(Luận văn) điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÀN lu an n va p ie gh tn to ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - Nm 2015 ac th si i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan r»ng mäi sù gióp ®ì cho viƯc thùc hiƯn ln văn đà cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn đà rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2015 lu an Người viết luận văn n va tn to p ie gh Trần Thị Nhàn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS TS Đỗ Văn Lưu Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu, người đà tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm, Đại học lu Thái Nguyên, đà tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Tác an n va giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán K21b, đà động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn ie gh tn to Luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp p w oa nl Thái Nguyên, tháng năm 2015 Người viết luận văn d nf va an lu lm ul Trần Thị Nhàn z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Môc lôc Lời cam đoan i lu Lời cảm ơn ii an iii n va Mục lục tn to Mở đầu p ie gh Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Các kiến thức bổ trợ D­íi vi ph©n suy réng d 1.1.1 oa nl 1.1 w an lu C¸c d­íi vi ph©n Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot 1.1.3 D­íi vi ph©n suy réng chÝnh quy, d­íi vi ph©n suy réng tèi z at nh oi Điều kiện cần Fritz John cho cực tiÓu Pareto yÕu 10 13 Điều kiện quy điều kiện tèi ­u Karush-Kuhn-Tucker 24 z lm ul thiÓu 1.2 nf va 1.1.2 gm @ §iỊu kiƯn chÝnh quy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker 2.2 Điều kiện đủ cho cùc tiÓu Pareto yÕu Tài liệu tham khảo 24 28 30 31 an Lu m co KÕt luËn l 2.1 n va ac th si Mở đầu Lý chọn luận văn Năm 1994, Demyanov [5] đà đưa khái niệm vi phân suy rộng compăc lu an lồi Khái niệm tổng quát hoá khái niệm lồi lõm (xem va [6]) Các khái niệm vi phân suy rộng đóng, không lồi Jacobian xấp xỉ n Khái niệm vi phân gh tn to đề xuất bëi Jeyakumar vµ Luc [9] vµ [10] suy réng tổng quát hoá số khái niệm vi phân đà biết ie p Clarke [4], Michel-Penot [17], Mordukhovich [18] Một điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu toán quy hoạch đa mục tiêu ngôn ngữ Jacobian nl w Điều kiƯn cÇn tèi ­u Fritz John cho cùc tiĨu d oa xấp xỉ đưa Luc [12] yếu ngôn ngữ vi phân suy rộng đưa Dutta- Chandra [7,8] an lu cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc bất đẳng thức Điều kiện cần nf va cho cực tiểu yếu cực tiểu Pareto đưa Luu [15] với ràng buộc lm ul đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập (2014) đà định thiết lí lập Ljusternik điều z at nh oi Dùa më kiƯn réng tèi ­u cđa cho JimÐnez-Novo cùc tiểu Pareto (2002), yếu D.V.Luu toán z tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập @ gm ngôn ngữ vi phân suy rộng (convexificator) Đây đề tài nhiều co l tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính em chọn đề tài : Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu qua an Lu Phương pháp nghiên cứu m d­íi vi ph©n suy réng” n va ac th si Sưu tầm đọc tài liệu từ sách, tạp chí toán học nước quốc tế liên quan đến điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véc tơ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Luận văn trình bày điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu ngôn ngữ vi phân suy rộng báo D V Lưu đăng tạp chí Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 160 (2014), pp 510-526 Néi dung cña luËn văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, kết luận danh mục tài liệu lu tham khảo an Chương 1: Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu n va Trình bày số kiến thức vi phân suy rộng ®iỊu kiƯn cÇn tn to Fritz John cho cùc tiĨu Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc gh p ie đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm Lipschitz địa phương w Chương 2: Điều kiện quy điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker oa nl Trình bày điều kiện quy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho d toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc lu nf va an tập với hàm Lipschitz địa phương ngôn ngữ vi phân suy rộng với giả thiết tính lồi suy rộng, điều kiện cần tối ưu trở thành điều kiện z at nh oi lm ul ®đ tèi ­u z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu lu Trong chương trình bày số kiến thức vi phân an n va suy rộng điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn tn to ngữ vi phân suy rộng Các kết trình bày chương tham gh p ie khảo [9], [14] w Các kiến thức bổ trợ d oa nl 1.1 Dưới vi phân suy rộng hàm giá trị thực mở rộng xác định trªn lm ul f nf va an Cho lu 1.1.1 hàm theo phương Dini xác định sau: f+ f Nhắc lại đạo x Rn theo phương z at nh oi v ∈ Rn f− Rn f (x + tv) − f (¯ x) , t↓0 t   f (¯ x + tv) − f (¯ x) + f (¯ x; v) := lim sup t↓0 t f − (¯ x; v) := lim inf z x¯ theo phương v ký hiệu f ( x; v) Hàm tồn đạo hàm theo phương x với đạo hàm Fréchet f ( x) x gọi khả vi theo phương theo phương Nếu f f ( x; v) = h∇f (¯ x, v)i n va kh¶ vi Fréchet f an Lu x , giá trị chung gọi đạo hàm hàm m t¹i f + (¯ x; v) = f − (¯ x; v) co f l gm @ NÕu ac th si f Theo [9] hµm ∂∗ f ( x) ) gọi có vi phân suy rộng x Rn f (¯ x) (hay (∂∗ f (¯ x)) ⊆ Rn f − (¯ x; v) ≤ sup hξ, vi f + (¯ x; v) ≥ ξ∈∂∗ f (¯ x) Mét tËp ®ãng nÕu ∂ ∗ f (¯ x) Theo ∂ f ( x) Rn ) tập đóng vµ  (∀v ∈ Rn ) hξ, vi inf gọi vi phân suy rộng đồng thời vi phân suy rộng d­íi cđa [8] hµm lu ∂ ∗ f (¯ x) Rn f x (hay (v ∈ Rn ), ξ∈∂ ∗ f (¯ x)  ∂ ∗ f (¯ x) gäi lµ ∂ ∗ f (¯ x) có vi phân suy rộng bán f x f x quy tập ®ãng vµ an va f + (¯ x; v) ≤ sup hξ, vi (∀v ∈ Rn ) ξ∈∂ ∗ f (¯ x) (1.1) n gh tn to p ie VÝ dô 1.1.1 f :R→R     x, f (x) := x4 − 4x3 + 4x2 ,   0, Cho hàm xác định d oa nl w x ∈ Q ∩ [0; +∞[, x ∈ Q ∩ ]−∞; 0], an lu lµ tập số hữu tỷ Khi lm ul Q nf va , trường hợp khác v ≥ 0, v < 0, z at nh oi   v, + f (0; v) =  0, z f − (0; v) = (∀v ∈ R) gm {0; 1} @ TËp lµ d­íi vi phân suy rộng bán quy Tập x xảy {0} , vi phân suy đẳng thức (1.1) ∗ f (¯ x) an Lu [9], t¹i x¯ x¯ m Theo f t¹i t¹i co réng d­íi cđa f l vi phân suy rộng f gọi vi va phân suy rộng quy Với hàm Lipschitz địa phương, vi phân n ac th si Clarke vi phân Michel-Penot vi phân suy rộng x (xem [9]) f Hơn với hàm Lipschitz địa phương quy theo nghĩa Clarke [4], vi phân Clarke vi phân suy rộng quy f (xem [7]) Chú ý rằng, hàm x có vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng bán quy x vi phân suy rộng x , Ví dụ 1.1.2 Ta xét hàm f :RR xác định bởi: lu   x2 15 NhËn xÐt 1.2.1 NÕu C = Rn h , thc líp C1 mét l©n cËn cđa x¯ vµ ∇h1 (¯ x), , ∇hr (¯ x) độc lập tuyến tính, mệnh đề 1.2.1 trở thành định lý Ljusternik cổ điển Thật vậy, ánh xạ ta có h( x) toàn ánh, T (C; x) = Rn , điều kiện chÝnh quy (RC) ker ∇h(¯ x) = T (C; x¯) Điều kiện (RC) minh họa ví dụ sau VÝ dô 1.2.1 Cho h R3 → R2 : C R3 xác định sau h := (h1 , h2 ) (¯ x, y¯, z¯) = 0, , lu an n va h1 (x, y, z) = x + 2y + z, tn to h2 (x, y, z) = 2x + 4y − z, ∇h1 (0, 0, 0) = (1, 2, 1) ∇h2 (0, 0, 0) = (2, 4, −1) T (C; 0) = −R+ × p ie gh C := {(x, y, z) : −1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y, z ≤ 1} Khi , , w R ì R N (C; 0) = R+ × {0} × {0} , điều kiện (RC) thỏa mÃn Thật d oa nl ∈ γ1 ∇h1 (0) + γ2 ∇h2 (0) + N (C; 0), an lu nf va cã nghĩa ta suy = = z at nh oi lm ul (0, 0, 0) ∈ (γ1 + 2γ2 , 2γ1 + 4γ2 , γ1 − γ2 ) + R+ × {0} × {0} , Do đó, điều kiện (RC) Nhắc lại điểm x M cho không tồn tháa m·n l (∀k ∈ J) , fk (x) < fk ( x) hình cầu mở bán kính δ t©m x¯ m B (¯ x; δ) co ®ã x ∈ M ∩ B (¯ x; δ) gm @ >0 z toán (P) tồn số gọi cực tiểu Pareto yếu địa phương an Lu Giả thiết sau cần thiết để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiƯu n va u ac th si 16 Gi¶ thiÕt 1.2.1 Tồn số x phân Với suy rộng gi (i / I ( x)) s∈J cho k ∈ J, k 6= s bán liên tục quy fs có vi phân suy rộng i I ( x) , fk ( x) hµm fk ∂ ∗ gi (¯ x) gi vµ x¯ ; có tất fs ( x) vi hàm x Trên sở ®Þnh lý Ljusternik suy réng cđa JimÐnez-Novo [11], ta chøng minh điều kiện cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) Định lý 1.2.1 Giả sử x cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) Giả sử tất giả lu thiết mệnh đề 1.2.1 giả thiết 1.2.1 Giả sử hàm an n va gi (i ∈ I (¯ x)) Lipschitz địa phương x fk (k J) Khi đó, hệ sau nghiệm tn to v ∈ Rn : hξk , vi < (∀k ∈ J), gh sup (1.2) p ie ξk ∈conv∂ ∗ fk (¯ x) sup hξi , vi < (∀i ∈ I(¯ x)), (1.3) d oa nl w ξi ∈conv∂ ∗ gi (¯ x) (1.4) v ∈ T (¯ x; C) (1.5) Chøng minh nf va an lu h∇hj (¯ x), vi = (∀j ∈ L), lm ul Ta điều kiện sau nghiệm v ∈ Rn : z at nh oi (1.6) x; v) < (∀k ∈ J; k 6= s), fk+ (¯ (1.7) z fs− (¯ x; v) < 0, gm @ gi+ (¯ x; v) < (∀i ∈ I(¯ x)), (1.8) (1.9) m an Lu v ∈ T (¯ x; C) co l h∇hj (¯ x), vi = (∀j ∈ L), (1.10) n va ac th si 17 Giả sử ngược lại hệ (1.6) - (1.10) cã mét nghiƯm v0 ∈ Rn Khi ®ã, v0 ∈ (ker∇h(¯ x)) ∩ T (C; x¯) ¸ p dơng mƯnh ®Ị 1.2.1 ta suy (ker∇h(¯ x)) ∩ T (C; x¯) = A(H ∩ C; x¯) Do ®ã, ∃δ > vµ γ : [0, δ] → Rn cho γ (0) = x¯, γ (t) ∈ H ∩ C γ (0) = lim t↓0 (∀t ∈ ]0, δ]) , γ (t) − γ (0) = v0 t (1.11) lu an Nh­ vËy, va n γ (t) ∈ C (∀t ∈ ]0, δ]) h (γ (t)) = vµ (1.12) tn to Tõ (1.11) ta suy p ie gh γ (t) − γ (0) o (t) + → v0 t t vµ nl o (t) →0 t x d oa Lipschitz địa phương nf va an fs lu V× t ↓ 0, w ®ã γ (t) − γ (0) → v0 t t ↓ , nªn tõ [3, tr.286] ta suy x; v0 ) = lim inf fs− (¯ lm ul t↓0 = lim inf fs (x ¯+t( γ(t)−γ(0) + o(t) x) t t ))−fs (¯ t z at nh oi t↓0 fs (¯ x+tv0 )−fs (¯ x) t = lim inf fs (¯ x+(γ(t)−¯ x))−fs (¯ x) t = lim inf fs (γ(t))−fs (¯ x) t p i h  1 ∈ 0, p p ≤ δ t↓0 cho l fs (γ (t)) − fs (¯ x) fs (γ (tp )) − fs (¯ x) = lim < p→+∞ t m N1 cho víi mäi p ≥ N1 , va fs (γ (tp )) < fs (¯ x) an Lu Do đó, tồn số tự nhiên co t0 , tồn gm lim inf @ Vì vậy, với số tự nhiên < z t0 (1.13) n ac th si 18 Vì fk Lipschitz địa phương t¹i fk+ (¯ x; v0 ) = lim sup x¯  fk x¯ + t  γ(t)−γ(0) t sup t∈]o, p1 [ p+ Do đó, tồn số tự nhiên ta cã t t↓0 = lim ∀k ∈ J, k 6= s  + o(t) − fk (¯ x) t , cho nªn tõ (1.11) víi fk (γ (t)) − fk (¯ x) < t N2 (≥ N1 ) fk (γ (t)) < fk (¯ x) V× vËy víi mäi cho víi mäi ∀k ∈ J, k 6= s, i h p ≥ N2 , t ∈ 0, p1 , ta cã fk (γ (tp )) < fk (¯ x) N3 (≥ N2 ) T­¬ng tù, tồn số tự nhiên (1.14) cho với ∀i ∈ I (¯ x) , p ≥ N3 , lu an ta cã va n gi (γ (tp )) < tn to Do tính liên tục hàm gh víi mäi (1.15) gi (i ∈ / I (¯ x)) , tồn số tự nhiên cho ta cã p ie ∀i ∈ / I (¯ x) , p ≥ N4 , N4 (≥ N3 ) nl w gi (γ (tp )) < d oa KÕt hỵp (1.12) - (1.16), ta suy víi mäi (1.16) ∀p ≥ N4 , an lu (∀k ∈ J), fk (γ (tp )) < fk (¯ x) nf va gi (γ (tp )) < (∀i ∈ I), lm ul h ( (tp )) = 0, Điều mâu thuẫn víi gi¶ thiÕt z at nh oi γ (tp ) C x cực tiểu Pareto yếu địa phương cđa (P) Tõ gi¶ thiÕt (1.2.1) ta suy r»ng hệ (1.2) - (1.5) không tương thích z  P P i∈I(¯ x) µi conv ∂ ∗ gi (¯ x) + m k∈J λk conv ∂ ∗ fk (¯ x) + co S l gm Đặt D ( x) := @ Từ ta suy điều phải chøng minh P γj ∇hj (¯ x) j∈L an Lu n va +N (C; x¯) : λk ≥ 0(∀k ∈ J), µi ≥ 0, (∀i ∈ I(¯ x)),  γj ∈ R (∀j ∈ L) , (λ, µ, γ) 6= (0, 0, 0) , ac th si 19 ®ã §iỊu λ = (λk )k∈J , µ = (µi )i∈I(¯x) , γ = (γj )j∈L kiƯn cÇn Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) ngôn ngữ vi phân suy rộng phát biểu sau Định lý 1.2.2 x Giả sử cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) giả thiết định lý 1.2.1 thoả mÃn Khi tồn k (k J) , λ ¯i ≥ (∀i ∈ I (¯ x)), ¯ µ (λ, ¯) 6= (0, 0) vµ γ¯ ∈ Rl cho  X X X ∗ ∗ ¯ k conv∂ fk (¯ µ ¯i conv∂ gi (¯ x) + γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) ∈ cl λ x) + lu an k∈J j∈L i∈I(¯ x) n va (1.17) tn to Chøng minh Ta chØ r»ng ie gh p ∈ clD (¯ x) (1.18) w oa nl Giả sử ngược lại 0∈ / clD (¯ x) d D (¯ x) {0} nf va tập lồi rời không rỗng lồi Khi ta áp dụng định lý tách mạnh cho an D ( x) lu Ta có tập (xem [19], hệ 11.4.2), tồn v0 ∈ Rn , v0 6= lm ul cho z at nh oi sup hξ, v0 i < (1.19) D( x) định lý 1.2.1, hệ (1.2) - (1.5) không tương thích Khi đó, chọn k = 1, λp = 0, (∀p ∈ J, p 6= k), µi = (∀i ∈ I(¯ x)), γ = z Theo , tõ (1.19) ta suy l hξk , v0 i < (∀k ∈ J) (1.20) m co sup ξk ∈conv∂ ∗ fk (¯ x) vµ gm @ = ζ ∈ N (C; x¯) c¸ch hηi , v0 i < (∀i ∈ I(¯ x)) (1.21) n va sup ηi ∈conv∂ ∗ gi (¯ x) an Lu Tương tự trên, ta có ac th si 20 Ta chØ h∇hj (¯ x), v0 i = Thật (1.22) sai, (j ∈ L) h∇hj0 (¯ x), v0 i 6= (1.22) với j0 L Bằng s ∈ ∂ ∗ fs (¯ x) , λs = 1, λk = (∀k ∈ J, k 6= s) , µi = 0(∀i ∈ I(¯ x)), c¸ch lÊy γj = (∀j ∈ L, j 6= j0 ) , = ζ ∈ N (C; x¯), tõ (1.19) ta suy hξs , v0 i + γj0 h∇hj0 (¯ x), v0 i < (1.23) Ta chó ý r»ng lu |hξs , v0 i| < +∞ vµ |h∇hj0 (¯ x), v0 i| < +∞ an va Cho n ®đ lín nÕu h∇hj0 (¯ x), v0 i > h∇hj0 (¯ x), v0 i < , cßn γj0 < với giá trị tuyệt đối đủ lớn , ta ®i ®Õn mét m©u thn víi (1.23) Do vËy, (1.22) tn to j0 ie gh p Tiếp theo, ta chØ r»ng w ThËt vËy, d oa nl v0 ∈ T (C; x¯) nÕu (1.24) kh«ng ®óng th× sÏ lu cho (η0 , v0 ) > λk = (∀k ∈ J, k 6= s) , λs > 0, ξs ∈ ∂ ∗ fs (¯ x) , µi = 0(∀i ∈ , víi nf va I(¯ x)), γ = ∃η0 ∈ N (C; x¯) an B»ng c¸ch cho (1.24) α>0 ta cã αη0 ∈ N (C; x¯) vµ lm ul λs hξ0 , v0 i + α hη0 , v0 i < hη0 , v0 i > víi α z at nh oi Vì (1.25) đủ lớn ta nhận mâu thuẫn với (1.25) Do z h0 , v0 i ≤ 0, (∀η ∈ N (C; x¯)) lµ mét nãn låi ®ãng Tõ ®ã ta cã co l T (C; x¯) gm @ Chó ý r»ng m v0 ∈ N (C; x¯) = T 00 (C; x¯) = T (C; x¯) an Lu KÕt hỵp (1.20) - (1.22) vµ (1.24) ta suy hƯ (1.6) - (1.10) cã mét nghiƯm v0 , va vµ cịng lµ nghiệm hệ (1.2) - (1.5) Điều mâu thuẫn với định lý 1.2.1 Vì n ac th si 21 (n) (1.18) tồn (n) (n) λk ≥ 0, ξk ∈ conv∂ ∗ fk (¯ x) (∀k ∈ J) , µi (n) (n) 0, ηi ∈ conv∂ ∗ gi (¯ x) (∀i ∈ I (¯ x)) , γj   (n) λ(n) , µI(¯x) , γ (n) 6= (0, 0, 0) ∈ R (∀j ∈ L) vµ ζ (n) ∈ N (C; x¯) ≥ víi cho = lim X n→∞ (n) (n) λk ξk + k∈J (n) (n) µi ηi X + X (n) γj ∇hj  (¯ x) + ξ (n) , (1.26) j∈L i∈I(¯ x) ®ã λ (n) =  (n) λk  (n) , µI(¯x) k∈J   (n) = µi i∈I(¯ x) ,γ (n) =  (n) γj  j∈L Bëi v× lu   (n) (n) (n) λ , µI(¯x) , γ 6= (0, 0, 0) , an va ta cã thÓ xem nh­ n gh tn to (n) k (λ(n) , µI(¯x) , γ (n) ) k= (∀n)  
(n) (n) (n) ¯ µ λ , µI(¯x) , γ → λ, ¯I(¯x) , γ¯ ¯ µ ≥ 0, γ¯ ∈ Rl k (λ, ¯I(¯x) , γ¯ ) k= Kh«ng mÊt tính tổng quát giả sử ie 0, µ λ ¯I(¯x) p víi nl w Bởi d oa clA + clB cl(A + B), lu vµ tõ (1.26) ta suy an P¯ P λk clconv∂ ∗ fk (¯ x) + µ ¯i clconv∂ ∗ gi (¯ x) nf va 0∈ k∈J i∈I(¯ x) lm ul X ¯ k conv∂ ∗ fk (¯ λ x) + k∈J X i∈I(¯ x) P γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) j∈L z at nh oi ⊆ cl + µ ¯i conv∂ ∗ gi (¯ x) + X γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) j∈L z Ta cã (1.27) ®óng víi
¯ µ λ, ¯ 6= (0, 0) gm @ (1.27) ThËt vËy nÕu
¯ µ λ, ¯ = (0, 0) th× γ¯ 6= l
¯ µ λ, ¯ = (0, 0) Suy điều phải chứng minh m Do co Tuy nhiên, kết hợp với (1.27) ta đến mâu thn víi ®iỊu kiƯn chÝnh quy (RC) an Lu n va ac th si 22 HƯ qu¶ 1.2.1 C = Rn Giả sử giả thiết định lý 1.2.2 thoả mÃn điều kiện quy (RC) mệnh đề 1.2.1 thay điều kiƯn: hƯ ¯ k ≥ (∀k ∈ J), µ h1 ( x), , hl ( x) độc lập tuyến tính Khi đó, tồn i
¯ µ ¯ 6= (0, 0) vµ γ¯j ∈ R (∀j ∈ L) cho (1.17) ®óng (∀i ∈ I(¯ x)) víi λ, Chøng minh C = Rn Víi , ta cã N (C; x¯) = {0} Do ®ã, nÕu ∇h1 (¯ x), , ∇hl (¯ x) lµ ®éc lËp tun tÝnh th× ®iỊu kiƯn chÝnh quy (RC) thỏa mÃn Theo định lý 1.2.2 ta suy điều phải chứng minh Trong trường hợp tập D( x) tập đóng, ta nhận hệ trực tiếp sau lu an định lý 1.2.1, bao đóng (1.17) bỏ va n HƯ qu¶ 1.2.2 gh tn to C = Rn Giả sử giả thiết định lý 1.2.2 vµ tËp D(¯ x)
¯ k ≥ (∀k J), Khi i (∀i ∈ I(¯ x)) víi λ, ¯ 6= (0, 0) Giả sử đóng ie p j R (∀j ∈ L) cho w ¯ k conv∂ ∗ fk (¯ λ x) + X oa nl 0∈ X k∈J ∗ µ ¯i conv∂ gi (¯ x) + X γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) j∈L i∈I(¯ x) d nf va an lu NhËn xÐt 1.2.2 C = Rn lm ul Trong tr­êng hỵp , cịng nh­ nhËn xÐt 3.1 [13], nÕu ∂ ∗ fk (¯ x) ∂ ∗ gi (¯ x)(i ∈ (I(¯ x)) [  [ 0∈ / conv conv∂ ∗ fk (¯ x) ∪ conv∂ ∗ gi (¯ x) + lin {hj ( x) : j L} , bị chặn thỏa mÃn điều kiện sau đây: z at nh oi (k ∈ J) k∈J i∈I(¯ x) z lµ tập đóng, lin kí hiệu bao tuyến conv ∗ gi (¯ x)(i ∈ (I(¯ x)) tÝnh ThËt vËy ta có compăc tập sau co l conv∂ ∗ fk (¯ x) (k ∈ J) gm D( x) @ compăc: conv fk (¯ x) ∪ [ i∈I(¯ x)  conv∂ ∗ gi (¯ x) an Lu k∈J m conv [ n va ac th si 23 Do ®ã, E(¯ x) := conv [ conv∂ ∗ fk (¯ x) ∪ k∈J [  conv∂ ∗ gi (¯ x) +lin {∇hj (¯ x) : j L} iI( x) tập đóng Hơn nữa, / E( x) D( x) = coneE( x), D( x) tập đóng, coneE( x) nón sinh E( x) Nhận xét 1.2.3 Điều kiện cần thu định lý 1.2.2, hệ 1.2.1, 1.2.2 vài lu an điều kiện tối ưu đà trình bày ngôn ngữ f ( x) tốt điều kiện tối va ưu ngôn ngữ vi phân vi phân Clarke, Mordukhovich n p ie gh tn to vµ Michel-Penot d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 24 Ch­¬ng Điều kiện quy điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker lu an va n Trong ch­¬ng chóng ta sÏ trình bày điều kiện quy điều kiện gh tn to cần Karush-Kuhn-Tucker, điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập p ie ngôn ngữ vi phân suy rộng Các kết trình bày chương d oa nl w tham khảo [14] Điều kiện quy điều kiện cần Karush-Kuhn- nf va an lu 2.1 Tucker lm ul z at nh oi Chương đà trình bày điều kiện cần Fritz John (1.17) với giả thiết 1.2.1 giả thiết cđa mƯnh ®Ị 1.2.1, ®ã ®iỊu kiƯn chÝnh quy (RC) ®óng: X γj ∇hj (¯ x) + N (C; x) Để nhận điều kiện cần cho nghiệm hữu hiƯu ®ã ∃s ∈ J d0 ∈ T (C, x¯) cho , , vµ n va ak > (k ∈ J, k 6= s) , bi > (i I ( x)) , ta đưa vào an Lu điều kiện quy sau mà ta ký hiƯu lµ (CQ1): ¯ 6= λ m co độc lập tuyến tính Chú ý điều kiện cần (1.17) ta có số h1 , , ∇hl
¯ µ λ, ¯ 6= (0, 0) điều kiện trở thành điều kiện: hệ l C = Rn gm Trong tr­êng hỵp γ1 = = γl = @ j∈L ⇒ z 0∈ ac th si 25 hξk , d0 i ≤ −ak (∀ξk ∈ conv∂ ∗ fk (¯ x) , ∀k ∈ J, k 6= s) ; hηi ; d0 i ≤ −bi (i) (∀ηi ∈ conv∂ ∗ gi (¯ x) , ∀i ∈ I (¯ x)) ; h∇hj (¯ x) , d0 i = (∀j ∈ L) (ii) Chóng ta đưa vào điều kiện quy (CQ2): Với mäi vµ λk ≥ (k ∈ J, k 6= s) ; µi ≥ (∀i ∈ I (¯ x)) , không đồng thời 0, j R (j ∈ L)  X X µi conv∂ ∗ gi (¯ x) 0∈ / cl λk conv∂ ∗ fk (¯ x) + , ta cã k∈J,k6=s i∈I(¯ x) + X  γj ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) lu an jL n va Trong phần ta trình bày mối quan hệ (CQ1) (CQ2) tn to Mệnh đề 2.1.1 fk gi có vi phân suy rộng fk ( x) gi ( x) ie gh Giả sử x, với k J, k 6= s, i I ( x), h khả vi Fréchet x C p lồi Khi (s ∈ J) nl w (CQ1) kÐo theo (CQ2) d oa Chứng minh Giả sử ngược lại (CQ1) đúng, (CQ2) sai, cã nghÜa lµ lu víi (λ(s) , µ) 6= (0, 0), ®ã nf va an (∀i ∈ I (¯ x)) ∃λk ≥ (∀k ∈ J, k 6= s) ; µ (λ(s) = (λk )k∈J,k6=s, µ = (µi )i∈I(¯x) ), ξk(n) ∈ conv∂ ∗ fk (¯ x) (∀k ∈ J, k 6= s) , lm ul (n) ηi ∈ conv∂ ∗ gi (¯ x) (∀i ∈ I (¯ x)) , γj ∈ R (∀j ∈ L) z at nh oi cho lim n→∞  X (n) λk ξk + D E E D X (n) (n) λk ξk , d0 + µi ηi , d0 X D E (n) γj h∇hj (¯ x), d0 i + ζ , d0 n va j∈L an Lu i∈I(¯ x) m k∈J,k6=s + j∈L co n→∞ = l = lim  X cho  gm ∃d0 ∈ T (C; x¯) γj ∇hj (¯ x) + ζ (n) @ Tõ (CQ1) suy i∈I(¯ x) + X ζ (n) ∈ N (C; x¯) z k∈J,k6=s (n) µi ηi X vµ ac th si 26 ≤ lim  X n Vì ((s) , à) 6= (0, 0) lim λk (n) ξk , d0 E D E (n) µi ηi , d0 X + k∈J,k6=s (2.1) i∈I(¯ x) tõ ®iỊu kiƯn (i) (CQ1) suy D E D E X (n) (n) µi ηi , d0 λk ξk , d0 +  X n→∞ D k∈J,k6=s X ≤− i∈I(¯ x) λk ak − k∈J,k6=s X µi bi < iI( x) Điều mâu thuẫn với (2.1) Do ta có điều phải chứng minh Một điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu phát lu biểu sau: an n va Định lý 2.1.1 cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) Giả sử tất giả tn to x Giả sử gh thiết định lý 1.2.2 thoả mÃn giả sử điều kiện quy (CQ1) s J ) Khi đó, tồn s > 0, λ ¯ k ≥ 0(∀k ∈ J, k 6= s), i p ie (CQ2) (víi d oa nl w 0(∀i ∈ I(¯ x)), γ¯j ∈ R(∀j ∈ L) cho X X ¯ k conv∂ ∗ fk (¯ ∈ cl λ x) + µ ¯i conv∂ ∗ gi (¯ x) k∈J i∈I(¯ x) an lu  γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) nf va + X (2.2) lm ul jL Chứng minh dụng định lý 1.2.2  , suy  từ (CQ1) (CQ2) ta suy z NÕu ta z at nh oi ¯ k ≥ (∀k ∈ J) , µ ∃ λ ¯i ≥ (∀i ∈ I (¯ x))  ¯ µ ¯ µ ¯ k ) , (¯ (λ, ¯) 6= (0, 0) (λ, ¯) = (λ γ¯ ∈ Rl k∈J µi )i∈I(¯ x) ¯s = λ p víi cho (2.2) mâu thuẫn với (2.2) Vì @ ¯s > λ gm m co l Từ đó, ta suy điều phải chứng minh an Lu Nhận xét 2.1.1 đưa vào điều kiện quy (CQ3) yếu hạn chế (CQ1): tồn d0 ∈ n va Ta ac th si 27 T (C, x¯) bi > (i ∈ I (¯ x)) số cho điều kiện (ii) (CQ1) ®óng vµ tháa m·n ®iỊu kiƯn sau: (i') hηi , d0 i ≤ −bi (∀ηi ∈ conv∂ ∗ gi (¯ x) , ∀i ∈ I(¯ x)) Ta cịng ®­a vào điều kiện quy (CQ4) yếu hạn chế (CQ2): víi mäi µi ≥ (∀i ∈ I (¯ x)) γj ∈ R (∀j ∈ L) X  X ∗ 0∈ / cl µi conv∂ gi (¯ x) + γj ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) , không đồng thời 0, , jL iI( x) B»ng lËp ln t­¬ng tù nh­ chøng minh cđa mƯnh ®Ị 2.1.1, ta suy r»ng (CQ3) kÐo theo (CQ4) Hơn nữa, định lý 2.1.1 (CQ1) (CQ2) (với lu J s ) tương ứng thay (CQ3) (CQ4), ta thu ®iỊu kiƯn an cÇn (2.2) víi ®iỊu kiƯn va P¯ k > Điều kiện yếu điều kiÖn ¯s > λ k∈J n tn to Các giả thiết sau cần thiết để dẫn điều kiện cần với hệ số Lagrange tương ứng với thành phần hàm mục tiêu dương ie gh p Giả thiết 2.1.1 kJ i I( x) , hàm nl w Với ∗ fk (¯ x) vµ ∂ ∗ gi (¯ x) x gi có vi phân suy rộng bán ; hàm gi (i / I( x)) liên tục x d oa quy fk đây, ta lu Sau trình bày điều kiƯn cÇn Karush-Kuhn-Tucker cho cùc tiĨu an nf va Pareto yếu địa phương với nhân tử Lagrange dương tương ứng với thành Giả sử x z at nh oi Định lý 2.1.2 lm ul phần hàm mục tiêu cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) Giả sử giả thiết định lý 1.2.2 thoả mÃn giả thiết 1.2.1 thay giả thiết 2.1.1 z @ Giả sử điều kiện chÝnh quy (CQ1) hc (CQ2) (víi mäi Khi ¯ k > 0(∀k ∈ J), µ λ ¯i ≥ (∀i ∈ I (¯ x)) , γ¯j ∈ R (∀j ∈ L) cho X X ∗ ¯ ∈ cl λk conv∂ fk (¯ x) + µ ¯i conv∂ ∗ gi (¯ x) k∈J i∈I(¯ x)  γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) n va j∈L an Lu + X m co l gm ®ã, tån s J ) ac th si 28 Chứng minh sJ Với (s) , áp dụng định lý 2.1.1 ta suy tån t¹i (s) (s) λs > 0, λk ≥ (s) (∀k ∈ J, k 6= s), µi ≥ (∀i ∈ I (¯ x)) , γj ∈ R (∀j ∈ L)  X X (s) X (s) (s) ∗ µi ∂ ∗ gi (¯ x) + γj ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) ∈ cl λk ∂ fk (¯ x) + cho k∈J j∈L i∈I(¯ x) (2.3) Chó ý r»ng cl (A) + cl (B) ⊆ cl (A + B) LÊy s = 1, , r (2.3) vµ cộng hai vế bao hàm thức nhận được, ta suy  X X (s) X (s) X (s) ∗ ∗ 0∈ cl µi ∂ gi (¯ x) + γj ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) λk ∂ fk (¯ x) + s∈J k∈J j∈L i∈I(¯ x) lu an X  X X ¯ k ∂ ∗ fk (¯ ⊆ cl λ γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) , x) + µ ¯i ∂ ∗ gi (¯ x) + va n k∈J j∈L i∈I(¯ x) vµ p ie gh tn to P P (s) (s) ¯ k = λ(s) λ λk > (∀k ∈ J), µ ¯i = µi ≥ ( ∀i ∈ I (¯ x)) s + s∈J s∈J,s6=k P (s) γ¯j = γj ∈ R (∀j ∈ L) ®ã sJ Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu d 2.2 oa nl w Tõ ®ã, ta suy phải chứng minh nf va an lu Trong phần này, ta thấy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker lm ul trở thành điều kiện đủ ta đưa vào vài giả thiết lồi suy rộng Giả sử x điểm chấp nhận toán (P) Giả sử fk x, k J, gi cã mét cã mét d­íi vi ph©n suy réng ∂ ∗ gi (¯ x) t¹i x¯, ∀i ∈ I ( x), h khả vi Fréchet x Hơn nữa, gm @ quy fk (¯ x) z d­íi vi ph©n suy réng l gi¶ sư r»ng ¯ k ≥ (∀k ∈ J) víi λ = (λk )k∈J 6= 0, µ ∃λ ¯i ≥ (∀i ∈ I (¯ x)) vµ γ¯j R m co (i) z at nh oi Định lý 2.2.1 an Lu (∀j ∈ L) cho X X ¯ k conv∂ ∗ fk (¯ ∈ cl λ x) + µ ¯i conv∂ ∗ gi (¯ x) i∈I(¯ x) n va k∈J ac th si 29 + X  γ¯j ∇hj (¯ x) + N (C; x¯) , (2.4) jL (ii) f giả lồi x theo C; gi - tiệm cận vô hướng hj tùa låi vµ lµ tùa x¯ theo C (∀i ∈ I (¯ x) , j ∈ L); C lµ tËp lồi tuyến tính Khi Rn+ x cực tiĨu Pareto u cđa (P) Chøng minh Tõ (2.4) suy tån t¹i (n) x) (∀k ∈ J) , η¯i ∈ conv∂ ∗ gi (¯ x) ξ¯k(n) ∈ conv∂ ∗ fk (¯ (∀i ∈ I (¯ x)) ζ¯(n) ∈ N (C; x¯)  X X X (n) (n) (n) ¯ k ξ¯ + µ ¯i η¯i + γ¯j ∇hj (¯ x) + ζ¯ = lim λ k vµ n→∞ lu an Bëi v× gi cho k∈J (2.5) j∈L iI( x) vi phân suy rộng quy trªn va ∀i ∈ I (¯ x) , tõ mƯnh ®Ị 1.1.1 ta suy víi mäi ∂ ∗ gi (¯ x) ∀i ∈ M t¹i x¯ theo M , víi mäi , n to gh tn hηi , x − x¯i ≤ gi (x) − gi (¯ x) 0(x M ) Điều dẫn đến p ie (∀ηi ∈ ∂ ∗ gi (¯ x)) , (∀ηi ∈ conv∂ ∗ gi (¯ x)) Do ®ã, d oa nl w hηi , x − xi tựa tuyến tính lm ul hj (j ∈ L) nf va an lu V× (n) h¯ ηi , x − x¯i ≤ x¯ theo (x M ) C Vì C lồi nên ta cã nªn ta cã z at nh oi h∇hj (¯ x) , x − x¯i = x − x¯ ∈ T (C; x¯) ∀x ∈ C (∀x ∈ M ) V× vËy, (∀x ∈ M ) gm ¯T f λ ¯ k ≥ ∀k ∈ J ∂ ∗ fk (¯ x) x¯ λ P ¯ ∗ x) k∈J λk ∂ fk (¯ cã t¹i , theo va quy tắc 4.1, 4.2 [9] ta suy an Lu cã mét d­íi vi ph©n suy réng (2.9) m fk k∈J co l X ¯ k ξ¯(n) , x − x¯i ≥ lim h k Vì (2.8) @ Kết hợp (2.5) - (2.9) ta suy n→∞ (2.7) z hζ¯(n) , x xi (2.6) vi phân suy n ac th si