(Luận văn) một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG lu an n va MỘT SỐ TÍNH CHẤT p ie gh tn to CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU HAI CẤP lu an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie gh Mã số: w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TS TRẦN VŨ THIỆU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si i Mục lục Danh mục hình vẽ ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Bài tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 1.3 Tính chất tập nghiệm hữu hiệu toán 10 tn to 1.1 Bài toán tối ưu hai cấp 12 2.1 Nội dung toán 12 2.2 Đưa toán tối ưu cấp 16 2.3 w 18 2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính 2.5 Một số hướng ứng dụng p ie gh Chương d oa nl Tính chất tốn tối ưu hai cấp an lu Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu 25 27 nf va Chương 22 Nội dung vấn đề 27 3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu 29 3.3 Quan hệ với tối ưu tập nghiệm hữu hiệu 31 Kết luận 34 z at nh oi lm ul 3.1 z 35 m co l gm @ Tài liệu tham khảo an Lu n va ac th si ii Danh mục hình vẽ lu an n va So sánh nghiệm hai Ví dụ 2.3 2.2 Hình 2.1 Minh họa Ví dụ 2.1 Hình 2.2 Khơng gian ngiệm cấp (Ví dụ 2.1) Hình 2.3 Nghiệm tối ưu cấp (Ví dụ 2.2) Hình 2.4 Khơng gian ngiệm cấp (Ví dụ 2.3) Hình 2.5 Nghiệm tối ưu cấp (Ví dụ 2.3) Hình 2.6 Minh họa tập S, S(x), P (x) M Ví dụ 2.4 p ie gh tn to Bảng 2.1 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Luận văn đề cập tới toán tối ưu hai cấp (viết tắt BPP) có dạng: {F (x, y) | x ∈ X, G(x, y) ≤ 0, y ∈ arg {f (x, y) | y ∈ Y, g(x, y) ≤ 0}}, lu X ⊆ Rn , Y ⊆ Rm , F, G, f, g : Rm+n → R Đây toán qui hoạch an n va tốn học theo hai nhóm biến x ∈ Rn , y ∈ Rm ràng buộc toán này, Như hiểu đơn giản tối ưu hai cấp toán tối ưu mà ràng buộc gh tn to y nghiệm toán tối ưu thứ hai (với y véctơ biến x véctơ tham số) p ie lại toán tối ưu khác Bài toán tối ưu hai cấp xuất sách w báo, tạp chí có liên quan tới hệ thống có phân cấp, thực tế tối ưu hai cấp oa nl nảy sinh từ nhiều ứng dụng đa dạng hoạt động vận tải, kinh tế, sinh thái học, d kỹ thuật, Bài toán tối ưu hai cấp nhiều tác giả quan tâm nghiên an lu cứu, ý nghĩa khoa học khả ứng dụng toán nf va Tối ưu hai cấp phân thành: toán hai cấp mục tiêu (được lm ul nghiên cứu ứng dụng nhiều hơn) toán hai cấp nhiều mục tiêu (khó ứng z at nh oi dụng có thuật tốn hiệu quả) Khi hàm mục tiêu hàm ràng buộc tốn hàm tuyến tính, ta có tốn tối ưu hai cấp tuyến tính Tối ưu hai cấp tốn NP - khó thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục, z nói chung phức tạp khó giải Nói riêng bao hàm toán tối ưu tập @ l gm nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) trường hợp cụ thể Nhiều phương pháp xử lý đề xuất, nhiên hiệu không cao chủ yếu toán m an Lu Đề tài luận văn co hai cấp tuyến tính với hay nhiều mục tiêu n va "Một số tính chất toán tối ưu hai cấp" ac th si có mục đích tìm hiểu trình bày nội dung, nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, dạng toán tối ưu hai cấp tính chất cần biết tốn, đặc biệt lưu ý trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng Cuối cùng, luận văn giới thiệu số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) tốn tối ưu đa mục tiêu tính chất đặc trưng đỉnh cạnh hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa lu mục tiêu an n va Chương "Bài toán tối ưu hai cấp" giới thiệu khái quát nội dung, xuất xứ hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính mục tiêu Cuối chương, gh tn to tốn tối ưu hai cấp, tính chất cần biết toán, đặc biệt lưu ý tới trường p ie đề cập tới số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế w Chương "Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu" xét mối liên hệ oa nl tốn tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu d hiệu Có thể mơ tả tốn dạng tốn kia, ngược lại, Từ suy hệ an lu toán tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP - khó nf va Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên lm ul giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Trần Vũ Thiệu Qua tác giả z at nh oi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn z Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán - Tin, @ l gm Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo co m điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu an Lu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng đào tạo, Khoa Tốn - Tin n va trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả ac th si suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2016 Học viên lu Trịnh Minh Thường an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi tập đa diện, khái niệm nghiệm lu hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu nêu lại an n va tính chất đặc trưng đỉnh cạnh hữu hiệu toán Nội dung chương tn to tham khảo từ tài liệu [1], [7] [9] Tập lồi tập lồi đa diện p ie gh 1.1 nl w Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan d oa Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi λa + (1 − λ)b ∈ C nf va an lu ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], tức C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc • Ta ý tới số tập lồi đặc biệt sau: lm ul a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc z at nh oi b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a 6= α ∈ Rn z l gm @ c) Các nửa khơng gian đóng an Lu H − = {x ∈ Rn : aT x ≤ α} m co H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, n va • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau: ac th si a) Giao họ tập lồi tập lồi: C, D lồi C ∩ D lồi b) Nếu C, D ⊂ Rn tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi c) Nếu C ∈ Rm , D ∈ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.2 Cho E tập hợp Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E lu an n va Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M , ký hiệu dim M , b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên gh tn to thứ nguyên (số chiều) khơng gian song song với p ie hay số chiều bao afin aff C w Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn gọi nón lồi K có thêm tính chất d oa nl λx ∈ K với x ∈ K λ > an lu Định nghĩa 1.5 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C nf va x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , tức đoạn thẳng lm ul thuộc C có điểm thuộc F đoạn thẳng phải nằm F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, z at nh oi điểm thuộc C mà khơng thể điểm đoạn thẳng với hai đầu mút khác thuộc C z Một diện có số chiều gọi cạnh C: cạnh hữu hạn diện @ gm đoạn thẳng, cạnh vơ hạn diện nửa hay đường thẳng co l Một diện C, khác ∅ khác C, gọi diện thực C Ví dụ: m diện thực hình lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh mặt an Lu Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng n va gọi tập lồi đa diện, ký hiệu D Nói cách khác, D tập nghiệm hệ ac th si hữu hạn phương trình (hoặc) bất phương trình tuyến tính Một tập lồi đa diện bị chặn khơng bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình trịn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi R2 Tập lồi đa diện mà đồng thời nón, cịn gọi nón lồi đa diện Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh tập đa diện lu Định nghĩa 1.7 Đoạn thẳng [x1 , x2 ], x1 6= x2 , gọi cạnh hữu hạn D x1 , x2 đỉnh D rank {ai : , x1 = , x2 = bi } = n − an n va Định nghĩa 1.8 Tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ Rn , tn to gọi cạnh vô hạn D p ie gh rank {ai : , x = bi , ∀x ∈ Γ} = n − w Để hiểu rõ tập lồi đa diện ta cần biết số khái niệm sau d oa nl Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng an lu D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm }, nf va tức D tập nghiệm không âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính z at nh oi nghĩa nêu cho thấy: lm ul Tập không chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Từ định a) Điểm x0 ∈ D đỉnh D hệ véctơ z co l có hạng n gm @ {ak : ak , x0 = bk } ∪ {ek : x0k = 0} m b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) D nghiệm sở hệ an Lu Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) n va ac th si 22 Như vậy, thấy tốn tối ưu hai cấp có tính chất đáng ý sau ∗ Nói chung, tối ưu hai cấp toán tối ưu khơng lồi, khơng liên thơng thuộc loại tốn NP - khó ∗ Bài tốn hai cấp khơng có nghiệm tối ưu hay nghiệm Pareto có nhiều mục tiêu ∗ Bài tốn cấp cấp đổi chỗ cho nhau, nghĩa thứ tự theo định đưa quan trọng lu 2.4 an Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính va n Bài tốn tối ưu tuyến tính hai cấp có dạng: to (BLPP) tn F (x, y) = c1 x + d1 y gh x,y p ie với điều kiện    A1 x + B1 y ≤ b1 , x ∈ X,       min f (x, y) = c2 x + d2 y,  y  y nghiệm     A x + B y ≤ b , ∀y ∈ Y  2 d oa nl w nf va an lu X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm , x, c1 , c2 ∈ Rn , y, d1 , d2 ∈ Rm , A1 , B1 , A2 , B2 lm ul b1 , b2 ma trận véctơ có kích thước thích hợp Ta nêu số định nghĩa: z at nh oi ∗ Miền ràng buộc toán (BLPP): S = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y, A1 x + B1 y ≤ b1 , A2 x + B2 y ≤ b2 } z @ l gm ∗ Tập chấp nhận toán cấp với x ∈ X cố định: an Lu ∗ Tập nghiệm tối ưu toán cấp dưới: m co S(x) = {y ∈ Y : B2 y ≤ b2 − A2 x} n va P (x) = {y ∈ Y : y ∈ arg {f (x, y) : y ∈ S(x)}} ac th si 23 ∗ Tập chấp nhận (còn gọi miền cảm sinh) toán (BLPP): M = {(x, y) ∈ S : y ∈ P (x)} Khi S P (x) khác rỗng, tốn (BLPP) viết lại thành tốn tối ưu cấp thơng thường: {F (x, y) : (x, y) ∈ S, y ∈ P (x)} = {F (x, y) : (x, y) ∈ M } Các khái niệm minh họa qua ví dụ số sau lu Ví dụ 2.4 Xét tốn tối ưu hai cấp tuyến tính an va n F (x, y) = x − 4y x≥0 tn to ie gh với điều kiện p {f (y) = y : − x − y ≤ −3, −2x + y ≤ 0, 2x + y ≤ 12, −3x + 2y ≤ −4} w y≥0 d oa nl Với toán tập S, S(x), P (x) miền cảm sinh M vẽ Hình 2.6 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 24 Với toán hai cấp tuyến tính, Bard J F [4] chứng minh Định lí 2.1 Tập chấp nhận M toán (BLPP) tập nghiệm ràng buộc đẳng thức tuyến tính khúc tạo nên giao S với số siêu phẳng tựa S Định lí 2.2 Nghiệm tối ưu (x∗ , y ∗ ) toán (BLPP) đạt đỉnh tập S Các định lý sử dụng thuật tốn liệt kê đỉnh Candler Townsley Ngồi ra, cách tiếp cận dựa phương pháp đơn hình nhiều phương pháp phạt khác đề xuất lu an • Sau cách tiếp cận sử dụng điều kiện Karush - Kuhn - Tucker va n Cách tiếp cận thay toán tối ưu cấp điều kiện KKT: Cố định gh tn to x = xˆ, điều kiện KKT cho điểm cực tiểu địa phương y ∗ toán ie {f (ˆ x, y) : g(ˆ x, y) ≥ 0} p y w oa nl ∇y f (ˆ x, y ∗ ) − µT ∇y g(ˆ x, y ∗ ) = 0, d µT g(ˆ x, y ∗ ) = 0, µ ≥ lu nf va an Bài toán cấp y∈Y lm ul {f (x, y) = c2 x + d2 y : A2 x + B2 y ≤ b2 , y ≥ 0} = z at nh oi {f (x, y) = c2 x + d2 y : b2 − A2 x − B2 y ≥ 0, y ≥ 0} y∈Y thay điều kiện KKT (các biến đối ngẫu u, v véctơ hàng): z gm @ d2 + uB2 − v = 0, u(b2 − A2 x − B2 y) + vy = 0, m co l u, v ≥ x∈X n va {F (x, y) = c1 x + d1 y} an Lu Khi viết lại tốn (BLPP) thành (theo biến x, y, u, v) ac th si 25 với điều kiện A1 x + B1 y ≤ b1 , uB2 − v = −d2 , u(b2 − A2 x − B2 y) + vy = 0, A2 x + B2 y ≤ b2 , x ≥ 0, y ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ 2.5 Một số hướng ứng dụng lu Mơ hình tốn tối ưu hai cấp thường áp dụng vào hệ thống có cấu an va trúc phân cấp, định cấp có ảnh hưởng tới định cấp n mà không cần can thiệp trực tiếp vào hoạt động cấp hàm mục tiêu gh tn to phận phụ thuộc phần vào biến bị điều khiển phận khác, ie hoạt động cấp cao hay cấp thấp p Tối ưu hai cấp áp dụng cơng tác lập kế hoạch phát triển nl w kinh tế, xã hội cho vùng lãnh thổ hay quốc gia: cấp nhà nước nắm d oa quyền điều khiển biến sách biểu thuế, tỉ giá, cơta nhập khẩu, nhằm an lu mục tiêu tạo nhiều việc làm, cực tiểu nguồn lực sử dụng, Cấp công lm ul cấp nf va ty với mục tiêu tối đa hóa thu nhập ròng với ràng buộc kinh tế quản lý Cũng áp dụng tối ưu hai cấp phân bổ nguồn lực (Resource Alloca- z at nh oi tion) hãng hay cơng ty có phân cấp quản lý Cấp giữ vai trò trung tâm cung cấp nguồn lực (vốn, vật tư, lao động) nhằm đạt cực đại lợi nhuận tồn cơng z ty Cấp nhà máy sản xuất sản phẩm địa điểm khác nhau, định @ gm tỉ lệ, sản lượng sản xuất riêng nhằm tối đa hóa hiệu suất đơn vị m tải thị trường lượng (Energy Markets) co l Cuối cùng, tối ưu hai cấp áp dụng thiết kế mạng hệ thống vận cấp thị trường điện an Lu • Cuối chương, chúng tơi giới thiệu mơ hình đơn giản toán tối ưu hai n va ac th si 26 Giả sử có n nhà máy tham gia vào thị trường sản xuất điện năng, có nhà máy (đánh số 1) có sản lượng lớn giữ vai trò chủ đạo (chủ cái), nhà máy lại đánh số 2, 3, , n Gọi xi sản lượng điện cần sản xuất nhà máy thứ i, i = 1, 2, , n fi (xi ) chi phí sản xuất nhà máy i Giá bán điện p phụ thuộc vào tổng lượng điện nhà máy sản xuất Nhà máy cơng bố mức sản lượng trước nhà máy khác phản ứng lại số lượng Mỗi nhà máy mong muốn tối đa hóa lợi nhuận thu (số tiền bán lu điện sau trừ chi phí sản xuất) Khi đó, toán tối ưu hai cấp đặt ! ) ( n X xi − f1 (x1 ) max x1 p an x1 i=1 va n với điều kiện to ( tn xi ∈ arg max xi p ! xi ) − fi (xi ) , i = 2, , n i=1 p ie gh xi n X Tóm lại, chương giới thiệu khái quát số kiến thức toán nl w tối ưu hai cấp, lớp toán qui hoạch toán học thu hút quan d oa tâm nhiều nhà nghiên cứu ngồi nước Phân tích nội dung, xuất xứ an lu tốn tính chất cần biết toán, nhằm giúp việc học tập, nghiên nf va cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng lm ul Đáng ý nghiên cứu nhiều tốn tối ưu hai cấp tuyến tính hay nhiều mục tiêu Tuy nhiên, khả ứng dụng tối ưu hai cấp z at nh oi cịn bị hạn chế, thiếu thuật tốn giải hiệu z m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 Chương Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu Chương đề cập tới mơ hình tốn tối ưu hai cấp tuyến tính, với lu tốn tối ưu (một cấp) đa mục tiêu có liên quan xét mối liên hệ toán tối an n va ưu hai cấp tuyến tính với toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) tn to Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [7] [9] Nội dung vấn đề p ie gh 3.1 w Chương xét mối quan hệ hai toán qui hoạch toán học đặc biệt d oa nl A Bài toán thứ cần xét toán tối ưu hai cấp tuyến tính: (3.1) x nf va an lu  max cT11 x + cT12 y , y nghiệm tối ưu toán lm ul  max cT21 x + cT22 y : A1 x + A2 y ≤ b , z at nh oi (3.2) với x, c11 , c21 ∈ Rn , y, c12 , c22 ∈ Rp , b ∈ Rm , A1 ∈ Rm×n , A2 ∈ Rm×p , ký z hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận T @ gm Bài tốn dạng (3.1) - (3.2) nảy sinh có hai chủ thể quyền l định hai mức phân cấp khác nhau: cấp cấp dưới, hai cấp có chung m co ràng buộc, với hai lợi ích (mục tiêu) khác xung đột Quá an Lu trình đề định thực theo thứ bậc Cấp quản lý biến x, lựa chọn định trước, hạn chế khơng gian định cấp dưới, phân n va ac th si 28 quyền quản lý biến y Bài tốn thứ hai cần xét có liên quan tới tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu V max {Cz : z ∈ P }, (3.3) z ∈ RN , C ∈ Rk×n , P ⊆ RN tập lồi đa diện Ta nhắc lại điểm z¯ ∈ RN nghiệm hữu hiệu (3.3) z¯ ∈ P không tồn z ∈ P cho Cz ≥ C z¯ Cx 6= C z¯ Ký hiệu E(P ) tập nghiệm hữu hiệu toán (3.3) B Bài toán thứ hai cần xét toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu: lu an max {dT x : x ∈ E(P )}, (3.4) va n d ∈ RN Bài tốn (3.4) mơ hình tốn học tốn tối ưu tuyến tính gh tn to tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) E(P ) tốn tối ưu tuyến tính đa ie mục tiêu (3.3) Tối ưu tuyến tính tập điểm hữu hiệu có số ứng dụng p tối ưu đa mục tiêu chủ đề nghiên cứu quan trọng tối ưu toàn cục nl w Đã có nhiều nỗ lực để thiết lập mối liên hệ toán tối ưu hai cấp tuyến tính d oa (3.1) - (3.2) tốn tối ưu tuyến tính hai mục tiêu (3.3) với   T T c11 c12  C= T T c21 c22 nf va an lu lm ul P = {(x, y) : A1 x + A2 y ≤ b} tập lồi đa diện (n + p) chiều z at nh oi Cùng với qua tâm mặt lý thuyết, mối liên hệ hữu ích mặt tính tốn, có thuật tốn hiệu cho tối ưu hai mục tiêu Tuy nhiên, người ta nói chung khơng có mối liên hệ toán tối ưu hai cấp (3.1) z gm @ - (3.2) với toán tối ưu hai mục tiêu (3.3) mô tả Hơn nữa, với hai véctơ cho l trước c12 c22 khơng tỉ lệ với nhau, xây dựng toán (3.1) - (3.2) an Lu tiêu (3.3) xây dựng m co cho nghiệm tối ưu (3.1) - (3.2) không nghiệm hữu hiệu toán hai mục Tiếp theo, Mục 3.2 giới thiệu kết nghiên cứu cho biết xây n va dựng toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu cho tập nghiệm chấp nhận ac th si 29 (3.1) - (3.2) trùng với tập nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu xây dựng Bài toán tối ưu da mục tiêu có r + tiêu chuẩn mục tiêu, r = rank A1 Như tốn (3.1) - (3.2) diễn đạt tốn (3.4) Từ dẫn tới hệ đáng ý toán tối ưu tuyến tính tập hữu hiệu NP - khó Cuối cùng, Mục 3.2 đề cập tới cách diễn đạt theo chiều hướng ngược lại: Với toán (3.4), xây dựng tốn tối ưu hai cấp tuyến tính (3.1) - (3.2) cho giá trị tối ưu hai toán trùng tồn phép tương ứng đơn giản nghiệm tối ưu hai toán lu an n va 3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu tn to Trở lại toán (3.1) - (3.2) Cặp (¯ x, y¯), x¯ ∈ Rn y¯ ∈ Rp , gh nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) A1 x¯ + A2 y¯ ≤ b y¯ nghiệm tối ưu p ie toán: (3.5) nl w max {cT21 x¯ + cT22 y : A2 y ≤ b − A1 x¯}, oa x¯ cố định Vì cT21 x¯ số hàm mục tiêu (3.5), d nên loại bỏ số hạng đơn giản thay c21 véctơ Cặp (¯ x, y¯) lu (3.1) - (3.2) nf va an nghiệm tối ưu (3.1) - (3.2) (¯ x, y¯)) nghiệm chấp nhận lm ul cT11 x¯ + cT12 y¯ ≥ cT11 x + cT12 y, z at nh oi với nghiệm chấp nhận (x, y) (3.1) - (3.2) Với toán (3.1) - (3.2) cho, ta xác định toán tối ưu đa mục tiêu (3.3) z sau Đặt N = n + p A = [A1 , A2 ] ma trận cấp m × n đặt @ P = {z = (x, y) ∈ RN | Az ≤ b}, l gm (3.6) m an Lu n va thể giả thiết A1 phân tách thành   A¯1 A1 =   , Aˆ1 co P tập lồi đa diện RN Giả sử r = rank A1 Không giảm tổng quát, ta có ac th si 30 A¯1 ma trận r × n r = rank A¯1 Giả sử k = r + ma trận mục tiêu C cấp k × N xác định   A¯1 O     T ¯ T C = −e A1 02  ,   T T c22 01 (3.7) O ma trận khơng cấp r × p, 01 02 véctơ không n p chiều e ∈ Rr với phần tử Mệnh đề 3.1 Cặp (¯ x, y¯) nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) lu an   x¯ z¯ =   y¯ n va gh tn to nghiệm hữu hiệu (3.3) xác định (3.6) (3.7) p ie Chứng minh Giả sử (¯ x, y¯) nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) z¯ khơng nghiệm hữu hiệu (3.3) Khi tồn z ∈ P cho Cz ≥ C z¯ nl w Cz 6= C z¯ Giả sử z phân tách thành z T = [xT , y T ], x ∈ Rn d oa y ∈ Rp Do A¯1 x ≥ A¯1 x¯ −eT A¯1 x ≥ −eT A¯1 x¯ nên ta nhận A¯1 x = A¯1 x¯ an lu A1 x = A1 x¯ Thêm vào đó, từ A1 x + A2 y ≤ b suy y nghiệm chấp nhận nf va (3.5) Hơn Cz 6= C z¯ kéo theo cT22 y > cT22 y¯ Bất đẳng thức mâu - (3.2) z at nh oi lm ul thuẫn với y¯ nghiệm tối ưu (3.5) (¯ x, y¯) nghiệm chấp nhận (3.1) Ngược lại, giả sử z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) (¯ x, y¯) không nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) Tập ràng buộc (3.5) không rỗng, z chẳng hạn y¯ nghiệm chấp nhận Tồn y˜ ∈ Rp cho y˜ chấp nhận @ m co l gm (3.5) cT22 y˜ > cT22 y¯ Đăt véctơ z˜ xác định   x¯ z˜ =   y˜ an Lu Rõ ràng z˜ ∈ P, C z˜ ≥ C z¯ C z˜ 6= C z¯ Điều mâu thuẫn với z¯ n va nghiệm hữu hiệu (3.3) ac th si 31 Bổ đề 3.1 Cặp (¯ x, y¯) nghiệm tối ưu (3.1) - (3.2)   x¯ z¯ =   y¯ nghiệm tối ưu (3.4) xác định (3.6) (3.7)   c11 d =   c12 Mệnh đề 3.2 Bài tốn (3.4) NP - khó lu Chứng minh Bài toán tối ưu hai cấp (3.1) - (3.2) NP - khó Như vừa thấy trên, an n va (3.1) - (3.2) qui dẫn toán (3.4) qua phép biến đổi đa thức Từ gh tn to trực tiếp suy mệnh đề cần chứng minh Quan hệ với tối ưu tập nghiệm hữu hiệu p ie 3.3 nl w Xét tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (3.3), C ma trận cấp oa k × N, P = {z = (x, y) ∈ RN | Az ≤ ¯b}, A ma trận cấp m ¯ × N, z ∈ RN d ¯b ∈ Rm¯ Mỗi z ∈ P đặt tương ứng với tốn qui hoạch tuyến tính theo nf va an lu biến w: max {eT C(w − z) | Cw ≥ Cz, w ∈ P }, (3.8) lm ul e véctơ k chiều với phần tử Có thể z ∈ E(P ) z at nh oi giá trị tối ưu (3.8) Hơn nữa, nghiệm tối ưu (3.8) nghiệm hữu hiệu, tức thuộc E(P ), z có nghiệm hữu hiệu hay khơng z Xét tốn tối ưu hai cấp tuyến tính (cấp chọn z, cấp chọn w): m co w nghiệm tối ưu toán (3.9) l z gm @ max dT w an Lu max {−eT Cz + eT Cw | Az ≤ ¯b, Aw ≤ ¯b, Cz − Cw ≤ 0}, (3.10) n va ac th si 32 d ∈ RN Nếu đặt n = p = N, m = 2m ¯ + k, x = z, y = w, c11 = 0, c12 = d, c21 = −eT C, c22 = eT C,       ¯b O A             A1 = O , A2 =  A  b = ¯b  ,       −C C O ma trận khơng cấp m ¯ × N véctơ khơng k chiều, tốn tối ưu hai cấp tuyến tính (3.9) - (3.10) viết lại thành dạng (3.1) - (3.2) Với toán đa mục tiêu (3.3) toán hai cấp (3.9) - (3.10) vừa mơ tả ta có lu an Mệnh đề 3.3 Với z¯ ∈ RN , mệnh đề sau tương đương: va n (a) z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) ie gh tn to (b) Cặp (¯ z , z¯) nghiệm chấp nhận (3.9) - (3.10) p (c) Tồn z ∈ RN cho cặp (z, z¯) nghiệm chấp nhận (3.9) - oa nl w (3.10) d Chứng minh (a) ⇒ (b): Do z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) nên giá trị tối ưu an lu toán (3.8) xác định z = z¯ w = z¯ nghiệm tối ưu Do nf va cấp chọn z = z¯ (3.9) - (3.10) w = z¯ nghiệm tối ưu (3.9) - (3.10) z at nh oi lm ul toán cấp (3.10) Do cặp (¯ z , z¯) nghiệm chấp nhận toán (b) ⇒ (c): Hiển nhiên với z = z¯ (c) ⇒ (a): Do cặp (z, z¯) chấp nhận (3.9) - (3.10) nên w = z¯ nghiệm z tối ưu (3.10), cấp chọn z Cũng vậy, w = z¯ nghiệm tối ưu toán @ l gm (3.8) xác định z Từ z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) m co Bổ đề 3.2 Bài tốn (3.3) có nghiệm hữu hiệu toán (3.9) - (3.10) an Lu có nghiệm chấp nhận Bài tốn (3.4) có giá trị tối ưu hữu hạn tốn (3.9) - (3.10) có giá trị tối ưu hữu hạn hai giá trị tối ưu Với n va z¯ ∈ RN , mệnh đề sau tương đương: ac th si 33 (a) z¯ nghiệm tối ưu (3.4) (b) Cặp (¯ z , z¯) nghiệm tối ưu (3.9) - (3.10) (c) Tồn z ∈ RN cho cặp (z, z¯) nghiệm tối ưu (3.9) - (3.10) Tóm lại, chương trình bày mối liên hệ tốn tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu Có thể mơ tả toán dạng toán kia, ngược lại, Từ suy hệ đáng ý tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP - khó lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Kết luận Luận văn giới thiệu toán tối ưu hai cấp, tính chất cần biết tốn, đặc biệt lưu ý trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế, nhằm giúp việc học tập, lu an nghiên cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng n va Luận văn trình bày chủ đề cụ thể sau Pareto) toán tối ưu đa mục tiêu tính chất đặc trưng tập nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu p ie gh tn to Một số kiến thức tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu w oa nl Nội dung, xuất xứ toán tối ưu hai cấp, tính chất cần biết d toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp lu nf va thực tế an tuyến tính mục tiêu số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp lm ul Mối liên hệ toán tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính z at nh oi tập nghiệm hữu hiệu Có thể mơ tả tốn dạng toán kia, ngược lại, ý tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP - z khó @ l gm Hy vọng tương lai tác giả có dịp tìm hiểu thêm nghiên cứu m tốn ứng dụng cụ thể toán co tổng quan sâu sắc toán tối ưu hai cấp, đặc biệt kỹ thuật xử lý an Lu n va ac th si 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, lu Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội an va n Tiếng Anh gh tn to p ie [2] Ansari E., Zhiani Rezai H (2011), "Solving Multi-objective Linear Bilevel w Multi-Follower Programming Problem", Int J Industrial Mathematics, Vol oa nl 3, (No 4), p 303 - 316 d [3] Bard J F (1991), "Some properties of the bilevel programming problem", an lu Journal of Optimization Theory and Applications, 68, p 371 - 378 nf va Kluwer Academic Press z at nh oi lm ul [4] Bard J F (1998), Practical Bilevel Optimization: Applications and Algorithms, [5] Bracken J and McGill J (1973), "Mathematical Programs with Optimi-zation z Problems in the Constraints", Operations Research, (21), p 37 - 44 @ gm [6] Candler W and Norton R (1977), Multilevel Programming, Tech Rep 20, m co l World Bank Development Research Center,Washington D.C an Lu [7] Colson B., Marcotte P and Savard G (2005), "Bilevel Programming: A Servey A Quarterly Journal of Operations Research", Springer –Verlag, (3), p 87 – n va 107 ac th si 36 [8] Fricke C., An Introduction to Bilevel Programming, Department of Mathematics and Statistics, University of Melbourne http://www.neevia.com [9] Pieume C O et al (2011), "Solving Bilevel Linear Multiojective Programming Problem", American Journal of Operations Research, 1, p 214 - 219 [10] Stackelberg H (1952), The Theory of the Market Economy, Oxford University Press [11] Făulăop J (1993), "On the equivalence between a linear bilevel programming problem and linear optimization over the efficient set", Technical report, Lab- lu an oratory of Operations Research and Decision Systems, Computer and Automa- va n tion Institute, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, working paper 93-1 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si