(Luận văn) giải phương trình lyapunov bằng phương pháp luân phương ẩn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUÂN lu an n va GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LYAPUNOV BẰNG p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP LUÂN PHƯƠNG ẨN d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LYAPUNOV BẰNG PHƯƠNG PHÁP LUÂN PHƯƠNG ẨN lu an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie gh Mã số: w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi TS NGUYỄN THANH SƠN z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục Lời cảm ơn iii 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số phân tích 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Một số phân tích đại số tuyến tính số 1.1.3 Phân tích Cholesky kiểu Cholesky lu Mở đầu an n va p ie gh tn to Độ phức tạp tính toán 1.3 Phương pháp đưa hệ phương trình tuyến tính 1.4 Phương pháp Bartels - Stewart d oa nl w 1.2 12 Phương pháp ADI 12 2.1.1 Thuật toán ADI 12 2.1.2 Giải thích 12 2.1.3 Cách chọn tham số 14 Phương pháp CF-ADI 15 2.1 z gm @ 2.2 z at nh oi Phương pháp ADI CF-ADI lm ul nf va an lu Thuật toán CF-ADI 15 2.2.2 Tiêu chuẩn dừng 19 2.2.3 Độ phức tạp 19 2.2.4 Thuật toán CF-ADI thực cho tham số phức 20 m co l 2.2.1 an Lu n va ac th si ii Ví dụ số 21 3.1 Mơ hình phương trình truyền nhiệt 21 3.2 Mơ hình FOM 23 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 27 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn với đề tài "Giải phương trình Lyapunov phương pháp luân phương ẩn", bên cạnh nỗ lực thân vận dụng lu an kiến thức thu q trình học tập, tìm tịi học hỏi thu thập n va thông tin số liệu có liên quan đến đề tài, em ln nhận giúp đỡ, hướng dẫn tn to tận tình thầy cô lời động viên khuyến khích từ phía gia đình, bạn gh bè, đồng nghiệp p ie Em xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy, cô giáo tham gia giảng dạy w khóa học khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Em oa nl xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn Thanh Sơn, người hướng dẫn em làm d luận văn này, thầy tạo điều kiện thuận lợi nguồn động lực quan trọng để lu nf va an em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, Ban chuyên môn đồng lm ul nghiệp trường THPT Nam Khoái Châu tạo điều kiện tốt cho em z at nh oi trình nghiên cứu hồn thành luận văn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên z @ gm Thái Nguyên,tháng 11 năm 2015 m co l Nguyễn Văn Tuân an Lu Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên n va ac th si Mở đầu Phương trình Lyapunov, đặc biệt với vế phải hạng thấp, xuất phân lu tích giảm bậc hệ điều kiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian có an số chiều lớn Trong trường hợp cỡ hạng điều khiển lớn nhiều va n so với số đầu vào đầu gh tn to Một hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian có dạng p ie dx(t) dt = Ax (t) + Bu (t) (1) (2) w y (t) = Cx (t) oa nl Hàm vector x (t) : R → Rn cho ta biết trạng thái hệ thời điểm t Đầu vào d u (t) : R → Rrb đầu y (t) : R → Rrc có rb tương ứng rc thành phần Ma trận lu nf va an A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×rb , C ∈ Rrc ×n tương ứng ma trận hệ thống, ma trận hệ số đầu vào, ma trận hệ số đầu lm ul Nếu A ổn định tức giá trị riêng A nằm nửa mặt phẳng trái mở z at nh oi gramian điều khiển P ∈ Rn×n gramian quan sát Q ∈ Rn×n ứng với hệ nhất, đối xứng nửa xác định dương Chúng nghiệm phương trình Lyapunov (1) - (2) z (4) co l AT Q + QA = −C T C (3) gm @ AP + P AT = −BB T , m
Nếu số đầu vào rb nhỏ nhiều so với số trạng thái n, rank BB T = n va (4) có hạng thấp an Lu rank (B) ≤ rb  n Và vế phải (3) có hạng thấp Tương tự vế phải ac th si Tính quan trọng mặt vật lý vector riêng trội gramian miền P Q thể chỗ hướng nhạy cảm đầu vào hướng mà theo đầu nhạy cảm Vì thế, thơng tin không gian bất biến trội P = Q đủ để giảm bậc hệ ban đầu (3) - (4) phương pháp chặt cân Đã có nhiều phương pháp đưa để giải phương trình Lyapunov (3) - (4) Những phương pháp giải trực tiếp phương pháp Bartels-Stewart [1] giải với phương trình ma trận cỡ nhỏ Để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn, người ta buộc phải sử dụng phương pháp lặp Trong phương pháp lặp bao gồm lu phương pháp Smith, phương pháp lũy thừa, phương pháp dựa không gian an n va Krylov, phương pháp luân phương ẩn [2], [3], [4] trội lên phương pháp Lyapunov phương pháp luân phương ẩn" làm đề tài luận văn Thạc sĩ gh tn to hiệu Đây lí khiến chúng tơi chọn đề tài "Giải phương trình p ie Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày phương pháp luân phương ẩn (ADI: w Alternative Direction Implicit) [3], [4] phương pháp luân phương ẩn với nhân tử oa nl Cholesky (CF-ADI: Cholesky Factorization Alternative Direction Implicit) [2] để d giải phương trình Lyapunov cỡ lớn Luận văn hệ thống phương pháp an lu giải phương trình Lyapunov cỡ lớn từ trước tới ưu nhược điểm lm ul giải toán nf va phương pháp Từ phương pháp ADI CF-ADI lên cách tối ưu để z at nh oi Đối tượng nghiên cứu đề tài nghiên cứu phương pháp giải phương trình cỡ lớn Phạm vi nghiên cứu hai phương pháp bật ADI CF-ADI để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn z Phương pháp nghiên cứu sử dụng đọc hiểu tài liệu, @ l gm báo lớn có uy tín giới trình bày lại cách có hệ thống Mặt khác thực kiểm tra số phương pháp thơng qua việc lập trình m co MATLAB an Lu Ý nghĩa khoa học lớn đề tài thực cứu liên tục, liền mạch n va phương pháp giải phương trình Lyapunov cỡ lớn từ đơn giản đến phức tạp trình ac th si bày lại cách có hệ thống, dễ hiểu Sau bảo vệ luận văn xong tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên ngành toán học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng Để đạt mục tiêu trên, luận văn trình bày sau: Chương dùng để trình bày kiến thức chuẩn bị quan trọng phân tích Cholesky kiểu Cholesky, phân tích Schur, độ phức tạp tính tốn, phương pháp đưa hệ phương trình tuyến tính phương pháp Bartels - Stewart Chương trình bày chi tiết hai phương pháp ADI CF-ADI, làm bật ưu điểm việc sử dụng hai phương pháp để giải phương trình Lyapunov cỡ lớn Chương chúng tơi lu trình bày số ví dụ để minh họa, kiểm chứng cho thuật toán an n va Tuy cố gắng điều kiện thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên luận thầy (cô) giáo, bạn đồng nghiệp p ie gh tn to văn khơng thể tránh khỏi thiếu xót Rất mong góp ý quý báu w Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015 oa nl Nguyễn Văn Tuân d Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 02/2014-02/2016 an lu Chun ngành Tốn ứng dụng nf va Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên lm ul Email: tuannguyen.ntn@gmail.com z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số phân tích lu an 1.1.1 Một số khái niệm n va ma trận chuyển vị A gh tn to Định nghĩa 1.1 Ma trận A gọi ma trận đối xứng A = AT AT p ie Định nghĩa 1.2 Mọi phần tử A bên đường chéo 0, A w gọi ma trận tam giác Tương tự, phần tử A bên đường chéo oa nl 0, A gọi ma trận tam giác Nếu phần tử nằm bên d ngồi đường chéo 0, A gọi ma trận chéo an lu nf va Định nghĩa 1.3 Ma trận vuông A gọi khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = In , với In ma trận đơn vị lm ul Nếu B tồn tại, gọi ma trận nghịch đảo A, kí hiệu z at nh oi A−1 Định nghĩa 1.4 Ma trận vuông A ma trận trực giao ma trận chuyển z vị ma trận nghịch đảo AT = A−1 , mà AT A = AAT = I, với I l gm @ ma trận đơn vị m co Định nghĩa 1.5 Ma trận xác định dương (âm) ma trận thỏa mãn xT Ax > an Lu (xT Ax < 0), ∀x ∈ Rn khác Và xT Ax = x =
Ma trận A gọi nửa xác định dương (âm) xT Ax ≥ xT Ax ≤ n va ∀x ∈ Rn ac th si Thông thường người ta hay xét tính chất đối xứng với tính chất xác định nửa xác định 1.1.2 Một số phân tích đại số tuyến tính số Định lí 1.1 (Phân tích Schur) Cho A ma trận vuông phức cấp n Khi tồn ma trận Unita U ∈ Cn×n cho T = U ∗ AU ma trận tam giác Các đường chéo T giá trị riêng A lu Cho U ∗ AU = T phân tích Schur A với U = [u1 , u2 , , un ] Các phần an tử Schur viết AU = U T Cột thứ k phương trình n va tn to Auk = λuk + k−1 X (1.1) tik ui , λk = tkk , i=1 gh p ie nghĩa (1.2) w Auk ∈ span {u1 , , uk } , ∀k oa nl Như vậy, k vector Schur u1 , , uk tạo thành không gian bất biến đối d với A (một không gian V ∈ F n gọi bất biến A AV ⊂ V ) lu nf va an Từ (1.1) ta có vector Schur vector riêng A lm ul Định lí 1.2 (Phân tích Schur thực) z at nh oi Nếu A ∈ Fn×n có ma trận trực giao Q ∈ Rn×n cho   R11 R12 R1n       R R 22 2n  QT AQ =        Rn×n z l gm @ m co tựa tam giác Các khối chéo Rii ma trận × × Một khối × riêng phức liên hợp an Lu tương ứng với giá trị riêng thực, khối × tương ứng với cặp giá trị n va ac th si 13 đường chéo không ổn định Tuy nhiên hầu hết trường hợp ứng dụng A ma trận thưa nên ta bỏ qua bước Algorithm 2.1 Thuật toán ADI INPUT: A, B If v 7→ Av, v ∈ Rn , độ phức tạp O (n), biểu diễn ma trận ba đường chéo A e với A e = SAS −1 a Tìm ma trận A e := SB Mặt khác lập A e := A, B e := B b Lập B Chọn tham số ADI {p1 , p2 , , pJ } , Re{pj } < (các cặp liên hợp phức tạp) lu Giả sử ban đầu an (2.2) n va f0 = 0n×n X ie gh tn to FOR j = 1, 2, J , DO p  (2.3)    e + pj I X ej = −BB T − X eT A eT − pj I A j− (2.4) w  nl d oa lu END    T T e e e e A + pj I Xj− = −BB − Xj−1 A − pj I , nf va an Nếu ma trận A quy ma trận tam giác chéo, khôi phục nghiệm (2.5) z at nh oi lm ul eJ Hoặc, XJadi := X eJ S −T XJadi := S −1 X OUTPUT: XJadi ∈ Rn×n , XJadi ≈ X z l gm @

Độ phức tạp tính toán phương pháp O n3 + O Jn2 J
số bước lặp ADI Số hạng O n3 bước ba đường chéo hóa ma trận tổng quát m co A bước chuyển nghiệm cuối phương pháp ADI nghiệm Xj Nếu ma an Lu trận A dạng thưa dạng có cấu trúc ta khơng phải làm bước Trong
trường hợp độ phức tạp O Jn2 J bước lặp (2.3) - (2.4) So với n va phương pháp Bartels - Stewart độ phức tạp tính tốn tương đương độ phức ac th si 14
tạp tính tốn Bartels - Stewart O n3 Tuy nhiên A ma trận thưa tức độ


phức tạp tính tốn O Jn2 , thơng thường J  n nên O Jn2 < O n3 Nếu A chéo hóa được, người ta sai số phương pháp adi XJ − X ≤ kT k2 T −1 k(p)2 X0adi − X , F F J Y (pj − x) k (p) = max , (pj + x) x∈spec(A) j=1 T ma trận gồm cột vector riêng A p = {p1 , p2 , , pJ } tham số ADI lu an 2.1.3 Cách chọn tham số va n Việc có tham số tốt mang ý nghĩa định đến thành công tn to phương pháp Bộ tham số tối ưu {p1 , p2 , , pJ } xác định việc giải gh toán minmax sau p ie J Y (pj − x)