(Luận văn) nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng véc tơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN lu an NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU va n VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ p ie gh tn to d oa nl w lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN lu an NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU va n VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ gh tn to p ie Chn nghành: Tốn Giải tích d oa nl w Mã số: 60 46 01 02 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lƣu z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 lu an Tác giả n va tn to p ie gh Phạm Ngọc Sơn d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn mình, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đưa đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu Đồng thời tơi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà lu an Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành luận n va văn tn to Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Văn hóa Thể thao Du lịch, Sở Giáo dục gh đào tạo tỉnh Hịa Bình, trường Phổ thơng Năng khiếu Thể dục Thể thao tỉnh p ie Hịa Bình, gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học w Toán K21b quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập oa nl trình làm luận văn d Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn lu va an tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo tận u nf tình thầy bạn bè đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn ll Thái Nguyên, tháng năm 2015 m oi Tác giả z at nh z m co l gm @ Phạm Ngọc Sơn an Lu n va ac th Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn lu an Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU n va CỦA MỘT TẬP ĐÓNG 1.1.1 Định nghĩa gh tn to 1.1 Một số kiến thức giải tích Lipschitz ie 1.1.2 Định lí p 1.1.3 Định nghĩa nl w 1.1.4 Định lí d oa 1.1.5 Ví dụ lu 1.1.6 Định nghĩa va an 1.1.7 Định nghĩa u nf 1.1.8 Định lí ll 1.1.9 Định lí m oi 1.1.10 Định lí z at nh 1.1.11 Định nghĩa 1.1.12 Định nghĩa z 1.2 Điểm siêu hữu hiệu đóng @ gm 1.2.1.Định nghĩa m co l 1.2.2 Định nghĩa 10 1.2.3 Định nghĩa 10 an Lu 1.2.4 Định nghĩa 11 1.2.5 Định nghĩa 14 n va ac th Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si iv 1.2.6 Định nghĩa 14 1.2.7 Định nghĩa 14 1.2.8 Định nghĩa 14 1.3 Các tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng 15 1.3.1 Định lý 15 1.3.2 Nhận xét 19 1.3.3 Ví dụ 19 1.3.4 Định lý 21 1.3.5 Nhận xét 22 1.3.6 Định lý 22 lu an Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU n va HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 24 2.1.1 Định nghĩa 25 gh tn to 2.1 Kiến thức chuẩn bị 24 ie 2.1.2 Định nghĩa 25 p 2.2 Các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân nl w vectơ 26 oa 2.2.1 Bổ đề 26 d 2.2.2 Định lý 26 lu va an 2.2.3 Hệ 28 u nf 2.2.4 Nhận xét 28 ll 2.2.5 Mệnh đề 28 m oi 2.2.6 Định lý 30 z at nh 2.2.7 Hệ 31 2.2.8 Định lý 32 z 2.2.9 Định lý 32 @ gm 2.2.10 Hệ 32 l 2.2.11 Hệ 32 m co KẾT LUẬN 33 an Lu TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 n va ac th Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán cân vectơ (VEP) đưa vào nghiên cứu Ansari, Oettli Schlager 3 Bianchi, Hadjisavvas Schaible  4 vào năm 1997 Gần toán cân vectơ nghiên cứu rộng rãi, bao gồm nhiều toán khác, trường hợp đặc biệt như: toán bất đẳng thức biến phân vectơ, tốn tối ưu vectơ bao gồm tối ưu hóa tập, tốn cân Nash vectơ, lu an Trong lý thuyết toán cân vectơ lý thuyết n va tối ưu vectơ người ta thường xét nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu tn to Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig nghiệm siêu ie gh hữu hiệu Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú nhiều p nhà toán học quan tâm nghiên cứu Zheng – Yang – Teo (2007) thiết lập nl w tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu tối ưu vectơ Gong oa (2011) chứng minh điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm d siêu hữu hiệu toán cân vectơ Đây đề tài nhiều tác giả lu va an nước quan tâm nghiên cứu Chính mà tơi chọn đề tài: “ u nf Nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu toán cân vectơ ” ll Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu m oi Luận văn trình bày kết tính chất đặc trưng cho điểm z at nh siêu hữu hiệu tập đóng Zheng – Yang – Teo (2007) tính z chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ gm @ Gong (2001) m co Phƣơng pháp nghiên cứu l Sử dụng kết hai báo để viết luận văn thuyết tối ưu an Lu Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi kiến thức lí va n Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng Tính chất đặc trƣng điểm siêu hữu hiệu tập đóng Trình bày tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng khơng gian Banach Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) ngơn ngữ nón pháp tuyến Clarke, nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn Chú ý tốn tối ưu hóa tập trường hợp lu an riêng toán cân vectơ n va Chƣơng Tính chất đặc trƣng nghiệm siêu hữu hiệu gh tn to toán cân vectơ Trình bày điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu p ie hiệu tốn cân vectơ khơng gian Banach Gong ([7], d oa nl w 2001) cách sử dụng định lí phạm trù Baire ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐĨNG Trình bày tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng khơng gian Banach ngơn ngữ nón pháp tuyến Clarke, nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn Các kết trình bày chương Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) lu 1.1 Một số kiến thức giải tích Lipschitz an Giả sử X không gian Banach X* không gian đối ngẫu va n X f hàm Lipschitz địa phương x  X gh tn to 1.1.1 Định nghĩa p ie Đạo hàm suy rộng hàm f theo phương v  X  x , kí   nl w hiệu f0 x, v xác định sau: oa   d f x, v  limsup (1.1) an lu x x t  f ( y  tv)  ( x) t 1.1.2 Định lí ll u nf va x  X , t  oi m Giả sử f hàm Lipschitz địa phương với số Lipschitz K x z at nh Khi đó, (i) Hàm v  f ( x, v) hữu hạn , dương, cộng tính z l f ( x; v)  K v gm @ X m co (ii) f ( x, v) nửa liên tục theo  x, v  , f  x,. Lipschitz với an Lu số K X va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si (iii) f ( x; v)  ( f )0 (u, v) Chứng minh: (i) Do f Lipschitz địa phương với số Lipschitz K, tồn lân cận U x cho với y, z U , f ( y)  f  z   K y  z Do đó, từ (1.1) ta có f ( x, v)  limsup x x t  K tv K v t lu với t đủ nhỏ, y U y  tv U Từ suy tính chất hữu an n va hạn hàm f  x,. Với   , ta có yx t  ie gh tn to f  x, v   limsup p =  limsup f ( y  t  v)  f ( y )   f ( x, v) t w yx t  f ( y  t v)  f ( y ) t oa nl  hàm f  x,. dương d Bây ta kiểm tra tính cộng tính: an lu va f  x, v     limsup u nf yx t  f ( y  tv  t )  f ( y) t oi m yx t  f ( y  tv  t )  f ( y  tv) f ( y  tv)  f ( y )  limsup yx t  t t ll  limsup z at nh  f ( x,  )  f ( x, v) z Bởi y  tv  x y  x t  vi  hội tụ đến x v tương ứng, với m co l an Lu yi  xi  ti  , i gm i, yi , ti  cho xi  @ (ii) Lấy dãy va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 21 an   0,0  yn  n 1    1    n     2  n 1  1        n     Do  0,0  SEL  , C  1.3.4 Định lý Giả sử  lồi Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) a  SEL  , C  lu (ii) a  SE  , C  an va (iii) Tồn M,   (0, ) cho n x  a  M  y  d  x,     x, y   B  a,   X với tn to với (iv) Tồn số M   0,  cho p ie gh x  a C y nl w x  a  M  y  d  x,    với  x, y   X  X với x  a C y d oa (v)  int  C   N c  , a   va an lu Chứng minh: u nf (i)  (iii)  (v) suy từ định lý 1.3.1 ll (ii)  (i) (iv)  (iii) tầm thường m oi Ta phải (i)  (ii) (iii)  (iv) z at nh Giả sử (i) Lấy M ,   O cho (1.7) Giả sử x m co l gm a  t  x  a     a   BX  @ Lấy t   0,1 đủ nhỏ cho z y  X thỏa mãn x  a C y Từ (1.6) suy a  SE  , C  an Lu Chú ý a  t  x  a   a C ty , từ (1.7) ta suy x  a  M y va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 22 Vì vậy, (i)  (ii) Tương tự ta có (iii)  (iv) Định lý chứng minh 1.3.5 Nhận xét Lấy X  l2 , C  x l2 : tọa độ x không âm}   C Như vậy, với kết Borwein Zhuang, ta khơng thể kiểm tra liệu có điểm siêu hữu hiệu  theo C hay không Mặt khác, ý  int  C   N c  ,0   , lu Nc  ,0   C   C l2  C  C Từ Định lý 1.3.4 suy  SE  , C  an n va Cuối cùng, ta xét trường hợp  compact địa phương a (tức gh tn to tồn   , cho    a   BX  compact) Ta biết  compact địa phương điểm  X p ie hữu hạn chiều w 1.3.6 Định lý oa nl Giả sử  compact địa phương a  quy a theo d nghĩa Clake Khi đó, phát biểu sau tương đương: lu va an (i) a  SEL  , C  oi m (iii)  E T  , a  , C  ll u nf (ii)  SE T  , a  , C  z Chứng minh: z at nh (iv)  int  C   N c  , a   @ ta có an Lu Từ Định lý 1.3.4 suy (ii)  (iv) m co Nc T  , a  ,0   Nc Tc  , a  ,0   Nc  , a  l gm Ta có (i)  (iv) suy từ nhận xét 1.3.1 Bởi  quy a , n va Bởi (ii)  (iii) tầm thường, ta cần (iii)  (i) Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 23 Giả sử a  SEL  , C  Khi đó, tồn dãy  x , y  n n   X cho xn  a C yn xn  a  n yn , n xn   a, (1.18) Bởi  compact địa phương a , khơng tính chất tổng quát ta giả sử xn  a  h  T  , a  \ 0 xn  a Từ (1.18) suy h  C Do đó,  E T  , a  , C  Định lý lu chứng minh an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 24 Chƣơng TÍNH CHẤT ĐẶC TRƢNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương trình bày điều kiện đủ tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ không gian Banach cách sử dụng định lý phạm trù Baire, nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn Các kết trình bày chương sở lu Gong ([7], 2011) an va 2.1 Kiến thức chuẩn bị n Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y không gian gh tn to vectơ tôpô lồi địa phương thực, A tập X F : A A  Y ie song hàm p Xét toán cân vectơ (viết tắt VEP): tìm x  A cho oa nl w F  x, y  K \ 0, y  A , d K nón lồi Y lu an Trong chương này, sử dụng định lý phạm trù Baire chúng tơi trình u nf va bày tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân ll vectơ khơng gian Banach khơng phải giả thiết nón thứ tự có oi m sở bị chặn z at nh Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Y không gian Banach thực, C nón nhọn lồi đóng Y giả sử Y* không z m co y1  y2  y2  y1  C l định nghĩa gm @ gian đối ngẫu tôpô trongY nón C sinh thứ tự phận Y hình cầu đơn vị đóng Y an Lu C gọi chuẩn tắc U  C   U  C  bị chặn, U va n Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 25 Giả sử   C*  y* Y : y* , y  0, y  C nón đối ngẫu C Với x  A , ta ký hiệu F  x, A   F  x, y  yA Giả sử D tập khác rỗng Y Bao nón D định nghĩa cone  D   td : t  0, d  D lu an Ký hiệu nón đối ngẫu D va   n D* : y* Y * : y* , d  0, d  D to gh tn Ký hiệu phần D int D p ie 2.1.1 Định nghĩa Một vectơ x  A gọi nghiệm siêu hữu hiệu toán nl w (VEP) tồn số thực M  cho d oa cone  F  x, A   U  C   MU lu va an Ký hiệu VS  A, F  tập nghiệm siêu hữu hiệu (superefficient ll oi m 2.1.2 Định nghĩa u nf solution) toán (VEP) z at nh Một vectơ x  A gọi nghiệm siêu hữu hiệu nón (conesuperefficient solution) tốn (VEP) tồn số thực M  gm @ cone  F  x, A  C   U  C   MU z cho (VEP) m co l Ký hiệu VCS  A, F  tập nghiệm siêu hữu hiệu nón toán an Lu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 26 Bài toán (VEP) bao gồm toán tối ưu vectơ trường hợp đặc biệt F  x, y   y  x, ( x, y  A ), nghiệm siêu hữu hiệu (VEP) điểm siêu hữu hiệu tập A Y trình bày chương 2.2 Các tính chất đặc trƣng cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ Giả sử X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực Y không gian Banach thực Giả sử C nón nhọn lồi đóng Y lu an Từ định nghĩa nghiệm siêu hữu hiệu, ta dễ dàng nhận bổ n va đề sau tn to 2.2.1 Bổ đề ie gh x0 VS  A, F  tồn số M  cho với p x  A y  Y , F  x0 , x   y d 2.2.2 Định lý oa nl w F  x0 , x   M y lu  Nếu  int C *   F  x0 , A   Chứng minh: ll   x V  A, F  u nf va an * S  * oi m Bởi  int C *   F  x0 , A   , tồn   cho * z at nh U  C*   F  x0 , A  , (2.1) z * * an Lu Ta có m co Y *  C*   F  x0 , A  l gm  F  x , A nón lồi (2.1), ta suy @ U hình cầu đơn vị đóng Y * Do C * va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 27    Y   C *  nU   F  x0 , A   nU * n 1 * (2.2) Chú ý C *  F  x0 , A  đóng yếu * U compact yếu * , * C*  nU   F  x0 , A   nU compact yếu * đóng yếu * * lồi Ta thấy C*  nU   F  x0 , A   nU đóng theo tơpơ * chuẩn Y * Từ (2.2) định lý phạm trù Baire ta suy tồn lu y* Y * ,  , số tự nhiên n1 cho an 0 y*  U  C*  nU   F  x0 , A   nU 1 * va (2.3) n Do (2.2) tồn số tự nhiên n2 cho tn to  y*  C*  n2U   F  x0 , A   n2U * ie gh (2.4) Chú ý C *  F  x0 , A  nón lồi, từ (2.3) (2.4) ta suy p * w 0 U  C *  nU   F  x0 , A   nU  C *  n2U   F  x0 , A   n2U 1 oa nl * *  C *   n1  n2 U   F  x0 , A    n1  n2 U Như vậy, d * U  C *  U   F  x0 , A   U ll z at nh n1  n2 oi  m Đặt r  * u nf n1  n2 va an lu  z Ta có * @ (2.5) gm rU  C*  U   F  x0 , A   U F  x0 , x   y , ta xét trường hợp an Lu Trường hợp (i): m co l Bây ta x0 VS  A, F  Với x  A y  Y , va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 28 F  x0 , x   Theo định lý Hahn – Banach tồn y* Y * , cho y*  y* , F  x0 , x   F  x0 , x  (2.6) Ta có ry* , F  x0 , x   r F  x0 , x  (2.7) Do (2.5), tồn c*  C*  U , d *   F  x0 , A   U cho * ry*  c*  d * Từ (2.7) ta suy lu r F  x0 , x   c*  d * , F  x0 , x   c* , F  x0 , x   d * , F  x0 , x  an n va  c* , F  x0 , x   c* , y  y F  x0 , x   y r p ie gh tn to Vì vậy, Trường hợp (ii): oa nl w F  x0 , x   Rõ ràng y r d F  x0 , x   an lu u nf va Theo Bổ đề 2.2.1, ta có x0 VS  A, F  Điều kết thúc chứng minh ll Từ Định lý 2.2.2, ta nhận hệ sau oi m 2.2.3 Hệ z at nh Nếu Y *  C*   F  x0 , A  x0 VS  A, F  * z @ 2.2.4 Nhận xét l gm Nếu Y không gian Banach, so sánh với hệ 8 kết 2.2.5 Mệnh đề an Lu (i) VCS  A, F   VS  A, F ; m co trình bày đây bỏ điều kiện C có sở bị chặn va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 29 (ii) Nếu C chuẩn tắc VS  A, F   VCS  A, F  Chứng minh: (i) Bởi  C , theo định nghĩa ta có VCS  A, F   VS  A, F  (ii) Nếu x0 VS  A, F  tồn số thực M  cho cone  F  x0 , A   U  C   MU (2.8) Giả sử y  cone  F  x0 , A  C   U  C  \ 0 lu Khi đó, an n va y  t  F  x0 , x   c   b  c ' , to Như vậy, ie gh tn t  0, x  A, c  C, b U , c '  C p y  tF  x0 , x   tc  b  c ' w oa nl Từ (2.8) suy d tF  x0 , x   cone  F  x0 , A   U  C   MU u nf va an lu Ta có y   MU  C   U  C  ll (2.9) m oi Nếu M  Do C chuẩn tắc, tồn số thực M '  cho z at nh  MU  C   U  C   U  C   U  C   M 'U m co an Lu Như vậy, l y   MU  C   U  C  (2.10) gm Nếu M  (2.9) ta có @ y '  M 'U z Ta có va n Số hố Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 30 y  U  C   U  C   M 'U , M Vì vậy, y  MM 'U (2.11) Từ (2.10) (2.11) ta suy cone  F  x0 , A  C   U  C   MM 'U Như vậy, x0 VC S  A, F  Bây ta trình bày tính chất đặc trưng nghiệm siêu hữu hiệu lu an toán cân vectơ khơng gian Banach với nón thứ tự khơng n va cần có sở bị chặn tn to 2.2.6 Định lý ie gh Nếu C chuẩn tắc F  x0 , A tập C  lồi ( tức F  x0 , A  C tập lồi ) p x0 VS  A, F  w *  C*  Y * d oa nl  F  x , A  an lu Chứng minh: u nf va Nếu x0 VS  A, F  , theo Mệnh đề 2.2.5, x0 VCS  A, F  Do Định lý ll 8 , ta có (2.12) z at nh  C*  Y * oi * m  F  x , A  C  Chú ý F  x, A  C  F  x, A , ta có * *  C*  Y * an Lu m co  F  x , A  l Kết hợp điều với (2.12), ta nhận gm @ * z  F  x , A  C    F  x , A   va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 31   Ngược lại,  F  x0 , A   C*  Y * 0 int C *   F  x0 , A   * * Theo Định lý 2.2.2, ta có x0 VS  A, F  Định lý chứng minh 2.2.7 Hệ F  x0 , A tập C  lồi,thì Nếu C chuẩn tắc x0 VS  A, F  với g  Y * , tồn f   F  x0 , A  cho * g C* f  f , F  x0 , y  , y  A Chứng minh: lu Nếu x0 VS  A, F  , theo Định lý 2.2.6, ta có an  F  x , A  va * n  C*  Y * to Như vậy, với g  Y * , tồn f   F  x0 , A  h  C * cho g  f  h p ie gh tn * w Vì vậy, g C* f d oa nl  f , F  x0 , y  , y  A Ngược lại, với g  Y * , tồn f   F  x0 , A  cho va an lu * u nf g C* f ll  f , F  x0 , y  , y  A, oi m (2.13) g  f  h z at nh đó, tồn h  C * cho an Lu Do g  Y * bất kỳ, ta có m co * l g   F  x0 , A   C* gm Như vậy, ta có @ * z Do (2.13) ta có, f   F  x0 , A  va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 32  F  x , A  *  C*  Y * Theo định lý 2.2.6, ta có x0 VS  A, F  Hệ chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 8 , ta có định lý sau 2.2.8 Định lý Nếu x0 VS  A, F  F  x0 , A tập lồi,  F  x , A  *  C*  Y * Từ Hệ 2.2.3 Định lý 2.2.8 ta nhận định lý sau lu 2.2.9 Định lý an Nếu F  x0 , A tập lồi x0 VS  A, F  va  F  x , A  n *  C*  Y * tn to Giả sử Y không gian Banach Nếu nón nhọn lồi đóng C chuẩn p ie gh 2.2.10 Hệ w tắc A  Y tập C lồi ( tức A  C tập lồi ), x0  A điểm oa nl siêu hữu hiệu toán tối ưu vectơ *  C*  Y * d x, y  A oi m F  x, y   y  x, ll u nf Lấy va Chứng minh: an lu  A  x0  z at nh Theo định lý 2.2.6 ta nhận kết luận 2.2.11 Hệ z @ Giả sử Y không gian Banach, A  Y tập lồi C *  C*  Y * Chứng minh: an Lu  A  x0  m co toán tối ưu vectơ l gm nón nhọn lồi đóng Khi đó, x0  A điểm siêu hữu hiệu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 33 Lấy F  x, y   y  x, ( x, y  A ) Theo định lý 2.2.9, ta nhận kết luận KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu tập toán cân vectơ Zheng – Yang – Teo (2007) Gong (2011), bao gồm: - Khái niệm điểm siêu hữu hiệu tập nghiệm siêu hữu hiệu lu an toán cân vectơ; va n - Các tính chất đặc trưng điểm siêu hữu hiệu tập đóng tn to Chú ý nón thứ tự khơng phải giả thiết có sở bị chặn, cịn tập hợp giả ie gh thiết bán trơn p - Điều kiện đủ cho nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ nl w tính chất đặc trưng chúng có giả thiết lồi thích hợp d oa Lý thuyết nghiệm siêu hữu hiệu toán tối ưu toán cân ll u nf va an lu vectơ đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội II Tiếng Anh [3] Q.H Ansari, W Oettli, D Schlager (1997), “A generalizatinon of lu vector equilibrium”, Math Methods Oper Res 46, 147 - 152 an [4] M Bianchi, N Hadjisavvas, S Schaible (1997), “Vector equilibrium va n problems with generalized monotone bifunctions”, J Optim Theory Appl gh tn to 92, 527 – 542 ie [5] J.M Borwein, D Zhuang (1993), “Super-efficiency in vector p optimization”, Trans Am Math Soc 338, 105 – 122 York d oa nl w [6] F.H Clarke (1983), “Optimization and Nonsmooth Analysis”, Wiley, New an lu [7] X.H Gong (2011), “A characterization of super-efficiency in vector u nf va equilibrium problems”, Optim Lett 5, 683 - 690 [8] X.H Gong, W.T Fu, W Liu (2000), “Super-efficiency for a vector ll oi m equilibrium in locally convex topological vector spaces”, In: Giannessi, z at nh F (ed.) Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, pp 233 – 252 Kluwer Academic Publishers, z @ Netherlands l gm [9] Y.D Hu, C.Ling (2000), “Connectedness of cone super-efficient point sets in locally convex topological vector spaces”, J Optim Theory m co Appl 107, 433 – 446 an Lu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si 35 [10] X.Y Zheng, X.M Yang, K.L Teo (2007), “Super-efficiency of vector optimization in Banach spaces”, J Math Anal Appl 327, 453 – 460 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va n Số hoá Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si