xt ) − f (˜ x)|| ||xt − x˜|| + ||I − tB|| ||U xt − x˜|| ||xt − x˜|| lu + t hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i an n va ≤ tσκ||xt − x˜||2 + (1 − αt)||xt − x˜||2 tn to + t hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i p ie gh = [1 − (α − σκ) t] ||xt − x˜||2 + t hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i nl w Vì vậy: d oa ||xt − x˜||2 ≤ hσf (˜ x) − B x˜, xt − x˜i α − σκ lu hσf (˜ x) − B x˜, xn − x˜i , x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.7) α − σκ lm ul ||xn − x˜||2 ≤ nf va an Đặc biệt: z at nh oi Vì {xn } giới nội nên tồn dãy {xni } {xn } hội tụ yếu đến điểm {x∗ } Khơng làm tính tổng quát ta giả sử {xn } z hội tụ yếu đến {x∗ } Chú ý (2.4) sử dụng Bổ đề 1.2.1 để nhận @ gm x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) Khi đó, ta thay x∗ cho x˜ (2.7) để nhận l hσf (x∗ ) − Bx∗ , xn − x∗ i α − σκ m co ||xn − x∗ ||2 ≤ an Lu Sau đó, từ xn * x∗ kéo theo xn → x∗ Điều chứng minh tính n va compắc tương đối lưới {xt } với t → + Khi n → ∞ (2.7), ta ac th si 25 có ||x∗ − x˜||2 ≤ hσf (˜ x) − B x˜, x∗ − x˜i , x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) α − σκ Điều kéo theo x∗ ∈ Ω xác định bất đẳng thức biến phân hσf (˜ x) − B x˜, x˜ − x∗ i ≤ 0, x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.8) Nhờ Bổ đề 1.2.2, (2.8) tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu hσf (x∗ ) − Bx∗ , x˜ − x∗ i ≤ 0, ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) lu Đây (2.2) Theo tính nghiệm bất đẳng thức biến phân an n va (2.2) ta suy điểm hội tụ tập {xt } (t → 0+) x∗ Lấy B = I (2.1) ta có hệ sau p ie gh tn to Do xt → x∗ Điều kết thúc chứng minh nl w Hệ 2.1.2 Với t → 0+, lưới {xt } xác định xt = PC [tσf (xt ) + (1 − t) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , d oa (2.9)
nf va an lu t ∈ 0, 1−σκ hội tụ đến điểm x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân sau lm ul x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) hσf (x∗ ) − x∗ , x˜ − x∗ i ≤ 0, z at nh oi ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) (2.10) z gm @ Lấy f = (2.9) ta có hệ sau co l Hệ 2.1.3 Với t → 0+ lưới {xt } định nghĩa xt = PC [(1 − t) (I − γA∗ (I − PQ ) A) xt ] , t ∈ (0, 1) m (2.11) an Lu hội tụ đến điểm x∗ nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp n va nhận tách (1.8) ac th si 26 Chứng minh Nếu lấy f = 0, (2.9) rút gọn thành (2.11) Vì vậy, xt → x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q) mà thỏa mãn h−x∗ , x˜ − x∗ i ≤ 0, ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Vì thế, ||x∗ ||2 ≤ h−x∗ , x˜i ≤ ||x∗ || ||˜ x|| ∀˜ x ∈ C ∩ A−1 (Q) Do mà kéo theo ||x∗ || ≤ ||˜ x|| với x˜ ∈ C ∩ A−1 (Q) Điều lu nghĩa x∗ nghiệm chuẩn cực tiểu toán chấp nhận tách (1.8) an n va Điều kết thúc chứng minh to Phương pháp lặp gh tn 2.2 Mô tả phương pháp p ie 2.2.1 oa nl w Thuật toán 2.2.1 d  Cho điểm tùy ý x0 , ta định nghĩa xk k≥0 dãy lặp an lu nf va xk+1 = (1 − βk )xk + βk PC αk σf (xk ) +βk PC (I − αk B) [I − γA∗ (I − PQ )A]xk , z at nh oi lm ul (2.12) với k ≥ 0, {αk } {βk } hai dãy thực [0,1]  Với dãy lặp xk k≥0 ta xác định xk+1 dựa vào xk biết z m co l Định lý 2.2.2 gm Sự hội tụ phương pháp @ 2.2.2 an Lu Giả sử dãy {αk } {βk } thỏa mãn điều kiện sau: P (C1) lim αk = ∞ k=0 αk = ∞, n va k→∞ ac th si