(Luận văn) dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI lu an DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG va n VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU tn to p ie gh CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ MAI DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN CHO NGHIỆM HỮU HIỆU lu CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU an n va to gh tn Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie Mã số: nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục lu Mở đầu Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương 1.1 Dưới vi phân suy rộng 1.1.1 Dưới vi phân suy rộng quy bán quy 1.1.2 Quy tắc tính vi phân suy rộng an Lời cảm ơn n va p ie gh tn to Định lý giá trị trung bình cho vi phân suy rộng 13 nl w 1.1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto 14 1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto 24 d oa 1.2 nf va an lu Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương 27 2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu 32 2.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu 33 Kết luận 34 l gm @ 36 m co Tài liệu tham khảo z at nh oi Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu 27 z lm ul 2.1 an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, lu Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả an xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, thầy va n tận tâm nhiệt tình bảo to gh tn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa p ie Tốn, Phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, toàn thể cán giảng dạy lớp cao học toán K7Y nhiệt tình oa nl w giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập d Cuối tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp lu nf va luận văn an bên cạnh động viên giúp đỡ q trình học tập hồn thành Thái Ngun, ngày 27 tháng 12 năm 2015 z at nh oi lm ul Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả z l gm @ m co Lê Thị Mai an Lu n va ac th si Mở đầu Khái niệm vi phân suy rộng không lồi Jeyakumar – Luc đời năm 1999 Đây tổng quát hóa khái niệm vi phân Clarke, lu Michel – Penot, Mordukhovich, Clarke-Rockafellar, Các điều kiện tối ưu an ngôn ngữ vi phân suy rộng mạnh điều kiện tối ưu va n ngôn ngữ số loại vi phân số trường hợp, chẳng hạn cho gh tn to toán với hàm Lipschitz địa phương Điều kiện cần Fritz John cho cực p ie tiểu yếu tốn tối ưu đa mục tiêu khơng gian hữu hạn chiều với hàm liên tục D T Luc ([6]) thiết lập Dutta - Chandra ([2]) dẫn điều oa nl w kiện cần cho cực tiểu yếu ngôn ngữ vi phân suy rộng bán d quy cho tốn có ràng buộc bất đẳng thức D V Luu ([7,8]) dẫn lu an điều kiện cần cho cựu tiểu yếu cựu tiểu Pareto toán tối ưu đa mục nf va tiêu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không lm ul gian Banach qua vi phân suy rộng Đây đề tài nhiều tác giả z at nh oi quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: “Dưới vi phân suy rộng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu” z Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện cần cho cực tiểu @ gm Pareto địa phương cực tiểu yếu địa phương tốn tối ưu đa mục tiêu l có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập khơng gian an Lu chí Optimizaton, vol 63 (2014), No3, 321-335 m co Banach ngôn ngữ vi phân suy rộng Đỗ Văn Lưu đăng tạp n va Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài ac th si liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng bao gồm vi phân suy rộng trên, vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng bán quy vi phân suy rộng quy, quy tắc tính định lí giá trị trung bình cho vi phân suy rộng Chương trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto toán (MP) với nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất thành lu phần hàm mục tiêu an n va Chương trình bày điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương bao phương qua vi phân suy rộng bán quy điều kiện cần Kuhn gh tn to gồm điều kiện cần Fritz John Kuhn-Tucker cho cực tiểu yếu địa p ie - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương với nhân tử Lagrange dương w ứng với tất thành phần hàm mục tiêu oa nl Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, d với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh lu nf va an khỏi thiếu sót Kính mong góp ý Thầy Cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa lm ul z at nh oi Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả z m co l gm @ Lê Thị Mai an Lu n va ac th si Chương Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương lu an Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng va n V Jeyakumar D T Luc [5], J Dutta S Chandra [2], điều gh tn to kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương D V Luu [7] p ie ngôn ngữ vi phân suy rộng Dưới vi phân suy rộng oa nl w 1.1 d Giả sử X không gian Banach f : X → R hàm giá trị thực lu nf va an mở rộng, R := R ∪ {∞} Khơng gian đối ngẫu X kí hiệu X ∗ trang bị với tôpô yếu∗ Bao lồi bao lồi đóng tập A lm ul X ∗ kí hiệu tương ứng co(A) co(A) Giả sử x ∈ X f z at nh oi hữu hạn Đạo hàm theo phương Dini f x theo phương v định nghĩa tương ứng z f (x + tv) − f (x) , t f + (x, v) := lim sup f (x + tv) − f (xt) t m co an Lu Định nghĩa 1.1 l t↓0 gm t↓0 @ f − (x, v) := lim inf n va ac th si Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f − (x, v) ≤ hx∗ , vi sup x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.2 Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂∗ f (x) x ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f + (x, v) ≥ hx∗ , vi inf lu x∗ ∈∂ ∗ f (x) an Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x n va Định nghĩa 1.3 tn to Điều có nghĩa với v ∈ X, p ie gh đồng thời vi phân suy rộng hàm f x nl w f − (x, v) ≤ hx∗ , vi , sup d oa x∗ ∈∂ ∗ f (x) inf x∗ ∈∂ ∗ f (x) hx∗ , vi nf va an lu f + (x, v) ≥ Điều tương ứng với điều kiện: với v ∈ X, lm ul 
max f − (x, v) , −f + (x, −v) ≤ s v | ∂ ∗ f (x) , z at nh oi z s (v | C) := sup hx∗ , vi l gm hàm tựa tập đóng yếu∗ C ⊂ X ∗ @ x∗ ∈C co Chú ý vi phân suy rộng không thiết phải lồi com- m pắc yếu∗ Sự mở rộng cho phép ta áp dụng cho lớp rộng hàm an Lu liên tục không trơn n va ac th si Ví dụ 1.1 Hàm f : R → R xác định   √x, x ≥ 0, f (x) =  −√−x, x < có vi phân suy rộng khơng compắc có dạng [α, ∞) với α ∈ R Ví dụ 1.2 Hàm f : R → R xác định lu an f (x) = −|x| n va Giả sử f : X −→ R hữu hạn điểm x ∈ X Nếu f nửa liên tục ie gh tn to có vi phân suy rộng không lồi ∂ ∗ f (0) = {1, −1} p x đạo hàm Clarke - Rockafellar f x theo phương nl w v định nghĩa d oa 0
0
f x + tv − f x f ↑ (x, v) = lim sup inf , 0 t x →f x v →v an lu t↓0 nf va 0 x →f x có nghĩa x → x f (x ) → f (x) lm ul Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke - Rockafellar z at nh oi f x với phương v định nghĩa 0 f (x + tv ) − f (x ) f (x, v) = lim inf sup t x0 →f x v →v ↓ z gm @ t↓0 l Nếu f liên tục x x0 →f x định nghĩa đạo hàm an Lu f x cho cơng thức: m co viết đơn giản x0 → x Các vi phân suy rộng n va  ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X , ac th si  ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≥ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ ∂ ↑ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↑ (x, v) = hx∗ , vi sup x∗ ∈∂ ↑ f (x) Tương tự, f ↓ (x, 0) < ∞ ∂ ↓ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↓ (x, v) = inf x∗ ∈∂ ↓ f (x) hx∗ , vi lu an Nếu f Lipschitz địa phương x va n f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) , tn to ie gh f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) , p 0 f (x + tv) − f (x ) , f (x, v) = lim sup t x0 →x oa nl w ◦ t↓0 d 0 nf va an lu f (x + tv) − f (x ) f◦ (x, v) = lim0 inf , t x →x t↓0 đạo hàm theo phương suy rộng Clarke f x theo v lm ul Dưới vi phân suy rộng Clarke xác định z at nh oi  ∂ ◦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ◦ (x, v), ∀v ∈ X z Hơn nữa, @ x ∈∂ f (x) hx∗ , vi co x∗ ∈∂ ◦ f (x) l f◦ (x, v) = gm f ◦ (x, v) = ∗ max hx∗ , vi , ◦ m Vì vậy, f Lipschitz địa phương x ∂ ◦ f (x) vi phân suy rộng an Lu f x, n va f − (x, v) ≤ f ◦ (x, v) f + (x, v) ≥ f◦ (x, v), với v ∈ X ac th si 23 coneDTs (x ) nón lồi sinh DTs (x) Do tính compăc co∂ ∗ fk (x ) ta suy HTs (x) đóng (iii) Trong trường hợp X vơ hạn chiều X = C, co∂ ∗ fs (x ) compăc yếu∗ , DTs (x) đóng yếu∗ ∈ / DTs (x) HTs (x) đóng yếu∗ Thật vậy, coneDTs (x ) đóng yếu∗ , HTs (x) đóng yếu∗ Định lí 1.3 minh họa ví dụ sau Trong ví dụ này, thành phần hàm mục tiêu hàm ràng buộc bất đẳng thức tích cực khơng liên tục lu an va Ví dụ 1.3 n Cho X = R, Y = R2 C = [0, 1] Kí hiệu Q tập số hữu tỷ f ie gh tn to g xác định p f (x) = (f1 (x), f2 (x)), oa nl w d f1 (x) =    (x + 1)3 ,   x ∈ Q ∩ [0, +∞), nf va an lu (x − 1)2 , x ∈ Q ∩ (−∞, 0],     1, trường hợp khác lm ul f2 (x) = −x, z at nh oi x ∈ Q ∩ [0, +∞), trường hợp khác gm @ x ∈ Q ∩ (−∞, 0], z    2x,   g (x) = −x3 − 3x,     x, m co toán tối ưu đa mục tiêu sau đây: l Khi đó, tập chấp nhận M = [0, 1] ∩ Q x = cực tiểu Pareto an Lu minf (x ), với điều kiện g(x ) x ∈ C n va ac th si 24 Lưu ý g ràng buộc tích cực tốn Ta thấy   3v, v > 0, + f1 (0; v) =  −2v, v < 0, f1− (0, v) = (∀v ∈ R), lu f2+ (0, v) = f2− (0, v) = −v (∀v ∈ R), (∀v ∈ R) g + (0, v) = v 2  2v, v 0, − g (0; v) =  −3v, v > an n va 1 , tương ứng gh tn to Các tập ∂ ∗ f1 (0) = {−2, 3} , ∂ ∗ f2 (0) = {−1} , ∂ ∗ g(0) = p ie vi phân suy rộng quy bị chặn f1 , f2 , g x = Có nl w thể thấy d oa Q1 (0) = [0, 1] ∩ Q, Z(C; 0) = R+ , C(Q1 (0); 0) = Z(Q1 (0); 0) = R+ lu T = −R+ HT1 (0) = R nf va an Như (CQ1) với s = Với T = R+ , đóng Vì tất giả thiết định lí 1.3 thỏa mãn, điều kiện cần (1.7) z at nh oi 1.3 lm ul với λ2 = 0, µ = z Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto @ l gm Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán (MP) với an Lu n va Giả thiết 1.2 m tiêu, ta đưa vào giả thiết sau co nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất thành phần hàm mục ac th si 25 Với k ∈ J, hàm fk có vi phân suy rộng bán quy bị chặn khác rỗng ∂ ∗ fk (x) x; với i ∈ I(x), hàm gi có vi phân suy rộng ∂ ∗ gi (x) x, hàm gi (i ∈ / I(x)) liên tục x, hàm hj (j ∈ L) khả vi Gâteaux x Sau ta phát biểu điều kiện cần Kunh - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto với nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu Định lí 1.4 lu an Giả sử x cực tiểu Pareto địa phương toán (MP) Giả sử có giả va thiết 1.2 thỏa mãn, điều kiện quy (CQ1) với s ∈ J, tập n tn to HTs (x) đóng yếu∗ với nón lồi đóng khác rỗng T Z(C, x) ie gh với đỉnh gốc với s ∈ J Khi đó, tồn λk > 0(∀k ∈ J), µi > p 0(∀i ∈ I(x)), γj ∈ R(∀ ∈ J) cho X X X 0∈ λk co∂ ∗ fk (x) + µi co∂ ∗ gi (x) + γj OG hj (x) + T oa nl w k∈J,k6=s j∈L i∈I(x) d an lu Chứng minh nf va Dễ thấy giả thiết 1.2 kéo theo giả thiết 1.1 với s ∈ J Ta (s) lm ul áp dụng định lí 1.3 suy với s ∈ J, tồn λk > 0(∀k ∈ J, k 6= (s) (s) k∈J,k6=s (x) + T l gm j∈L (1.20) @ (s) γj OG hj i∈I(x) z + X z at nh oi s), µi > 0(∀i ∈ I(x)) γj ∈ R(∀j ∈ L) cho X (s) X (s) ∈ co∂ ∗ fs (x) + λk co∂ ∗ fk (x) + µi co∂ ∗ gi (x) co Lấy s = 1, , m (1.20) cộng hai vế bao hàm thức nhận m được, ta suy X X X ∗ ∗ λk co∂ fk (x) + µi co∂ gi (x) + γj ∇G hj (x) + T , 0∈ an Lu i∈I(x) j∈L n va k∈J,k6=s ac th si 26 P P (s) (s) λk = + s∈J, s6=k λk > 0(∀k ∈ J), µi = s∈J µi > P (s) (∀i ∈ I(x)), γj = s∈J γj ∈ R (∀j ∈ L) Định lí chứng minh Nhận xét 1.2 Trong định lí 1.4, ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I (x)) khơng bị chặn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 Chương Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương Chương trình bày kết D V Luu [7] điều kiện cần lu an Fritz John Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương qua vi phân n va suy rộng bán quy Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu p ie gh tn to 2.1 Để dẫn điều kiện cần mô tả hệ bất đẳng thức khơng tương thích, an lu Giả thiết 2.1 d oa nl w ta đưa vào giả thiết sau nf va Với k ∈ J i ∈ I(x), hàm fk gi có vi phân suy rộng lm ul bán quy ∂ ∗ fk (x) ∂ ∗ gi (x) x, tương ứng; ∂ ∗ fs (x) 6= ∅ với s ∈ J; hàm gi (i ∈ / I(x)) liên tục x; hàm hj (j ∈ L) khả z at nh oi vi Fréchet x với đạo hàm Fréchet ∇hj (x) z Chúng ta bắt đầu mục với điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa co l gm Định lí 2.1 @ phương m Giả sử x cực tiểu yếu địa phương toán (MP) với C = X an Lu Giả sử giả thiết 2.1 đạo hàm Fréchet ∇h1 (x), , ∇h` (x) độc n va ac th si 28 lập tuyến tính Hơn nữa, ta giả sử tất hàm fk (k ∈ J) gi (i ∈ I(x)) Lipschitz địa phương x Khi đó, hệ sau khơng có nghiệm v ∈ X: sup hξk , vi < (∀k ∈ J) , (2.1) hζi , vi ≤ (∀i ∈ I (x)) , (2.2) (∀j ∈ L) (2.3) ξk ∈co∂ ∗ fk (x) sup ζi ∈co∂ ∗ gi (x) h∇hj (x) , vi = Chứng minh lu Trước hết ta hệ sau nghiệm v ∈ X: an n va gh tn to fk+ (x; v) < (∀k ∈ J) , (2.4) gi+ (x; v) < (∀i ∈ I (x)) , (2.5) p ie (2.6) (∀j ∈ L) h∇G hj (x) ; vi = nl w Giả sử ngược lại hệ (2.4) - (2.6) có nghiệm v0 ∈ X Bởi ∇h1 (x), , oa ∇hl (x) độc lập tuyến tính, theo kết Halkin [4, định d lí F], tồn lân cận U x ánh xạ ξ : U → X liên tục U an lu nf va khả vi Fréchet x cho ξ(x) = 0, ∇ξ(x) = (2.7) Đặt z at nh oi lm ul hj (x + ξ(x)) = h∇hj (x) , x − xi (∀x ∈ U, ∀j ∈ L) η(t) = x + tv0 + ξ(x + tv0 ) (t ∈ [0, 1]) z gm @ Từ (2.6), ta suy tồn số tự nhiên N1 cho với p > N1 , t ∈ (0, p1 ), l (2.8) hj (η(t)) = th∇hj (x) , v0 i = (∀j ∈ L) m co an Lu Ta thấy n va ξ(x + tv0 ) ξ(x) + t∇ξ(x)v0 + o(t) o(t) = = , t t t ac th si 29 o(t) t → t → Vì vậy, v0 + 1t ξ(x + tv0 ) → v0 t → Bởi fs Lipschitz địa phương x, từ (2.4) suy fs (x + t[v0 + 1t ξ(x + tv0 )]) − fs (x) lim sup = fs+ (x; v0 ) < t t↓0 Do đó, với số tự nhiên p, tồn ∈ (0; p1 ) cho lim sup t↓0 fs (x + tv0 + ξ(x + tv0 )) − fs (x) t fs (η(tp )) − fs (x) = lim < p→+∞ lu an Do đó, tồn số tự nhiên N2 (> N1 ) cho với p > N2 , va (2.9) n fs (η(tp )) < fs (x) tn to p ie gh Bởi với k ∈ J, k 6= s, fk Lipschitz địa phương x, ta có fk (x + t[v0 + 1t ξ(x + tv0 )]) − fk (x) = lim sup t t↓0 fk (x + t[v0 + 1t ξ(x + tv0 )]) − fk (x) = lim sup < p→+∞ t t∈(0, ) d oa nl w fk+ (x; v0 ) p lu nf va an Vì vậy, tồn số tự nhiên N3 (> N2 ) cho với p > N3 , t ∈ lm ul (0, p1 ), fk (η(t)) < fk (x), vậy, (2.10) z at nh oi fk (η(tp )) < fk (x) Tương tự, tồn số tự nhiên N4 (> N3 ) cho với i ∈ I (x) , z p > N4 , gi (η(tp )) < Do tính liên tục gi (i ∈ / I (x)), tồn số tự @ (2.11) n va fk (η(tp )) < fk (x) (∀k ∈ J), an Lu Từ (2.8) - (2.11), ta suy với p > N5 , m co gi (η(tp )) < l gm nhiên N5 (> N4 ) cho với i ∈ I, p > N5 , ac th si 30 gi (η(tp )) < (∀i ∈ I), hj (η(tp )) = (∀j ∈ L) Điều mâu thuẫn với x cực tiểu yếu địa phương (MP) Vì vậy, hệ (2.4) - (2.6) khơng có nghiệm Điều kéo theo hệ (2.1) - (2.3) khơng có nghiệm, định lí chứng minh Một điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương tốn (MP) phát biểu sau lu an Định lí 2.2 va n Cho x cực tiểu yếu địa phương (MP) Giả sử tất giả gh tn to thiết định lí 2.1 Khi đó, tồn λk > (∀k ∈ J), µi > 0(∀i ∈ p ie I(x)) khơng đồng thời 0, γj ∈ R(∀j ∈ L) cho X  X ∈ cl λk co∂ ∗ fk (x ) + µi co∂ ∗ gi (x) w i∈I(x) oa nl k ∈J d + X (2.12) γj ∇hj (x), lu j∈L an nf va cl kí hiệu bao đóng yếu∗ lm ul Chứng minh z at nh oi Ta áp dụng định lí 2.1 suy hệ (2.1) - (2.3) khơng có nghiệm Đặt i∈I(x) µi co∂ ∗ gi (x) l γj OG hj (x) : λk ≥ (∀k ∈ J) , µi ≥ (∀i ∈ I (x)) , m co j∈L λk co∂ fk (x) + X gm + ∗ @ k∈J X z B(x) = [X (λ, µ) 6= (0, 0), γj ∈ R (∀j ∈ L) , an Lu  n va ac th si 31 λ = (λk )k∈J , µ = (µi )i∈I(x) , γ = (γj )j∈L Khi B(x) lồi Ta (2.13) ∈ clB (x ), Giả sử ngược lại 0∈ / clB (x ) Định lí tách cho tập lồi đóng yếu∗ điểm nằm ngồi tập [3, lu định lí 3.4] áp dụng suy tồn 6= v0 ∈ X cho an va (2.14) n sup hξ, v0 i < tn to ξ∈B(x) ie gh Khi đó, cách lấy λk = 1, λk0 = (∀k ∈ J, k 6= k), µi = (∀i ∈ p I (x)) γj = 0(∀j ∈ L), ta có w hξk , v0 i < (∀k ∈ J) (2.15) hζi , v0 i < (∀i ∈ I (x)) (2.16) nl sup d oa ξk ∈co∂ ∗ fk (x) nf va an lu Tương tự, ta nhận sup lm ul ζi ∈co∂ ∗ gi (x) z at nh oi Lấy ξs ∈ ∂ ∗ fs (x) , λs = 1, λk = 0(∀k ∈ J, k 6= s), µi = 0(∀i ∈ I (x) , γj = 0(∀j ∈ L, j 6= `0 , `0 ∈ L), từ (2.14) ta suy z gm @ hξs , v0 i + γ`0 h∇h`0 (x) , v0 i < (∀j ∈ L) an Lu h∇hj (x) , v0 i = m chứng minh định lí 1.3, ta nhận co l Bởi |hξs , v0 i| < +∞ |h∇h`0 (x) , v0 i| < +∞, lí luận tương tự (2.17) n va ac th si 32 Từ (2.15) - (2.17) ta suy v0 nghiệm hệ (2.1) - (2.3) Điều cho ta mâu thuẫn Vì (2.13) Điều kéo theo tồn λk > (∀k ∈ J), µi > (∀i ∈ I (x)), khơng đồng thời γj ∈ R (∀j ∈ L) cho X  X X ∗ ∗ ∈ cl λk co∂ fk (x ) + µi co∂ gi (x ) + γj ∇hj (x ) k ∈J j ∈L i ∈I (x ) Vì (2.12) Định lí chứng minh lu Nhận xét 2.1 an Định lí 2.2 tổng qt hóa định lí 4.3 [2] n va Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương p ie gh tn to 2.2 w tốn (MP), ta đưa vào điều kiện quy (CQ2) sau: oa nl Với λk > 0(∀k ∈ J, k 6= s, s ∈ J), µi > 0(∀i ∈ I (x)) không đồng d thời 0, γj ∈ R(∀j ∈ L),  X  X X 0∈ / cl λk co∂ ∗ fk (x ) + µi co∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ), nf va an lu lm ul k ∈J ,k 6=s j ∈L i ∈I (x ) z at nh oi Với điều kiện quy (CQ2), ta phát biểu điều kiện cần Kuhn Tucker cho cực tiểu yếu địa phương (MP) sau z @ Định lí 2.3 l gm Cho x cực tiểu yếu địa phương (MP) Giả sử tất giả thiết định lí 2.2 thỏa mãn điều kiện quy (CQ2) với s ∈ J co m Khi đó, tồn λs > 0, λk > (∀k ∈ J, k 6= s), µi > (∀i ∈ an Lu n va ac th si 33 I (x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) cho  X X ∗ ∗ λk co∂ fk (x ) + µi co∂ gi (x) ∈ cl k ∈J i∈I(x) + X (2.18) γj ∇hj (x) j∈L Chứng minh Sử dụng định lí 2.2 ta suy tồn λk > 0(∀k ∈ J), µi > 0(∀i ∈ I(x)) phải không đồng thời γj ∈ R(∀j ∈ L) cho (2.12) Nếu lu λs = λk > 0(∀k ∈ J, k 6= s), µi > 0(∀i ∈ I (x)) phải không đồng an n va thời Do đó, từ (CQ2) ta đến mâu thuẫn với (2.12) Vì tn to λs > Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu p ie gh 2.3 nl w Để dẫn điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương d oa toán (MP) với nhân tử Lagrange dương ứng với tất thành an lu phần hàm mục tiêu, ta đưa vào giả thiết 2.2 Chú ý lm ul Giả thiết 2.2 nf va điều kiện Kuhn - Tucker mạnh nghiên cứu [10, 11] z at nh oi Với k ∈ J i ∈ I(x), hàm fk gi tương ứng có vi phân suy rộng bán quy ∂ ∗ fk (x) ∂ ∗ gi (x) x; ∂ ∗ fk (x) 6= ∅ với z k ∈ J; hàm gi (i ∈ / I(x)) liên tục x; hàm hj (j ∈ L) khả vi l gm @ Fréchet x co Một điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương với m nhân tử Lagrange dương ứng với tất thành phần hàm mục tiêu với an Lu giả thiết 2.2 phát biểu sau: n va ac th si 34 Định lí 2.4 Cho x cực tiểu yếu địa phương (MP) Giả sử đạo hàm Fréchet ∇h1 (x), , ∇h` (x) độc lập tuyến tính; hàm fk (k ∈ J) gi (i ∈ I(x)) Lipschitz địa phương x Giả sử giả thiết 2.2 thỏa mãn điều kiện quy (CQ2) với s ∈ J Khi đó, tồn λk > (∀k ∈ J), µi > (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) cho X  X X ∈ cl λk co∂ ∗ fk (x ) + µi co∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ) k ∈J j ∈L i ∈I (x ) lu an Chứng minh n va Có thể thấy tất giả thiết định lí 2.3 thỏa mãn với (s) tn to s ∈ J Vì vậy, ta áp dụng định lí 2.3 suy với s ∈ J, tồn λk > (s) (s) gh (∀k ∈ J, k 6= s), λs > 0, µi (s) > (∀i ∈ I(x)) γj ∈ R (∀j ∈ L) p ie cho oa nl w X  X X (s) (s) ∗ (s) ∈ cl λk ∂ fk (x ) + µi ∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ) (2.19) k ∈J j ∈L i ∈I (x ) d lu an Bởi clA + clB ⊂ cl(A + B ), lấy s = 1, , m (2.19) cộng hai vế nf va bao hàm thức lại, ta nhận  XX X (s) X  X (s) (s) ∗ ∗ 0∈ cl λk ∂ fk (x ) + µi ∂ gi (x ) + γj ∇hj (x ) ⊂ cl X s∈J j ∈L i ∈I (x )  X X λk ∂ ∗ fk (x ) + µi ∂ ∗ gi (x ) + γj ∇hj (x ), i ∈I (x ) j ∈L z k ∈J z at nh oi lm ul k ∈J s∈J @ m co l gm P P (s) (s) (s) λk = λs + s∈J, s6=k λk > (∀k ∈ J), µi = s∈J µi > P (s) (∀i ∈ I(x)) γj = s∈J γj ∈ R(∀j ∈ L), ta có điều phải chứng minh an Lu n va ac th si 35 Kết luận Luận văn trình bày kết Đỗ Văn Lưu [7] điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương cực tiểu yếu địa phương toán lu tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập an không gian Banach ngôn ngữ vi phân suy rộng Nội dung va n luận văn gồm: to gh tn - Các khái niệm vi phân suy rộng, vi phân suy rộng tối thiểu p ie vi phân suy rộng quy Các quy tắc tính vi phân suy rộng Định lí giá trị trung bình vi phân suy rộng d toán (MP) oa nl w - Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương lu nf va toán (MP) an - Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto địa phương lm ul - Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương z at nh oi - Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu - Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu z Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu @ m co l gm đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu an Lu n va ac th si 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học lu an Kỹ thuật, Hà Nội n va ie gh tn to Tiếng Anh p [2] Dutta J, Chandra S (2004), "Convexifactors, generalized convexity and oa nl w vector optimality", Optimization 53, pp 77 - 94 d [3] Girsanov I V (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extremum lu nf va an problems, Springer - Verlag, Berlin lm ul [4] Halkin H (1974), "Implicit functions and optimization problems with229 - 236 z at nh oi out continuous differentiablility of the dat", SIAM J Control 12, pp z [5] Jeyakumar V., Luc D T (1999), "Nonsmooth Calculus, minimality and @ m co l - 621 gm monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl 101, pp 590 an Lu [6] Luc D T (2002), "A multiplier rule for multiobjective programming problems with continuous data", SIAM J Optim 13, pp 168 - 178 n va ac th si 37 [7] Luu D V (2014), "Convexificators and necessary conditions for efficiency", Optimization, vol 63, No3, pp 321 - 335 [8] Luu D V (2014), "Necessary and sufficient conditions for efficiency via convexificators", J Optim Theory Appl 160, pp 510 - 526 [9] Luu D V (2012), "Necessary conditions for efficiency in terms of the Michel-Penot subdifferentials", Optimization, 61, pp 1099 - 1117 [10] Maeda T (1994), "Constraint qualifications in multiobjective opti- lu mization problems: Differentiable case", J Optim Theory Appl 80, an n va pp 483 - 500 entiability and Lipschitz continuity", SIAM J Control Optim 39, pp p ie gh tn to [11] Ye J J (2001), "Multiplier rules under mixed assumptions of differ- d oa nl w 1441 - 1460 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si