(Luận văn) bất đẳng thức dạng hermite hadamard fejér cho hàm p lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu NINH THỊ LƯU an n va p ie gh tn to d oa nl w BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN – 2019 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NINH THỊ LƯU lu an n va p ie gh tn to BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI d oa nl w CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 lu ul nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi lm NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh z @ m co l gm PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY an Lu n va THÁI NGUYÊN – 2019 ac th si i Mục lục Bảng ký hiệu lu an Mở đầu n va Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Hàm lồi Hàm đối xứng 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm đối xứng Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer p ie gh tn to 1.1 w 1.2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer Ví dụ áp dụng 17 d 1.2.2 oa nl 1.2.1 an lu Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm va Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi oi lm 19 2.1.1 Hàm p-lồi 19 2.1.2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer 21 z at nh 2.2 ul 2.1 19 nf p-lồi Áp dụng 35 z @ Kết luận 39 l gm Tài liệu tham khảo 40 m co an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu tập số thực không gian Euclid n-chiều tập tập số thực R phần tập I không gian hàm khả tích đoạn [a, b] R Rn lu an I va I◦ n L[a, b] p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho f : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R a, b ∈ C với a 6= b Bất đẳng thức lu an ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1) n va f a + b tn to tiếng biết tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]) gh Hầu hết bất đẳng thức tiếng liên quan đến giá trị trung bình tích phân p ie hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite–Hadamard dạng trọng số w nó, bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer oa nl Trong [3], Fejér xây dựng bất đẳng thức, mang tên ông Fejér, mở rộng bất d đẳng thức Hermite–Hadamard (1): Z  Z b w(x)dx ≤ an lu a a va a+b f b f (a) + f (b) f (x)w(x)dx ≤ Z b (2) w(x)dx, a nf a+b Trong trường hợp hàm f : C ⊂ (0; ∞) → R hàm p-lồi, p ∈ R \ {0}, a, b ∈ C với oi lm ul w : [a, b] → R hàm khơng âm, khả tích đối xứng ứng với f h ap + bp i1/p  p ≤ p b − ap a b f (x) f (a) + f (b) dx ≤ , 1−p x (3) gm @ hàm f khả tích đoạn [a, b] Z z z at nh a < b, bất đẳng thức Hermite–Hadamard xây dựng dạng l Nhiều tác giả xây dựng bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer m co cho số lớp hàm lồi khác đưa ứng dụng đánh giá số giá trị an Lu trung bình đặc biệt từ bất đẳng thức Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho n va hàm p-lồi [6] [7] công bố năm 2016 2017 ac th si Luận văn phần mở đầu, kết luận, nội dung gồm chương với bố cục cụ thể sau: Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi Chương giới thiệu số kiến thức hàm lồi, hàm đối xứng số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi số ví dụ áp dụng Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho lu hàm p-lồi an Chương giới thiệu khái niệm hàm p-lồi, trình bày mối liên hệ hàm p-lồi n va hàm lồi trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer to tn cho hàm p-lồi số áp dụng đánh giá số bất đẳng thức khác Nội dung ie gh chương tham khảo từ hai báo [6] [7] công bố năm 2016 2017 p Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên nl w Lời tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo PGS.TS Nguyễn oa Thị Thu Thủy Cô dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc d mắc tơi suốt q trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc va an lu tới cô ul nf Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Tốn - Tin, trường oi lm Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn z at nh Cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp thời gian làm luận văn z gm @ Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 l Tác giả luận văn m co an Lu n va Ninh Thị Lưu ac th si Chương Bất đẳng thức tích phân dạng lu Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi an n va gh tn to Chương trình bày số bất đẳng thức cho hàm lồi, hàm đối xứng kết nối với bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer Nội dung chương ie p viết sở tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] nl w Hàm lồi Hàm đối xứng d oa 1.1 Hàm lồi an lu 1.1.1 nf va Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi oi lm ul đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi chứa đoạn thẳng z at nh nối hai điểm thuộc nó; nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ z gm @ Ví dụ 1.1.2 Các tập sau tập lồi: m co l (a) Các tập afin, siêu phẳng, nửa khơng gian đóng, nửa khơng gian mở  (b) Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : kx − ak ≤ r , hình cầu  mở tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : kx − ak > r an Lu n va Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : C → R xác định tập hợp lồi C ⊆ Rn ac th si gọi hàm lồi C với x1 , x2 ∈ C số thực λ ∈ [0, 1] ta có   2 ≤ (1 − λ)f (x ) + λf (x ) f (1 − λ)x + λx Hàm f gọi hàm lồi chặt C với x1 , x2 ∈ C , x1 6= x2 λ ∈ (0, 1) ta có f (1 − λ)x1 + λx2 < (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )   Hiển nhiên hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại nói chung khơng Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]) Hàm f gọi hàm lõm (lõm chặt) C −f lu an hàm lồi (lồi chặt) C va n Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.3 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R to tn Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R gọi hàm lồi với ie gh x1 , x2 ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) p   (1.1) oa nl w Tính chất 1.1.6 Một số phép tốn bảo toàn hàm lồi: d (a) Nếu fi : Rn → R, i = 1, , m, hàm lồi α1 f1 + · · · + αm fm hàm an lu lồi với αi ≥ hàm lồi chặt hàm fi lồi chặt nf va với αi > 0, i = 1, , m tập số oi lm ul (b) Nếu fi : Rn → R, i ∈ I , hàm lồi f (x) = supi∈I fi (x) hàm lồi, I z at nh (c) Nếu A : Rn → Rm ánh xạ tuyến tính g : Rm → R hàm lồi hàm hợp f (x) = g(Ax) hàm lồi z Định lý 1.1.7 (xem [1]) Cho C tập lồi, khác rỗng Rn f : Rn → R @ gm hàm lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f C cực tiểu m co l toàn cục Chứng minh Giả sử x0 ∈ C điểm cực tiểu địa phương hàm f C x ∈ C ta có với λ > đủ bé n va xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 ) an Lu U (x0 ) lân cận x0 cho f (x0 ) ≤ f (x) với x ∈ C ∩ U (x0 ) Khi đó, với ac th si Suy ra, f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ) hay f (x0 ) ≤ λf (x) Do λ > nên f (x0 ) ≤ f (x) Vì x ∈ C chọn tùy ý nên x0  điểm cực tiểu toàn cục f C Định lý 1.1.8 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f tập lồi C có nhiều điểm cực tiểu C Chứng minh Nếu f có hai điểm cực tiểu khác x1 , x2 ∈ C tính lồi chặt f , f x + x2 < f (x1 ) = f (x2 ), 2 lu 1  an  n va điều vơ lý tn to Ví dụ 1.1.9 Hàm lồi chặt biến f (x) = x2 có điểm cực tiểu x0 = Hàm đối xứng w 1.1.2 p ie gh Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R khơng có điểm cực tiểu d a+b oa với nl Định nghĩa 1.1.10 (xem [7]) Một hàm w : [a, b] ⊂ R → R gọi đối xứng ứng ∀x ∈ [a, b] (1.2) va an lu w(x) = w(a + b − x) oi lm ul nf Ví dụ 1.1.11 Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định   a+b w1 (x) = c, c ∈ R, w2 (x) = x − a+b z at nh hàm đối xứng ứng với Định nghĩa 1.1.12 (xem [5]) Cho I ⊂ R\{0} khoảng thực Hàm f : I → R z  gm ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (1.3) m co l f xy tx + (1 − t)y @ gọi hàm lồi điều hòa  với x, y ∈ I t ∈ [0, 1] Nếu bất đẳng thức (1.3) đổi chiều hàm f gọi an Lu hàm lõm điều hòa n hàm lồi điều hòa g hàm lõm điều hịa va Ví dụ 1.1.13 Cho f : (0, ∞) → R, f (x) = x g : (−∞, 0) → R, g(x) = x f ac th si Định nghĩa 1.1.14 (xem [7]) Hàm w : [a, b] ⊂ R\{0} → R gọi hàm đối xứng điều hòa ứng với 2ab a+b w(x) = w  a + b  − x ∀x ∈ [a, b] , (1.4) Ví dụ 1.1.15 Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định  a + b 2 w1 (x) = c, c ∈ R, w2 (x) = − x hàm đối xứng đối điều hòa ứng với 2ab 2ab a+b lu an n va 1.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer tn to 1.2.1 ie gh Cho f : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R p a, b ∈ C với a < b Bất đẳng thức ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1.5) oa nl w f a + b d tiếng biết tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]) lu xây dựng sau nf va an Trong trường hợp hàm f hàm khả vi lồi, bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard oi lm ul Bổ đề 1.2.1 (xem [6]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ với a < b Nếu hàm f khả tích [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn b Z a z at nh f (a) + f (b) − b−a b−a f (x)dx = Z (1 − 2t)f (ta + (1 − t)b)dt (1.6) z gm @ Sử dụng Bổ đề 1.2.1, Dragomir [6] thu hai bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi trình bày định lý l m co Định lý 1.2.2 (xem [6]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ an Lu với a < b Nếu |f | lồi [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn b−a a 2(p + 1)1/p 1 + = p q Hầu hết bất đẳng thức tiếng liên quan đến giá trị trung bình tích phân hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite–Hadamard biến thể nó, bất lu đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer Trong [3], Fejér xây dựng bất đẳng thức, mang an tên ông Fejér, mở rộng bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1.5) Bất đẳng thức va giới thiệu định lý n to tn Định lý 1.2.4 (Fejér [3]) Cho f : [a, b] ⊂ R → R hàm lồi Khi bất đẳng p ie gh thức sau thỏa mãn  Z b a+b f b Z w(x)dx ≤ a a f (a) + f (b) f (x)w(x)dx ≤ Z b (1.9) w(x)dx, a nl w a+b d oa w : [a, b] → R hàm khơng âm, khả tích đối xứng ứng với va an lu Chứng minh Từ tính lồi hàm f ta có Z b Z b  b−x x−a f (x)w(x)dx = f nf a a b−a ·a+ b−a ul a oi lm ≤ Z bh b−x b Z a x−a · f (b) w(x)dx b−a i f (b) (b − x)w(x)dx + b−a z at nh f (a) = b−a b−a · f (a) +  · b w(x)dx z b (x − a)w(x)dx a a+b w(x) ta có tích phân thứ @ Đặt x = a + b − t sử dụng tính đối xứng ứng với Z Z b a Z (t − a)w(a + b − t)dt a b b Z Z a b (x − a)w(x)dx a an Lu (t − a)w(t)dt = = m co (b − x)w(x)dx = − l gm n va ac th si (vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến) Do đó, ta thu Z b Z b f (a) + f (b) b−a f (x)w(x)dx ≤ a f (a) + f (b) = b−a (x − a)w(x)dx a b Z b Z xw(x)dx − a a  (1.10) w(x)dx a Tiếp tục đặt x = a + b − t theo tính đối xứng w(x) ta thu Z b Z a xw(x)dx = − (a + b − t)w(a + b − t)dt a b b Z b Z (a + b − t)w(t)dt = = (a + b − x)w(x)dx lu a a an Z b b Z w(x)dx − va = (a + b) xw(x)dx a a n to Do b gh tn Z a a+b xw(x)dx = b Z w(x)dx a ie p Thay vào (1.10), ta bất đẳng thức thứ (1.9) Z b Z b Z  f (a) + f (b) a + b b−a nl w f (x)w(x)dx ≤ a oa d = Z a  w(x)dx a b w(x)dx a an lu f (a) + f (b) b w(x)dx − a =f a+b−x + =f 2 x  ≤ (f (x) + f (a + b − x)) h b − x  b − x i x−a x−a ≤ f ·a+ ·b +f ·b+ ·a b−a b−a b−a b−a oi lm ul f nf va Mặt khác, với x ∈ [a, b] ta có a + b x + a + b − x z at nh z Nhân hai vế với w(x) lấy tích phân [a, b], ta thu a + b Z b w(x)dx a a b b − x x−a f ·a+ · b w(x)dx + b−a b−a  b Z a b − x x−a f ·b+ · a w(x)dx b−a b−a b−a b−a · a w(x)dx = f a b−a ·b+ b−x · a w(x)dx b−a  n a ·b+ va f i an Lu Đặt t = a + b − x tích phân thứ hai, ta thu Z b  Z b   b−x x−a x−a  m co hZ l ≤ gm @ f ac th si 10 Z b Do đó, tích phân thứ hai f (x)w(x)dx, nên a f b a + b Z b Z w(x)dx ≤ f (x)w(x)dx a a  Ta bất đẳng thức thứ hai (1.9) Ký hiệu L[a, b] tập hàm khả tích đoạn [a, b] Trong trường hợp hàm f khả vi ta nhận bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer sau Bổ đề 1.2.5 (xem [8]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ , a, b ∈ I ◦ với lu a < b w : [a, b] → [0, ∞) ánh xạ khả vi Nếu |f | ∈ L[a, b] bất đẳng thức sau an thỏa mãn va b Z n b−a  tn to a a+b f f (x)w(x)dx − b−a b Z w(x)dx a Z k(t)f (ta + (1 − t)b)dt gh = (b − a) (1.11) p ie với t ∈ [0, 1], − d oa nl w R  t w(as + (1 − s)b)ds, k(t) =  R1 t ∈ 0, 21  w(as + (1 − s)b)ds, t t∈
1  2, nf va k(t)f (ta + (1 − t)b)dt ul I= an lu Chứng minh Ta có Z 1 t Z = w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt +  Z 1 Z z t I1 = w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt Z − t  w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt n va I2 = Z 1  an Lu t Z m co Z l gm @ = I1 + I2 ,  w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt − z at nh oi lm Z ac th si 11 Sử dụng công thức tích phân phần ta Z t  f (ta + (1 − t)b) 12 I1 = w(as + (1 − s)b)ds a−b 0 Z 21 w(as + (1 − s)b) − = Z w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b) dt a−b − w(ta + (1 − t)b) lu tương tự Z an w(as + (1 − s)b)ds
a−b n va I2 = a+b f
a−b Z a+b f f (ta + (1 − t)b) dt, a−b Z − w(ta + (1 − t)b) f (ta + (1 − t)b) dt a−b to gh tn Do đó, ta viết p ie I = I1 + I2 w(as + (1 − s)b)ds
a−b Z − w(ta + (1 − t)b) f (ta + (1 − t)b) dt a−b oa nl a+b f w = Z Thực đổi biến x = ta + (1 − t)b với t ∈ [0, 1] nhân hai vế với (b − a) ta thu d  an lu (1.11) Điều phải chứng minh va Bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm khả vi lồi xây dựng oi lm ul nf sau Định lý 1.2.6 (xem [8]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ , a, b ∈ I ◦ với z at nh a < b w : [a, b] → [0, ∞) ánh xạ khả vi đối xứng ứng với a+b Nếu hàm |f | z lồi [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn Z b a + b Z b 1 f (x)w(x)dx − f w(x)dx