(Luận văn) phương pháp hàm sinh trong việc giải các bài toán tổ hợp

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ H„NH lu an n va p ie gh tn to PH×ÌNG PHP H€M SINH TRONG VI›C GIƒI CC B€I TON TÊ HÑP d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu B¼nh ành - 2020 n va ac th si BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ H„NH lu an n va p ie gh tn to PH×ÌNG PHP H€M SINH TRONG VI›C GIƒI CC B€I TON TÊ HÑP d oa nl w an lu nf va Chuy¶n ng nh : Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số : 8460113 z at nh oi lm ul z gm @ m co l Ngữới hữợng dăn : PGS.TSKH HUíNH VN NG‚I an Lu n va ac th si i Möc lửc lu an 1 Mởt số kián thực chuân b 1.1 CĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tờ hđp ¸m 1.1.1 Nguy¶n lỵ cởng 1.1.2 Nguy¶n lỵ nhƠn 1.1.3 Nguy¶n lỵ bũ trứ n va Mð ¦u ie gh tn to p 1.2 1.2.1 Ho¡n 11 1.2.2 Ch¿nh hñp 12 1.2.3 Tê hñp 13 an lu Hm sinh v cĂc tẵnh chĐt nh nghắa 15 2.1.2 C¡c t½nh chĐt cỡ bÊn cừa hm sinh chuội lụy thứa hẳnh thùc 19 2.1.3 T½ch cõa c¡c h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 20 2.1.4 Hđp cõa c¡c h m sinh chi lơy thøa h¼nh thùc 22 z @ Hm sinh dÔng mụ 25 gm 2.2.1 ành ngh¾a 25 2.2.2 T½ch cõa c¡c h m sinh dÔng mụ 27 2.2.3 Hủp cừa cĂc hm sinh dÔng mụ 31 m co l an Lu 2.3 2.1.1 z at nh oi 2.2 H m sinh chuéi lơy thøa h¼nh thùc 15 lm ul 2.1 15 nf va d oa nl w Nhúng sè tê hđp c«n b£n 11 Hm sinh dÔng a thùc 37 n va ac th si ii 2.3.1 ành ngh¾a 37 2.3.2 CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm sinh dÔng a thực 38 2.3.3 T½ch cõa c¡c h m sinh dÔng a thực 38 T¼m hiºu h» thèng nhúng ùng döng h m sinh gi£i mët sè dÔng toĂn tờ hủp 3.1 45 ng dửng hm sinh tẳm cổng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy hỗi 46 lu an 3.2 n va p ie gh tn to 3.3 3.1.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 46 3.1.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 51 Ùng döng h m sinh chùng minh ¯ng thùc tê hñp 52 3.2.1 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 52 3.2.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 59 Ùng döng h m sinh c¡c b i to¡n sè håc tê hñp 59 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 59 3.3.2 Mët sè b i tªp tü gi£i 69 3.3.1 Ùng döng h m sinh º ¸m c¡c b i to¡n tê hđp 70 nl w 3.4 Mët sè b i tªp câ líi gi£i 70 Mët sè b i tªp tü gi£i 75 Kát luên 77 lm ul Ti liằu tham kh£o nf va an lu 3.4.2 d oa 3.4.1 78 z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lới cam oan Tổi xin cam oan luên vôn vợi · t i Ph÷ìng ph¡p h m sinh vi»c gi£i c¡c bi toĂn tờ hủp l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi sỹ lu hữợng dăn cừa PGS TSKH Huýnh Vôn NgÂi, nởi dung khổng chp cừa bĐt an va ký v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực no, cĂc kát quÊ khổng n phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró rng tn to ie gh Bẳnh nh, ngy 05 thĂng 08 nôm 2020 p Sinh viản thỹc hiằn oa nl w d Phan Th HÔnh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Lới cÊm ỡn Luên vôn vợi · t i Ph÷ìng ph¡p h m sinh vi»c gi£i c¡c b i to¡n tê hđp ÷đc thüc hi»n v  ho n th nh tÔi Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn lu dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH Huýnh Vôn NgÂi Qua Ơy, tổi xin ữủc an va gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc án thƯy, ngữới  tên tẳnh ch dÔy, giúp ù v truyÃn n Ôt kián thực suốt thới gian nghiản cựu v hon thnh luên vôn tn to Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn ie gh quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp Khõa 21  tÔo p iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn · t i nl w Ci cịng, tỉi xin gûi lới cÊm ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  ởng oa viản giúp tổi hon thnh tốt luên vôn ny d Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ cố gưng cừa bÊn thƠn iÃu lu nf va an kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng z at nh oi lm ul gõp ỵ cừa quỵ ThƯy, Cổ  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn z m co l gm @ an Lu n va ac th si M Ưu Lỵ thuyát tờ hủp õng vai trỏ quan trång To¡n håc Phê thỉng, nh§t l  cĂc kẳ thi hồc sinh giọi ToĂn Olympic hơng nôm Vi»c gi£i c¡c b i to¡n lu tê hđp c¦n câ t÷ to¡n håc cao v  ÷đc gi£i theo nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c an va Méi ph÷ìng ph¡p ·u cõ nhỳng lủi thá v nt c sưc riảng Mởt n nhỳng phữỡng phĂp hỳu hiằu nhĐt  giÊi c¡c b i to¡n tê hđp â l  ph÷ìng Ph÷ìng ph¡p hm sinh vứa hiằn Ôi v nhanh chõng, khổng ch ùng döng ie gh tn to ph¡p h m sinh p nhiÃu cĂc bi toĂn rới rÔc Ngoi ra, hm sinh câ thº ¡p döng cho c¡c b i nl w to¡n ¸m, h m sinh cho c¡c h» sè nhà thực ữủc suy tứ nh lỵ nh thực, tẳm oa cổng thực tữớng minh tứ cổng thực truy hỗi cừa dÂy số bơng hm sinh v chựng d minh ¯ng thùc tê hđp Nhí sû dưng ph÷ìng ph¡p h m sinh v  ¡p döng chuéi lu nf va an Maclaurin, c¡c b i to¡n n y câ thº gi£i quy¸t mët c¡ch nhanh chõng, ỡn giÊn chự khổng phực tÔp bơng cĂch gi£i cê iºn lm ul Xu§t ph¡t tø nhúng nëi dung trẳnh by trản Ơy v mong muốn tẳm hiu sƠu z at nh oi hỡn và nhỳng vĐn à ny, chúng tổi  lỹa chồn à ti luên vôn thÔc sắ Phữỡng phĂp hm sinh viằc giÊi cĂc bi toĂn tờ hủp Luên vôn ny nhơm mửc ẵch tẳm hiu phữỡng phĂp hm sinh lỵ thuyát z tê hđp Hìn núa, h m sinh l  mët cỉng cư húu hi»u v  quan trång Tê hđp @ gm ỗng thới, chúng tổi cụng nghiản cựu mởt số ùng dưng cõa ph÷ìng ph¡p h m l sinh viằc ữa lới giÊi cho mởt số vĐn à tờ hủp Chữỡng Mởt số kián thực chuân b an Lu luên vôn ữủc trẳnh by ba chữỡng m co Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti li»u tham kh£o, nëi dung ch½nh cõa n va ac th si Trong chữỡng ny, chúng tổi s trẳnh by mởt số kián thực chuân b bao gỗm mởt số nh nghắa, nh lỵ, mằnh Ã, bờ Ã, hằ quÊ, liản quan án nhỳng số tờ hủp côn bÊn v cĂc nguyản lỵ côn bÊn cừa tê hđp ¸m º bê trđ cho c¡c nëi dung ữủc trẳnh by chữỡng v chữỡng Chữỡng Hm sinh v cĂc tẵnh chĐt Trong chữỡng ny, chúng tổi giợi thiằu ba dÔng hm sinh õ l hm sinh chuội lụy thứa hẳnh thực, hm sinh dÔng mụ v hm sinh dÔng a thực, tiáp theo l cĂc tẵnh chĐt côn bÊn cừa cĂc hm sinh õ l tẵch v hủp cừa ba loÔi hm sinh trản lu Chữỡng Tẳm hiu hằ thống nhỳng ựng dửng hm sinh giÊi an va mởt số dÔng toĂn tờ hủp n Chữỡng ny gỗm mởt số bi têp, vẵ dử sỷ dửng phữỡng phĂp hm sinh  gh tn to giÊi cĂc dÔng toĂn sau p ie ng dửng hm sinh tẳm cổng thực tữớng minh cừa mởt dÂy số truy w hỗi d oa nl Ùng döng h m sinh chùng minh ¯ng thùc tê hđp an lu Ùng dưng h m sinh c¡c b i to¡n sè håc tê hñp nf va Ùng dưng h m sinh º ¸m c¡c b i to¡n tê hñp z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Mởt số kián thực chuân b lu an va Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn n chuân b cho cĂc chữỡng sau cừa luên vôn Ton bở cĂc kián thực chữỡng ie gh tn to ny ữủc tham khÊo v trẵch dăn tứ c¡c t i li»u [1], [2], [7] p 1.1 C¡c nguy¶n lỵ côn bÊn cừa tờ hủp ám w d oa nl 1.1.1 Nguyản lỵ cởng (Nguyản lỵ cởng) GiÊ sû câ n cæng vi»c T1 , T2 , , Tn , an lu ành ngh¾a 1.1.1 nf va â T1 câ a1 c¡ch thüc hi»n, T2 câ a2 c¡ch thüc hi»n, , Tn câ an c¡ch thüc hi»n lm ul Gi£ sû khổng cõ hai cổng viằc no cõ th lm ỗng thíi Khi â, sè c¡ch º l m mët k cỉng vi»c tr¶n l  z at nh oi a1 + a2 + · · · + an z Nguy¶n lỵ cởng ữủc phĂt biu theo ngổn ngỳ têp hủp sau: i=1 an Lu â |S| ÷đc gåi l  số phƯn tỷ cừa têp S m |S| = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |, co l gm @ Cho S l  mët tªp hđp Gi£ sû {A1 , A2 , , An } l mởt phƠn hoÔch trản S , tùc n S l  S = Ai v  Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, ≤ i, j ≤ n Khi â, n va ac th si Cho mởt têp S vợi |S| = n, số tĐt cÊ cĂc têp cừa S gỗm têp rộng v chẵnh nõ l 2n nh lỵ 1.1.1 Vẵ dử 1.1.1 [PEA Math Materials, by Richard Parris] Trữợc Ơy, Rick cõ th m từ ỗ têp gym cừa mẳnh, ph£i nhỵ tê hđp sau Hai sè cĂc số cừa dÂy ba số hÔng l 17 v 24,  quản số thự ba v khỉng bi¸t thù tü cõa c¡c sè Câ 40 kh£ nông xÊy vợi số thự ba Họi mữới giƠy mội lƯn thỷ, tối a bao lƠu thỷ hát mồi khÊ nông  m ữủc cỷa tõ? Líi gi£i X²t tªp hđp câ thº x£y cõa tê hñp Khi â, lu an va A1 = {(x, 17, 24)|1 ≤ x ≤ 40} , n A2 = {(x, 24, 17)|1 ≤ x ≤ 40} , to gh tn A3 = {(17, x, 24)|1 ≤ x ≤ 40} , p ie A4 = {(24, x, 17)|1 ≤ x ≤ 40} , w A5 = {(17, 24, x)|1 ≤ x ≤ 40} , oa nl A6 = {(24, 17, x)|1 ≤ x ≤ 40} d Dạ thĐy, mội têp cõ 40 phƯn tỷ p dửng nguyản lỵ cởng, ta cõ 40.6 = 240 lu nf va an tê hñp º thû v  tèi a cƯn 40 phút  thỷ hát Tuy nhiản, mởt viằc quan trồng b bọ qua Ăp dửng nguyản lỵ cởng l cĂc têp Ai phƠn hoÔch, tùc l  lm ul Ai ∩Aj = ∅ vỵi i 6= j, ≤ i, j ≤ Trong v§n · n y, tê hñp (17, 17, 24) thuëc c£ hai z at nh oi têp A1 v A3 Tữỡng tü, méi tê hñp (17, 24, 17), (24, 17, 17), (17, 24, 24), (24, 17, 24), (24, 24, 17) công lƯn lữủt thuởc hai têp têp v ữủc ám hai lƯn Do õ, ta ch cõ 240 − = 234 tê hđp º thû v  c¥u tr£ líi óng l  39 z l gm (Nguyản lỵ nhƠn) GiÊ sỷ  hon thnh mởt cổng viằc H co nh nghắa 1.1.2 @ 1.1.2 Nguyản lỵ nhƠn m cƯn thỹc hiằn n cổng viằc nhọ l H1 , H2 , , Hn , â H1 câ a1 c¡ch thüc an Lu hi»n, H2 câ a2 c¡ch thüc hi»n sau ¢ ho n th nh cæng vi»c H1 , , Hn câ n va ac th si 64 v¼ f (ξ ) = f (1) = 21999 Chú ỵ r¬ng ξ, ξ , , ξ = l  c¡c nghi»m cõa g(x) = x7 −1 Khi â, g(x) = x7 − = (x − ξ)(x − ξ ) · · · (x − ξ ) Suy ra, g(−1) = −2 = (−1 − ξ)(−1 − ξ ) · · · (−1 − ξ ), hay (1 + ξ)(1 + ξ ) · · · (1 + ξ ) = V¼ 1999 = · 285 + n¶n lu an f (ξ) = (1 + ξ)(1 + ξ ) · · · (1 + ξ 1999 ) n va = [(1 + ξ)(1 + ξ ) · · · (1 + ξ )]285 (1 + ξ)(1 + ξ )(1 + ξ )(1 + ξ ) tn to = 2285 · [(1 + ξ)(1 + ξ )(1 + ξ )](1 + ξ ) gh = 2285 · (1 + ξ + ξ + + ξ )(1 + ξ ) p ie = 2285 · (1 + ξ ) d oa nl w Ta câ f (ξ i ) = 2285 (1 + ξ 3i ), vỵi ≤ i ≤ Suy |Tr | = 21999 + 2285 an lu = nf va 21999 + 2285 X ! ξ −ri (1 + ξ 3i ) i=1 X [ξ −ri + ξ (3−r)i ] lm ul i=1 +ξ i=1 ]= z at nh oi Tứ phữỡng trẳnh (*), suy ( X − = 5, −ri (3−r)i [ξ ! r ≡ hoc 3( mod 7), cỏn lÔi = 2, z gm @ Vêy số phƯn tỷ cừa Tr l  [IMO 1995] Cho p l  sè nguy¶n tố l Họi cõ bao nhiảu têp A an Lu V½ dư 3.3.7 r = 1, 2, 4, 5, m co 1999 − 2286   , l |Tr | =  1999 + · 2285  2 , r = ho°c 3, n va câ p ph¦n tû thuëc {1, 2, , 2p} cho têng c¡c ph¦n tû cõa nâ chia h¸t cho p? ac th si 65 Líi gi£i Vỵi méi i, ≤ i ≤ 2p, ta khỉng thº thäa m¢n i cho x0 +xi = 1+xi , vẳ tẵch 2p Y (1 + xi ) i=1 khổng th thọa mÂn iÃu kiằn cĂc têp cõ p phƯn tỷ (vẵ dử, hằ số cừa xkp bơng số têp cõ tờng cĂc phƯn tỷ cừa nõ bơng kp, nhiÃu têp hủp ny khỉng câ óng p ph¦n tû.) Thay v o â, ta x²t h m sinh g(t, x) = (t + x)(t + x2 )(t + x3 ) · · · (t + x2p ) = X ak,m tk xm lu k,m an n va Khi õ, ak,m bơng số têp S cõa {1, 2, , 2p} cho (ii) Têng c¡c ph¦n tû cõa S l  m ie gh tn to (i) |S| = 2p − k ; p Do â, nl w A= ap,m p|m d oa Chú ỵ rơng X ak,m = X ap,m + nf va p|k,p|m an lu X p|m X a0,m + p|m X a2p,m = X ap,m + 2, p|m p|m lm ul vẳ ch cõ mởt têp vợi mội phƯn tỷ l 2p hoc nản z at nh oi B= X ak,m = A + p|k,p|m 2π z º t¼m B , ta sû dưng c¡c nghi»m nguy¶n Gåi ξ = e p i , â i2 = −1 l  c«n @ l gm bêc p nguyản thừy cừa phữỡng trẳnh xp = Khi â, E = ξ, ξ , , ξ p−1 , ξ p =  m co XX n va t∈E x∈E g(t, x) an Lu Ta t½nh ac th si 66 bơng hai cĂch (Chú ỵ rơng ta tẵnh tờng gĐp ổi trản tĐt cÊ cĂc nghiằm bêc p thay vẳ t½nh mët têng cõa nhúng nghi»m â.) Ta câ X g(t, x) = g(t, 1) + x∈E X g(t, x) = g(t, 1) + X g(t, ξ i ) 1≤i≤p−1 x∈E/{1} Rã r ng, g(t, 1) = (t + 1)2p Theo V½ dư 3.3.6, ta câ {1, 2, , p} ≡ {r · 1, r · 2, , r · p} ( mod p) vợi số nguyản r chia hát cho p Khi õ, ξ i vỵi ≤ i ≤ p − 1, ta câ lu (t + ξ i )(t + ξ 2i ) · · · (t + ξ pi ) = (t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p ), an va n suy tn to g(t + ξ i ) = [(t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p )]2 , vỵi i ≤ i ≤ p − p ie gh Cơng theo V½ dư 3.3.6, ta câ d oa Suy nl w h(t) = (t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p ) = − Do â, nf va an lu h(−t) = (−t − ξ)(−t − ξ ) · · · (−t − ξ p ) = (−t)p − = −(tp + 1) lm ul g(t, ξ t ) = [(t + ξ)(t + ξ ) · · · (t + ξ p )]2 = [(−1)p h(−t)]2 = (tp + 1)2 X z at nh oi K¸t hđp c¡c iÃu trản, ta ữủc z g(t, x) = (t + 1)2p + (p − 1)(tp + 1)2 m co l gm @ x∈E an Lu n va ac th si 67 Suy XX g(t, x) = X = X X t∈E t∈E t∈E x∈E [(t + 1)2p + (p − 1)(tp + 1)2 ] t∈E = (t + 1)2p + (p − 1) 2p XX (tp + 1)2 i i C2p t + 4p(p − 1) t∈E i=0 = X X X X i i C2p t + t∈E i=0,p,2p t∈E i i C2p t + 4p(p − 1) i6=p 0