(Luận văn) một số tính chất hữu hạn của đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo lu an MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA va n ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN p ie gh tn to d oa nl w an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 an Lu n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Thảo MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN lu an n va : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 p ie gh tn to Chuyên ngành w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu PGS.TS TRẦN TUẤN NAM ll u nf va NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: oi m z at nh z gm @ m co l Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu độc lập riêng Mọi kế thừa phát huy kết nhà khoa học trích dẫn rõ ràng quy định Các kết nghiên cứu luận văn tơi tự tìm hiểu, phân tích cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung yêu cầu đề tài cần nghiên cứu, chưa công bố nghiên cứu khác lu an Học viên n va p ie gh tn to d oa nl w Trần Thị Thanh Thảo ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học viết luận văn này, tơi nhận hướng dẫn nhiệt tình quý thầy trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, động viên giúp đỡ từ gia đình bạn bè Trước hết, xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam Thầy quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian cơng sức hướng dẫn để giúp tơi hồn thành luận văn thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy bảo suốt trình lu học tập Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường an n va Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, cô Phạm Thị Thu Thủy, quý to thầy cô tận tình dạy bảo mở mang cho tơi nhiều kiến thức Toán học, đặc gh tn biệt kiến thức chuyên ngành Đại số, làm tảng vững để học tập p ie nghiên cứu w Xin cảm ơn bạn học lớp Đại số Lí thuyết số Khóa 27 d làm luận văn oa nl bạn bè người thân hết lịng động viên giúp đỡ tơi trình học tập an lu va Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi Gia đình tơi nguồn động viên ll u nf tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học luận văn oi m Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 z at nh z @ m co l gm Trần Thị Thanh Thảo an Lu n va ac th si BẢNG KÍ HIỆU lu an n va Tập tất iđêan nguyên tố R SuppR  M  Giá M AssR  M  Tập iđêan nguyên tố liên kết M AnnR  M  Linh hóa tử M H Ii  M  Môđun đối đồng điều địa phương thứ i H Ii , J  M  Môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan ExtRi Tích mở rộng n  chiều R Tori R Tích xoắn n  chiều R ie gh tn to Spec  R  I   p Hàm tử I  xoắn Hàm tử  I , J   xoắn d oa nl w I ,J   ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị .5 lu 1.1 Một số kiến thức an n va 1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo iđêan I tn to 1.3 Hàm tử đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  11 gh 1.4 Bao nội xạ 14 p ie 1.5 Dãy phổ - Dãy phổ Grothendieck 14  I , J   Cofinite 18 w Chương Môđun Lasker yếu môđun oa nl 2.1 Môđun Lasker yếu môđun  I , J   cofinite yếu .18   d s 2.2 Sự hữu hạn tập Ass HomR R / I ; H I , J  M  an lu    .24  u nf va 2.3 Sự hữu hạn tập AssR H Is, J  M  28 ll 2.4 Tính cofinite yếu H Is, J  M  .31 oi m z at nh Chương Phạm trù Serre 34 3.1 Định nghĩa 34 z 3.2 Tính chất H Ii , J  M  phạm trù Serre 34 @ l gm KẾT LUẬN 39 m co TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Đối đồng điều địa phương chiếm vị trí quan trọng Đại số đại nói chung Đại số giao hốn Hình học đại số nói riêng, tiếp tục nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng khác Trong luận văn này, ta nghiên cứu hữu hạn tập   AssR  H Is, J  M   AssR Hom  R I , H Is, J  M   , vài tính chất mơđun đối đồng điều địa phương H Ii , J  M  theo quan điểm phạm trù Serre lu an Trong tồn luận văn này, ta ln giả thiết R vành Noether giao n va hoán I , J iđêan vành R Trong [1], nhà toán học Takahashi, to tn Yoshino Yoshizawa giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều p ie gh địa phương theo cặp iđêan  I , J  , mở rộng định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan I Grothendieck Cho M  oa nl w R  mơđun, mơđun  I , J  M   x  M I n x  Jx, n  môđun d  I , J   xoắn M Vì tồn hàm tử hiệp biến  I , J từ phạm trù an lu va R  mơđun vào Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp ll u nf iđêan  I , J  , kí hiệu H Ii , J , hàm tử dẫn xuất phải thứ i  I , J Nếu oi m J  H Ii , J hàm tử đối đồng điều địa phương thông thường H Ii z at nh Grothendieck z Trong [2], Grothendieck đưa giả thuyết: Với iđêan I l gm @ vành R với R  môđun hữu hạn sinh M , môđun Hom  R I , H Ii  M   hữu hạn sinh với i Một năm sau Hartshorne đưa phản ví dụ m co cho giả thuyết Grothendieck Ông định nghĩa môđun I  cofinite an Lu đặt câu hỏi: “Với vành R iđêan I mơđun H Ii  M  n va ac th si môđun I  cofinite với môđun hữu hạn sinh M ?” Vấn đề đặt tương tự cho cặp iđêan  I , J  , môđun H Ii , J  M  cho ta kết nào? Luận văn trình bày làm ba chương Chương trình bày mà khơng chứng minh số kiến thức đại số giao hoán đối đồng điều địa phương báo [1] Trọng tâm luận văn nằm chương hai chương ba trình bày lại cách rõ ràng chi tiết kết báo khoa học Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals [3] PGS TS Trần Tuấn Nam Nguyễn Minh Trí Trong lu chương hai giới thiệu môđun Lasker yếu môđun  I , J   cofinite an n va yếu, từ rút số kết quan trọng đặc biệt tập iđêan nguyên tố tn to liên kết H Is, J  M  HomR  R I , H Is, J  M   , với s số nguyên không gh âm cho trước Chương ba giới thiệu phạm trù Serre, cung cấp cho ta p ie nhìn khác môđun H Ii , J  M  tính chất mơđun oa nl w phạm trù xét Cụ thể sau: d Phần (2.1.1) (2.1.2), ta tìm hiểu định nghĩa tính chất Mafi báo [4] u nf va an lu môđun Lasker yếu dựa kết hai tác giả K Divaani- Aazar A ll Dựa vào định nghĩa môđun m  I , J   cofinite (2.1.3) mà A oi Tehranian A Pour Eshmanan Talemi đề cập đến báo [5], kết z at nh hợp với định nghĩa môđun I  cofinite yếu K Divaani- Aazar A Mafi z báo [6], ta định nghĩa hồn chỉnh số tính chất l gm @ môđun  I , J   cofinite yếu (2.1.4) (2.1.5) m co Tiếp đến phần (2.1.6) (2.1.7), ta thu kết tính Lasker yếu cho trước an Lu môđun ExtRi  R I , M  với i  s , s số nguyên không âm n va ac th si Bằng việc chứng minh quy nạp sử dụng dãy phổ Grothendieck [7], ta có hai cách để chứng minh Định lý quan trọng (2.2.1) tính Lasker yếu HomR  R I , H Is, J  M   từ dễ dàng suy hữu hạn   tập AssR Hom  R I , H Is, J  M   Hệ 2.2.2 2.2.3 Trong Định lý 2.3, từ tính Lasker yếu H Ii , J  M  ta suy tập AssR  H Is, J  M   hữu hạn Ta nghiên cứu tính cofinite yếu mơđun H Is, J  M  lu an Định lý 2.4.1 từ ta hai Hệ 2.4.2 2.4.3 va n Tiếp đến phần 3.1 chương ba, ta trình bày hai cách định nghĩa to gh tn tương đương phạm trù Serre p ie Định lý 3.2.1, cho ta khẳng định H Ii , J  M   ExtRi  R I , M   với i  s oa nl w với i  s d Bổ đề 3.2.2 sử dụng kết M Asgharzadeh M Tousi va an lu [8], cho ta Định lý 3.2.3 HomR  R m , H Is, J  M   thuộc phạm ll u nf trù Serre oi m Cuối cùng, ta nhận thấy lớp R  môđun hữu hạn sinh phạm trù Huneke vành địa z at nh Serre Bổ đề 3.2.4, kết hợp thêm tính Artin báo [9] C phương  R, m  cho ta định khẳng z HomR  R m , H Is, J  M   có độ dài hữu hạn Hệ 3.2.5 gm @ m co l Mặc dù có nhiều cố gắng việc hồn thành luận văn hạn hẹp kiến thức thời gian nên chắn luận văn an Lu n va ac th si cịn có sai sót khơng mong muốn Rất mong nhận đánh giá, nhận xét phản hồi từ quý thầy cô bạn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 28 Từ dãy khớp ngắn  N  H Is, J  M   H Is, J  M  N  cảm sinh dãy khớp HomR  R I , H Is, J  M    HomR  R I , H Is, J  M  N   Ext1R  R I , N  Theo Bổ đề 2.1.2.b, ta có Ext1R  R I , N  Lasker yếu Hơn nữa, H Ii , J  M  môđun  I , J   xoắn nên Supp  H Ii , J  M    W  I , J  Theo Hệ lu 2.1.5, H Ii , J  M  Lasker yếu nên  I , J   cofinite yếu, dẫn đến an n va HomR  R I , H Is, J  M   Lasker yếu (theo Định lý 2.2.1) to HomR  R I , H Is, J  M  N  gh tn Vì  Lasker yếu tập  p ie AssR HomR  R I , H Is, J  M  N  hữu hạn nl w Lưu ý từ Mệnh đề 1.1.14 Mệnh đề 1.1.16, môđun hữu hạn sinh d oa môđun có giá hữu hạn Lasker yếu Vì ta có kết sau lu an Hệ 2.2.3 Cho M R  môđun hữu hạn sinh s số nguyên không  u nf va âm Nếu H Ii , J  M  hữu hạn sinh SuppR  H Ii , J  M   hữu hạn với  ll i  s AssR HomR  R I , H Is, J  M   hữu hạn oi m z at nh z gm @ 2.3 Sự hữu hạn tập AssR  H Is, J  M   l Định lý 2.3 Cho M R  môđun Lasker yếu s số nguyên không m co âm Giả sử có iđêan a R thỏa :M a  :I , J  M  a W  I , J   V  a  an Lu n va ac th si 29 Nếu H Ii , J  M  môđun Lasker yếu với i  s tập AssR  H Is, J  M   hữu hạn Chứng minh: Ta đặt hàm tử F  HomR  R / a,   G   I , J    Khi FG  HomR  R a ,  I , J     Từ giả thiết :M a  : I , J  M  a , tồn đẳng cấu lu HomR  R a ,  I , J  M    HomR  R a , M  an n va Ta có dãy phổ Grothendieck to gh tn E2p ,q  ExtRp  R a , H Iq, J  M    Ext Rpq  R a, M  p p ie  k , s  k 1 0, s nl w s s Ek0,s  Ekk ,s 1k Khi đồng cấu dãy phổ Ek k ,s k 1  d oa Vì Ek k ,s k 1  với k  , Ker sk0,s  Ek0,s1 , tồn dãy khớp lu s   Ek0,s1   Ek0,s  Ekk ,s 1k va an 0, s ll u nf Vì AssR  Ek0,s   AssR  Ek0,s1   AssR  Ekk ,s 1k  oi m z at nh Với k  2, , s  1, ta có: AssR  E20,s   AssR  E30,s   AssR  E22,s1  z @ m co l gm AssR  E30,s   AssR  E40,s   AssR  E33,s2  an Lu AssR  Es0,s1   AssR  Es0,s2   AssR  Ess11,0  n va ac th si 30 Khi AssR  E20,s   AssR  E30,s   AssR  E22,s1   AssR  E40,s   AssR  E33,s2   AssR  E22,s 1    s 1    AssR  Ekk ,s 1k    AssR  Es0,s2   k 2   s 1 0, s k , s 1 k  Ass E  Nên    AssR  Es0,s2  Mà Es0,s2  Es0,s3   E0,s R   AssR  Ek  k 2   s 1  Vì AssR  E    AssR  Ekk ,s 1k    AssR  E0,s   k 2  lu 0, s an n va H Is,J1k  M  to Với k  2, , s  s   k 0; ; s  1 nên ie gh tn R  môđun Lasker yếu nên E2k ,s1k  ExtRk  R a , H Is,J1k  M   Lasker p yếu Vì Ekk ,s1k môđun thương E2k ,s1k , nên từ Bổ đề 2.1.2.a, cho ta w s 1 oa nl Ekk ,s1k môđun Lasker yếu Do k 2 AssR  Ekk ,s 1k  tập hữu hạn d va an lu Ta cần tập AssR  E0,s  hữu hạn Thật vậy, tồn lọc hữu hạn  ll u nf H pq  ExtRpq  R a, M  thỏa:  1H pq   H pq  ExtRpq  R a , M  oi m   pq1H pq   pq H pq  z at nh Ek , pqk   k H pq  k 1H pq với  k  p  q Dẫn đến Ep ,q z R  mơđun Lasker yếu, AssR  Ep,q  hữu hạn với p, q nên gm @ AssR  H Is, J  M    W  I , J  (do Định lý 1.3.6), đó: m co l AssR  E0,s  hữu hạn Mà H Ii , J  M  môđun  I , J   xoắn nên ta có an Lu n va ac th si 31    AssR  E20,s   AssR Ext R0  R a , H Is, J  M    AssR HomR  R a, H Is, J  M     V a   AssR  H Is, J  M    W  I , J   AssR  H Is, J  M    AssR  H Is, J  M   Vậy AssR  H Is, J  M    AssR  E20,s  hữu hạn lu 2.4 Tính cofinite yếu H Is, J  M  an n va Định lý 2.4.1 Cho M R  môđun thỏa ExtRi  R I , M  Lasker yếu với tn to i s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với p ie gh i  s , H Is, J  M   I , J   cofinite yếu w Chứng minh: Ta quy nạp theo s d oa nl Với s  , đặt M  M  I , J  M  ta có dãy khớp ngắn: ll u nf cảm sinh dãy khớp dài va an lu   I ,J  M   M  M    oi m  Ext Ri  R I ,  I , J  M    Ext Ri  R I , M   Ext Ri R I , M  z at nh   Ta có H Ii , J M  H Ii , J  M  với i  (do Mệnh đề 1.3.14) z      R I , M  môđun Lasker yếu với i  Kết hợp với giả m co l gm đề 2.1.7 , Ext Ri @ H I0, J M  nên H Ii , J M  I , J   cofinite yếu với i  Theo Mệnh an Lu thiết ExtRi  R I , M  Lasker yếu với i , nên từ dãy khớp dài cho n va ac th si 32 ta ExtRi  R I ,  I , J  M   môđun Lasker yếu Mặt khác từ 1.3.6 ta lại có SuppR   I , J  M    W  I , J  nên  I , J  M   I , J   cofinite yếu Vì H I0, J  M    I , J  M  môđun  I , J   cofinite yếu Vậy mệnh đề với s    Khi s  , với E M bao nội xạ M , ta có   M   Ext  R I , M  H  E  M   lu i  Vì H Ii , J  M    i I ,J M  H Ii , J1 M , với  I , J   cofinite yếu với i  s nên i 1 R ExtRi R I , E M an   n va H Ii , J1 M  H Ii , J1  M   I , J   cofinite yếu với i  s  to    M   I , J   cofinite yếu với i  s 1 ie gh tn Nên H Ii , J E M  p Mà Ext Ri R I , M    M    M nên ExtRi R I , E M w  Lasker yếu với i oa nl Lasker yếu với i  Theo giả thiết qui nạp, H Is,J1 E M d  I , J   cofinite yếu, va an lu H Is, J  M   I , J   cofinite yếu u nf Kết hợp Bổ đề 2.1.2.b Định lý 2.4.1 ta kết sau ll Bổ đề 2.4.2 Cho M R  môđun Lasker yếu s số nguyên không âm m oi Nếu H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  s , H Is, J  M  cofinite yếu z at nh I, J   z gm @ Bổ đề 2.4.3 Cho I iđêan vành R M môđun Lasker yếu Chứng minh: m co l Khi H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  an Lu n va ac th si 33 Từ [1, 4.11] ta có H Ii , J  M   với i  Hơn nữa, H I0, J  M  R  môđun Lasker yếu, H I0, J  M  mơđun M Điều có nghĩa H Ii , J  M   I , J   cofinite yếu với i  Từ Định lý 2.4.1 ta có điều cần chứng minh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Chương Phạm trù Serre 3.1 Định nghĩa Ta nhắc lại định nghĩa phạm trù Serre sau Định nghĩa 3.1.1 Một lớp không rỗng R  môđun gọi phạm trù Serre phạm trù R  mơđun đóng với mơđun con, môđun thương mở rộng môđun Dựa vào dãy khớp, ta có định nghĩa tương đương lu an Định nghĩa 3.1.2 Một lớp không rỗng R  môđun gọi phạm n va trù Serre phạm trù R  môđun với dãy khớp R  môđun to  M1  M  M  M  p ie gh tn M1 , M  oa nl w 3.2 Tính chất H Ii , J  M  phạm trù Serre d Định lý 3.2.1 Cho M R  môđun s số nguyên không âm Nếu với i  s ExtRi  R I , M   với i  s ll u nf va an Chứng minh: lu H Ii , J  M   oi m Ta kí hiệu hàm tử F  HomR  R I ,   G   I , J    Dễ thấy z at nh FG  HomR  R I ,  I , J      HomR  R I ,   z gm @ Khi ta có dãy phổ Grothendieck: với i  s , E2p ,q  với p  ,  q  s an Lu Vì H Ii , J  M   m co p l E2p ,q  ExtRp  R I , H Iq, J  M    Ext Rp q  R I , M  n va ac th si 35 Ta có dãy đồng cấu dãy phổ với p  0,0  k  s i  2, p  i , k  i 1 di di Eip i ,k i 1   Eip ,k   Eip i ,k i 1 p ,k Ta có Eip,k  Ker dip1,k / Im dip1i1,k i 2 Eip ,l  với l  Suy Kerdkp,k2 p  Ekp,k2 p   Ep,k  p với  p  k Khi ta có lọc  H k  ExtRk  R I , M  thỏa  1H k   H k  ExtRk  R I , M    k 1H k   k H k  Ei ,k i   i H k  i 1H k với  i  k Khi có dãy khớp ngắn lu an   i1H k   i H k  Ei ,k i  n va tn to Theo chứng minh ta có Ei ,k i  Eki ,k2i  Kerdki ,k2i môđun thương gh E2i ,k i E2i ,k i  với  i  k Dẫn tới Ei ,k i  p ie Bằng quy nạp theo i ta có  i H k  với  i  k với  i  k Cuối nl w ExtRk  R I , M   với k  s Bổ đề 3.2.2 Cho  R, m  vành địa phương Nếu d oa lớp R  mơđun  va an lu có độ dài hữu hạn ll u nf Chứng minh:Tham khảo [8, 2.11] oi m Định lý 3.2.3 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  R, m  s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M   z at nh z HomR  R / m , H Is, J  M    với i  s ta có m co l Ta chứng minh quy nạp theo s gm @ Chứng minh: an Lu n va ac th si 36 Khi s  , M hữu hạn sinh, H I0, J  M  hữu hạn sinh Vì HomR  R m , H I0, J  M   có độ dài hữu hạn nên HomR  R m , H I0, J  M    , (do Bổ đề 3.2.2) Với s  , ta có H Ii , J  M   H Ii , J  M  I , J  M   với i  Bằng cách thay M M  I , J  M  , ta giả sử, M  I , J   xoắn tự Vì  I  M    I , J  M   , theo M I  xoắn tự Vì vậy, tồn phần tử x  I không ước M Đặt M  M xM , dãy khớp ngắn lu an x n va  M M  M  tn to cảm sinh dãy khớp   f x g x p ie gh H Is,J1  M   H Is,J1  M   H Is,J1 M  H Is, J  M   H Is, J  M    Vì H Ii , J  M      oa  nl w với i  s , H Ii , J M  HomR R m , H Is,J1 M với i  s  Vì d theo giả thiết quy nạp Tác động hàm tử lu u nf va an HomR  R m ,   vào dãy khớp ngắn   ll  Im f  H Is,J1 M  Im g  oi m  z at nh ta có dãy khớp dài    Hom  HomR  R m ,Im f   HomR R m , H Is,J1 M z R m ,Im g   l gm @ Ext1R  R m ,Im f   R m co Vì Ext1R  R m ,Im f   , HomR  R m ,Im g   Bây từ dãy khớp x  M   H Is,J  M  an Lu  Im g  H s I ,J n va ac th si 37 ta có dãy khớp  HomR  R m ,Im g   HomR  R m , H Is, J  M    HomR  R m , H Is, J  M   x   Dễ thấy Im HomR  R m , H Is, J  M    HomR  R m , H Is, J  M    x Vì HomR  R m , H Is, J  M    HomR  R m ,Im g   Mệnh đề 3.2.4 Lớp R  môđun hữu hạn sinh phạm trù Serre phạm trù R  môđun lu Chứng minh: an n va Thật từ dãy khớp to gh tn  M1  M  M M1  p ie Nếu M môđun hữu hạn sinh M1 M M môđun hữu hạn nl w sinh Mặt khác từ dãy khớp d oa  M1  M  M  lu va an với M , M môđun hữu hạn sinh Khi M mở rộng M u nf nhờ M1 M hữu hạn sinh Như vậy, lớp R  môđun hữu hạn sinh ll phạm trù Serre phạm trù R  môđun oi m z at nh Từ Mệnh đề 1.1.17, ta thấy , M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  R m  với SuppR  M   m M Artin Sau z gm @ kết Định lý 3.2.3 l Hệ 3.2.5 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương  R, m  an Lu HomR  R m , H Is, J  M   có độ dài hữu hạn m co s số nguyên không âm Nếu H Ii , J  M  hữu hạn sinh với i  s , n va ac th si 38 Chứng minh: Theo Định lý 3.2.3 ta có HomR  R m , H Is, J  M   hữu hạn sinh Hơn nữa,    SuppR HomR  R m, H Is, J  M    m Vì vậy, HomR R m , H Is, J  M   Artin có độ dài hữu hạn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan  I , J  , cụ thể sau: Trình bày lại định nghĩa môđun Lasker yếu môđun cofinite yếu nghiên cứu tính Lasker yếu cofinite yếu mơđun ExtRi  R I , M  môđun H Ii , J  M  lu an   n va Với s số nguyên không âm, tập Ass HomR  R / I ; H Is, J  M   hữu  I , J   cofinite yếu với i  s p ie gh tn to hạn M R  môđun Lasker yếu H Ii , J  M  môđun nl w Tập AssR  H Is, J  M   hữu hạn H Ii , J  M  môđun Lasker yếu d oa với i  s , với s số ngun khơng âm, M R  an lu môđun Lasker yếu thỏa :M a  : I , J  M  a W  I , J   V a  , với a u nf va iđêan vành R ll Bên cạnh ta ExtRi  R I , M  , HomR  R m, H Is, J  M   oi m thuộc phạm trù Serre dựa vào tính chất mơđun H Ii , J  M   z at nh với z i  s Ngồi ta có hệ độ dài hữu hạn m co l H Ii , J  M  hữu hạn sinh gm @ HomR  R m, H Is, J  M   trường hợp  R, m  vành địa phương an Lu Như vậy, tính Lasker yếu cofinite yếu mơđun Đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan mang lại cho ta số kết hay n va ac th si 40   hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết Ass HomR  R / I ; H Is, J  M   AssR  H Is, J  M   Ngoài ra, đối đồng điều địa phương H Ii , J  M  theo cặp iđêan giữ vai trò quan trọng để ta nghiên cứu số tính chất theo quan điểm phạm trù Serre lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Takahashi, Y Yoshino and T Yoshizawa, “Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals”, J Pure Appl Algebra, vol 213, no 4, pp 582–600, 2009 http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.09.008 [2] A Grothendieck, “Cohomologie local des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2)”, North-Holland, Amsterdam, vol 2, 1968 lu [3] T T Nam and N M Tri, “Some Results on Local Cohomology an n va Modules with Respect to a Pair of Ideals”, Taiwanese J Math, vol 20, https://projecteuclid.org/euclid.twjm/1498874488 gh tn to no 4, pp 743–753, 2016 doi:10.11650/tjm.20.2016.5805 K Divaani-Aazar and A Mafi, “Associated primes of local cohomology p ie [4] w modules”, Proc Amer Math Soc, vol 133, no.3, pp 655–660, 2005 A Tehranian and A Pour Eshmanan Talemi, “Cofiniteness of local d [5] oa nl https://doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07728-7 lu va an cohomology based on a non-closed support defined by a pair of ideals”, u nf Bull Iranian Math Soc, vol 36, no 2, pp 145–155, 2010 ll [6] K Divaani-Aazar and A Mafi, “Associated primes of local cohomology m oi modules of weakly Laskerian modules,” Commun Algebr., vol 34, no z at nh 2, pp 681–690, 2006 http://dx.doi.org/10.1080/00927870500387945 J J Rotman, “An Introduction to Homological Algebra”, Second z [7] @ m co [8] l http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68324-9 gm edition, Universitext,Springer, New York, 2009 M Asgharzadeh and M Tousi, “A Unified Approach to Local an Lu Cohomology Modules Using Serre Classes”, Canad Math Bull, vol 53, n va ac th si 42 no 4, pp 577-586, 2010 http://dx.doi.org/10.4153/cmb-2010-064-0 [9] C Huneke, “Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry, (Sundance, Utah, 1990),” Res Notes Math 2, Boston, MA, Jones Bartlett Publ, pp 93–108, 1994 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si