(Luận văn) cực đại hàm tuyến tính trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH lu an n va tn to ie gh CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU p CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————o0o————— LÊ NHƯ QUỲNH CỰC ĐẠI HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU lu an CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU n va gh tn to p ie LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oa nl w d Chuyên ngành: Toán ứng dụng nf va an lu Mã số: 60 46 01 12 lm ul z at nh oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si i Mục lục Danh mục ký hiệu i Danh mục hình vẽ iii lu an n va Mở đầu 1.1 Tập lồi đa diện 1.2 Bài toán quy hoạch song tuyến tính p ie gh tn to Chương Kiến thức chuẩn bị Bài tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 1.4 Bài tốn tối ưu tuyến tính hai cấp 15 19 d oa nl w 1.3 lu 25 nf va hữu hiệu an Chương Thuật toán giải toán cực đại hàm tuyến tính tập điểm Nội dung tốn 25 2.2 Cơ sở lý thuyết thuật toán 27 2.3 Thuật toán hội tụ 30 2.4 Ví dụ minh họa 35 z at nh oi lm ul 2.1 z 40 l gm 42 m co Tài liệu tham khảo @ Kết luận 44 an Lu Một số thuật ngữ thường sử dụng n va ac th si i Danh mục ký hiệu lu an Khơng gian Euclide n-chiều Rn+ Góc khơng âm Rn Rn++ Góc dương Rn e Véc tơ với thành phần (e = (1, , 1) ∈ R p ) x≤y Véctơ x nhỏ hay véctơ y (xi ≤ yi , ∀i = 1, , n) x≥y Véctơ x lớn hay véctơ y (xi ≥ yi , ∀i = 1, , n) x∈X phần tử tập X gh tn to n va Rn x không phần tử tập X p ie x∈ /X Tập hợp rỗng (tập khơng có phần tử nào) w ∅ Ký hiệu tập lồi đa diện F Ký hiệu diện tập lồi đa diện A∪B Hợp hai tập A B A∩B Giao hai tập A B A⊂B A tập hợp B A⊆B A tập hợp (có thể bằng) B conv S Bao lồi tập S ⊂ Rn dim S Thứ nguyên (hay số chiều) tập S ⊂ Rn ∃x Tồn x ∀x Với x (P) Ký hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (Q) Ký hiệu tốn cực đại hàm tuyến tính tập E P d oa nl D nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii (BP) Ký hiệu toán quy hoạch song tuyến tính EP Tập điểm hữu hiệu toán (P) EdP Tập diện hữu hiệu toán (P) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh mục hình vẽ Chương Hình 1.1 Tập lồi đa diện, đa diện lồi nón lồi đa diện lu an n va Chương to gh tn Hình 2.2 Sơ đồ khối thuật tốn giải tốn (Q) Hình 2.3 Tập chấp nhận D toán (P) p ie d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán tối ưu hóa hàm tuyến tính, tập điểm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, phục vụ cho nhiều mục đích việc đề định, liên quan tới nhiều mục tiêu khác Tuy nhiên, thường tốn tối lu ưu tồn cục khơng dễ giải, miền chấp nhận toán, trường an n va hợp tổng quát, tập không lồi Mặt khác, xem tốn tn to tối ưu hai cấp, nhiều người quan tâm nghiên cứu, đặc biệt mặt phương pháp giải toán Luận văn đề cập tới toán tối ưu sau đây: ie gh max{d T x : x ∈ E p } p nl w (Q) nf va an lu tiêu: d oa d ∈ Rn E P tập điểm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục V max{cT1 x, , cTp x}, c1 , , c p ∈ Rn (P) lm ul z at nh oi với điều kiện: Ax = b, x ≥ (A ∈ Rm×n , b ∈ Rm ) Có nhiều thuật tốn khác để giải tốn (Q) Luận văn tìm hiểu giới thiệu thuật tốn mới, dựa quy hoạch song tuyến tính, nêu tài liệu tham z gm @ khảo [5] để giải tốn tối ưu tuyến tính tập điểm hữu hiệu m co gồm hai chương: l Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [7] có Chương “Kiến thức chuẩn bị” Chương nhắc lại số kiến thức sở an Lu tập lồi đa diện, tốn quy hoạch song tuyến tính, tốn tối ưu tuyến tính đa n va mục tiêu toán tối ưu hai cấp Nội dung chương tham khảo chủ yếu ac th si từ tài liệu [1] - [4], [7], bao gồm tiểu mục sau: 1.1 Tập lồi đa diện khái niệm có liên quan (xác định diện tập lồi đa diện qua tập mô tả cực đại nó) 1.2 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính: Nội dung tốn, tính chất nghiệm tốn thuật tốn giải 1.3 Bài tốn tuyến tính đa mục tiêu: Nội dung tốn tính chất điểm diện hữu hiệu 1.4 Bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp: Nội dung tốn tính chất (đặc biệt tính chất tối ưu tuyến tính hai cấp tốn NP - khó) Chương “Thuật tốn giải tốn cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu lu hiệu” Chương đề cập tới tốn tối ưu hóa hàm tuyến tính tập điểm hữu an tính, nêu tài liệu tham khảo [5], để giải toán Nội dung chương n va hiệu toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu trình bày thuật tốn song tuyến to gh tn tham khảo chủ yếu từ tài liệu [5] - [7] bao gồm tiểu mục sau: p ie 2.1 Nội dung tốn: liên hệ với tối ưu tồn cục tối ưu hai cấp oa nl w tuyến tính 2.2 Cơ sở lý thuyết thuật toán: định lý đưa toán quy hoạch song 2.3 Thuật toán hội tụ: bước thuật toán hội tụ hữu hạn tới d an lu nghiệm tối ưu tồn cục xác nf va 2.4 Ví dụ minh họa: Xét ví dụ số R3 lm ul Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt z at nh oi Trong trình viết luận văn soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp z ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện @ l gm Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả co m xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa an Lu học Thái Ngun Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn n va lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận ac th si lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lê Như Quỳnh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, toán quy hoạch an Các kiến thức cần đến cho thuật tốn trình bày chương sau Nội dung n va song tuyến tính, tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu toán tối ưu hai cấp to p ie gh tn chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [4], [7] Tập lồi đa diện oa nl w 1.1 d Tập lồi khái niệm lý thuyết tối ưu tập lồi đa diện an lu dạng tập lồi đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính Ta nhắc lại nf va khái niệm kiến thức liên quan lm ul Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi (convex set) với z at nh oi x, y ∈ C số thực λ ∈ [0, 1] phải có λ x + (1 − λ )y ∈ C Theo định nghĩa này, tập ∅, tập có phần tử Rn tập lồi z • Ta để ý tới số dạng tập lồi đặc biệt sau đây: @ l gm a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc an Lu c) Các nửa khơng gian đóng m co b) Siêu phẳng tập lồi dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn \ {0}, α ∈ R n va H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, H − = {x ∈ Rn : aT x ≤ α} ac th si 30 Định lí 2.3 Giả thiết E P 6= ∅ Nếu tốn (2.2) khơng có nghiệm chấp nhận khơng tồn x ∈ D cho d T x > α Chứng minh Do E P 6= ∅ nên theo Hệ 1.1, điều tương đương với hệ λ T C + uT A + sT = 0, s ≥ 0, λ ≥ e có nghiệm Nhưng theo giả thiết tốn (2.2) khơng có nghiệm chấp nhận được, hệ Ax − by = 0, d T x − αy ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ vơ nghiệm Từ theo Mệnh đề 2.1, @x ∈ D với d T x > α 2.3  Thuật toán hội tụ Mục nêu mơ tả chi tiết thuật tốn chứng minh hội tụ thuật tốn sau lu hữu hạn vịng lặp Không giảm tổng quát, ta giả thiết E P 6= ∅ an góc độ tốn học, diện hữu hiệu tập lồi đa diện mà ta tối n va Do tập hữu hiệu E P hợp tất diện hữu hiệu (P) nhớ từ to gh tn ưu hóa hàm tuyến tính cách hiệu quả, kết mục p ie gợi ý thủ tục sau để giải toán (Q) Xuất phát từ diện hữu hiệu tùy ý, đỉnh hữu hiệu chẳng hạn Gọi α oa nl w giá trị mục tiêu tối ưu d T x diện hữu hiệu xét (gọi giá trị kỷ lục) tìm, có thể, diện hữu hiệu cho phép cải tiến giá trị kỷ lục α Lặp d an lu lại quy trình diện tìm được, nhận diện nf va hữu hiệu có tính chất địi hỏi Khi giá trị mục tiêu tối ưu (Q) α 2.3.1 Mơ tả thuật tốn z • Bước (Khởi tạo) z at nh oi lm ul Dựa theo ý tưởng này, ta xây dựng thuật toán chi tiết để giải toán (Q) @ gm Nếu E P = ∅ dừng thuật tốn: (Q) khơng có nghiệm chấp nhận m • Bước (Thăm dị) co l Trái lại, đặt k = 0, α0 = d T xb0 với xb0 nghiệm hữu hiệu ban đầu an Lu n va ac th si 31 Giải quy hoạch song tuyến tính (BPk) sau đây: βk = sT x → (BPk ) với điều kiện    λ T C + uT A + sT = 0,      Ax − by = 0,   d T x − αk y ≥ 1,      x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ 1, lu an • Bước (Quy tắc dừng) n va Nếu toán (BPk ) khơng chấp nhận có giá trị mục tiêu tối ưu βk > to gh tn dừng thuật toán: giá trị mục tiêu tối ưu (Q) αk Trái lại (βk = 0), chuyển sang Bước p ie d oa nl w • Bước (Tìm diện hữu hiệu mới) Giả sử (λ¯ k , u¯k , s¯k , x¯k , y¯k ) nghiệm tối ưu (BPk ) Đặt Giải quy hoạch tuyến tính: nf va an lu Jk = { j ∈ J : s¯kj > 0} lm ul max{d T x : x ∈ F(Jk )}, z at nh oi (Qk ) F(Jk ) = {x ∈ D : x j = 0, ∀ j ∈ Jk } diện xác định tập mô tả Jk z sup{d T x : x ∈ E P } = +∞ l gm @ Nếu (Qk ) khơng bị chặn dừng thuật tốn: Bài tốn (Q) khơng bị chặn, nghĩa k + quay lại Bước  an Lu Sơ đồ khối thuật tốn vẽ Hình 2.2 m co Trái lại, giả sử xbk+1 điểm cực biên tối ưu (Qk ), đặt αk+1 = d T xbk+1 , k ← n va Trước nêu tính chất thuật tốn vừa mơ tả, ta cần làm rõ số chi ac th si 32 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w Hình 2.1: Sơ đồ khối thuật tốn giải toán (Q) nf va an lu tiết thuật toán lm ul Như đề cập tới Chương (Mục 1.3.3), để tìm nghiệm hữu hiệu ban đầu x0 Bước 0, ta cần giải quy hoạch tuyến tính, chẳng hạn cách dùng z at nh oi phương pháp đơn hình quen thuộc Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp trực cảm (ơristic) tôt để tính nghiệm hữu hiệu ban đầu gần với nghiệm tối ưu (Q) z giúp tiết kiệm đáng kể cơng sức tính tốn Theo nghĩa tác giả báo [5] @ (Q) xác định m max{d T x : x ∈ D}, co l gm đưa thủ tục Ơristic sau, lúc đầu giải tốn quy hoạch tuyến tính nới lỏng an Lu sau dùng nghiệm tối ưu nhận làm điểm xuất phát để tìm nghiệm hữu hiệu n va (P) dựa Định lý 1.7 (lập giải tốn (LP0 )) Mặc dù khơng có ac th si 33 đảm bảo chất lượng nghiệm sinh theo cách tiếp cận này, cách làm tạo nghiệm hữu hiệu (P) có nhiều khả gần với nghiệm tối ưu (Q) Mặt khác, Bước đảm nhận trách nhiệm tìm diện hữu hiệu giúp cải tiến thực giá trị hàm mục tiêu tốn (Q) nhận vịng lặp trước Rõ ràng cơng việc địi hỏi nhiều tính tốn thuật tốn, cần giải tốn quy hoạch song tuyến tính (BLP) với miền ràng buộc rời nhau, ràng buộc x y tách biệt với ràng buộc λ , u s toán (BPk ) Một phương pháp đơn giản giải quy hoạch song tuyến tính lu đưa quy hoạch lõm nhắc lại Chương 1, Mục 1.3.4 an va n Cuối cùng, việc thực Bước Bước thuật tốn khơng gặp khó to gh tn khăn Nói riêng, ta thấy Bước yêu cầu tìm nghiệm tối ưu quy p ie hoạch tuyến tính thơng thường Sự hội tụ thuật toán oa nl w 2.3.2 d Kết sau điểm cực biên chấp nhận xbk sinh lu nf va an thuật toán giải toán (Q) tạo giá trị hàm mục tiêu tăng đơn điệu Hơn nữa, ta thấy thuật toán cần mọt só hữu hạn vịng lặp để phát lm ul nghiệm tối ưu toàn cục để kết luận hàm mục tiêu tốn (Q) khơng z at nh oi bị chặn trên, tức sup{d T x : x ∈ E P } = +∞ z Một đặc điểm quan trọng thuật toán nghiệm chấp nhận tốt @ cho tốn (Q) tìm thấy vịng lặp Thực vậy: gm m co toán (Q) l Mệnh đề 2.2 Thuật toán tạo giá trị hàm mục tiêu đơn điệu tăng an Lu Chứng minh Cho αk mức gắn với giá trị hàm mục tiêu d T x vòng lặp k thuật toán Theo Định lý 2.1, toán (BPk) bị chặn với giá trị mục tiêu tối ưu n va F(Jk ) ∈ E Pf có tồn xb ∈ F(Jk ) cho d T xb > αk Do Bước ta ac th si 34 tính αk+1 giá trị mục tiêu tối ưu toán (Qk ) : max{d T x : x ∈ F(Jk )} Điều kéo theo α k+1 > α k  Với diện bắt gặp, thuật tốn xét tập mơ tả (không thiết cực đại) loại bỏ không xét tất tập mô tả tương ứng với diện nằm diện gặp Trước đưa phát biểu, ta cần kết bổ trợ Bổ đề 2.1 Giả sử J , J” ⊂ J cho F(J”) ⊂ F(J ) giả sử toán max{d T x : x ∈ F(J )} bị chặn, với giá trị mục tiêu tối ưu α Cho số tùy ý β ≥ α Khi hệ sau vơ nghiệm lu    Ax − by = 0,    d T x − β y > 1,     x ≥ 0, xJ” = 0, y > an n va (2.3) gh tn to p ie Chứng minh Theo giả thiết F(J”) ⊆ F(J ) Giả sử phản chứng hệ (2.3) chấp w nhận Áp dụng Mệnh đề 2.1, ta có ∃b x ∈ F(J”) ⊆ F(J ) cho d T xb > β ≥ α  oa nl Nhưng điều trái với giả thiết bổ đề nên khơng thể xảy d Bây ta khẳng định kết luận kể an lu nf va Định lí 2.4 Nếu Jk tập mơ tả sinh thuật tốn vịng lặp k khơng có lm ul J ⊆ J cho F(J ) ⊆ F(Jk ) xét vòng lặp sau Chứng minh Giả sử J ⊆ J cho F(J ) ⊆ F(Jk ) Giả sử αk mức mục tiêu z at nh oi sử dụng toán song tuyến (BPk) vịng lặp k thuật tốn Bằng cách áp dụng Bổ đề 2.1, ta thấy với β ≥ αk hệ: z @ l gm Ax − by = 0, d T x − β y > 1, x ≥ 0, xJ” = 0, y > m co vô nghiệm Do hệ trước dó đặc biệt hóa thuận tiện phần tập mơ tả lặp j sau thuật toán cách giải toán (BPj ) an Lu (BPk ), nên Mệnh đề 2.1 2.2 đảm bảo J tạo vòng  n va ac th si 35 Do tập ràng buộc D có số hữu hạn diện nên từ Định lý 2.4 trực tiếp suy hệ sau tính hữu hạn thuật tốn nêu Hệ 2.1 Thuật toán dừng sau số hữu hạn vòng lặp  Nếu ký hiệu |EvP | tổng số điểm cực biên hữu hiệu tốn (P) trường hợp xấu số vịng lặp thuật tốn thực |EvP | + Cuối cùng, ghi nhớ tính chất ta chứng minh thuật tốn đắn Hệ 2.2 Nếu E P 6= ∅ thuật tốn tìm nghiệm tối ưu tồn cục xác tốn (Q) kết luận (Q) khơng bị chặn (sup{d T x : x ∈ E P } = +∞) lu Chứng minh Do (P) có số hữu hạn diện hữu hiệu theo cách xây dựng an mục tiêu toán (Q) nhận vịng lặp trước kết luận khơng n va vịng lặp thuật tốn tìm diện hữu hiệu, cải tiến thực giá trị hàm to  p ie gh tn tồn diện với tính chất địi hỏi (Định lý 2.1) Ví dụ minh họa nl w 2.4 d oa Mục giải ví dụ R3 nhằm minh họa cho thuật tốn trình bày Xét V max x với x ∈ D, lm ul (P) nf va an lu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu sau đây: z at nh oi D ⊂ R3 tập lồi đa diện xác định z D = {x ∈ R3 : x1 + x2 ≤ 5, ≤ x1 ≤ 3, ≤ x2 ≤ 3, ≤ x3 ≤ 1} gm @ Rõ ràng, tập hữu hiệu E P (P) cạnh nối hai đỉnh x2 = (3, 2, 1)T x3 = l m co (2, 3, 1)T Hơn nữa, tập tất điểm cực biên hữu hiệu EvP = {x2 , x3 } Để minh họa thuật toán, ta xét tốn tìm cực tiểu hàm mục tiêu thứ nhất, an Lu tức x1 , toán (P) tập hữu hiệu E P n va ac th si 36 Hình 2.2: Tập chấp nhận D toán (P) Điều tương đương với việc giải toán max{(−1, 0, 0)x : x ∈ E P } lu (Q) an va n Lưu ý giá trị mục tiêu tối ưu toán cực tiểu ban đầu giá trị mục tn to tiêu tối ưu toán (Q) đổi dấu ie gh Bằng đồ thị kiểm tra thấy giá trị lớn −x1 D p Tuy nhiên, giá trị mục tiêu tối ưu toán (Q) −2 đạt đỉnh x3 Từ nl w suy giá trị cực tiểu cần tìm x1 tập E P oa Để áp dụng thuật toán giải tốn (Q) trình bày, ta cần đưa ràng d buộc tốn dạng tắc (các ràng buộc có dạng phương trình) lu (P) V max{Cx : Ax = b, x ≥ 0} z at nh oi lm ul viết lại thành: nf va an cách thêm vào biến phụ không âm x4 , x5 , x6 , x7 Khi tốn (P) với z m co l an Lu 0 0 gm 1 0  1 0  A= 0 0          0 0 0 3   0     ,b =  , C =  0 0      0 3 0 0 0 1 @  n va ac th si 37 Ký hiệu d = (−1.0, 0)T Khi đó, tốn (Q) max{d T x : x ∈ E P } (Q) Còn điều cần nói rõ thuật tốn có tính trực quan hình học, tất nghiệm toán phụ (Qk ) nêu mà không ghi kèm giá trị cụ thể biến phụ x4 , x5 , x6 , x7 thêm vào Các bước thuật toán: Bước (Khởi tạo) Dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch tuyến tính, ta tìm nghiệm hữu hiệu ban đầu xb0 = (3, 2, 1)T Để ý điểm đỉnh x2 lu Đặt số vòng lặp k = giá trị kỷ lục α0 = −3 an Vòng lặp va n Bước (Thăm dò) β0 = x1 s1 + x2 s2 + x3 s3 + x4 s4 + x5 s5 + x6 s6 + x7 s7 → min, p (BP0 ) ie gh tn to Giải tốn quy hoạch song tuyến tính oa nl w d λ1 + u1 + u2 + s1 = 0, λ2 + u1 + u3 + s2 = 0, λ3 + u4 + s3 = 0, nf va an lu u1 + s4 = 0, u2 + s5 = 0, u3 + s6 = 0, u4 + s7 = (⇔ λ T C + uT A + s = 0), x1 + x2 + x4 − 5y = 0, x1 + x5 − 3y = 0, lm ul x2 + x6 − 3y = 0, x3 + x7 − y = (⇔ Ax − by = 0), z at nh oi − x1 − (−3)y ≥ (⇔ d T x − αk y ≥ 1), x, s ≥ 0, λ1 , λ2 , λ3 , y ≥ (⇔ x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ 1) z @ Bài toán có nghiệm với giá trị mục tiêu tối ưu (tồn cục) m co l gm an Lu n va ac th si 38 nghiệm tối ưu toán (λ¯ , u¯0 , s¯0 , x¯0 , y¯0 )T , λ¯ = (1, 1, 1)T , u¯0 = (−1, 0, 0, −1)T , s¯0 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T , x¯0 = (2, 3, 1, 0, 1, 0, 0)T , y¯0 = β0 = 0, Bước (Quy tắc dừng) Vì giá trị mục tiêu tối ưu (BP0 ) β0 = nên ta chuyển sang Bước Bước (Tìm diện hữu hiệu mới) Như J0 = {4, 7} tập mô tả cực đại tương ứng với diện F(J0 ), cạnh nối lu liền hai đỉnh x2 x3 an Bây ta cần giải toán quy hoạch tuyến tính n va to max{d T x : x ∈ F(J0 )}, ie gh tn (Q0 ) p F(J0 ) = {x ∈ D : x j = 0, j = 4, 7} Cụ thể w d oa nl F(J0 ) = {x ∈ R3 : x1 + x2 = 5, ≤ x1 ≤ 3, ≤ x2 ≤ 3, x3 = 1} nf va ưu α1 = −2 an lu Ta nhận nghiệm tối ưu (Q0 ) x3 = (2, 3, 1)T với giá trị mục tiêu tối Vòng lặp z at nh oi lm ul Đặt k = thực vòng lặp z m co Giải tốn quy hoạch song tuyến tính l gm @ Bước (Thăm dò) β1 = x1 s1 + x2 s2 + x3 s3 + x4 s4 + x5 s5 + x6 s6 + x7 s7 → min, an Lu (BP1 ) n va ac th si 39 λ1 + u1 + u2 + s1 = 0, λ2 + u1 + u3 + s2 = 0, λ3 + u4 + s3 = 0, u1 + s4 = 0, u2 + s5 = 0, u3 + s6 = 0, u4 + s7 = (⇔ λ T C + uT A + s = 0), x1 + x2 + x4 − 5y = 0, x1 + x5 − 3y = 0, x2 + x6 − 3y = 0, x3 + x7 − y = (⇔ Ax − by = 0), − x1 − (−2)y ≥ (⇔ d T x − αk y ≥ 1), x, s ≥ 0, λ1 , λ2 , λ3 , y ≥ (⇔ x, s ≥ 0, λ ≥ e, y ≥ 1) Bài tốn (BP1 ) có nghiệm, với giá trị mục tiêu tối ưu (toàn cục) β1 = > Một nghiệm tối ưu (BP1 ) (λ¯ , u¯1 , s¯1 , x¯1 , y¯1 )T , lu an λ¯ = (1, 1, 1)T , u¯1 = (−1, 0, 0, −1)T , n va s¯1 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T , ie gh tn to x¯1 = (1, 3, 1, 1, 2, 0, 0)T , y¯1 = βi = 1, p Bước (Quy tắc dừng) w oa nl Vì giá trị mục tiêu tối ưu (BP1 ) số dương nên ta dừng thuật toán Điểm d cực biên x3 = (2, 3, 1)T nghiệm tối ưu toán (Q), với giá trị mục tiêu tối lu ưu (Q) α1 = −2 nf va an  lm ul Kết luận chương Chương giới thiệu thuật toán (nêu [5]) tìm z at nh oi nghiệm tối ưu tồn cục xác tốn tối ưu hai cấp (ký hiệu toán (Q)): "Cực đại hàm tuyến tính tập hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu" Thuật tốn gồm số hữu hạn vòng lặp, vòng lặp địi hỏi z gm @ giải hai tốn phụ: tốn song tuyến tính với tập ràng buộc rời l toán tốn tuyến tính thơng thường Thuật tốn khơng cần tới giả an Lu (Q) bị chặn m co thiết tập hữu hiệu E P toán (P) bị chặn hàm mục tiêu d T x toán n va ac th si 40 Kết luận Luận văn đề cập tới thuật tốn tìm nghiệm tối ưu tồn cục xác tốn cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa hàm mục tiêu Đây dạng tốn tối ưu tồn cục, thuộc lớp tốn tối lu ưu hai cấp, có ứng dụng quan trọng tối ưu đa hàm mục tiêu nhiều an n va tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần tn to Luận văn trình bày số nội dung cụ thể sau: gh p ie Nhắc lại số khái niệm kiến thức có liên quan tập lồi đa diện w (cách xác định diện), tốn quy hoạch song tuyến tính (nội dung, tính chất oa nl nghiệm toán quy hoạch lõm tương đương), tốn tối ưu tuyến tính đa hàm d mục tiêu (cách xác định đỉnh, diện hữu hiệu) toán tối ưu hai cấp (bài toán an lu NP - khó) nf va Giới thiệu thuật tốn (nêu [5]) tìm nghiệm tối ưu tồn cục xác lm ul tốn tối ưu hai cấp (bài tốn (Q)): “Cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu z at nh oi hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (bài tốn (P))” Thuật tốn gồm số hữu hạn vịng lặp, vịng lặp cần giải hai tốn phụ: tốn song tuyến tính với tập ràng buộc rời toán quy hoạch tuyến tính thơng z thường Thuật tốn khơng cần tới giả thiết tập điểm hữu hiệu E P toán (P) @ co l gm bị chặn hàm mục tiêu d T x toán (Q) bị chặn m Nội dung trình bày luận văn kiến thức tác giả tìm hiểu an Lu toán tối ưu hai cấp tối ưu đa mục tiêu thuật toán dựa quy hoạch n va song tuyến tính giải tốn Các kiến thức tạo sở để sau tác giả có dịp ac th si 41 tìm hiểu thêm toán thuật toán khác toán ứng dụng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Thị Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình lu giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội an n va [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, p ie gh tn to NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội nl w Tiếng Anh d oa [3] J F Bard (1991), “Some Properties of the Bilevel Programming Problem”, an lu JOTA, 68(2), 371–378 nf va [4] M Ehrgott (2007), “Lecture 2: Multiobjective Linear Programming”, Inter- lm ul national Doctoral School Algorithmic Decision Theory, MCDA and MOO, z at nh oi Han sur Lesse, September, 17 - 21 [5] J M Jorge (2005), “A Bilinear Algorithm for Optimizing a Linear Function z over the Efficient Set of a Multiple Objective Linear Programming Problem”, l gm @ Journal of Global Optimization, 31, 1–16 co [6] T Q Phong, H Q Tuyen (2000), “Bisection Search Algorithm for Optimiz- m ing Over the Eficient Set”, Vietnam Journal of Mathematics, 28(3), 217 - an Lu 226 n va ac th si 43 [7] T V Thieu (1988), “A Note on the Solution of Bilinear Programming Problems by Reduction to Concave Minimisation” Math Program., 41, 249 260 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 44 Một số thuật ngữ thường sử dụng Bài toán tối ưu tuyến tính đa hàm mục tiêu (Bài tốn (P)) lu an Bài tốn cực đại hàm tuyến tính tập điểm hữu hiệu (Bài toán (Q)) n va Bài toán quy hoạch tuyến tính xác định đỉnh hữu hiệu (Bài tốn (LP0)) tn to Bài tốn quy hoạch song tuyến tính (Bài toán (BP)) ie gh Bài toán quy hoạch lõm tuyến tính khúc (Bài tốn (1.3)) p Bao afin, bao lồi (Định nghĩa 1.2) Diện (Định nghĩa 1.6), diện hữu hiệu (Định nghĩa 1.11) w oa nl Đa diện lồi (Định nghĩa 1.5) d Đỉnh (Định nghĩa 1.6), đỉnh hữu hiệu (Định nghĩa 1.10) lu nf va an Hàm song tuyến tính (Định nghĩa 1.9) Nón lồi (Định nghĩa 1.4), nón lồi đa diện (Định nghĩa 1.5) lm ul Nửa khơng gian đóng, mở (Định nghĩa 1.1) Tập afin (Định nghĩa 1.1) z at nh oi Siêu phẳng (Định nghĩa 1.1) Tập lồi (Định nghĩa 1.1), tập lồi đa diện (Định nghĩa 1.5) z m co l Thứ nguyên (số chiều) tập lồi (Định nghĩa 1.3) gm @ Tập mô tả (Định nghĩa 1.7), tập mô tả cực đại (Định nghĩa 1.8) an Lu n va ac th si